Nous mettons en évidence une condition géométrico-dynamique minimale créant de l'hyperbolicité au voisinage d'un tore homocline transverse partiellement hyperbolique dans un système Hamiltonien presque intégrable à trois degrés de liberté. On en déduit une généralisation du théorème de dynamique symbolique d'Easton. Nous donnons ensuite une estimation optimale du temps de diffusion d'Arnold le long d'une chaîne de transition dans les systèmes Hamiltoniens initialement hyperboliques à trois degrés de liberté en utilisant une chaîne d'orbites périodiques hyperboliques sous-jacente. <br />Nous décrivons ensuite géométriquement à partir d'un système Hamiltonien presque intégrable à trois degrés de liberté à deux paramètres dû à Chirikov, un mécanisme de diffusion mettant en jeu un réseau de plans résonnants parallèles et voisins et un plan résonnant transversal au réseau. Ainsi, nous montrons qu'en dessous d'un certain seuil atteint par le paramètre prépondérant, on peut construire une orbite de transition dérivant en action à travers ce réseau modulationnel. Un des scénarii envisagés, le mécanisme de diffusion modulationnelle, basé sur l'existence de connexions hétéroclines entre tores partiellement hyperboliques issus de deux plans résonnants distincts est valide lorsqu'une condition de chevauchement est vérifiée. <br />Nous étudions enfin le modèle bidimensionnel décrivant un écoulement laminaire avec convection mixte entre deux plaques planes puis dans un tube vertical. Avec des conditions aux bords réduites, nous montrons via le théorème de la variété centrale qu'il existe dans le premier cas une bifurcation de pitchfork pour une valeur critique du nombre de Rayleigh.

Cette thèse concerne l'homogénéisation, ou limite semi-classique, des transformées de Wigner associées à des suites bornées L^2 solutions d'une équation de Schrödinger ou d'un système hyperbolique linéaire du premier ordre. On établit diverses équations de transport satisfaites par les mesures de Wigner limites lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. <br /><br />Une première partie résume les propriétés générales de la transformation en rappelant son lien avec le calcul pseudo-différentiel. <br /><br />Une seconde partie étudie la perturbation des hamiltoniens périodiques par des potentiels réguliers apériodiques au moyen d'estimations de commutation concernant les décompositions de Bloch. <br /><br />Une troisième partie étudie sous une hypothèse de couplage faible l'homogénéisation de certains milieux aléatoires évoluant chaotiquement selon une dynamique réversible mais gouvernés en moyenne par une dynamique irréversible de type Bolztmann. <br /><br />Une quatrième partie clarifie au moyen du formalisme des transformées de Wigner un résultat connu d'existence-unicité pour la hiérarchie infinie BBGKY du problème de Schrödinger à N particules, lorsque N tend vers l'infini, dans l'approximation de champ moyen.

Cette thèse porte sur la conception de commandes robustes pour les systèmes non linéaires, mettant l'accent sur les systèmes mécaniques. Des résultats concluants sont présentés pour résoudre deux situations très abordées dans la théorie du contrôle : 1) La stabilité des systèmes non linéaires perturbés ; 2) Le suivi global de trajectoire dans les systèmes mécaniques en ayant seulement connaissance de la position. Nous avons commencé par donner une méthode de conception des commandes robustes pour assurer une régulation de sortie non passive. En outre, si le système est perturbé (pas appariés), des preuves rigoureuses pour les rejeter sont fournies. Ce résultat est principalement inspiré d'un changement de coordonnées et de l'action intégrale dynamique. Si le scénario à traiter concerne des systèmes mécaniques avec des perturbations variant dans le temps, nous dotons le système de propriétés comme IISS (Integral Input- State Stable) et ISS (Input-State Stable). Ce résultat est obtenu en modifiant la procédure de conception de manière à rejeter les perturbations constantes (pas appariés). Cependant, en raison de la non-linéarité du système, les commandes qui en résultent ont une grande complexité. Pour le même problème, un deuxième et élégant résultat est donné au cas où un changement préalable de variable (impulsions) est réalisé. Finalement, une réponse convaincante au problème de suivi de trajectoire pour les systèmes mécaniques est donnée en tenant compte uniquement des informations de position. Nous résolvons ce problème en deux étapes. Premièrement, quelques modifications sont apportées à la preuve de stabilité d'un observateur de vitesse basée sur la théorie de l'invariance et l'Immersion récemment publié. Notez que ceci est un observateur satisfaisant la convergence exponentielle de vitesse dans les systèmes mécaniques. Deuxièmement et sur la base du changement de coordonnées (impulsions), un contrôleur de suivi avec stabilité exponentielle, tenant compte de la position et de la vitesse, est proposé. De telle sorte qu'avec la combinaison des deux résultats, le suivi de trajectoire exponentielle avec retour de position est donné.

