O Método dos Elementos Finitos é a forma mais difundida de análise estrutural numérica, com aplicações nas mais diversas teorias estruturais. Contudo, no estudo das cascas e alguns outros usos, suas deficiências impulsionaram a pesquisa em outros métodos de resolução de Equações Diferenciais Parciais. O presente trabalho utiliza uma dessas alternativas, o Método de Galerkin Livre de Elementos (Element-Free Galerkin) para estudar as cascas. Inicia com a observação da aproximação usada no método, os Moving Least Squares e os Multiple-Fixed Least Squares. A seguir, estabelece uma formulação que combina a teoria de placas moderadamente espessas de Reissner-Mindlin à teoria da Elasticidade Plana e se utiliza da aproximação estudada para analisar placas e chapas deste tipo. Depois, expõe uma teoria geometricamente exata de cascas inicialmente curvas onde as curvaturas iniciais são impostas como deformações livres de tensão a partir de uma configuração de referência plana. Tal teoria exclui a necessidade de coordenadas curvilíneas e consequentemente da utilização de objetos como os símbolos de Cristoffel, já que todas as integrações e imposições são feitas na configuração plana de referência, em um sistema ortonormal de coordenadas. A imposição das condições essenciais de contorno é feita por forma fraca, resultando em um funcional híbrido de deslocamentos que permite a maleabilidade necessária ao uso dos Moving Least Squares. Esse trabalho se propõe a particularizar tal teoria para o caso de pequenos deslocamentos e deformações (linearidade geométrica), mantendo a consistência das definições de tensões e deformações generalizadas enquanto permite uma imposição da forma fraca resultante, depois de discretizada, por um sistema linear de equações. Por fim, exemplos numéricos são usados para discutir sua eficácia e exatidão. / The Finite Element Method is the most spread numerical analysis tool, applied to a wide range of structural theories. However, for the study of shells and other problems, some of its deficiencies have stimulated research in other methods for solving the derived Partial Differential Equations. The present work uses one of those alternatives, the Element Free Galerkin Method, for the study of shells. It begins with the observation of the approximation used in the method, Moving Least Squares and Multiple-Fixed Least Squares. Then, it establishes a formulation that combines the Reissner-Mindlin moderately thick plate theory with plane elasticity, and uses the proponed approximation to analyze such plates and stabs. Afterwards, it demonstrates a geometrically exact shell theory that accounts for initial curvatures as a stress-free deformation from a flat reference configuration. Such theory precludes the use of curvilinear coordinates and, subsequently, the use of objects such as Cristoffel symbols, as all integrations and impositions are done in the flat reference configuration, in an orthogonal frame. The essential boundary conditions are imposed in a eak statement, rendering a hybrid displacement functional that provides the necessary conditions for the use of Moving Least Squares. This works main objective is the particularization of this theory for the small displacement and strains assumption (geometrical linearity), keeping the consistent definition of generalized stresses and strains, while allowing the imposition of the discretized weak form through a system of linear equations. Lastly, numerical simulations are carried out to assess the methods efficiency and accuracy.

Orientador: Gabriela del Valle Planas / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-22T17:29:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pereira_AndreFerreirae_M.pdf: 967651 bytes, checksum: 4e743209ab695b1d8abf765f74afdd41 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Nesta dissertação investigamos um problema de evolução do tipo campo de fase que descreve o processo de solidificação isotérmica de uma liga binária. O modelo consiste de um sistema altamente não linear de equações diferenciais parciais para o campo de fase, que é a variável que identifica as fases, e para a concentração de um dos materiais. O sistema é complementado com condições de fronteira do tipo Neumann e condições iniciais. Estudaremos duas situações: no primeiro caso o coeficiente de difusão da equação da concentração é maior ou igual a uma constante positiva e desta forma a equação é parabólica. No segundo caso, o coeficiente de difusão pode se anular, perdendo o caráter parabólico. Resultados de existência, regularidade, estabilidade e unicidade para a solução são estabelecidos para o primeiro modelo. Já no segundo caso, por ser um problema degenerado, espera-se obter menos regularidade para a solução. De fato, é obtido apenas um resultado de existência de solução fraca. Em ambos os casos é estabelecido um princípio do máximo para as soluções, o qual justifica as condições impostas sobre as não linearidades / Abstract: In this dissertation we investigate an evolution problem of phase-field type describing an isothermal solidification process for a binary alloy. The model is a highly non-linear system of partial differential equations for the phase-field parameter (which identifies the phase) and the relative concentration. Neumann boundary conditions and initial conditions are added to complete the model. We study two cases: in the first case, the diffusion coefficient in the concentration equation is bounded from below by a positive constant, and then this equation is parabolic. In the second case, the diffusion coefficient can be zero; so when it vanishes the equation loses its parabolic character. Some results on existence, regularity and stability for the solution are established for the first model. In the second case, as the problem became degenerate, it is expected to obtain less regularity for the solution. Indeed, we only obtain existence of a weak solution. In both cases, a maximum principle for the solution is established, which justifies the conditions imposed to the nonlinear terms / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

We consider high order discontinuous-Galerkin finite element methods for partial differential equations, with a focus on the neutron transport equation. We begin by examining a method for preprocessing block-sparse matrices, of the type that arise from discontinuous-Galerkin methods, prior to factorisation by a multifrontal solver. Numerical experiments on large two and three dimensional matrices show that this pre-processing method achieves a significant reduction in fill-in, when compared to methods that fail to exploit block structures. A discontinuous-Galerkin finite element method for the neutron transport equation is derived that employs high order finite elements in both space and angle. Parallel Krylov subspace based solvers are considered for both source problems and $k_{eff}$-eigenvalue problems. An a-posteriori error estimator is derived and implemented as part of an h-adaptive mesh refinement algorithm for neutron transport $k_{eff}$-eigenvalue problems. This algorithm employs a projection-based error splitting in order to balance the computational requirements between the spatial and angular parts of the computational domain. An hp-adaptive algorithm is presented and results are collected that demonstrate greatly improved efficiency compared to the h-adaptive algorithm, both in terms of reduced computational expense and enhanced accuracy. Computed eigenvalues and effectivities are presented for a variety of challenging industrial benchmarks. Accurate error estimation (with effectivities of 1) is demonstrated for a collection of problems with inhomogeneous, irregularly shaped spatial domains as well as multiple energy groups. Numerical results are presented showing that the hp-refinement algorithm can achieve exponential convergence with respect to the number of degrees of freedom in the finite element space

Orientadores: Philippe Remy Bernard Devloo, Sonia Maria Gomes / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo / Made available in DSpace on 2018-08-07T13:02:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Forti_TiagoLuisDuarte_M.pdf: 2510262 bytes, checksum: bb77d518f6e5cbaeafea1a081b587395 (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Este trabalho dedica-se ao estudo do método de Galerkin descontínuo aplicado a problemas de convecção-difusão. O método de Galerkin descontínuo (MGD) é um variante do método de elementos finitos tradicional (MEF) em que as funções do espaço de interpolação são descontínuas entre elementos. A motivação para o estudo do MGD vem da mecânica dos fluidos. Muitos problemas de mecânica dos fluidos apresentam solução com fortes gradientes ou descontinuidades. São os problemas de choque e de camada limite. Nessas regiões de forte gradiente ou descontinuidades, o MEF apresenta oscilações na solução numérica. Essas oscilações tornam o método pouco estável, podendo-se obter soluções não-físicas como pressão negativa. O método de Galerkin descontínuo permite evitar ou reduzir essas oscilações. Várias formulações são disponíveis na literatura e algumas delas são tratadas neste trabalho, em especial a formulação de Baumann e Oden. Propõe-se a combinação dos métodos de elementos finitos e Galerkin descontínuo em uma mesma simulação, obtendo-se as vantagens de cada um deles / Abstract: The present work is dedicated to study the discontinuous Galerkin method (DGM) applied to convection-diffusion problems. The DGM is a variant of the so-known finite element method (FEM). In DGM the interpolation space is formed by discontinuous functions between elements, called a broken-space. The motivation of this work comes from fluid mechanics. Many problems in fluid mechanics have discontinuous solutions or high-gradient solutions. They are shock problems or boundary layer problems. On regions of high-gradient or around discontinuities the FEM presents oscillations in the numeric solution. It makes the FEM unstable and it is possible to obtain non-physical solutions like negative pressures. DGM allows to avoid or reduce these oscillations. Some formulations available in the literature are tested in this work, specially that proposed by Baumann and Oden. In this work, we propose a formulation which combines FEM and DGM in the same simulation obtaining the advantages of both methods / Mestrado / Estruturas / Mestre em Engenharia Civil

Orientador: Maria Cristina de Castro Cunha / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T19:33:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Campos_FabioAntonioAraujode_D.pdf: 1374668 bytes, checksum: 6318414d486cf4810705b84e0d722e77 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Neste trabalho estudamos o sistema de equações diferenciais estocásticas obtido na linearização do modelo de propagação de ondas acústicas. Mais especificamente, analisamos métodos para solução do sistema de equações diferenciais usado na acústica linear, onde a matriz com dados aleatórios e um vetor de funções aleatórias que define as condições iniciais. Além do tradicional Método de Monte Carlo aplicamos o Método de Transformações de Variáveis Aleatórias e o Método de Galerkin Estocástico. Apresentamos resultados obtidos usando diferentes distribuições de probabilidades dos dados do problema. Também comparamos os métodos através da distribuição de probabilidade e momentos estatísticos da solução / Abstract: On the present work we study the system of stochastic differential equations obtained from the linearization of the propagation model of acoustic waves. More specifically we analyze methods for the solution of the system of differential equations used in the linear acoustics, where the matrix with random data and a vector of random functions defining initial conditions. In addition to the traditional Monte Carlo Method we apply the Variable Transformations of Random Method and the Galerkin Stochastic Method. We present results obtained using different probability distributions of problem data. We also compared the methods through the distribution of probabilities and statistical moments of the solution / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / The interplay between biomechanics and blood perfusion in the optic nerve head (ONH) has a critical role in ocular pathologies, especially glaucomatous optic neuropathy. Elucidating the complex interactions of ONH perfusion and tissue structure in health and disease using current imaging methodologies is difficult, and mathematical modeling provides an approach to address these limitations. The biophysical phenomena governing the ONH physiology occur at different scales in time and space and porous media theory provides an ideal framework to model them. We critically review fundamentals of porous media theory, paying particular attention to the assumptions leading to a continuum biphasic model for the phenomenological description of fluid flow through biological tissues exhibiting viscoelastic behavior. The resulting system of equations is solved via a numerical method based on a novel hybridizable discontinuous Galerkin finite element discretization that allows accurate approximations of stresses and discharge velocities, in addition to solid displacement and fluid pressure. The model is used to theoretically investigate the influence of tissue viscoelasticity on the blood perfusion of the lamina cribrosa in the ONH. Our results suggest that changes in viscoelastic properties of the lamina may compromise tissue perfusion in response to sudden variations of intraocular pressure, possibly leading to optic disc hemorrhages.

Conservation laws with uncertain initial and boundary conditions are approximated using a generalized polynomial chaos expansion approach where the solution is represented as a generalized Fourier series of stochastic basis functions, e.g. orthogonal polynomials or wavelets. The stochastic Galerkin method is used to project the governing partial differential equation onto the stochastic basis functions to obtain an extended deterministic system. The stochastic Galerkin and collocation methods are used to solve an advection-diffusion equation with uncertain viscosity. We investigate well-posedness, monotonicity and stability for the stochastic Galerkin system. High-order summation-by-parts operators and weak imposition of boundary conditions are used to prove stability. We investigate the impact of the total spatial operator on the convergence to steady-state.  Next we apply the stochastic Galerkin method to Burgers' equation with uncertain boundary conditions. An analysis of the truncated polynomial chaos system presents a qualitative description of the development of the solution over time. An analytical solution is derived and the true polynomial chaos coefficients are shown to be smooth, while the corresponding coefficients of the truncated stochastic Galerkin formulation are shown to be discontinuous. We discuss the problematic implications of the lack of known boundary data and possible ways of imposing stable and accurate boundary conditions. We present a new fully intrusive method for the Euler equations subject to uncertainty based on a Roe variable transformation. The Roe formulation saves computational cost compared to the formulation based on expansion of conservative variables. Moreover, it is more robust and can handle cases of supersonic flow, for which the conservative variable formulation fails to produce a bounded solution. A multiwavelet basis that can handle  discontinuities in a robust way is used. Finally, we investigate a two-phase flow problem. Based on regularity analysis of the generalized polynomial chaos coefficients, we present a hybrid method where solution regions of varying smoothness are coupled weakly through interfaces. In this way, we couple smooth solutions solved with high-order finite difference methods with non-smooth solutions solved for with shock-capturing methods.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 812465 bytes, checksum: d6832361602c73d37e87fb903d5f8d58 (MD5) Previous issue date: 2014-02-17 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this Work, We study a phase-ñeld model for the isothermal olidiñcation of a binary alloy due to Warren-Boettinger [23]. We obtain the existence Of Weak solution, and results Of regularity and uniqueness under the assurnptions that the nonlinearities are Lipschitz and limited. Finally, by Characterizing the nonlinear terms by the double-well potentiaL We obtain existence and uniqueness Of Weak solution for a modiñed Version of the model. Throughout this Work, We apply the FaedO-Galerkin rnethod. / Estudamos nesse trabalho um modelo de Campo de fase para a solidificação isotérmica de uma liga binária, devido a Warren-Boettinger [23]. Obtemos a existência de solução fraca, e resultados de regularidade e unicidade sob as hipóteses das não linearidades serem Lipschitz e limitadas. Por fim, Caracterizamos um dos termos não lineares pelo double-well potential e Obtemos a existência de solução fraca para esse modelo e sua unicidade. Utilizamos durante todo 0 trabalho 0 Método de Faedo-Galerkin.

Orientadores: Philippe Remy Bernard Devloo, Sonia Maria Gomes / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo / Made available in DSpace on 2018-08-15T11:57:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Forti_TiagoLuisDuarte_D.pdf: 8887357 bytes, checksum: dc0e7acaa76c7778f2ffa9e3f9d24f9b (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Este trabalho dedica-se ao estudo dos métodos de Elementos Finitos e de Galerkin Descontínuo combinados. Nele, o Método de Galerkin Descontínuo é tratado como uma variante do Método de Elementos Finitos tradicional em que as funções do espaço de interpolação são descontínuas entre elementos. Procura-se a melhor combinação dos métodos, identicando em que condições cada método se sobressai. São abordados problemas elípticos de segunda ordem com singularidade e problemas de convecção. Em problemas elípticos, propõe-se utilizar funções de enriquecimento em elementos de Galerkin descontínuo. Os elementos enriquecidos são posicionados na vizinhança de singularidades, enquanto que nas regiões distantes, empregam-se elementos contínuos. Em problemas de convecção, propõe-se utilizar elementos descontínuos na vizinhança de choques e elementos contínuos em regiões em que a solução é suave. Uma estratégia de adaptação entre elementos contínuos e de Galerkin descontínuo é apresentada. Os resultados são mostrados em termos de erro de aproximação e, para problemas convectivos, em amplitude de oscilações / Abstract: The present work is dedicated to study the continuous Finite Element Method (FEM) and the Discontinuous Galerkin Method (DGM) combined in the same simulation. In this work the DGM is dealt with as a variant of the Finite Element Method where the interpolation space is formed by discontinuous functions between elements. In this work, we propose a formulation which combines FEM and DGM in the same simulation identifying when each method has better performance. The proposed formulation is applied to second-order elliptic problems with singular solution and to convection problems. For elliptic problems, we propose the use of local enrichment function in the approximation space of discontinuous elements. Elements with enrichment functions are employed in the vicinity of singularities. In other regions, continuous elements are employed. For convection problems, we propose to use discontinuous elements in regions where the solution presents shocks and continuous elements where the solution is smooth. A strategy to automatically decide which type of element is to be adopted is proposed. The results are compared in terms of approximation errors and for convective problems also in terms of amplitude of oscillations / Doutorado / Estruturas / Doutor em Engenharia Civil

Orientador: Patricio Anibal Letelier Sotomayor / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-15T22:01:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PiraguaAriza_HernanAugusto_M.pdf: 2180545 bytes, checksum: 40077d2d7ba837a5004e12af62d3c5b0 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Neste trabalho foram realizadas duas tarefas. Na primeira delas, comparamos a estratégia de Linhares e Oliveira para a evolução temporal do kink ?ø4, que usa o método de Galerkin e um mapeamento, com o método de diferenças finitas em um intervalo finito. Achamos que a dinâmica é diferente nos dois casos. Encontramos que o método com mapeamento não é apropriado para a evolução do sistema. A segunda consistiu em utilizar o método de diferenças finitas para perturbar alguns kinks de um, dois e três campos, em uma dimensão espacial. Foi mostrada a estabilidade ou instabilidade dos kinks. Para o caso em que os kinks foram instáveis, achamos o produto de decaimento deles / Abstract: In this dissertation we did two things. First, we compared the Linhares and Oliveira approach for the temporal evolution of the ?ø4 kink, which uses the Galerkin method and a domain mapping, with the method of finite differences in a finite interval. It was found that the dynamics in these two cases were different. We found that the mapping method was not appropriated for the evolution of these kind of systems. The second part was the use of the finite difference method to perturb some kinks of one, two and three scalar fields in one spacial dimension. It was shown the (in)stability of the kinks. When they were unstable, it was found their decay products / Mestrado / Física Clássica e Física Quântica : Mecânica e Campos / Mestre em Física