Le principe de symétrie locale, ou symétrie de jauge, est à la base de notre compréhension des interactions fondamentales. Le language naturelle des théories de jauge est la théorie des connections sur les espaces fibrés, une branche de la géométrie différentielle. En dépit de son importance, la symétrie de jauge pose deux difficultés qui méritent d'être mises en exergue: 1) L'invariance de jauge interdit les termes de masses pour les champs d'interactions, ce qui est en conflit avec la phénoménologie de l'interaction faible. 2) La quantification des théories de jauge est délicate puisque l'intégrale fonctionnelle est a priori mal définie. La symétrie de jauge doit donc être réduite. Essentiellement trois stratégies se présentent, répondant à l'un ou l'autre des deux problèmes. Le fixage de jauge répond à 2 (méthode de Faddeev-Popov). La brisure spontanée de symétrie répond à 1 (méchanisme de Higgs). Enfin, le théorème de réduction des fibrés répond à 1.On propose ici une nouvelle stratégie de réduction des symétries de jauge: la méthode du `dressing field'. C'est un résultat de géométrie différentielle qui se trouve être à la base de la notion de `variables de Dirac'. On montre que cette méthode éclaire certains travaux récents en physique hadronique. Le secteur électrofaible du Modèle Standard est traité ce qui induit une nouvelle interprétation. L'extension de la méthode aux G-structure d'ordre supérieur, ainsi qu'une application à la géométrie conforme, est donnée. Enfin on montre comment la méthode modifie l'algèbre BRS d'une théorie de jauge, et une analyse préliminaire de son impact sur la question des anomalies en Théorie Quantique des Champs est proposée. / The principle of local symmetry, or gauge symmetry, is at the basis of our understanding of fundamental interactions. The natural framework of gauge theories is the theory of connections on fiber bundles, a branch of differential geometry. Despite its importance, gauge symmetry has some drawbacks, two especially prominent: 1) Gauge invariance forbids mass terms for interaction fields, which is at odds with the phenomenology of the Weak interaction. 2) The quantization of gauge theories is delicate since the path integral is a priori ill defined. Gauge symmetry must then be reduced. Essentially three strategies are available, each addressing one problem or the other. Gauge fixing addresses 2 (Faddeev-Popov trick). Spontaneous symmetry breaking addresses 1 (Higgs mechanism). Finally, the bundle reduction theorem addresses 1.We propose here a new strategy of gauge symmetries reduction: the dressing field method. It is a differential geometric result which happens to be the basis of the notion of `Dirac variable'. We show that this method sheds some light on recent works in hadronic Physics. The electrweak sector of the Standard Model is treated, which suggests a new interpretation. Extention of the method to higher-order G-structure, as well as an application to conformal geometry, is given. Finally we show how the method alters the BRS algebra of a gauge theory, and a preliminary analysis of its impact on the question of anomalies in Quantume Field Theory is proposed.

