La première partie de ce travail est consacré à la démonstration d'un théorème d'existence et d'unicité de la solution du système de Maxwell dans le cas général, où les coefficients sont des tenseurs symétriques définis positifs, qui dépendent d'un façon non régulière de la variable d'espace. Dans ces conditions, le milieu de propagation pourrait être aussi bien isotrope qu'anisotrope. Dans la seconde partie, nous nous sommes intéressés à l'étude et au développpement de plusieurs méthodes numériques dans un domaine isotrope où les coefficients peuvent être discontinus; nous avons étudié deux méthodes de type volumes finies, une basé sur un calcul de flux décentrés, et l'autre basée sur un calcul de flux centrés. Nous avons également adapté une méthode d'éléments finis dite Galerkin Discontinue, et enfin une méthode hybride volumes finies / différences finies avec une étude de stabilité de cette dernière. Pour des raisons géométriques, nous avons choisi les éléments du maillage comme volumes d'intégration. De nombreuses validations et comparisons numériques ont montré que ces méthodes sont bien adaptées au cas hétérogène. Néanmoins, il semble que la méthode volumes finis avec flux centrés et une discrétisation temporelle de type saute-mouton est la plus optimale en terme de compromis entre qualité des résultats et le coût de calcul.

L'objectif de cette étude est l'analyse d'une technique chirurgicale de réduction de la déformation scoliotique, au travers des différents outils que sont la reconstruction tridimensionnelle du rachis dans les temps pré et post opératoires et la simulation par la méthode des éléments finis.<br />Un dispositif de stéréoradiographie spécifique a été développé et a permis la reconstruction du rachis d'une vingtaine de patients scoliotiques.<br />Cette modélisation géométrique a été validée en terme d'orientation relative des vertèbres reconstruites et a conduit à une analyse de la déformation du rachis et de sa correction chirurgicale, de manière segmentaire et au cœur même de la " torsion " de la scoliose.<br />Les phénomènes de correction siégeant pendant la chirurgie ont été appréhendés lors de la simulation par éléments finis de deux cas réels, l'un de cyphose et l'autre de scoliose. Cette simulation a été basée sur un modèle global et personnalisé du rachis où le comportement élasto-plastique de l'instrumentation et les conditions aux limites complexes ont été pris en compte (les manœuvres du chirurgien se traduisant par les charges et décharges successives de flexion sur une tige attachée au rachis). Les résultats prédictifs de simulation se sont révélés cohérents, comparés à la reconstruction tridimensionnelle post opératoire.<br />Ces outils d'analyse peuvent constituer une aide au clinicien lors du diagnostic et de la planification de l'opération chirurgicale.