Deux modèles sont développés afin d'interpréter la physico-chimie des ions organométalliques en phase gazeuse.<br /><br /> Les surfaces de potentiel associées à la réactivité sont modélisées dans le cadre de la théorie des hamiltoniens effectifs, et l'on s'intéresse plus particulièrement à l'addition oxydante d'un ion LnM+ sur une liaison H-H. L'idée est de bâtir un hamiltonien effectif associé aux électrons actifs, c'est-à-dire à l'insertion de M+ dans la liaison H-H, puis d'utiliser une approche de type champ de ligands pour traiter l'effet des ligands spectateurs (Ln). L'originalité de l'approche réside surtout dans la construction du hamiltonien effectif associé à M+ + H-H. Il est bâti à partir de potentiels à deux corps associés à M+-H et H-H, dérivés de calculs ab initio sur les états électroniques de valence de ces fragments. En utilisant une correction appropriée pour les termes à trois corps, notre modèle localise correctement les points stationnaires de M+ + H2, et la précision sur leurs énergies relatives est de l'ordre de 20 kJ/mol.<br /><br /> La seconde partie porte sur le développement d'un modèle cinétique pour interpréter l'efficacité de fragmentation d'ion induite par une absorption multiphotonique infrarouge en phase gazeuse, phénomène exploité pour obtenir le spectre IR d'ions formés en spectrométrie de masse. Les paramètres de notre modèle sont associés à la focalisation et à la structure temporelle du laser, ainsi qu'à la trajectoire et aux paramètres physico-chimiques des ions. La très bonne simulation de plusieurs expériences permet de mieux comprendre les phénomènes observés et constituera un guide précieux pour les prochaines campagnes d'expériences.

La théorie classique des formes normales a pour but de simplifier des problèmes compliqués grâce à des changements de coordonnées réguliers pour ne conserver que les caractéristiques dynamiques du système. Plus précisément, on considère un système dynamique que l'on dit "élémentaire", comme par exemple la partie linéaire d'un champ de vecteurs au voisinage d'un point singulier, et on se donne une perturbation de ce système élémentaire. Les formes normales sont alors l'ensemble des représentants de ces perturbations à la conjugaison près d'une transformation régulière. Elles ne sont constituées que des termes qui caractérisent la dynamique du système perturbé et que l'on appelle "résonances". Dans la première partie de la thèse on cherche à comprendre la dynamique locale d'équations différentielles implicites de la forme F(x,y,y')=0, où F est un germe de fonction holomorphe au voisinage d'un point singulier. Pour cela on utilise la relation intime entre les systèmes implicites et les champs liouvilliens. La classification par transformation de contact des équations implicites provient de la classification symplectique des champs liouvilliens. On utilise alors toute la théorie des formes normales pour les champs de vecteurs, dans le cas holomorphe (Brjuno, Siegel, Stolovitch) et dans le cas réel (Sternberg), que l'on adapte pour les champs liouviliens avec des transformations symplectiques. On établit alors des résultats de classification des équations implicites en fonction des invariants dynamiques, ainsi que des conditions d'existence de solutions locales via les formes normales.