L’extraction des cellules cancéreuses d’un fluide corporel est une procédure importante lors d’un diagnostic clinique et d’une thérapie. En particulier, lorsque la technique de séparation est basée sur la chromatographie cellulaire, il est important de disposer de connaissances précises sur les capacités de liaison des cellules cibles avec le milieu poreux. Pour cette raison, des expériences utilisant la tomodensitométrie à résolution temporelle ont été́ conçues et réalisées à l’Installation Européenne de Rayonnement Synchrotron. Les distributions des courbures et des torsions des trajectoires de cellules situées dans suspension s’écoulant à travers un milieu poreux sont des informations précieuses pour caractériser l’efficacité́ des procédés chromatographiques. Cependant, le calcul de la torsion est un défi car étant basé sur des dérivées d’ordre supérieur qui sont très sensibles au bruit de discrétisation. Cette thèse présente deux nouvelles méthodes d’estimation des courbures et des torsions de trajectoires de particules données respectivement sous la forme de points discrets connectes ou non connectes. La première méthode est basée sur une approche dite d’approximation de Fourier. Des études de cas ont mis en lumière une diminution de l’erreur d’estimation des torsions d’au moins 65% par rapport à la méthode de référence d’approximation par les splines. Par ailleurs, le paramètre de lissage de l’approximation de Fourier peut rester constant pour une large plage de résolutions latérales et pour différentes valeurs de courbures et de torsion. La méthode dite d’approximation de Fourier n’étant pas applicable à des courbes échantillonnées avec un pas variable, une deuxième méthode basée sur la discrétisation des formules géométriques différentielles (DDGF) a été́ développée. L’approximation par les splines et la DDGF conduisent à des erreurs moyennes similaires. Cependant, le masque filtrant reste inchangé́ pour le DDGF, alors que le paramètre de lissage de l’approximation par les splines doit être adapté à la forme ainsi qu’au pas d’échantillonnage de la courbe / The extraction of cancerous cells from body uids is an important procedure in clinical diagnostics and therapy. Notably, when the separation technique is based on cell chromatography, it is important to have precise knowledge about binding capacities of target cells in porous media. Therefore, experiments using time-resolved micro-computed tomography were designed and carried out at the European Synchrotron Radiation Facility. The curvature and torsion distributions of cell paths in a two-phase ow through a porous medium are valuable information to characterize the efficiency of chromatographic processes. However, the computation of torsion is very challenging, since it is based on higher order derivatives which are very sensitive towards discretization noise. In this thesis, two new curvature and torsion estimation methods of particle paths are presented. The first method is based on a Fourier approximation. Case studies showed a decrease of the torsion estimation error of at least 65% compared to the commonly used spline approximation. Moreover, the smoothing parameter of the Fourier approximation can remain unchanged for both a wide range of lateral resolutions and curvatures and torsion values. Since this Fourier approximation approach cannot be applied at non-equidistant points, a second method based on the discretization of the differential-geometric formulas (DDGF) was developed. The spline approximation and the DDGF led to similar mean torsion errors. However, the filter mask remains unchanged for the DDGF, whereas the smoothing parameter of the spline approximation must be adapted to the curve shape and discretization

Ce travail de recherche porte sur les aspects géométriques desmathématiques et de l'informatique.<br />Il est fortement motivé par des applications telles que la conception assistée par ordinateur,<br />l'imagerie médicale, le calcul scientifique et la simulation ou encore la réalité virtuelle et<br />le multimédia. Plus précisément, cette thèse propose une analyse de la géométrie des surfaces<br />tant d'un point de vue local que global.<br />Tout d'abord, étant donnée une surface lisse connue via un échantillonnage, nous étudions le<br />problème de l'estimation des quantités différentielles locales: normale, courbures et quantités<br />d'ordre supérieur. Une méthode d'estimation utilisant un ajustement polynomial est développée:<br />les propriétés de convergence sont établies et un algorithme est proposé et implémenté.<br />D'un point de vue global, nous analysons les lignes d'extrême de courbure sur une surface,<br />appelées ridges. Pour le cas d'une surface discrétisée par un maillage, des conditions<br />précises d'échantillonnage sont données, et sous ces hypothèses, un algorithme produisant une<br />approximation topologiquement certifiée des ridges est développé. Dans le cas d'une surface<br />paramétrée, nous établissons que les ridges ont une structure implicite globale, et étudions les<br />singularités de la courbe associée dans le domaine de paramétrage en termes de systèmes zerodimensionnels.<br />Pour une paramétrisation polynomiale, ces équations sont aussi polynomiales<br />et des méthodes spécifiques de calcul formel sont développées pour calculer la topologie de la<br />courbe singulière des ridges.

