Ce mémoire de maitrise présente une approche innovante de résolution de systèmes multi échelles intitulée « Finite-Element-Self-consistent Clustering Analysis (FE_SCA) » qui peut être traduite par Élément Fini couplé à un modèle réduit par regroupement auto cohérent des volumes élémentaires représentatifs. Cette méthode appartient à la catégorie des méthodes de mécanique computationnelle en homogénéisation multi-échelle. Étant un bon substitut à la méthode EF², à chaque point d'intégration du modèle macroscopique, un volume élémentaire représentatif réduit de la microstructure est résolu à l'aide des équations de Lippmann Schwinger. Ces dernières, étant non-linéaires, un schéma de résolution implicite est considéré. Dans ce travail, la méthode itérative de Newton-Raphson a été utilisée. La réduction des volumes élémentaires représentatifs est faite avec la méthode de regroupement en K-moyennes (k-means clustering) formant des groupements ayant le même comportement mécanique. Cette première phase s'appelle la phase hors-ligne, et vise à préparer une base de données qui comporte les informations compressées de la microstructure. La phase hors-ligne se compose de trois étapes : 1-Construction de la géométrie et homogénéisation de la microstructure avec la méthode Fast Fourier Transform (FFT) pour obtenir les tenseurs de concentrations de contraintes Aᵢⱼ, 2- regroupement des zones ayant les tenseurs Aᵢⱼ identiques, 3- Créations des tenseurs d'interactions Dᴵᴶ entre les groupements formés. Ensuite, cette base de données composée des tenseurs d'interaction Dᴵᴶ et de la répartition volumique des groupements formés est utilisée dans la deuxième partie de résolution multi échelle nommée la phase en-ligne. L'implémentation de la méthode est faite à partir des deux logiciels commerciaux suivants : Python pour la partie hors-ligne et ABAQUS/explicit pour la création du VUMAT de la partie en-ligne. La méthode est testée sur un matériau composite unidirectionnel avec deux phases ayant un comportement élastique. / This master's thesis presents an innovative approach of multi-scale simulation entitled Finite-Element-Self-consistent Clustering Analysis (FE_SCA). This method fits into the category of numerical methods for multi-scale homogenization. Being a good substitute for FE², at each integration point of the macroscopic model, a Reduced Order Model (ROM) of the microstructure is solved using the Lippmann Schwinger equations. As the latter are non-linear, an implicit solution scheme is considered. In this work, the iterative Newton-Raphson method was used. The reduced order model of Representative Volume Element (RVE) is carried out using the k-means clustering method, forming groups with the same mechanical behavior. This first phase is called the Offline phase and aims to prepare a database containing compressed microstructure information. The Offline phase consists of three steps: 1-Construction of the geometry and homogenization of the microstructure using the Fast Fourier Transform (FFT) method to obtain stress concentration tensors Aᵢⱼ, 2- Clustering of voxels according to tensors Aᵢⱼ, 3- Creation of interaction tensors Dᴵᴶ between each pair of clusters I,J. This database of tensors Dᴵᴶ and the volume distribution of the clusters is then used in the second part of the multi-scale resolution process, called the Online phase. The method is implemented using the following two commercial software packages: Python for the OFFLINE phase and ABAQUS/explicit for the Online phase using a user material subroutine VUMAT. The method is tested on a unidirectional composite material with two elastic phases.