L'équation de la chaleur est un phénomène macroscopique, émergeant après une limite d’échelle diffusive (en espace et en temps) d’un système d'oscillateurs couplés. Lorsque les interactions entre oscillateurs sont linéaires, l'énergie évolue de manière balistique, et la conductivité thermique est infinie. Certaines non-linéarités doivent donc apparaître au niveau microscopique, si l’on espère observer une diffusion normale. Pour apporter de l'ergodicité, on ajoute à la dynamique déterministe une perturbation stochastique qui conserve l'énergie. En premier lieu nous étudions la dynamique Hamiltonienne d'un système d'oscillateurs linéaires, perturbé par un bruit stochastique dégénéré conservatif. Ce dernier transforme à des temps aléatoires les vitesses en leurs opposées. On montre que l'évolution macroscopique du système est caractérisée par un système parabolique non-linéaire couplé pour les deux lois de conservation du modèle. Ensuite, nous supposons que les oscillateurs évoluent en environnement aléatoire. La perturbation stochastique est très dégénérée, et on prouve que le champ de fluctuations de l'énergie à l'équilibre converge vers un processus d'Ornstein-Uhlenbeck généralisé dirigé par l’équation de la chaleur.Il est désormais connu que les systèmes unidimensionnels présentent une diffusion anormale lorsque le moment total est conservé en plus de l'énergie. Dans une troisième partie, on considère deux perturbations, l'une préservant le moment, l'autre détruisant cette conservation. En faisant décroître l'intensité de la seconde perturbation, on observe une transition de phase entre un régime de diffusion normale et un régime de superdiffusion. / The heat equation is known to be a macroscopic phenomenon, emerging after a diffusive rescaling of space and time. In linear systems of interacting oscillators, the energy ballistically disperses and the thermal conductivity is infinite. Since the Fourier law is not valid for linear interactions, non-linearities in the microscopic dynamics are needed. In order to bring ergodicity to the system, we superpose a stochastic energy conserving perturbation to the underlying deterministic dynamics.In the first part we study the Hamiltonian dynamics of linear coupled oscillators, which are perturbed by a degenerate conservative stochastic noise. The latter flips the sign of the velocities at random times. The evolution yields two conservation laws (the energy and the length of the chain), and the macroscopic behavior is given by a non-linear parabolic system.Then, we suppose the harmonic oscillators to evolve in a random environment, in addition to be stochastically perturbed. The noise is very degenerate, and we prove a macroscopic behavior that holds at equilibrium: precisely, energy fluctuations at equilibrium evolve according to an infinite dimensional Ornstein-Uhlenbeck process driven by the linearized heat equation.Finally, anomalous behaviors have been observed for one-dimensional systems which preserve momentum in addition to the energy. In the third part, we consider two different perturbations, the first one preserving the momentum, and the second one destroying that new conservation law. When the intensity of the second noise is decreasing, we observe (in a suitable time scale) a phase transition between a regime of normal diffusion and a regime of super-diffusion.