L'électroencéphalographie (E.E.G.) et la magnétoencéphalographie (M.E.G.) permettent de mesurer à la surface de la tête des champs électromagnétiques résultant des activités neuronales du cerveau. La localisation des sources d'activités neuronales à partir des signaux mesurés à la surface de la tête nécessite de modéliser la propagation des champs électromagnétiques à l'intérieur des tissus de la tête. Cette modélisation consiste à résoudre les équations de Maxwell pour toutes les configurations de sources neuronales possibles par des techniques de calcul numérique (intégrale de surface, différence finies et éléments finis), qui nécessitent de disposer d'un maillage surfacique ou volumique des tissus et d'affecter à chaque élément du maillage une valeur de conductivité électrique du tissu correspondant. L'objectif de cette thèse est de construire des modèles réalistes des tissus de la tête sous forme de maillages tétraédriques adaptés aux méthodes d'éléments finis. Ces maillages tétraédriques sont construits à partir de données anatomiques individuelles obtenues en imagerie par résonance magnétique (I.R.M.). Nous montrons, tout d'abord, l'importance que revêt une modélisation volumique des tissus de la tête, en particulier pour la M.E.G. et l'E.E.G. Ainsi, nous mettons en évidence les contraintes géométriques et topologiques que doit respecter un maillage voumique pour la résolution du problème direct en M.E.G. et E.E.G. à partir de la méthode des éléments finis. Dans ce cadre, nous proposons alors de développer une méthode de maillage volumique fondée sur une décomposition spatiale du domaine d'interêt suivie de transformations préservant la topologie. Dans les méthodes aux éléments finis, la qualité des tétraèdres influence la précision du calcul numérique. En effet, des tétraèdres avec un mauvais rapport de forme produisent des matrices mal conditionnées. Nous montrons qu'il est possible de construire des tétraédrisations presques régulières (T.P.R.) de l'espace où tous les tétraèdres sont identiques et ont des arêtes presque égales. Nous introduisons, ensuite, une caractérisation originale des déformations homotopiques d'un objet discret s'appuyant sur un maillage tétraédrique. Nous avons étendu la notion d'éléments simples par rapport aux trames discrètes classiques (pixels et voxels) des images numériques en appliquant des résultats issus de la théorie de l'homologie au cas des maillages tétraédriques. De nombreux outils locaux peuvent être utilisés à des fins d'adaptation de maillages tétraédriques. C'est pourquoi, nous présentons une adaptation fondée sur des modifications locales d'une T.P.R. et contrôlant la taille des arêtes. La dernière partie de ce manuscrit présente une méthode de maillage volumique des tissus de la tête s'appuyant sur les propriétés topologiques et géométriques que nous avons exposées précédemment. Ainsi, nous construisons d'abord une T.P.R. à partir d'une I.R.M. segmentée des tissus de la tête dont le nombre d'éléments est compatible avec le coût d'une F.E.M. puis nous effectuons un étiquetage homotopique du maillage où nous attribuons à chaque tétraèdre une étiquette optimale fonction de son contenu tissulaire et des contraintes topologiques. Une des originalités de notre méthode de maillage volumique réside dans la notion de région homotopiquement déformable qui permet d'injecter dans un maillage volumique des connaissances a priori topologiques sur les objets à mailler. Ces maillages permettent également de construire des maillages surfaciques adaptés aux méthodes d'intégrales de frontière sans risques d'intersection entre les surfaces de tissus proches. Des premiers tests effectués à la Pitié-Salpétrière ont d'ailleurs montré l'adéquation entre les maillages proposés et la résolution du problème direct en M.E.G. et E.E.G.

Ce travail de thèse porte sur le développement d'un modèle pour la turbulence anisotrope et inhomogène au moyen d'une approche statistique spectrale. La variable de base de ce nouveau modèle est le spectre du tenseur de Reynolds, quantité qui dépend des variables d'espace et du temps, mais aussi du module du vecteur d'onde. Ce travail s'appuie sur les fondements théoriques posés par A. Laporta (1995) pour le développement autour de l'homogénéité des<br />équations des corrélations en deux points et sur les travaux de S. Parpais (1996) pour la modélisation des termes les plus complexes mis à jour dans ce type de démarche.<br />Dans cette thèse, un modèle exploitable numériquement dans des géométries complexes a été proposé. Il faut noter que ce modèle repose sur des hypothèses quasi-normales amorties pour représenter les flux d'énergie vers les petites échelles et ne nécessite donc pas, comme les modèles de turbulence usuels, l'utilisation d'une équation de transport pour la dissipation de l'énergie cinétique turbulente. Les informations spectrales fournies par le modèle ont été utilisées pour analyser finement la turbulence. Nous avons ainsi pu caractériser dans des écoulements tels que celui autour d'un profil d'aile en incidence certaines situations de déséquilibre de la turbulence. Ce déséquilibre s'exprime en particulier au niveau des spectres de l'énergie cinétique turbulente par un écart à la théorie de Kolmogorov (1941) et à une distribution d'énergie selon les nombres d'onde k proportionnelle à k^?5/3 (dans la zone inertielle). L'analyse spectrale permet aussi de proposer des quantités en un point pertinentes pour mettre en évidence ces états de déséquilibre, ouvrant ainsi de nouvelles voies de modélisation.

