Partant d'une cône-variété hyperbolique compacte de dimension n>2, on étudie les déformations de la métrique dans le but d'obtenir des cônes-variétés Einstein. Dans le cas où le lieu singulier est une sous-variété fermée de codimension 2 et que tous les angles coniques sont plus petits que 2pi, on montre qu'il n'existe pas de déformations Einstein infinitésimales non triviales préservant les angles coniques. Ce résultat peut s'interpréter comme une généralisation en dimension supérieure du célèbre théorème de Hodgson et Kerckhoff sur les déformations des cônes-variétés hyperboliques de dimension 3.<br />Si tous les angles coniques sont inférieurs à pi, on donne ensuite une construction qui à chaque variation donnée des angles associe une déformation Einstein infinitésimale correspondante.

Nous traitons des aspects philosophiques de la réflexion d'Hermann Weyl sur la notion d'espace(-temps) de 1917 à 1923. Il s'agit de sa période d'implication maximale dans les fondements de la théorie de la relativité générale et de la géométrie différentielle. Un point de vue unitaire nous est fourni par le texte d'Espace-Temps-Matière où notre auteur synthétise sa pensée. Notre problématique nait du conflit, dans le texte, entre deux notions aux traits radicalement différents, qui participent toutes les deux à la caractérisation de la notion relativiste d'espace. D'un côté, la notion algébrique qui caractérise l'espace par son groupe de symétrie, et insiste sur son homogénéité. De l'autre, la notion dynamique de champ métrique, issue des travaux d'Albert Einstein, et que la dépendance à l'égard du contenu de l'espace rend nécessairement hétérogène. Après avoir développés les points saillants originaux dans la façon dont Hermann Weyl traite successivement de ces deux notions, nous montrons comment leur cohabitation est rendue possible par l'idée d'une Nahegeometrie. Il s'agit d'une géométrie où les structures infinitésimales sont fixées a priori par des exigences de la raison, mais où les relations à distance ne sont déterminées qu'à travers la médiation de la matière et de ses lois. Ainsi, Hermann Weyl propose une épistémologie cohérente qui fait place à la fois, à un idéalisme transcendantal restreint à la sphère des relations infinitésimales, et à une théorie physique des champs qui exprime la continuité et la vitesse finie de propagation de toute interaction, y compris celles qui s'expriment à travers une déformation de la métrique spatio-temporelle elle-même.

De nombreuses techniques de résolution d'équations aux dérivées partielles sans maillage ont été développées dans la dernière décennie, proposant une alternative attrayante lorsque les éléments finis atteignent leurs limites. Notre travail se concentre sur l'étude de l'approximation diffuse, de ses applications au lissage et a la résolution des équations différentielles : les éléments diffus. Cependant, les solutions proposées s'appliquent aussi à d'autres méthodes et de nombreux résultats numériques illustrent chaque développement théorique. Dans un premier temps, nous étudions les techniques d'approximation sans maillage et les comparons à l'aide d'une méthode hybride. L'approximation myope est construite en modifiant le critère de construction des splines et montre ainsi la différence de nature entre moindres carres glissants et interpolateurs radiaux (krigeage, splines). Nous développons ensuite l'approximation diffuse Hermite dont l'application au calcul de la courbure des surfaces triangulées aboutit à une technique de haute résolution. Un algorithme de reverse engineering de modèle CAO s'appuie sur cette nouvelle technique et met en évidence son potentiel. L'intégration numérique est un ingrédient essentiel pour une méthode sans maillage. L'analyse du patch test nous conduit a la définition d'une technique robuste et assurant de bons rangs de convergence. Nous l'appliquons à l'approximation Hermite pour construire un modèle de poutre 3d pour le forage pétrolier. Un algorithme de contact roche-structure original est propose pour ce problème.

Ce document traite de plusieurs aspects de la vision stéréoscopique par ordinateur. Cette méthode consiste à partir d'une ou de plusieurs paires d'images à " reconstruire " une scène observée en trois dimensions, c'est-à-dire à produire une description des objets et surfaces observés ainsi que leur position dans l'espace. Le premier problème abordé est celui du calibrage, dont l'objet est de calculer les paramètres des caméras (focale, centre optique, etc.) ainsi que leur position, soit à partir d'images d'objets de géométrie et de position connue, soit de manière automatique (on parle alors d'auto-calibrage). Des résultats nouveaux sont présentés sur l'auto-calibrage de la distorsion optique et sur l'auto-calibrage d'une paire de caméras rigidement liées à partir de plusieurs paires d'images. Ensuite sont présentées différentes méthodes permettant de rectifier les images de manière à simplifier la mise en correspondance, puis d'effectuer cette mise en correspondance par une technique de corrélation. Outre des améliorations des résultats classiques, de nouvelles méthodes permettant d'obtenir une plus grande précision sont discutées. La dernière phase, dite de reconstruction, permet d'obtenir une description des surfaces observée allant jusqu'aux propriétés différentielles d'ordre un et deux (plan tangent et courbures à la surface), à partir des résultats de stéréoscopie par corrélation. Ce document se termine par quelques applications réalisées au cours de ces recherches telles qu'un système d'aide chirurgicale pré-opératoire ou une caméra stéréo bon marché.

Mon travail de thèse consiste à comprendre une géométrie introduite par Cartan en 1933 \cite{Cartan1933}. \textit{La géométrie de Finsler} présente de nombreuses analogies avec cette théorie. Nous avons étudié les grandes lignes de cette géométrie. Le point de départ de Cartan qui est analogue à celui qui conduit à la géométrie finslerienne, est d'imaginer l'espace comme étant un lieu ''d'éléments de contact'', un élément étant la donnée d'un point $M\in\mathcal{M}^n$ et d'un hyperplan $H$ passant par ce point et orienté dans l'espace tangent $T_M\mathcal{M}^n$. Nous avons ainsi défini \textit{la géométrie de Cartan fondée sur la notion d'aire} dans un premier temps, je me suis intéressé à la notion d'orthogonalité dans cette géométrie. La méthode de Cartan pour étudier le problème d'équivalence est un outil puissant qui est implicitement décrit dans cette géométrie. Nous avons ensuite appliqué cette méthode aux équations de Monge-Ampère (cas elliptique), en s'inspirant des travaux de R. Bryant, D. Grossmann et P. Griffiths. Plusieurs faits ne sont pas encore suffisamment clairs pour disposer d'un dictionnaire évident entre ces travaux et celui donné par Cartan.

On étudie des variétés presque hermitiennes de dimension 6 qui admettent une réduction supplémentaire à SU(3), induite par la partie de type (3,0) de la différentielle de la forme de Kähler dω. On se sert du fait constaté par Hitchin qu'une 2-forme ω et une 3-forme ψ, d'un certain type algébrique, sont suffisantes pour définir une structure SU(3) sur une variété de dimension 6, ainsi que du fait démontré par Chiossi, Salamon que les différentielles de ω, ψ mais aussi de φ, le dual de Hodge de ψ, déterminent le 1-jet de cette structure SU(3) en tout point. L'exemple privilégié de cette situation, où la réduction est globale, est celui des variétés « nearly Kähler » non kähleriennes en dimension 6, appelées par nous variétés de Gray. On classifie les variétés de Gray homogènes ce qui permet de résoudre une ancienne conjecture de Gray et Wolf : toutes les variétés strictement « nearly Kähler » homogènes sont des espaces 3-symétriques. Un autre résultat concerne une sous-variété naturelle de l'espace de twisteurs d'une variété presque hermitienne. Cet « espace de twisteurs réduit » est muni d'une structure presque complexe naturelle qu'on montre n'être intégrable que si la variété est localement conforme à une variété kählerienne, Bochner-plate ou à la sphère S6. En passant, on montre que les variétés de type W1+W4 dans la classification de Gray, Hervella (où W1 est la classe des variétés « nearly-Kähler » et W4 la classe des variétés localement conformément kähleriennes) sont localement conformes à des variétés nearly-Kähler, en dimension 6.