Arnold a démontré l'existence de solutions quasipériodiques dans le problème planétaire à trois corps plan, sous réserve que la masse de deux des corps, les planètes, soit petite par rapport à celle du troisième, le Soleil. Cette condition de petitesse dépend de façon cachée de la largeur d'analyticité de l'hamiltonien du problème, dans des coordonnées transcendantes. Hénon ex- plicita un rapport de masses minimal nécessaire à l'application du théorème de Arnold. L'objectif de cette thèse sera de donner une condition suffisante sur les rapports de masses. Une première partie de mon travail consiste à estimer cette largeur d'analyticité, ce qui passe par l'étude précise de l'équation de Kepler dans le complexe, ainsi que celle des singularités complexes de la fonction perturbatrice. Une deuxième partie consiste à mettre l'hamiltonien sous forme normale, dans l'optique d'une application du théorème KAM (du nom de Kolmogorov-Arnold-Moser). Il est nécessaire d'étudier le hamiltonien séculaire pour le mettre sous une forme normale adéquate. On peut alors quantifier la non-dégénérescence de l'hamiltonien séculaire, ainsi qu'estimer la perturbation. Enfin, il faut démontrer une version quantitative fine du théorème KAM, inspirée de Pöschel, avec des constantes explicites. A l'issue de ce travail, il est montré que le théorème KAM peut être appliqué pour des rapports de masses entre planètes et étoile de l'ordre de 10^(-85). / Arnold showed the existence of quasi-periodic solutions in the plane planetary three-body prob- lem, provided that the mass of two of the bodies, the planets, is small compared to the mass of the third one, the Sun. This smallness condition depends in a sensitive way on the analyticity widths of the Hamiltonian of the three-body problem, expressed with the help of some tran- scendental coordinates. Hénon gave a minimal ratio of masses necessary to the application of Arnold’s theorem. The main objective of this thesis is to determine a sufficient condition on this ratio. A first part of this work consists in estimating these analyticity widths, which requires a precise study of the complex Kepler equation, as well as the complex singularities of the disturb- ing function. A second part consists in reworking the Hamiltonian to put it under normal form, in order to apply the KAM theorem (KAM standing for Kolmogorov-Arnold-Moser). In this aim, it is essential to work with the secular Hamiltonian to put it under a suitable normal form. We can then quantify the non-degeneracy of the secular Hamiltonian, as well as estimate the perturbation. Finally, it is necessary to derive a quantitative version of the KAM theorem, in order to identify the hypotheses necessary for its application to the plane three-body problem. After this work, it is shown that the KAM theorem can be applied for a ratio of masses that is close to 10^(−85) between the planets and the star.

Soit M une variété lisse fermée et considérons sont fibré cotangent T*M muni de la structure symplectique usuelle induite par la forme de Liouville. Une hypersurface S de T*M$ est dite étoilée fibre par fibre si pour tout point q de M, l'intersection Sq de S avec la fibre au dessus de q est le bord d'un domaine étoilé par rapport à l'origine 0q de la fibre T*qM. Un flot est naturellement associé à S, il s'agit de l'unique flot généré par le champ de Reeb le long de S, le flot de Reeb. <p><p>L'existence d'une orbite orbite fermée du flot de Reeb sur S fut annoncée par Weinstein dans sa conjecture en 1978. Indépendamment, Weinstein et Rabinowitz ont montré l'existence d'une orbite fermée sur les hypersurfaces de type étoilées dans l'espace réel de dimension 2n. Sous les hypothèses précédentes, l'existence d'une orbite fermée fut démontrée par Hofer et Viterbo. Dans le cas particulier du flot géodésique, l'existence de plusieurs orbites fermées fut notamment étudiée par Gromov, Paternain et Paternain-Petean. Dans cette thèse, ces résultats sont généralisés. <p><p>Les résultats principaux de cette thèse montrent que la structure topologique de la variété M implique, pour toute hypersurface étoilée fibre par fibre, l'existence de beaucoup d'orbites fermées du flot de Reeb. Plus précisément, une borne inférieure de la croissance du nombre d'orbites fermées du flot de Reeb en fonction de leur période est mise en évidence. /<p><p>Let M be a smooth closed manifold and denote by T*M the cotangent bundle over M endowed with its usual symplectic structure induced by the Liouville form. A hypersurface S of T*M is said to be fiberwise starshaped if for each point q in M the intersection Sq of S with the fiber at q bounds a domain starshaped with respect to the origin 0q in T*qM. There is a flow naturally associated to S, generated by the unique Reeb vector field R along S ,the Reeb flow. <p><p>The existence of one closed orbit was conjectured by Weinstein in 1978 in a more general setting. Independently, Weinstein and Rabinowitz established the existence of a closed orbit on star-like hypersurfaces in the 2n-dimensional real space. In our setting the Weinstein conjecture without the assumption was proved in 1988 by Hofer and Viterbo. The existence of many closed orbits has already been well studied in the special case of the geodesic flow, for example by Gromov, Paternain and Paternain-Petean. In this thesis we will generalize their results.<p><p>The main result of this thesis is to prove that the topological structure of $M$ forces, for all fiberwise starshaped hypersurfaces S, the existence of many closed orbits of the Reeb flow on S. More precisely, we shall give a lower bound of the growth rate of the number of closed Reeb-orbits in terms of their periods. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans la classe de complexité QMA – la généralisation quantique de la classe NP – un état quantique est fourni comme preuve à un algorithme de vérification pour l’aider à résoudre un problème. Cette classe de complexité a un problème complet naturel, le problème des Hamiltoniens locaux. Inspiré par la Physique de la matière condensée, ce problème concerne l’énergie de l’état fondamental d’un système quantique. Dans le cadre de cette thèse, nous étudions quelques problèmes liés à la classe QMA et au problème des Hamiltoniens locaux. Premièrement, nous étudions la différence de puissance si au lieu d’une preuve quantique, l’algorithme de vérification quantique reçoit une preuve classique. Nous proposons un cadre intermédiaire à ces deux cas, où la preuve consiste en un état quantique “plus simple” et nous arrivons à démontrer que ces états plus simples sont suffisants pour résoudre tous les problèmes dans QMA. À partir de ce résultat, nous obtenons un nouveau problème QMA-complet et nous étudions aussi la version de notre nouvelle classe de complexité avec erreur unilatérale. Ensuite, nous proposons le premier schéma de délégation vérifiable relativiste de calcul quantique. Dans ce cadre, un client classique délègue son calcul quantique à deux serveurs quantiques intriqués. Ces serveurs peuvent communiquer entre eux en respectant l’hypothèse que l’information ne peut pas être propagé plus vite que la vitesse de la lumière. Ce protocole a été conçu à partir d’un jeu non-local pour le problème des Hamiltoniens locaux avec deux prouveurs et un tour de communication. Dans ce jeu, les prouveurs exécutent des calculs quantiques de temps polynomiaux sur des copies de l’état fondamental du Hamiltonien. Finalement, nous étudions la conjecture PCP quantique, où l’on demande si tous les problèmes dans la classe QMA acceptent un système de preuves où l’algorithme de vérification a accès à un nombre constant de qubits de la preuve quantique. Notre première contribution consiste à étendre le modèle QPCP avec une preuve auxiliaire classique. Pour attaquer le problème, nous avons proposé une version plus faible de la conjecture QPCP pour ce nouveau système de preuves. Nous avons alors montré que cette nouvelle conjecture peut également être exprimée dans le contexte des problèmes des Hamiltoniens locaux et ainsi que dans lecadre de la maximisation de la probabilité de acceptation des jeux quantiques. Notre résultat montre la première équivalence entre un jeu multi-prouveur et une conjecture QPCP. / In QMA, the quantum generalization of the complexity class NP, a quantum state is provided as a proof of a mathematical statement, and this quantum proof can be verified by a quantum algorithm. This complexity class has a very natural complete problem, the Local Hamiltonian problem. Inspired by Condensed Matters Physics, this problem concerns the groundstate energy of quantum systems. In this thesis, we study some problems related to QMA and to the Local Hamiltonian problem. First, we study the difference of power when classical or quantum proofs are provided to quantum verification algorithms. We propose an intermediate setting where the proof is a “simpler” quantum state, and we manage to prove that these simpler states are enough to solve all problems in QMA. From this result, we are able to present a new QMA-complete problem and we also study the one-sided error version of our new complexity class. Secondly, we propose the first relativistic verifiable delegation scheme for quantum computation. In this setting, a classical client delegates her quantumcomputation to two entangled servers who are allowed to communicate, but respecting the assumption that information cannot be propagated faster than speed of light. This protocol is achieved through a one-round two-prover game for the Local Hamiltonian problem where provers only need polynomial time quantum computation and access to copies of the groundstate of the Hamiltonian. Finally, we study the quantumPCP conjecture, which asks if all problems in QMA accept aproof systemwhere only a fewqubits of the proof are checked. Our result consists in proposing an extension of QPCP proof systems where the verifier is also provided an auxiliary classical proof. Based on this proof system, we propose a weaker version of QPCP conjecture. We then show that this new conjecture can be formulated as a Local Hamiltonian problem and also as a problem involving the maximum acceptance probability of multi-prover games. This is the first equivalence of a multi-prover game and some QPCP statement.

Dans cette thèse nous étudions des systèmes hamiltoniens de particules en interaction, où chaque particule est faiblement couplée avec son propre thermostat de type Langevin de température positive arbitraire. Les modèles peuvent être vu comme des cristaux plongés dans un milieu continue et interagissants faiblement avec ce dernier.Nous nous intéressons au transport d'énergie dans les systèmes quand les couplages des particules avec leurs thermostats tendent vers zéro simultanément avec les couplages entre eux.Nous examinons deux situations opposées, quand la mesure de Lebesgue des resonances du système de particules découplées est nulle et quand elle est pleine. Dans le premier cas, en utilisant la méthode de moyennisation stochastique, nous démontrons que dans la limite ci-dessus le comportement de l'énergie locale des particules sur des intervalles de temps longs, et dans le régime stationnaire est donné par une équation autonome stochastique, laquelle predit uniquement le transport d'énergie non hamiltonien.Dans le second cas, en utilisant la méthode de moyennisation resonante stochastique, nous prouvons que la dynamique limite de l'énergie locale est contrôlée par une équation efficace stochastique. La dernière prevoit le transport d'energie hamiltonien entre les particules. Cependant, elle n'est pas autonome pour l'énergie locale. En utilisant cette asymptotique, nous montrons que dans la limite ci-dessus le flux d'énergie hamiltonien du système satisfait des relations qui ressemblent à la loi de Fourier et à la formule de Green-Kubo (cependant, elles ne le sont pas).La plupart des résultats et convergences que nous obtenons dans la thèse sont uniformes par rapport au nombre de particules dans les systèmes, qui rend nos résultats pertinents du point de vue de la physique statistique. / In the present thesis we study Hamiltonian systems of particles with weak nearest-neighbour interaction, where each particle is weakly coupled with its own stochastic Langevin-type thermostat of arbitrary positive temperature.The models can be seen as crystals plugged in some medium and weakly interacting with it.We are interested in the energy transport through the systems when the couplings of the particles with the thermostats go to zero simultaneously with their couplings with each other.We investigate two opposite situations, when resonances of the system of uncoupled particles have Lebesgue measure zero and when they are of full Lebesgue measure.In the first case, using the method of stochastic averaging, we prove that under the limit above behaviour of the local energy of particles on long time intervals and in a stationary regime is given by an autonomous stochastic equation, which does not provide any Hamiltonian energy transport.For the second situation, using the method of resonant stochastic averaging, we show that the limiting dynamics of the local energy is governed by a stochastic effective equation. The latter provides Hamiltonian energy transport between the particles, however, is not an autonomous equation for the local energy. Using this asymptotics, we prove that under the limit above the Hamiltonian energy flow in the system satisfies some relations which resemble the Fourier law and the Green-Kubo formula (however, which are not).Most of results and convergences obtained in the thesis are uniform with respect to the number of particles in the systems, what makes our results relevant from the point of view of statistical physics.