Dans cette thèse nous étudions le phénomène d'effondrement de différents modèles d'homopolymères. Nous étudions une marche aléatoire partiellement dirigée en dimension 1+1, auto-évitante et en auto-interaction, connue sous l'acronyme anglais IPDSAW. Il est établi que le modèle IPDSAW a une transition de phase d'effondrement en un paramètre critique $\beta_c$. Pour étudier la fonction de partition de ce modèle, nous développons une nouvelle méthode qui nous permet d'en déduire une formule variationnelle pour son énergie libre. Cette formule variationnelle peut être utilisée pour prouver l'existence de la transition d'effondrement et pour identifier simplement le point critique. Nous donnons une asymptotique précise de l'énergie libre au voisinage du point critique. Ensuite, nous établissons plusieurs propriétés trajectorielles de notre marche aléatoire à l'intérieur de la phase effondrée ($\beta>\beta_c$). Finalement, nous étudions le modèle IPDSAW soumis à une force extérieure. Nous montrons comment détecter la présence d'un phénomène de ré-entrance sans toutefois résoudre intégralement le modèle.

Cette thèse est consacrée à l’étude de théorèmes limites : grandes déviations et déviations modérées pour des estimateurs liés à des modèles financiers. Dans une première partie, nous nous sommes intéressés à l’étude des déviations grandes et modérées des estimateurs de la covariation et de la (co)volatilité réalisée issus des fonctionnelles associées à deux processus de diffusion couplés de manière synchronisée. Les techniques utilisées dans ces travaux sont basées d’une part sur celles utilisées dans Djellout-Guillin-Wu et sur la sous additivité et sur la notion d’approximation exponentielle inspirées des travaux de J. Najim d’autre part. Dans une deuxième partie, on considère que les deux processus de diffusion sont observés de manière non synchronisée et on établit des déviations modérées pour l’estimateur de la variation généralisée et pour celui de Hayashi-Yoshida. Les résultats sont obtenus par l’utilisation d’une nouvelle approche sur les déviations modérées des variables aléatoires m−dépendantes vérifiant des conditions de type "Chen-Ledoux". Dans la troisième et dernière partie, on s’intéresse à l’étude processus autorégressif d’ordre p dont le bruit est un processus autorégressif d’ordre q. On montre des déviations modérées pour certains estimateurs associés à notre modèle dont la statistique de Durbin-Watson. Les résultats sont donnés dans le cas où le bruit est gaussien puis dans le cas de condition de type "Chen-Ledoux" portant sur le bruit. / This thesis is devoted to the study of the limits theorem : large and moderate déviations for some financial mathematicals estimators. In the first part, we studied the large and moderate deviations of the estimators of covariation and the realized (co)volatility obtained from the functional associated to two diffusion processes coupled in synchronous manner. The techniques used in this work are based, on the one hand, on those used in Djellout-Guillin-Wu and the subadditivity and the exponential approximation notion inspired by J. Najim results on the other hand. In the second part, we consider that ours two diffusion processes are observed in a nonsynchronized manner and on the establish the moderate deviations for the generalised bipower variation estimator and the Hayashi-Yoshida estimator. The results are obtained by using a new approach on the moderate deviations of the m−dependent random variables based on the Chen-Ledoux type condition. In the third and last part, we study the stable autoregressive process of order p where the driven noise is also given by a q-order autoregressive process. We prove the moderate deviations for some estimators associated with our model such as the Durbin-Watson statistic. The results are given in the case where the driven noise is the normally distributed then in the case where the driven noise satisfy a Chen-Ledoux type condition.