Cette thèse a pour objectif le développement et l'implémentation d'un outil de résolution éléments-finis pour les problèmes d'extrusion de matériaux visco-plastiques fondus qui soit adapté à l'industrie du pneumatique. Dans ces travaux nous présenterons une méthodologie complète pour résoudre un modèle couplé comprenant le calcul des écoulements dans l'outillage, la répartition de température dans le domaine et la position d'interfaces entre plusieurs matériaux non miscibles. Pour cela, nous utiliserons les équations de Stokes non linéaires, l'équation de la chaleur, la méthode des interfaces diffuses et l'adaptation de maillage hiérarchique. Après avoir détaillé les différentes méthodes utilisées pour la résolution des différents problèmes, nous présenterons des résultats numériques dans plusieurs géométries d'outillages liés à l'extrusion des polymères. / The objective of this thesis is the development and the implementation of a finite element resolution tool for extrusion problems of molten visco-plastic materials which is suitable for the tire industry. In this works we will present a complete methodology to solve a coupled model including the calculation of the flow field in the equipment, the temperature distribution in the domain and the position of interfaces between several immiscible materials. To achieve this goal, we will solve the nonlinear Stokes equations, the heat equation, the diffuse interface method and we will use hierarchical mesh adaptation. After describing the various methods used for the resolution of the different problems, we present numerical results in several industrial geometries of tools related to the extrusion of polymers.

Le comportement du mur de soutènement soumis à une excitation dynamique a été l'objet de nombreuses recherches. La première méthode est l'approche de Mononobe-Okabe (1929). Après cette méthode, plusieurs méthodes et approches ont été développées, notamment les approches pseudo-statiques et pseudo-dynamiques pour les murs libres, et l'approche de Wood (1973) pour les murs fixes. Ce mémoire présente une étude (2D) statique et dynamique d'un mur de soutènement qui soutient un remblai sableux. Le mur est considéré immobile à l'extrémité extérieure, tandis qu'à l'extrémité intérieure, il se déforme pour créer un domaine élastique dans le massif sableux. La réalisation de cette étude est assurée par des séries de simulations numériques avec les méthodes des éléments finis sous le logiciel commercialisé COMSOL. L'hypothèse sur le sable est un sol sec dont le contenu d'eau est nul. La validation du modèle est faite avec la comparaison des résultats obtenus avec ceux de Wood (1973), dans la littérature. Les analyses des domaines stationnaires, temporaires et fréquentielles ont été utilisées dans les différentes simulations dans COMSOL. Les principaux paramètres, qui ont été étudiés, sont : le coefficient de poisson, la longueur du remblai, la fréquence d'excitation, la rigidité verticale de l'élément d'interface, l'amortissement, les forces de gravité et l'amplitude d'excitation. Les résultats obtenus ont démontré que les pressions de tensions de Von Mises croissent avec l'augmentation du coefficient de poisson et de la longueur du remblai. La rigidité verticale d'élément d'interface engendre des tensions dans le domaine élastique principalement dans la partie supérieure du mur. L'absence de force de gravité constitue le cas le plus défavorable, surtout dans le volet dynamique pour le mur rugueux. C'est toutefois le contraire pour le mur lisse. L'étude fréquentielle a permis de déterminer que le système a un contenu fréquentiel bas. L'accélération spectrale a mis le point sur les caractéristiques de notre système, soit la période et la fréquence naturelles du système. / The behavior of the retaining wall under dynamic excitation has been the subject of many researches. The first method is the approach of Mononobe-Okabe (1929). After this method, several methods and approaches have been developed, including pseudo-static and pseudo-dynamic approaches for free walls, and Wood's (1973) approach for a fixed wall. This work presents a static and dynamic (2D) study of a retaining wall that supports a dry sand embankment. The wall is considered motionless at the outer end, while at the inner end, it deforms to create an elastic domain in the sandy mass. The realization of this study is ensured by a series of numerical simulations with finite element methods under the COMSOL software. The hypothesis on the sand is a dry soil whose water content is zero. The validation of the model is done with the comparison of the results obtained with those of Wood (1973) in the literature. Stationary, temporary and frequency domain analysis were used in the different simulations in COMSOL. The main parameters that have been studied are the poisson coefficient, the length of the backfill, the excitation frequency, the vertical stiffness of the interaction element, soil damping, the gravitational forces and the amplitude of the excitation. The results obtained showed that Von Mises stress pressures rise with the increase in the Poisson coefficient and the length of the embankment. The vertical rigidity generates tensions in the elastic domain mainly in the upper part of the wall. The absence of force of gravity constitutes the most unfavorable case especially in the dynamic shutter for the rough wall. It is, however, the opposite case for the smooth wall. The frequency study showed that the system has a low frequency content. The spectral acceleration has given the characteristics of our system; the period and the natural frequency of the system.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2014-2015 / Ce mémoire porte sur les transformations isoparamétriques quadratiques dans le contexte de la méthode des éléments finis, mais en gardant un point de vue théorique. Le but est de trouver des critères d’inversibilité afin de pouvoir appliquer des techniques d’adaptation de maillage avec des éléments quadratiques (courbes). Le premier chapitre introduit le sujet en présentant les difficultés qui surviennent avec les éléments quadratiques. Le deuxième chapitre présente une revue des principaux résultats sur le sujet et une caractérisation des conditions d’inversibilité en deux dimensions. Finalement, le troisième chapitre étudie ce qui se passe en trois dimensions et tente d’apporter des idées pour l’inversibilité dans un cas particulier.