Ce mémoire étudie les dynamiques holomorphes glocales, celles qui sont l'expression (locale) dans un germe de carte d'une dynamique holomorphe (globale) sur une variété projective complexe. On y établit l'existence de germes de feuilletages holomorphes du plan complexe qui ne sont localement conjugués à aucun feuilletage algébrique. Cette preuve repose sur un théorème de type Baire, dans lequel les unions dénombrables de fermés analytiques propres (ensembles analytiquement maigres) sont d'intérieur vide. La notion d'analyticité (en dimension infinie) utilisée est celle associée à des topologies localement convexes particulières sur l'algèbre différentielle des germes de fonctions holomorphes en un point. On en déduit par ailleurs que les germes holomorphes satisfaisant des relations analytiques "raisonnables" constituent un ensemble analytiquement maigre. Ce mémoire discute ensuite la description "explicite" d'un exemple de système non glocal. Une méthode calculable de réalisation de feuilletages nœuds-cols, d'invariants de Martinet-Ramis prescrits, est décrite. La production d'un exemple est donc ramenée à la caractérisation effective des invariants de Martinet-Ramis de feuilletages glocaux. Une conjecture de type Hermite-Lindemann, allant dans ce sens, est ensuite présentée. Enfin ce mémoire présente une généralisation de la construction de la monodromie de Marín-Mattei, cet objet étant un invariant local des feuilletages singuliers du plan complexe. On espère ici encore pouvoir obtenir des caractérisations partielles des monodromies de feuilletages glocaux. Les hypothèses permettant de réaliser la construction, portant sur le type de réduction de la singularité, sont affaiblies et des exemples montrant leur optimalité sont présentés.

On étudie les déformations des applications harmoniques $f$ tordues par rapport à une représentation. Après avoir construit une application harmonique tordue "universelle", on donne une construction de toute déformations du premier ordre de $f$ en termes de la théorie de Hodge ; on applique ce résultat à l'espace de modules des représentations réductives d'un groupe de Kähler, pour démontrer que les points critiques de la fonctionnelle de l'énergie $E$ coïncident avec les représentations de monodromie des variations complexes de structures de Hodge. Ensuite, on procède aux déformations du second ordre, où des obstructions surviennent ; on enquête sur l'existence de ces déformations et on donne une méthode pour les construire. En appliquant ce résultat à la fonctionnelle de l'énergie comme ci-dessus, on démontre (pour n'importe quel groupe de présentation finie) que la fonctionnelle de l'énergie est strictement pluri sous-harmonique sur l'espace des modules des représentations. En assumant de plus que le groupe soit de Kähler, on étudie les valeurs propres de la matrice hessienne de $E$ aux points critiques.

Le problème abordé dans cette thèse est celui de l'existence de métriques extrémales. Si (M, J, g) est une variété kahlérienne compacte, une métrique extrémale est une métrique kählérienne dont la norme L2 de la courbure scalaire est minimale pour les métriques représentant la même classe de Kähler. On propose de nouvelles constructions de métriques extrémales utilisant des méthodes perturbatives. Dans un premier temps, on montre que si (M, J, g) est une surface orbifold extrémale qui ne possède que des singularités isolées de type Hirzebruch-Jung, alors une résolution de (M, J) admet une métrique extrémale. On donne des applications de ce résultat sur l'existence de métriques extrémales sur les éclatements de surfaces réglées paraboliques. Dans une seconde partie, on etudie la stabilié des métriques extrémales sous déformations complexes. Ceci est un travail réalisé en collaboration avec Yann Rollin et Santiago Simanca. On donne un critère suffisant pour assurer la stabilité d'une métrique extrémale lors d'une déformation complexe munie d'une action holomorphe d'un groupe compact. On généralise ainsi des résultats de S.Simanca et C.Lebrun. Ceci nous permet également de retrouver un résultat de S.Donaldson, a savoir une métrique Kähler-Einstein sur une déformation de la variété de Mukai et Umemura.