On présente une nouvelle méthode de relaxation pour résoudre les équations de Navier-Stokes compressibles munies d'une loi de pression générale. La méthode s'inspire de la décomposition de l'énergie interne introduite par Coquel et Perthame (SIAM J. Numer. Anal., 35 (6), 2223-2249, 1998) pour les équations d'Euler. Elle conserve, en particulier, les mêmes conditions "sous-caractéristiques" pour l'exposant adiabatique du gaz fictif intervenant dans la relaxation. Dans cette thèse, on introduit une décomposition des flux diffusifs (tenseur des contraintes visqueuses et flux de chaleur) qui assure la stabilité du processus de relaxation via la positivité de la production d'entropie. Une analyse asymptotique au premier ordre autour de l'état d'équilibre permet également de montrer la stabilité du système relaxé, mais avec une décomposition différente du flux de chaleur. On présente ensuite une implémentation numérique de la méthode de relaxation. Celle-ci est mise en oeuvre en considérant une méthode mixte volume finis/éléments finis applicable à des maillages triangulaires non structurés avec un schéma d'ordre 3 en espace (méthode MUSCL et B-schéma) en temps basé sur une méthode de Runge-Kutta à 4 pas. Enfin, on valide la nouvelle méthode de relaxation sur 3 cas tests : advection d'un réseau périodique de vortex, interaction entre un spot de température et un choc et interaction entre un choc et un couche limite.

Dans les accidents de la route, les lésions cervicales représentent 15% des lésions traumatiques graves et plus de 50% des demandes de remboursements. Les mécanismes lésionnels associés sont encore mal connus, et médecins et assureurs sont demandeurs de critères quantifiant les lésions de type whiplash. Le but de cette étude est de contribuer à l'amélioration de modèles Eléments-Finis permettant d'explorer les mécanismes lésionnels survenant lors de ces sollicitations. A cet effet des mécanismes lésionnels probables ont été identifiés et comparés aux résultats de simulations numériques. L'influence de paramètres extrinsèques et intrinsèques sur le risque lésionnel associé a été évaluée, permettant de mettre en relief l'intérêt d'une étude de critères locaux dans ce contexte. En particulier, l'étude de l'influence de la morphologie a été accompagnée d'une évolution des modèles vers la personnalisation, basée sur la reconstruction géométrique d'un sujet à partir de stéréo-radiographies.

La partie 1 releve de l'Analyse Numerique. Partant de l'interpretation Element Finis Mixtes des schemas volumes finis classiques, l'estimation a posteriori de l'erreur est analysee dans la hierarchie des elements de Raviart-Thomas. Un estimateur calculable est explicite pour ces schemas volumes finis.<br />La partie 2 introduit, d'abord un maillage rectangulaire, puis un maillage structure, une famille de schemas volumes finis de type differences finies. Des essais numeriques sur des problemes modeles montrent que l'ordre prevu par l'analyse peut etre atteint.<br />La partie 3 presente l'application de ces schemas volumes finis a la simulation numerique du comportement d'un bloc de gomme en presence d'une fissure finie. Il s'agit d'un materiau hyperelastique compressible en grandes deformations et differents tenseurs de contraintes, avec tests en quasi-incompressible et des simulations d'endommagement.