Une conséquence du lemme de Céa permet de déterminer l’ordre de convergence optimal d’une solution estimée par la méthode des éléments finis. L’hypothèse importante qui est faite pour obtenir cette convergence est que la solution doit être suffisamment régulière. Dans ce mémoire, nous montrerons l’impact de l’adaptation sur la convergence de problèmes de diffusion ayant une singularité dans leur gradient. Afin de retrouver l’ordre optimal de la méthode sur des problèmes où cette hypothèse est fausse, nous développerons une méthode d’adaptation de maillage faite a posteriori, c’est-à-dire que l’on doit déjà avoir une approximation initiale de la solution pour l’utiliser. L’adaptation est dite hiérarchique et utilise le fait qu’une meilleure approximation peut être trouvée à partir de l’approximation initiale. Cette méthode est en développement depuis quelques années et a été étudiée en détail dans la thèse de Bois [2].

Les équations de Saint-Venant sont un système aux dérivées partielles jouant un rôle central dans la modélisation des écoulements océaniques. La méthode des éléments finis est particulièrement adaptée pour résoudre les équations de Saint-Venant car elle offre une grande flexibilité sur les domaines irréguliers ainsi qu’une variété d’espaces pour l’approximation de la solution. Or, la qualité de la solution numérique dépend de l’interaction entre ces espaces. Pour certaines combinaisons ou paires d’élément finis la solution numérique peut présenter des oscillations articiellement introduites par la discrétisation. Cette thèse porte sur le comportement numérique des solutions aux équations de Saint-Venant obtenues par différentes paires d’éléments finis. Tout d’abord, une étude sur la dispersion des ondes d’inertie-gravité est présentée pour une sélection de neuf paires d’éléments finis. Un ensemble de trois propriétés est ensuite mis en évidence afin que la discrétisation respecte le comportement des équations analytiques. Une méthode basée sur le calcul des noyaux est utilisée pour caractériser les modes stationnaires correspondant aux écoulements géostrophiques. Finalement, les espaces vectoriels de Raviart-Thomas et Brezzi-Douglas-Marini sont analysés. / The shallow-water equations system plays a central role in numerical oceanic models. The finite element method is particularly well suited to solve the shallow-water equations as it works on irregular meshes with a variety of approximation spaces. However, the behavior of the numerical solution highly depends on the interaction between these approximation spaces. For specific finite element pairs the solution may exhibit spurious oscillations induced by the discretization scheme. In this thesis, we analyze these oscillations for a wide selection of finite element pairs. The numerical dispersion of inertia-gravity waves is quantified with dispersion analyses. A constructive linear algebra approach is developed to compute the kernels of the discretized operators. The results are used to characterize the smallest representable vortices on both structured and unstructured meshes. A special attention is given to the Raviart-Thomas and Brezzi-Douglas-Marini approximation spaces.