Cette thèse se découpe en trois parties. Les deux premières portent sur le développement de méthodes pour la construction de modèles géométriques moyens et pour la comparaison de modèles. Plusieurs problématiques sont abordées, telles que la construction d'une cornée moyenne et la comparaison de cornées. Il existe à ce jour peu d'études ayant ces objectifs car la mise en correspondance de surfaces cornéennes est une problématique non triviale. En plus d'aider à développer la connaissance de l'anatomie cornéenne, la modélisation de la cornée normale permet de détecter tout écart significatif par rapport à la normale permettant un diagnostic précoce de pathologies. La seconde partie a pour objectif de développer une méthode pour reconnaître une surface parmi un groupe de surfaces à l’aide de leurs acquisitions pour une application de biométrie. L’idée est de quantifier la différence entre chaque surface et une surface donnée, et de déterminer un seuil permettant la reconnaissance. Deux méthodes sont proposées et une méthodologie en cascade utilisant ces deux méthodes afin de combiner les avantages de chacune est aussi proposée. La troisième et dernière partie porte sur une nouvelle méthode de décomposition en graphes de maillages 3D triangulés. Nous utilisons des cartes de courbures discrètes comme descripteur de forme afin de découper le maillage en différentes catégorie de carreaux. Ensuite un graphe d'adjacence est construit avec un nœud pour chaque carreau. Ces graphes sont utilisés pour extraire des caractéristiques géométriques décrites par des motifs (ou patterns), ce qui permet de détecter des régions spécifiques dans un modèle 3D, ou des motifs récurrents. / This thesis comprises three parts. The first two parts concern the development of methods for the construction of mean geometric models and for model comparison. Several issues are addressed, such as the construction of an average cornea and the comparison of corneas. Currently, there are few studies with these objectives because the matching of corneal surfaces is a non-trivial problem. In addition to help to develop a better understanding of the corneal anatomy, 3D models of normal corneas can be used to detect any significant deviation from the norm, thereby allowing for an early diagnosis of diseases or abnormalities using the shape of the cornea. The second part of this thesis aims to develop a method for recognizing a surface from a group of surfaces using their 3D acquisitions in a biometric application pertinent to the cornea. The concept behind this method is to quantify the difference between each surface and a given surface and to determine the threshold for recognition. Two complementary methods are proposed. A cascading methodology using both methods to combine the advantages of each method is also proposed. The third and final part of this thesis focuses on a new method for decomposing 3D triangulated meshes into graphs. We use discrete curvature maps as the shape descriptor to split the mesh in eight different categories. Next, an adjacency graph is built with a node for each patch. These graphs are used to extract geometric characteristics described by patterns that allow for the detection of specific regions in a 3D model or recurrent characteristics.

Réalisé en cotutelle avec Aix Marseille Université. / Cette thèse se découpe en trois parties. Les deux premières portent sur le développement de méthodes pour la construction de modèles géométriques moyens et pour la comparaison de modèles. Ces approches sont appliquées à la cornée humaine pour l’élaboration d’atlas et pour l’étude biométrique robuste. La troisième partie porte sur une méthode générique d'extraction d'informations dans un maillage en s'appuyant sur des propriétés différentielles discrètes afin de construire une structure par graphe permettant l'extraction de caractéristiques par une description sémantique. Les atlas anatomiques conventionnels (papier ou CD-ROM) sont limités par le fait qu'ils montrent généralement l'anatomie d'un seul individu qui ne représente pas nécessairement bien la population dont il est issu. Afin de remédier aux limitations des atlas conventionnels, nous proposons dans la première partie d’élaborer un atlas numérique 3D contenant les caractéristiques moyennes et les variabilités de la morphologie d'un organe, plus particulièrement de la cornée humaine. Plusieurs problématiques sont abordées, telles que la construction d'une cornée moyenne et la comparaison de cornées. Il existe à ce jour peu d'études ayant ces objectifs car la mise en correspondance de surfaces cornéennes est une problématique non triviale. En plus d'aider à développer une meilleure connaissance de l'anatomie cornéenne, la modélisation 3D de la cornée normale permet de détecter tout écart significatif par rapport à la "normale" permettant un diagnostic précoce de pathologies ou anomalies de la forme de la cornée. La seconde partie a pour objectif de développer une méthode pour reconnaître une surface parmi un groupe de surfaces à l’aide de leurs acquisitions 3D respectives, dans le cadre d’une application de biométrie sur la cornée. L’idée est de quantifier la différence entre chaque surface et une surface donnée, et de déterminer un seuil permettant la reconnaissance. Ce seuil est dépendant des variations normales au sein d’un même sujet, et