Les principaux outils pour la compréhension du comportement macroscopique desystèmes quantiques à partir de leur description microscopique sont la déterminationdu spectre du Hamiltonien associé et le calcul des fonctions de corrélation. Cettethèse se place dans le cadre du développement d’un tel programme de recherche afind’étudier des systèmes intégrables quantiques avec des conditions aux bordsintégrables générales, le but à long terme étant la description exacte d’une physiquequantique hors équilibre.Plus spécifiquement, nous avons analysé la classe des systèmes intégrablesquantiques sur réseau associés aux représentations cycliques de l’algèbre de réflexionà 6-vertex, avec comme exemples les modèles de sine Gordon et de Potts chiral avecconditions aux bords intégrables.Une large partie du travail a été consacrée au développement de la méthode deséparation quantique des variables pour résoudre le problème spectral de la matricede transfert de ces modèles avec conditions de bords intégrables les plus générales,en étendant l’idée des transformations de jauge de Baxter à ces algèbres de réflexion.Nous avons caractérisé complètement le spectre de la matrice de transfert (valeurspropres et vecteurs propres) en termes des solutions d’un système discret d’équationspolynomiales et d’une façon équivalente en termes des solutions, dans une certaineclasse de fonctions, d’une équation de type Baxter fonctionnelle. Cela permet de fairele lien dans certains cas particuliers avec la méthode de l’anstaz de Bethe algébriquequi ne permet pas d’étudier ces modèles en toute généralité.Nous avons ensuite construit des familles de nouveaux Hamiltoniens locaux avecconditions aux bords intégrables qui commutent avec la matrice de transfert. Pour cefaire nous avons défini une hiérarchie de nouvelles équations de réflexion mélangeantdifférentes représentations de l’algèbre quantique à 6-vertex et utilisant entre autres,la matrice R fondamentale cyclique. / The main theoretical tools to understand the macroscopic behaviour of quantumsystems from their microscopic description are the determination of theirHamiltonian spectrum and the computation of their correlation functions. This thesistakes place in the development of such a research program to study quantumintegrable models with general integrable boundary conditions, the long-range goalbeing to be able to exactly describe out of equilibrium physics.More specifically, we have analysed the class of integrable quantum models on thelattice associated to cyclic representations of the 6-vertex reflection algebra,including as particular cases the lattice sine- Gordon model at root of unity and thechiral Potts model with general integrable boundaries.A large part of the work has been devoted to the development of the quantumseparation of variables method to solve the spectral problem for these models withgeneral integrable boundary conditions, by generalising the Baxter’s gaugetransformations to these cyclic reflection algebras.We have completely characterised the transfer matrix spectrum (both eigenvaluesand eigenstates) in terms of the set of solutions to a discrete system of polynomialequations and equivalently as the set of solutions, in a given class of functions, to aBaxter like functional equation. This last point allows in particular cases to make alink with the Algebraic Bethe Ansatz approach, which in general, cannot be used forthe study of these models.We have then constructed families of new local Hamiltonians with integrableboundaries commuting with the above transfer matrix. To that end, we have defined ahierarchy of new mixed reflection equations, involving different representations ofthe 6-vertex algebra and using, among others, the fundamental R-matrix.

Dans cette thèse, nous discutons l'influence d'un réseau qui possède une topologie non triviale sur les propriétés collectives d'un modèle hamiltonien pour spins,le modèle $XY$, défini sur ces réseaux.Nous nous concentrons d'abord sur la topologie des chaînes régulières et du réseau Petit Monde (Small World), créé avec le modèle Watt- Strogatz.Nous contrôlons ces réseaux par deux paramètres $\gamma$, pour le nombre d' interactions et $p$, la probabilité de ré-attacher un lien aléatoirement.On définit deux mesures, le chemin moyen $\ell$ et la connectivité $C$ et nous analysons leur dépendance de $(\gamma,p)$.Ensuite,nous considérons le comportement du modèle $XY$ sur la chaîne régulière et nous trouvons deux régimes: un pour $\gamma<1,5$,qui ne présente pas d'ordre longue portée et un pour $\gamma>1,5$ où une transition de phase du second ordre apparaît.Nous observons l'existence d'un état ​​métastable pour $\gamma_ {c} = 1,5$. Sur les réseaux Petit Monde,nous illustrons les conditions pour avoir une transition et comment son énergie critique $\varepsilon_{c}(\gamma,p)$ dépend des paramètres $(\gammap$).Enfin,nous proposons un modèle de réseau où les liens d'une chaîne régulière sont ré-attachés aléatoirement avec une probabilité $p$ dans un rayon spécifique $r$. Nous identifions la dimension du réseau $d(p,r)$ comme un paramètre crucial:en le variant,il nous est possible de passer de réseaux avec $d<2$ qui ne présentent pas de transition de phase à des configurations avec $d>2$ présentant une transition de phase du second ordre, en passant par des régimes de dimension $d=2$ qui présentent des états caractérisés par une susceptibilité infinie et une dynamique chaotique. / In this thesis we discuss the influence of a non trivial network topology on the collective properties of an Hamiltonian model defined on it, the $XY$ -rotors model. We first focus on networks topology analysis, considering the regular chain and a Small World network, created with the Watt-Strogatz model. We parametrize these topologies via $\gamma$, giving the vertex degree and $p$, the probability of rewiring. We then define two topological parameters, the average path length $\ell$and the connectivity $C$ and we analize their dependence on $\gamma$ and $p$. Secondly, we consider the behavior of the $XY$- model on the regular chain and we find two regimes: one for $\gamma<1.5$, which does not display any long-range order and one for $\gamma>1.5$ in which a second order phase transition of the magnetization arises. Moreover we observe the existence of a metastable state appearing for $\gamma_{c}=1.5$. Finally we illustrate in what conditions we retrieve the phase transition on Small World networks and how its critical energy $\varepsilon_{c}(\gamma,p)$ depends on the topological parameters $\gamma$ and $p$. In the last part, we propose a network model in which links of a regular chain are rewired according to a probability $p$ within a specific range $r$. We identify a quantity, the network dimension $d(p,r)$ as a crucial parameter. Varying this dimension we are able to cross over from topologies with $d<2$ exhibiting no phase transitions to ones with $d>2$ displaying a second order phase transition, passing by topologies with dimension $d=2$ which exhibit states characterized by infinite susceptibility and macroscopic chaotic dynamical behavior.

Cette thèse présente une modélisation et commande passive des bioréacteurs continus isothermes. Une attention spéciale est portée à la recherche de fonctions de Lyapunov ayant un sens physique ou reliées à la structure du modèle. On montre que l’énergie libre de Gibbs est une fonction Hamiltonienne appropriée pour les réacteurs enzymatiques. Un modèle basé sur une représentation énergétique est proposé qui peut être considéré comme un système quasi-Port-Hamiltonien. Le modèle se décline en une représentation dans l’espace des concentrations (SPH) et une autre dans l’espace réactionnel (RPH). La commande basée sur la passivité par interconnexion et assignation d'amortissement est obtenue en donnant une forme appropriée à l’énergie désirée, que ce soient pour des modèles SPH ou RPH. Les résultats sont validés par simulation sur un modèle d’hydrolyse enzymatique de la cellulose. On propose ensuite un modèle passif d’un ensemble de réactions microbiennes dans un réacteur ouvert, avec un nouveau type de fonctions de stockage. Grâce à un changement de variables adéquat, le nombre d’´équations du système est réduit et les propriétés de passivité sont directement démontrées. A partir de ce modèle, il est possible de déterminer une commande passive de manière systématique. Les fonctions de Lyapunov candidates peuvent présenter une certaine analogie avec l’énergie libre de Gibbs introduite dans la représentation quasi Port-Hamiltonienne des réactions enzymatiques. Par la suite, une loi de commande adaptative basée sur le modèle présenté est proposée. La validation a été effectuée à partir de simulations d’une réaction élémentaire, puis d’une digestion anaérobie. Les résultats montrent la pertinence des nouvelles lois de commandes passive et adaptative. / This thesis proposes a passivity based formulation and control of a well-mixed CSTR model for a set of chemical and biochemical reactions taking place at constant pressure and temperature. Special care has been taken to not look loosely on the physical coherence of a system by using meaningful energy functions as Lyapunov functions and using the structure of the model while performing the control. It is made clear that Gibbs free energy is an apt Hamiltonian function for such cases. The Bond Graph models related to Port-Hamiltonian formulation for both types of reactions are given in order to show its ability of pictorial representation and intuitive solution. An energy based model of such systems is proposed which can be said as quasi Port-Hamiltonian system (PHS) based on physical grounds. The model is taking care of the concentration space and reaction space of a chemical reaction. Stoichiometric and Reaction interconnection and damping assignment passivity based controllers (IDA-PBC) are derived from the proposed Stoichiometric and Reaction energy based models respectively by physically giving the energy function a desired form. Real application of enzymatic hydrolysis of cellulose in continuous reactor is simulated.Then, a passivity based model of a general set of microbial reactions in open reactors with new Lyapunov functions is derived. A useful change of coordinates is done which simplifies the number of equations to be taken care of and shows directly the passivity of the system. The passivity based control is obtained from systematic controller design techniques. The Lyapunov functions can be said to be in close proximity with the Gibbs free energy function used in Port-Hamiltonian model of enzymatic reactions and are far from the traditional non-physical quadratic functions. A general method of generating an adaptive passivity based control law with the new model which is more physical and maintains the structure of the model has been generated. Application and validation of the model through simulations is done on single and multiple reaction examples. To explore the pseudo-energetic point of view towards modeling and control of microbial reactions in open reactors with parametric uncertainty, different candidate energy functions are being tested and an adaptive controller is designed to cope with uncertainties on the specific growth rate.

Le mémoire constitue un panorama sur l'évolution des variables d'action pour les systèmes presque intégrables. C'est le problème de la diffusion d'Arnold. J'aborde la construction d'Arnold, ainsi que les méthodes variationnelles issues des travaux plus récents de John Mather. J'explique ce qu'est le large gap problem, et j'introduis la relation d'équivalence sur les variables d'action qui m'a permis d'obtenir une solution à ce problème.

Dans un premier temps, on considère un hamiltonien complètement intégrable régulier sur une variété symplectique et on cherche à caractériser les perturbations de ce hamiltonien qui sont des déformations, i.e qui restent complètement intégrables après l'ajout de la perturbation. Après avoir explicité la classe d'hamiltoniens non-dégénérés considérée et conjecturé la forme générale des déformations régulières, on donne les conditions formelles dans le paramètre de perturbation pour que le hamiltonien reste complètement intégrable régulier ou singulier. Dans un deuxième temps, on considère un système complètement intégrable semi-classique décrit par un opérateur pseudo-différentiel sur le tore et on étudie le spectre d'une perturbation de cet opérateur. On utilise pour cela une méthode de forme normale qui met l'opérateur sous une forme simple près de chaque résonance. Cette forme normale est ensuite utilisée pour construire des quasimodes de l'opérateur perturbé

Dans cette thèse nous présentons les résultats sur l'emploi des systèmes Hamiltoniens à port et des systèmes de contact commandés pour la modélisation et la commande de systèmes issus de la Thermodynamique Irréversible. Premièrement nous avons défini une classe de pseudo-systèmes Hamiltoniens à port, appelée systèmes Hamiltoniens à port irréversibles, qui permet de représenter simultanément le premier et le second principe de la Thermodynamique et inclut des modèles d'échangeurs thermiques ou de réacteurs chimiques. Ces systèmes ont été relevés sur l'espace des phases thermodynamiques muni d'une forme de contact, définissant ainsi une classe de systèmes de contact commandés, c'est-à-dire des systèmes commandés non-linéaires définis par des champs de contacts stricts. Deuxièmement, nous avons montré que seul un retour d'état constant préserve la forme de contact et avons alors résolu le problème d'assignation d'une forme de contact en boucle fermée. Ceci a mené à la définition de systèmes de contact entrée-sortie et l'analyse de leur équivalence par retour d'état. Troisièmement, nous avons montré que les champs de contact n'étaient en général pas stables en leur zéros et avons alors traité du problème de la stabilisation sur une sous-variété de Legendre en boucle fermée.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Physique Mathématique : Toulon : 2007. / Titre provenant du cadre-titre. Bibliographie p.197-198.

Thèse doctorat : Mathématiques et applications : Rennes 1 : 2008. / Titre provenant de la page du titre du document électronique. Bibliogr. p. 119-121.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Lasers, Molécules, Rayonnement atmosphérique : Lille 1 : 2004. / N° d'ordre (Lille 1) : 3554. Titre provenant de la page de titre du document numérisé. Bibliogr. p. 185-187.

À l'aide de méthodes probabilistes, nous donnons des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger ou ondes. Nous tirons profit de l'aléa grâce à des propriétés de régularisation de séries aléatoires ou en éliminant un certain nombre de mauvaises valeurs d'un paramètre de l'équation. Ainsi, nous obtenons, sur un gros ensemble de paramètres, des résultats concernant la dynamique de l'équation. Notons que physiquement cette approche a un sens puisque les paramètres et les conditions initiales de l'équation ne peuvent être déterminés de façon absolue. De plus, dans chacune de nos méthodes employées, nous obtenons des résultats de stabilité de la dynamique par rapport aux conditions initiales. Enfin, nous montrons que l'approche précédente est pertinente en construisant, pour des choix particuliers de paramètres, des trajectoires exceptionnelles en utilisant des phénomènes de résonance.