Les processus de Cox-Ingersoll-Ross et de Heston jouent un rôle prépondérant dans la modélisation mathématique des cours d’actifs financiers ou des taux d’intérêts. Dans cette thèse, on s’intéresse à l’estimation de leurs paramètres à partir de l’observation en temps continu d’une de leurs trajectoires. Dans un premier temps, on se place dans le cas où le processus CIR est géométriquement ergodique et ne s’annule pas. On établit alors un principe de grandes déviationspour l’estimateur du maximum de vraisemblance du couple des paramètres de dimension et de dérive d’un processus CIR. On établit ensuite un principe de déviations modérées pour l’estimateur du maximum de vraisemblance des quatre paramètres d’un processus de Heston, ainsi que pour l’estimateur du maximum de vraisemblance du couple des paramètres d’un processus CIR. Contrairement à ce qui a été fait jusqu’ici dans la littérature,les paramètres sont estimés simultanément. Dans un second temps, on ne se restreint plus au cas où le processus CIR n’atteint jamais zéro et on propose un nouvel estimateur des moindres carrés pondérés pour le quadruplet des paramètres d’un processus de Heston.On établit sa consistance forte et sa normalité asymptotique, et on illustre numériquement ses bonnes performances. / The Cox-Ingersoll-Ross process and the Heston process are widely used in financial mathematics for pricing and hedging or to model interest rates. In this thesis, we focus on estimating their parameters using continuous-time observations. Firstly, we restrict ourselves to the most tractable situation where the CIR processis geometrically ergodic and does not vanish. We establish a large deviations principle for the maximum likelihood estimator of the couple of dimensionnal and drift parameters of a CIR process. Then we establish a moderate deviations principle for the maximum likelihood estimator of the four parameters of an Heston process, as well as for the maximum likelihood estimator of the couple of parameters of a CIR process. In contrast to the previous literature, parameters are estimated simultaneously. Secondly, we do not restrict ourselves anymore to the case where the CIR process never reaches zero and we introduce a new weighted least squares estimator for the quadruplet of parameters of an Heston process. We establish its strong consitency and asymptotic normality, and we illustrate numerically its good performances.

Cette thèse est consacrée à l’étude de systèmes de particules modélisant des particules chargées en interaction, ou les valeurs propres de matrices aléatoires. On s’intéresse aux gaz de particules avec interaction logarithmique en dimension 1 et 2, et aux interactions de Coulomb/Riesz en dimension générale. On étudie leur comportement microscopique à travers un principe de grandes déviations satisfait par la loi des champs empiriques et gouverné par une fonctionnelle d’énergie libre qui met en évidence la dépendance en la température. Parmi les minimiseurs de cette énergie libre, on compte les processus ponctuels Sine-beta définis dans le contexte des matrices aléatoires. On démontre la convergence vers un processus de Poisson à haute température et, en dimension 1, on prouve la cristallisation du système dans la limite de basse température. Dans le cas des interactions logarithmiques en dimension 2, on montre une loi locale qui contrôle les fluctuations à toute échelle mésoscopique. On traite aussi le cas du gaz de Coulomb 2D avec des charges de signes opposés. / This thesis is devoted to the study of statistical physics systems which can represent charged interacting particles or eigenvalues of random matrices. We are interested in particle gases with logarithmic interaction in dimension 1 and 2 and with Coulomb/Riesz interactions in general dimension. We study the microscopic behavior by establishing a large deviation principle for the law of the empirical fields, governed by a free energy functional in which the temperature dependence appears. Minimizers of this free energy include the Sine-beta point processes defined in random matrix theory. We show the convergence to a Poisson point process at high temperature and in dimension 1 we prove crystallization in the zero temperature limit. For two-dimensional log-gases we establish a local law which bounds the fluctuations at any mesoscopic scale. We also treat the case of a 2D Coulomb gas with charges of opposite sign.

Cette thèse porte sur l'obtention rigoureuse de limites de champ moyen pour la dynamique continue de grands réseaux de neurones hétérogènes. Nous considérons des neurones à taux de décharge, et sujets à un bruit Brownien additif. Le réseau est entièrement connecté, avec des poids de connections dont la variance décroît comme l'inverse du nombre de neurones conservant un effet non trivial dans la limite thermodynamique. Un second type d'hétérogénéité, interprété comme une position spatiale, est considéré au niveau de chaque cellule. Pour la pertinence biologique, nos modèles incluent ou bien des délais, ainsi que des moyennes et variances de connections, dépendants de la distance entre les cellules, ou bien des synapses dépendantes de l'état des deux neurones post- et présynaptique. Ce dernier cas s'applique au modèle de Kuramoto pour les oscillateurs couplés. Quand les poids synaptiques sont Gaussiens et indépendants, nous prouvons un principe de grandes déviations pour la mesure empirique de l'état des neurones. La bonne fonction de taux associée atteint son minimum en une unique mesure de probabilité, impliquant convergence et propagation du chaos sous la loi "averaged". Dans certains cas, des résultats "quenched" sont obtenus. La limite est solution d'une équation implicite, non Markovienne, dans laquelle le terme d'interactions est remplacé par un processus Gaussien qui dépend de la loi de la solution du réseau entier. Une universalité de cette limite est prouvée, dans le cas de poids synaptiques non-Gaussiens avec queues sous-Gaussiennes. Enfin, quelques résultats numérique sur les réseau aléatoires sont présentés, et des perspectives discutées. / This thesis addresses the rigorous derivation of mean-field results for the continuous time dynamics of heterogeneous large neural networks. In our models, we consider firing-rate neurons subject to additive noise. The network is fully connected, with highly random connectivity weights. Their variance scales as the inverse of the network size, and thus conserves a non-trivial role in the thermodynamic limit. Moreover, another heterogeneity is considered at the level of each neuron. It is interpreted as a spatial location. For biological relevance, a model considered includes delays, mean and variance of connections depending on the distance between cells. A second model considers interactions depending on the states of both neurons at play. This last case notably applies to Kuramoto's model of coupled oscillators. When the weights are independent Gaussian random variables, we show that the empirical measure of the neurons' states satisfies a large deviations principle, with a good rate function achieving its minimum at a unique probability measure, implying averaged convergence of the empirical measure and propagation of chaos. In certain cases, we also obtained quenched results. The limit is characterized through a complex non Markovian implicit equation in which the network interaction term is replaced by a non-local Gaussian process whose statistics depend on the solution over the whole neural field. We further demonstrate the universality of this limit, in the sense that neuronal networks with non-Gaussian interconnections but sub-Gaussian tails converge towards it. Moreover, we present a few numerical applications, and discuss possible perspectives.

Cette thèse concerne l’étude de grandes déviations précises pour deux statistiques de test:le coefficient de corrélation empirique de Pearson et la statistique de Moran.Les deux premiers chapitres sont consacrés à des rappels sur les grandes déviations précises et sur la méthode de Laplace qui seront utilisés par la suite. Par la suite, nous étudions les grandes déviations précises pour des coefficients de Pearson empiriques qui sont définis par:$r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)(Y_i-\bar Y_n)/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\bar X_n)^2 \sum_{i=1}(Y_i-\bar Y_n)^2}$ ou, quand les espérances sont connues, $\tilde r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb E(X))(Y_i-\mathbb E(Y))/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\mathbb E(X))^2 \sum_{i=1}(Y_i-\mathbb E(Y))^2} \, .$. Notre cadre est celui d’échantillons (Xi, Yi) ayant une distribution sphérique ou une distribution gaussienne. Dans chaque cas, le schéma de preuve suit celui de Bercu et al.Par la suite, nous considérons la statistique de Moran $T_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{X_i}{\bar X_n}+\gamma \, ,$o\`u $\gamma$, où γ est la constante d’ Euler. Enfin l’appendice est consacré aux preuves de résultats techniques. / This thesis focuses on the study of Sharp large deviations (SLD) for two test statistics:the Pearson’s empirical correlation coefficient and the Moran statistic.The two first chapters aim to recall general results on SLD principles and Laplace’s methodsused in the sequel. Then we study the SLD of empirical Pearson coefficients, name $r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)(Y_i-\bar Y_n)/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\bar X_n)^2 \sum_{i=1}(Y_i-\bar Y_n)^2}$ and when the meansare known,$\tilde r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb E(X))(Y_i-\mathbb E(Y))/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\mathbb E(X))^2 \sum_{i=1}(Y_i-\mathbb E(Y))^2} \, .$ .Our framework takes place in two cases of random sample (Xi, Yi): spherical distributionand Gaussian distribution. In each case, we follow the scheme of Bercu et al. Next, westate SLD for the Moran statistic $T_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{X_i}{\bar X_n}+\gamma \, ,$o\`u $\gamma$ , where γ is the Euler constant.Finally the appendix is devoted to some technical results.

Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$. Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations. Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent. Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1. / The main topic of this masters thesis is the study of the asymptotic distribution of the fonction f_m which counts the number of distinct prime divisors among the first $m$ prime numbers, i.e. $p_1,...,p_m$. The first chapter provides the seven main results which will later on be proved in chapter 4. Among these we find the analogue of the Erdos-Kac central limit theorem and a result on large deviations. In the following chapter, we define several probability spaces on which we will calculate asymptotic probabilities of specific events. These will become necessary for calculating their corresponding densities. The third chapter is the main part of this masters thesis. In it, we introduce a random walk which, when suitably normalized, will converge to the Brownian motion. We will then obtain results which will form the basis of the proofs of those of chapiter 1.

Dans cette thèse on s'intéresse au temps local d'auto-intersections de marches aléatoires. Cette quantité est définie comme la norme-p à la puissance p du temps local de la marche. Elle regarde dans quelle mesure la trajectoire de la marche aléatoire s'intersecte. Le temps local d'auto-intersections est lié à différents modèles physiques comme les modèles de polymères ou les problèmes d'écoulements de flux en milieux stratifiés mais aussi au modèle mathématiques des marches aléatoires en paysages aléatoires. Nous nous sommes pour notre part intéressés en particulier aux grandes déviations du temps local d'auto-intersections, c'est à dire que nous regardons la probabilité que la quantité d'intersections de la marche aléatoire soit plus grande que sa moyenne. Cette question qui a été très étudiée au cours des années 2000 fait apparaitre trois cas distincts, le cas sous-critique, le cas critique et le cas sur-critique. Nous améliorons la connaissance sur cette question au travers de deux résultats complets et d'un résultat partiel. D'abord nous prouvons un principe de grandes déviations dans les cas critique et sur-critique des marches alpha-stables, puis nous améliorons les échelles de déviations au cas sous-critique tout entier de la marche simple, enfin nous sommes en train d'étendre ce dernier résultat aux marches alpha-stables. Par ailleurs les trois preuves sont basées sur l'utilisation d'une version due à Eisenbaum d'un théorème d'isomorphisme de Dynkin. Cette méthode d'abord introduite par Castell dans le cas critique est donc ici étendue aux autres cas. Nous avons donc réussi à unifier les différentes méthodes de preuves au travers ce théorème d'isomorphisme. / In this thesis we are interested in the self-intersection local times of random walks. This quantity is defined as the p-norm to the power of p of the local times of the random walk. It measures how much the trajectory of the random walk intersects itself. The self-intersection local times is connected with various physical models as polymer models or problems of anomalous dispersion in layered random flows, but it is also linked with the mathematical model of random walks in random sceneries. More precisely, we are interested in the large deviations of the self-intersection local times, i.e. we work on the probability for the intersections to be larger than expected. This question that has been studied a lot during the 2000's is divided in three cases, the subcritical one, the critical one and the super critical one. We improve the knowledge about this question by two complete results and a partial one. First, we have proved a large deviation principle in the critical and super critical cases of alpha-stable random walks, then we have improved the deviations' scales to the entire subcritical case of simple random walk, finally we are extending this last result to the alpha-stable random walks. The three proofs are based on a version due to Eisenbaum of a Dynkin isomorphism theorem. This method which has been first introduced by Castell in the critical case, is extended here to the others cases. Thus, we have succeeded to unify the methods of proof by this isomorphism theorem.

Nous considérons des systèmes d'équations différentielles stochastiques faisant intervenir deux échelles de temps bien distinctes. Nous commençons par établir, dans un cadre général, des propriétés de concentration des trajectoires au voisinage des variétés lentes du système déterministe correspondant. Nous étudions ensuite la dynamique au voisinage de points de bifurcation de la variété lente, en particulier dans le cas d'une bifurcation noeud-col et d'une bifurcation fourche. Les phénomènes apparentées de la résonance stochastique et de l'hystérésis dynamique sont également étudiés en détail. Finalement, nous dérivons la loi des temps de passage à travers une orbite périodique instable, pour une famille d'équations qui ne sont pas limitées au cas d'échelles de temps distinctes.

Dans cette thèse, nous proposons de nouvelles méthodes d'estimation et de test par optimisation des Divergences entre mesures pour des modèles paramétriques discrets ou continus, pour des modèles à rapport de densités semi-paramétriques et pour des modèles non paramétriques restreints par des contraintes linéaires. Les méthodes proposées sont basées sur une nouvelle représentation des Divergences entre mesures. Nous montrons que les méthodes du maximum de vraisemblance paramétrique et du maximum de vraisemblance empirique sont des cas particuliers correspondant au choix de la Divergence de Kullback-Leibler modifiée, et que le choix d'autres types de Divergences mène à des estimateurs ayant des propriétés similaires voire meilleurs dans certains cas. De nombreuses perspectives concernant le problème du choix de la Divergence sont notées.