du bruit inhérent à l’acquisition. Les surfaces sont rognées et trouées de façon imprévisible, de plus il n’y a pas de point de mise en correspondance commun aux surfaces. Deux méthodes complémentaires sont proposées. La première consiste à calculer le volume entre les surfaces après avoir effectué un recalage, et à utiliser ce volume comme un critère de similarité. La seconde approche s’appuie sur une décomposition en harmoniques sphériques en utilisant les coefficients comme des descripteurs de forme, qui permettront de comparer deux surfaces. Des résultats sont présentés pour chaque méthode en les comparant à la méthode la plus récemment décrite dans la littérature, les avantages et inconvénients de chacune sont détaillés. Une méthodologie en cascade utilisant ces deux méthodes afin de combiner les avantages de chacune est aussi proposée. La troisième et dernière partie porte sur une nouvelle méthode de décomposition en graphes de maillages 3D triangulés. Nous utilisons des cartes de courbures discrètes comme descripteur de forme afin de découper le maillage traité en huit différentes catégorie de carreaux (ou peak, ridge, saddle ridge, minimal, saddle valley, valley, pit et flat). Ensuite, un graphe d'adjacence est construit avec un nœud pour chaque carreau. Toutes les catégories de carreaux ne pouvant pas être adjacentes dans un contexte continu, des jonctions intermédiaires sont ajoutées afin d'assurer une cohérence continue entre les zones. Ces graphes sont utilisés pour extraire des caractéristiques géométriques décrites par des motifs (ou patterns), ce qui permet de détecter des régions spécifiques dans un modèle 3D, ou des motifs récurrents. Cette méthode de décomposition étant générique, elle peut être appliquée à de nombreux domaines où il est question d’analyser des modèles géométriques, en particulier dans le contexte de la cornée. / This thesis comprises three parts. The first two parts concern the development of methods for the construction of mean geometric models and for model comparison. These approaches are applied to the human cornea for the construction of atlases and a robust biometric study. The third part focuses on a generic method for the extraction of information in a mesh. This approach is based on discrete differential properties for building a graph structure to extract features using a semantic description. Conventional anatomical atlases (paper or CD-ROM) are limited by the fact they generally show the anatomy of a single individual who does not necessarily represent the population from which they originate. To address the limitations of conventional atlases, we propose in the first part of this thesis to construct a 3D digital atlas containing the average characteristics and variability of the morphology of an organ, especially that of the human cornea. Several issues are addressed, such as the construction of an average cornea and the comparison of corneas. Currently, there are few studies with these objectives because the matching of corneal surfaces is a non-trivial problem. In addition to help to develop a better understanding of the corneal anatomy, 3D models of normal corneas can be used to detect any significant deviation from the norm, thereby allowing for an early diagnosis of diseases or abnormalities using the shape of the cornea. The second part of this thesis aims to develop a method for recognizing a surface from a group of surfaces using their 3D acquisitions in a biometric application pertinent to the cornea. The concept behind this method is to quantify the difference between each surface and a given surface and to determine the threshold for recognition. This threshold depends on normal variations within the same subject and noise due to the acquisition system. The surfaces are randomly trimmed and pierced ; moreover, there is no common landmark on the surfaces. Two complementary methods are proposed. The first method consists of the computation of the volume between the surfaces after performing geometrical matching and the use of this volume as a criterion of similarity. The second approach is based on a decomposition of the surfaces into spherical harmonics using the coefficients as shape descriptors to compare the two surfaces. Each result of the proposed methods is compared to the most recent method described in the literature, with the benefits and disadvantages of each one described in detail. A cascading methodology using both methods to combine the advantages of each method is also proposed. The third and final part of this thesis focuses on a new method for decomposing 3D triangulated meshes into graphs. We use discrete curvature maps as the shape descriptor to split the mesh in eight different categories (peak, ridge, saddle ridge, minimal, saddle valley, valley, pit and flat). Next, an adjacency graph is built with a node for each patch. Because all categories of patches cannot be adjacent in a continuous context, intermediate junctions are added to ensure the continuous consistency between patches. These graphs are used to extract geometric characteristics described by patterns that allow for the detection of specific regions in a 3D model or recurrent characteristics. This decomposition method, being generic, can be used in many applications to analyze geometric models, especially in the context of the cornea.