Dans le cadre de la géométrie riemannienne globale sans hypothèse de courbure en lien avec la topologie, nous nous intéressons au volume maximal des boules de rayon fixé dans les revêtements universels des graphes et des surfaces. Dans la première partie, nous prouvons que si l'aire d'une surface riemannienne fermée M de genre au moins 2 est suffisamment petite par rapport à son aire hyperbolique, alors pour chaque rayon R>0, le revêtement universel de M contient une R-boule d'aire au moins l'aire d'une cR-boule dans le plan hyperbolique, où c<1 est une constante universelle. En particulier (quitte à prendre l'aire de la surface encore plus petite), nous démontrons que pour chaque rayon R plus grand ou égal à 1, le revêtement universel de M contient une R-boule d'aire au moins l'aire d'une R-boule dans le plan hyperbolique. Ce résultat répond positivement pour les surfaces, à une question de L. Guth. Nous démontrons également que si Gamma est un graphe connexe de premier nombre de Betti b et de longueur su suffisamment petite par rapport à la longueur d'un graphe trivalent Gamma_b de premier nombre de Betti b dont la longueur de chaque arête est 1, alors pour chaque rayon R>0, le revêtement universel de Gamma contient une R-boule d'aire au moins c fois l'aire d'une R-boule dans le revêtement universel de Gamma_b, où c est dans l'intervalle (1/2 ,1). Dans la deuxième partie, nous généralisons un théorème de M. Gromov concernant le nombre maximal de courts lacets homotopiquement indépendants basés en un même point. Plus précisément, nous prouvons que sur toute surface riemannienne fermée M de genre g et d'aire normalisée à g, il existe au moins log(2g) lacets homotopiquement indépendants basés en un même point de longueur au plus C log(g), où C est une constante positive indépendante du genre. Comme corollaire immédiat de ce théorème, nous redémontrons l'inégalité systolique asymptotique sur la systole séparante. Nous démontrons également un théorème analogue pour les graphes métriques. Plus précisément, nous prouvons que sur chaque graphe métrique Gamma de premier nombre de Betti b et de longueur b, il existe au moins log(b) lacets homologiquement indépendants basés en un même point de longueur au plus 48 log(b). Ce résultat étend la borne en log(b) sur la systole homologique dûe à Bollobàs-Szemerédi-Thomason à au moins log(b) lacets homologiquement indépendants basés en un même point. En outre, nous donnons des exemples de graphes où notre résultat est optimal (à une constante multiplicative près).

L'ensemble des thématiques abordées s'inscrivent dans le contexte de la modélisation et du calcul géométrique.

Le travail réalisé dans cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de la commande optimale des systèmes non linéaires à temps discret par des méthodes de type programmation dynamique. Une formulation particulière de l'équation fonctionnelle considérée ici nous a amené à examiner le problème de commandabilité que nous avons encore qualifié de problème d'inversion entrée-états. L'étude comporte deux phases. La première phase consiste à analyser la propriété de commandabilité des systèmes. Plusieurs approches sont considérées: composition de fonction, géométrie différentielle et algèbre différentielle. On propose ensuite une condition nécessaire de commandabilité basée sur l'utilisation du principe du minimum. Finalement, une application directe de cette condition nécessaire de commandabilité est développée pour les systèmes bilinéaires. Une fois la propriété de commandabilité du système vérifiée, la seconde phase consiste à résoudre le problème d'inversion. On propose tout d'abord une technique algébrique conduisant à la détermination d'une séquence de commandes à partir de la matrice de commandabilité. On propose ensuite une approche basée sur une formulation du problème d'inversion en terme d'un problème de commande optimale. On considère également les techniques de linéarisations exactes qu'on aborde selon deux voies. On présente dans la première voie une approche de l'algèbre différentielle. Dans la deuxième voie, on propose une approche de géométrique différentielle dans laquelle on définit une séquence de distributions basée sur l'utilisation de champs vecteurs associés au système, ainsi qu'une sortie virtuelle linéaire. La transformation et le bouclage linéarisant sont calculés à partir de ces distributions. Finalement, ces résultats sur l'accessibilité et la linéarisation exacte sont présentés sur des applications pratiques dans le cadre de la commande optimale par programmation dynamique.

La reconstruction 3D d’objets à partir de plusieurs images est un objectif important de la vision par ordinateur. Elle a été largement étudiée pour les objets rigides et non rigides (ou déformables). Le Structure-from-Motion (SfM) est un algorithme qui effectue la reconstruction 3D d’objets rigides en utilisant le mouvement visuel entre plusieurs images obtenues à l’aide d’une caméra en mouvement. Le SfM est une solution très précise et stable. La reconstruction 3D déformable a été largement étudiée pour les images monoculaires (obtenues à partir d’une seule caméra) mais reste un problème ouvert. Les méthodes actuelles exploitent des indices visuels tels que le mouvement visuel inter-image et l’ombrage afin de construire un algorithme de reconstruction. Cette thèse se concentre sur l’utilisation du mouvement visuel inter-image pour résoudre ce problème. Deux types de scénarios existent dans la littérature : 1) le Non-Rigid Structure-from-Motion (NRSfM) et 2) le Shape-from-Template (SfT). L’objectif du NRSfM est de reconstruire plusieurs formes d’un objet déformable tel qu’il apparaît dans plusieurs images, alors que le SfT (également appelé reconstruction à partir d’un modèle de référence) utilise une seule image d’un objet déformé et son modèle 3D de référence (une forme 3D texturée de l’objet dans une configuration) pour estimer la forme déformée de l’objet. (...) / Reconstructing the 3D shape of objects from multiple images is an important goal in computer vision and has been extensively studied for both rigid and non-rigid (or deformable) objects. Structure-from-Motion (SfM) is an algorithm that performs the 3D reconstruction of rigid objects using the inter-image visual motion from multiple images obtained from a moving camera. SfM is a very accurate and stable solution. Deformable 3D reconstruction, however, has been widely studied for monocular images (obtained from a single camera) and still remains an open research problem. The current methods exploit visual cues such as the inter-image visual motion and shading in order to formalise a reconstruction algorithm. This thesis focuses on the use of the inter-image visual motion for solving this problem. Two types of scenarios exist in the literature: 1) Non-Rigid Structure-from-Motion (NRSfM) and 2) Shape-from-Template (SfT). The goal of NRSfM is to reconstruct multiple shapes of a deformable object as viewed in multiple images while SfT (also referred to as template-based reconstruction) uses a single image of a deformed object and its 3D template (a textured 3D shape of the object in one configuration) to recover the deformed shape of the object. We propose an NRSfM method to reconstruct the deformable surfaces undergoing isometric deformations (the objects do not stretch or shrink under an isometric deformation) using Riemannian geometry. This allows NRSfM to be expressed in terms of Partial Differential Equations (PDE) and to be solved algebraically. We show that the problem has linear complexity and the reconstruction algorithm has a very low computational cost compared to existing NRSfM methods. This work motivated us to use differential geometry and Cartan’s theory of connections to model NRSfM, which led to the possibility of extending the solution to deformations other than isometry. In fact, this led to a unified theoretical framework for modelling and solving both NRSfM and SfT for various types of deformations. In addition, it also makes it possible to have a solution to SfT which does not require an explicit modelling of deformation. An important point is that most of the NRSfM and SfT methods reconstruct the thin-shell surface of the object. The reconstruction of the entire volume (the thin-shell surface and the interior) has not been explored yet. We propose the first SfT method that reconstructs the entire volume of a deformable object.