Les traumatismes subis à la face lors d'accidents sur la voie publique, d'activités sportives ou bien de rixes ne nuisent généralement pas à la sur-vie de l'individu mais peuvent requérir des soins coûteux et laisser des séquelles esthétiques importantes. Par ailleurs, la face joue un rôle protecteur du contenu intracrânien et sa réponse au choc conditionne les sollicitations appliquées à celui-ci.<br />En vue de prédire précisément les risques de blessures de la face et du contenu intracrânien, l'objectif de cette thèse est de développer un modèle en éléments finis de la structure osseuse de la face et du crâne pour la simulation de sa réponse au choc.<br />Une première partie du travail a consisté à construire le maillage d'une structure osseuse cranio-faciale à partir de coupes scanner de tête. Le choix d'un maillage en éléments de type plaque, de densité suffisante pour représenter fidèlement la géométrie complexe de cette structure osseuse et d'épaisseur variable, a été fait.<br />L'hypothèse d'un matériau osseux homogène et isotrope a été choisie pour l'ensemble de la structure cranio-faciale. Des essais de flexion statique sur des échantillons d'os crânien, associés à leur simulation numé-rique et une méthode d'identification, ont permis de définir les propriétés élasto-plastiques de ce matériau. Les résultats se situent correctement par rapport aux intervalles de valeurs de la littérature.<br />La réponse du modèle cranio-facial a été validée sous sollicita-tions statiques. Pour cela des essais spécifiques de compression de la face ont été réalisés sur pièce anatomique. Les courbes globales effort - déplacement expérimentale et numérique ont été comparées pour « calibrer » les propriétés du matériau. La réponse du modèle a ensuite été validée par comparaison du champ de déplacement mesuré expérimentalement par une méthode de corrélation d'images et obtenu par simulation.<br />Le modèle ainsi validé en statique a été évalué sous sollicitations dynamiques. Sa réponse au choc a été comparée aux résultats d'un impact sur la face réalisé spécifiquement. La réponse au choc globale du modèle est similaire à celle enregistrée expérimentalement.<br />Plusieurs perspectives d'exploitation de ce modèle sont envisa-geables dans le domaine du choc ou celui de la chirurgie. En particulier, il aidera à définir des critères de blessures de la tête en cas de choc sur la face.

Ce travail présente quelques contributions à la modélisation<br />et à la simulation de genèse de bassins sédimentaires.<br />Nous présentons tout d'abord les modèles mathématiques et <br />les schémas numériques mis en oeuvre à l'Institut Français<br />du Pétrole dans le cadre du projet Temis. Cette première partie <br />est illustrée à l'aide de tests numériques portant sur des bassins 1D/2D.<br />Nous étudions ensuite le schéma amont des pétroliers utilisé pour la résolution des équations de Darcy et nous établissons des résultats mathématiques nouveaux<br />dans le cas d'un écoulement de type Dead-Oil.<br />Nous montrons également comment construire un schéma à nombre<br />de Péclet variable en présence de pression capillaire. <br />Là encore, nous effectuons une étude mathématique<br />détaillée et nous montrons la convergence du schéma<br />dans un cas simplifié. Des tests numériques réalisés<br />sur un problème modèle montrent que l'utilisation d'un nombre<br />de Péclet variable améliore la précision des calculs.<br />Enfin nous considérons dans une dernière partie <br />un modèle d'écoulement où les changements de lithologie et <br />les changements de courbes de pression capillaire sont liés.<br />Nous précisons la condition physique que doivent vérifier<br />les solutions en saturation aux interfaces de changement de roche et<br />nous en déduisons une formulation faible originale.<br />L'existence d'une solution à ce problème est obtenue<br />par convergence d'un schéma volumes finis.<br />Des exemples numériques montrent l'influence de la condition<br />d'interface sur le passage ou la retenue des hydrocarbures.

Dans un actionneur électromagnétique, le circuit magnétique joue le rôle indispensable de canalisateur de flux pour diriger l'énergie magnétique dans la zone souhaitée (l'entrefer). Au sein de ce circuit magnétique, des énergies de différente nature, sont transformées, stockées, échangées et dissipées. Les performances de l'outil informatique pour représenter les régimes transitoires et les pertes sont liées à la précision avec laquelle sont évaluées simultanément toutes ces formes d'énergie. Ce constat impose au modèle d'être à même de décrire, en régime dynamique, tout l'historique de l'aimantation du matériau.<br />Notre travail a consisté à développer des outils de simulation dans lesquels le circuit magnétique est au coeur de la conversion énergétique. Des hypothèses simplificatrices ou/et des couplages de méthodes à priori ou en temps réel nous autorisent à étudier les régimes transitoires à l'intérieur de ces circuits et à en évaluer les pertes.<br />Le couplage de méthodes de représentation ainsi que les hypothèses y attenant est décrit au fil des chapitres. Les résultats obtenus permettent l'analyse minutieuse du rôle du circuit magnétique pour plusieurs systèmes à vocation industrielle ainsi que la réflexion sur d'éventuelles améliorations à apporter à ces systèmes.