Nous étudions les champs de Maxwell à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordstrom-de Sitter. Nous commençons par étudier la géométrie de ces espaces-temps : nous donnons une condition sous laquelle la métrique admet trois horizons puis dans ce cadre nous construisons l'extension analytique maximale d'un trou noir de Reissner-Nordstrom-de Sitter. Nous donnons ensuite une description générale des champs de Maxwell en espace-temps courbe, de leur décomposition en composantes spinorielle ainsi que de leur énergie. La première étude analytique établit la décroissance ponctuelle de champs de Maxwell à l'extérieur d'un trou noir de Reissner-Nordstrom-de Sitter ainsi que la décroissance uniforme de l'énergie sur un hyperboloïde qui s'éloigne dans le futur. Ce chapitre utilise des méthodes de champs de vecteurs (estimations d'énergie géométriques) dans l'esprit des travaux de Pieter Blue. Enfin nous construisons une théorie du scattering conforme pour les champs de Maxwell à l'extérieur du trou noir. Ceci consiste en la résolution du problème de Goursat pour les champs de Maxwell à la frontière isotrope de l'extérieur du trou noir, constituée des horizons du trou noir et horizons cosmologiques futurs et passés. Les estimations de décroissance uniforme de l'énergie sont cruciales dans cette partie. / We study Maxwell fields on the exterior of Reissner-Nordstrom-de Sitter black holes. We start by studying the geometry of these spacetimes: we give the condition under which the metric admits three horizons and in this case we construct the maximal analytic extension of the Reissner-Nordstrom-de Sitter black hole. We then give a general description of Maxwell fields on curves spacetimes, their decomposition into spin components, and their energies. The first result establishes the pointwise decay of the Maxwell field in the exterior of a Reissner-Nordstrom-de Sitter black hole, as well as the uniform decay of the energy flux across a hyperboloid that recedes in the future. This chapter uses the vector fields methods (geometric energy estimates) in the spirit of the work of Pieter Blue. Finally, we construct a conformal scattering theory for Maxwell fields in the exterior of the black hole. This amounts to solving the Goursat problem for Maxwell fields on the null boundary of the exterior region, consisting of the future and past black hole and cosmological horizons. The uniform decay estimates of the energy are crucial to the construction of the conformal scattering theory.

Le but de cette thèse est d'étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement peusdoconvexes. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien $\Delta_b$ est discret sur un domaine borné $\Omega \subset M$ d'une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l'inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$, en tant que fonctionnelle sur l'espace ${\mathcal P}_+$ de formes de contact positivement orientées sur $M$ en dotant ${\mathcal P}_+$ d'une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de $\Delta_b$ sur des variétés CR strictement pseudoconvexes ( éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats obtenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l'esprit des inégalités de Payne-P\'lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle $\lambda_1 (\theta )$ du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$ munie d'une forme de contact $\theta$ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée.