This PhD thesis treats some problems concerning nonlinear differential equations. In the first two papers computer-assisted proofs are used. The differential equations there are rewritten as fixed point problems, and the existence of solutions are proved. The problem in the first paper is one-dimensional; with one boundary condition given by an integral. The problem in the second paper is three-dimensional, and Dirichlet boundary conditions are used. Both problems have their origins in fluid dynamics. Paper III describes an inverse problem for the heat equation. Given the solution, a solution dependent diffusion coefficient is estimated by intervals at a finite set of points. The method includes the construction of set-valued level curves and two-dimensional splines. In paper IV we prove that there exists a unique, globally attracting fixed point for a differential equation system. The differential equation system arises as the number of peers in a peer-to-peer network, which is described by a suitably scaled Markov chain, goes to infinity. In the proof linearization and Dulac's criterion are used.

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Human T-lymphotropic virus type I (HTLV-I) is a persistent human retrovirus characterized by life-long infection and risk of developing HAM/TSP, a progressive neurological and inflammatory disease. Despite extensive studies of HTLV-I, a complete understanding of the viral dynamics has been elusive. Previous mathematical models are unable to fully explain experimental observations. Motivated by a new hypothesis for the mechanism of HTLV-I infection, a three dimensional compartmental model of ordinary differential equations is constructed that focusses on the highly dynamic interactions among populations of healthy, latently infected, and actively infected target cells. Results from mathematical and numerical investigations give rise to relevant biological interpretations. Comparisons of these results with experimental observations allow us to assess the validity of the original hypothesis. Our findings provide valuable insights to the infection and persistence of HTLV-I in vivo and motivate future mathematical and experimental work. / Applied Mathematics

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Lors d’un vol hypersonique (Mach 6, 20 km d’altitude) la couche limite se développant sur l’avant-corps d’un véhicule hypersonique est laminaire. Cet état cause un désamorçage du moteur (statoréacteur) assurant la propulsion du véhicule. Pour pallier ce problème, il faut forcer la transition de la couche limite á l’aide d’un dispositif de contrôle dont l’effet est permanent (passif) ou modulable (actif) pendant le vol. Dans ce travail, nous analysons l’efficacité d’un dispositif actif d’injection d’air á la paroi pour forcer la transition de la couche limite sur un avant-corps générique. L’interaction jet d’air/couche limite est simulée numériquement avec une approche aux grandes échelles (LES). Une étude paramétrique sur la pression d’injection permet de quantifier l’efficacité du jet á déstabiliser la couche limite. L’influence des conditions de vol (altitude, Mach) sur la transition est également étudiée. Une analyse des résultats de simulation par Décomposition en Modes Dynamiques (DMD) est menée pour comprendre quels sont les modes dynamiques responsables de la transition et les mécanismes sous-jacents. Des essais dans la soufflerie silencieuse de l’université de Purdue (BAM6QT) ont été effectués pour tester expérimentalement l’efficacité des dispositifs passifs (rugosité isolée en forme de losange) et actifs (mono-injection d’air) pour faire transitionner la couche limite. Une peinture thermo-sensible et des capteurs de pression (PCB, Kulite) ont été utilisés pour déterminer la nature de la couche limite. Les résultats de ce travail montrent qu’une injection sonique suffit pour forcer la couche limite. On observe des essais, que pour une même hauteur de pénétration, les rugosités isolées sont moins efficaces que les jets (mono injection) pour déstabiliser la couche limite. / During a hypersonic flight (Mach 6, 20 km altitude), the boundary layer developing on the forebody of a vehicle is laminar. This state may destabilize the scramjet engine propelling the vehicle. To overcome this problem during the flight, the boundary layer transition has to be forced using a control device whose effect is fixed (passive) or adjustable (active). In this work, we analyze the efficiency of a jet in crossflow in forcing the boundary layer transition on a generic forebody. The flow is computed with a Large Eddy Simulations (LES) approach. A parametric study of the injection pressure allows the efficiency of the jet in tripping the boundary layer to be quantified. The influence of flight conditions (Mach, altitude) on the transition is also studied. Dynamic Mode Decomposition (DMD) is applied to the simulation results to determine the transition leading to dynamic modes and to understand underlying transition mechanisms. Experiments in the Purdue University quiet wind tunnel (BAM6QT) were performed to quantify the efficiency of a passive transition device (diamond roughnesses) and an active transition device (single air jet) in tripping the boundary layer. A thermo-sensitive paint and pressure transducers (Kulite, PCB) were used to determine the state of the boundary layer on the generic forebody. Experimental and numerical results show a sonic injection is sufficient to induce transition. We observe from the experiments that for the same penetration height, a single roughness is less efficient than a single air jet in destabilizing the boundary layer.

Cette thèse vise à modéliser les instabilités hydrodynamiques générant des détachements tourbillonnaires pariétaux (ou VSP) responsables des Oscillations De Pression dans les moteurs à propergol solide longs et segmentés par interaction avec l’acoustique du moteur. Ces instabilités sont modélisées en tant que modes de stabilité linéaire globaux de l’écoulement d’un conduit à parois débitantes. En supposant que les structures pariétales émergent d’une perturbation de l’écoulement de base, des modes discrets et indépendants du maillage utilisé sont calculés. Dans ce but, une discrétisation par collocation spectrale multi-domaine est implémentée dans un solveur parallèle afin de s’affranchir de la croissance polynomiale des fonctions propres et de la présence de couches limites. Les valeurs propres ainsi calculées dépendent explicitement des frontières du domaine, à savoir la position de la perturbation et celle de la sortie, et sont ensuite validées par simulation numérique directe. On montre alors qu’elles permettent bien de décrire la réponse à une perturbation initiale de l’écoulement modifié par une rupture de débit pariétale. Ensuite, la simulation d’une réponse forcée par l’acoustique se fait sous forme de structures tourbillonnaires dont les fréquences discrètes sont en accord avec celles des modes de stabilité. Ces structures sont réfléchies en ondes de pression de même fréquences remontant l’écoulement. Finalement, la simulation numérique et la théorie de la stabilité permettent de montrer que le VSP, dont la réponse est linéaire vis-à-vis d’un forçage compressible comme l’acoustique, est le phénomène moteur des Oscillations De Pression. / The current work deals with the modeling of the hydrodynamic instabilities that play a major role in the triggering of the Pressure Oscillations occurring in large segmented solid rocket motors. These instabilities are responsible for the emergence of Parietal Vortex Shedding (PVS) and they interact with the boosters acoustics. They are first modeled as eigenmodes of the internal steady flowfield of a cylindrical duct with sidewall injection within the global linear stability theory framework. Assuming that the related parietal structures emerge from a baseflow disturbance, discrete meshindependant eigenmodes are computed. In this purpose, a multi-domain spectral collocation technique is implemented in a parallel solver to tackle numerical issues such as the eigenfunctions polynomial axial amplification and the existence of boundary layers. The resulting eigenvalues explicitly depend on the location of the boundaries, namely those of the baseflow disturbance and the duct exit, and are then validated by performing Direct Numerical Simulations. First, they successfully describe flow response to an initial disturbance with sidewall velocity injection break. Then, the simulated forced response to acoustics consists in vortical structures wihich discrete frequencies that are in good agreement with those of the eigenmodes. These structures are reflected into upstream pressure waves with identical frequencies. Finally, the PVS, which response to a compressible forcing such as the acoustic one is linear, is understood as the driving phenomenon of the Pressure Oscillations thanks to both numerical simulation and stability theory.

La thèse est une contribution à l’étude des tourbillons longitudinaux qui se développent sur la lunette arrière des véhicules automobiles, dans l’idée de provoquer leur éclatement afin de réduire la traînée aérodynamique. On conçoit tout d’abord un système d’acquisition dénommé A-SPIV, permettant de reconstruire le champ moyen de vitesse 3D d’un sillage turbulent à partir de plans stéréo-PIV acquis par translation du système caméras-laser, sans qu’il soit nécessaire de le recalibrer. En complément, on propose une méthode de reconstruction de la pression moyenne reposant sur les données A-SPIV et sur une mesure de la pression pariétale. L’ensemble forme un nouveau protocole expérimental, validé dans le sillage d’un corps d’Ahmed 25° et dont les résultats à haut Reynolds sont comparés à la littérature existante. L'analyse topologique des tourbillons longitudinaux suggère l’existence d’un éclatement tourbillonnaire spontané dans le sillage proche, malgré l’absence de point de stagnation. On démontre formellement l’existence de cet éclatement par deux critères théoriques qui considèrent ce phénomène, soit comme la conséquence d’une réorganisation de la vorticité, soit comme la résultante d’une accumulation, en un point critique, d’ondes inertielles se propageant le long du tourbillon. Les analyses sous-jacentes sont menées dans un repère cylindrique attaché à l’axe tourbillonnaire et prédisent une même position d’éclatement, en bon accord avec la position singulière issue des mesures A-SPIV. La thèse se conclut par une analyse de stabilité globale de l'écoulement moyen qui suggère un lien possible entre l’éclatement et une instabilité globale de l’écoulement tourbillonnaire. / This thesis is a contribution to the study of the longitudinal vortices developing in the near wake of ground vehicles, with the general purpose of reducing the aerodynamic drag by triggering the vortex breakdown phenomenon. We present a new data acquisition system called A-SPIV, allowing to reconstruct a 3D turbulent time-averaged velocity field from stereo-PIV planes measured by translation of the whole cameras-laser system, with no need to recalibrate. We also propose a method to reconstruct the mean pressure in the bulk from the A-SPIV data and from a dedicated wall static pressure measurement. This new overall experimental protocol is applied to a standard aerodynamic test-case, the 25° Ahmed body, all results being compared and validated at high turbulent Reynolds number against existing data from the literature. A thorough analysis of the longitudinal vortices suggests the occurrence of a spontaneous vortex breakdown in the near-wake, although there exist no stagnation point in the experimental data. Such vortex breakdown is therefore evidenced using two different theoretical criteria considering the phenomenon as the consequence of either a reorganization of the vorticity, or an accumulation of inertial waves propagating along the vortex core. The underlying analyses are carried out in a cylindrical system attached to the vortex axis and predict a single breakdown position, in good agreement with the singular position initially inferred from the A-SPIV data. The thesis ends with a global stability analysis of the turbulent mean flow suggesting a possible connection between the occurrence of vortex breakdown and a global instability of the longitudinal vortex.

Philosophiae Doctor - PhD / Tuberculosis is a bacterial infection which is a major cause of death worldwide. TB is a curable disease, however the bacterium can become resistant to the first line treatment against the disease. This leads to a disease called drug resistant TB that is difficult and expensive to treat. It is well-known that TB disease thrives in communities in overcrowded environments with poor ventilation, weak nutrition, inadequate or inaccessible medical care, etc, such as in some prisons or some refugee camps. In particular, the World Health Organization discovered that a number of prisoners come from socio-economic disadvantaged population where the burden of TB disease may be already high and access to medical care may be limited. In this dissertation we propose compartmental models of systems of differential equations to describe the population dynamics of TB disease under conditions of crowding. Such models can be used to make quantitative projections of TB prevalence and to measure the effect of interventions. Indeed we apply these models to specific regions and for specific purposes. The models are more widely applicable, however in this dissertation we calibrate and apply the models to prison populations.