L’adaptation de maillages anisotrope permet d’améliorer grandement la précision de méthodes numériques telles que la méthode des éléments finis. L’adaptation peut être très coûteuse en temps de calcul, mais montre un grand potentiel de parallélisation. Ce projet consiste à développer une implémentation parallèle de l’adaptation de maillages anisotrope basée sur des estimateurs métrique et hiérarchique. On introduit les notions de base de l’adaptation et de la programmation parallèle. On développe une stratégie de parallélisation applicable à la fois en deux dimensions et en trois dimensions. Enfin, on applique cette stratégie dans le cadre de la méthode des éléments finis dans le but d’en évaluer l’efficacité et la rapidité.

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Dans le cadre de monitoring des puits et des réservoirs pétroliers, les études de thermométries se sont développées. Suite à l'émergence de nouvelles technologies d'acquisition avec l'apparition des fibres optiques depuis une vingtaine d'années, il est maintenant possible d'obtenir un profil de température continu à la fois sur la hauteur du puits et dans le temps. Dans ce travail, on étudie d'un point de vue thermomécanique deux modèles d'écoulements afin d'interpréter ces mesures de température. <br /><br />On couple d'abord un modèle réservoir axisymétrique avec un modèle puits pseudo 1D pour l'écoulement d'un fluide monophasique. La modélisation du réservoir intègre une équation d'énergie non-standard qui prend en compte les phénomènes de décompression du fluide (Joule-Thomson) ainsi que ceux liés à la friction dans la formation (dissipation visqueuse). Le puits est décrit par un modèle couplant classiquement les équations de Navier-Stokes compressibles avec un bilan d'énergie. Des conditions de transmission adéquates sont imposées à l'interface entre les deux domaines et ensuite dualisées par des multiplicateurs de Lagrange. On obtient ainsi une formulation variationnelle mixte non standard pour le problème couplé. Les flux sont discrétisés par des éléments finis de Raviart-Thomas. Enfin, on montre que les problèmes couplés continu et discret sont bien posés.<br /><br />On développe ensuite un modèle réservoir multi-phasique (huile, gaz et eau) et multi-composant. Compte tenu de la complexité du problème, on a choisi d'étendre un simulateur non-thermique existant GPRS (General Purpose Reservoir Simulator) en lui ajoutant une équation d'énergie adéquate et la thermodynamique correspondante. L'écoulement est régi par les équations de conservation de la masse pour chaque composant et une équation de conservation d'énergie exhaustive, couplées avec la loi de Darcy géenéralisée appliquée à chacune des phases. L'ensemble des propriétés thermodynamiques des fluides et les équilibres des phases sont calculés par l'équation d'état de Peng-Robinson. La discétisation en espace est faite à l'aide des volumes finis et le système non-linéaire obtenu est résolu par la méthode de Newton-Raphson.<br /> <br />Des tests numériques avec des données réelles validant les codes développés sont présentés.

On simule l'écoulement de gaz avec arc électrique au moment d'une interruption du courant dans un disjoncteur haute ou moyenne tension. Les équations de Navier Stokes compressible sont résolues pour un gaz réel non visqueux. L'arc électrique est du gaz chaud et conducteur. Le rayonnement est pris en compte. L'équation d'état et les propriétés du gaz sont tabulées. On présente une analyse du problème physique et des équations a résoudre. Deux modélisations numériques monodimensionnelles, par une methode d'éléments finis (avec upwind et capture de choc) et par une methode a pas fractionnaires séparant le traitement des phénomènes de diffusion et de convection, ont été implémentées. Elles ont permis d'affiner le modèle et de mettre en évidence l'importance du rayonnement. La dernière partie est relative au développement d'un code de calcul industriel 2 d plan ou axisymetrique. Seule la methode a pas fractionnaires a été implémentée. Le code permet de résoudre le problème sur des maillages non structures et mobiles. Des tests numériques valident les schémas mis en œuvre