Dans ce travail nous étudions les variétés determinantales essentiellement isolées (EIDS). Ce type de singularité est une généralization de la notion de singularité isolée. La variété determinantale générique $M_{m,n}^t$ est un sous-ensemble des matrices, mxn, tels que le rang est inférieur que t, où t≤m≤n. Une variété X est determinantal si X est définie comme la pré-image d'une fonction holomorphe, $F:\mathbb{C}^N \to M$, sur la variété determinantale générique avec la condition $codim X=codim M_{m,n}^t$.Certains travaux précédents ont étudié les variétés determinantales avec singularité isolée et ils ont défini le nombre de Milnor d'une surface determinantale et la caractéristique évanescente d'Euler.Nous étudions l'ensemble des hyperplans limites d'hyperplans tangents à une surface determinantale en $\mathbb{C}^4$ et 3-variété en $\mathbb{C}^5$ pour donner une caractérisation de ces hyperplans, par le fait que le nombre de Milnor de leur section avec la surface dans le premier cas ou la 3- variété dans le deuxième cas n'est pas minimum.Nous montrons également que, si X est une EIDS, de dimension d et H et H' sont des hyperplans fortement généraux, si $P \subset H$ et $P'\subset H'$ sont des plans de codimension d-2, les nombres de Milnor des surfaces genériques sont égaux.Nous étudions aussi la modification de Nash d'une EIDS et donnons des conditions suffisantes pour que cette transformation soit lisse.Un autre objectif de notre travail est l'étude de l'obstruction d'Euler d Nous obtenons des formules inductives qui relient l'obstruction d'Euler de X à la caractéristique d'Euler évanescente du lissage essentiel de leurs sections génériques. / In this work, we study the essentially isolated determinantal singularities (EIDS). This type of singularities is a natural generalization of isolated ones. A generic determinantal variety $M_{m,n}^t$ is a subset of the space of mxn matrices, given by matrices of rank less than t, where t≤m≤n. A variety X is determinantal if X is defined as the pre-image of $M_{m,n}^t$ by a holomorphic function $F:\mathbb{C}^N \to M$ with the condition $codim X=codim M_{m,n}^t$.Several recent works investigate determinantal variety with isolated singularities and they are difened the Milnor number and the vanishing Euler characteristic.In this work we study the set of limits of tangent hyperplanes to surface in $\mathbb{C}^4$ and 3-variety in $\mathbb{C}^5$ to give a characterization of this set by the fact that the Milnor number of its section with the surface in the first case or the 3-dimensional determinantal variety in the second case is not minimum. We also prove that if X is a d- dimensional EIDS and H and H' are strongly general hyperplans, if $P \subset H$ and $P'\subset H'$ are d-2 linear plans, the Milnor number of the generic surfaces are equal.We study the Nash transformation of an EIDS and give sufficient conditions for this transformation to be smooth.Another aim of our study is the Euler obstruction of essentially isolated determinantal singularities. We obtain inductive formulas associating the Euler obstruction with the vanishing Euler characteristic of the essencial smoothing of their generic sections.

Cette thèse est consacrée au calcul des états atteignables des systèmes linéaires et hybrides. La première partie est consacrée aux systèmes linéaires. Après avoir présenté les méthodes existantes, nous introduisons notre principale contribution: un nouveau schéma algorithmique pour l'analyse d'accessibilité des systèmes linéaires invariants qui surclasse nettement les algorithmes existants. Une implémentation exacte peut produire des ensembles difficiles à manipuler, nous proposons donc une version produisant une sur-approximation non soumise à l'effet d'emballage, une accumulation incontrôlée des erreurs d'approximation, ainsi qu'une variante dédiée aux fonctions support, une représentation fonctionnelle des ensembles convexes. La deuxième partie adapte ces résultats aux systèmes hybrides. Nous montrons d'abord comment gérer les invariants, avant de nous intéresser à l'approximation de l'intersection entre l'ensemble atteignable par la dynamique continue et des gardes hyperplanaires.

Cette thèse est une contribution à l'étude des arrangements. L'idée est le calcul de la combinatoire d'un arrangement de courbes ou surfaces compte tenu du fait que les données et les opérations ne seront connues qu'à une précision près. Dans cette démarche, il se pose un problème qui est de savoir si la combinatoire d'un arrangement est stable lorsque les éléments constitutifs sont perturbés. Un préliminaire indispensable est alors d'établir une définition rigoureuse adaptée à nos besoin concernant l'équivalence des arrangements. Le travail consiste essentiellement en un développement des notions mathématiques nécessaires pour étudier l'équivalence, la construction, les perturbations d'arrangements. Quelques résultats en terme d'analyse de complexité sont également énoncés. Des résultats sont obtenus sur les perturbations d'arrangements d'hyperplans en dimension quelconque. Dans le plan est étudiée une méthode particulière de calcul des arrangements des courbes, avec un exemple détaillé sur les cercles. Utilisant des transformations classiques de dualité, des applications des propriétés d'équivalence des arrangements d'hyperplans aux configurations de points et aux diagrammes de Voronoï sont aussi données

Dans cette thèse, nous étudions l'enveloppe convexe des arbres binaires à racine sur n feuilles.Ce sont les arbres de Huffman dont les feuilles sont labellisées par n caractères. à chaque arbre de Huffman T de n feuilles, nous associons un point xT , appelé point de Huffman, dans l'espace Qn où xT est le nombre d'arêtes du chemin reliant la feuille du ième caractère et la racine.L'enveloppe convexe des points de Huffman est appelé Huffmanoèdre. Les points extrêmes de ce polyèdre sont obtenus dans un premier temps en utilisant l'algorithme d'optimisation qui est l'algorithme de Huffman. Ensuite, nous décrivons des constructions de voisinages pour un point de Huffman donné. En particulier, une de ces constructions est principalement basée sur la construction des sommets adjacents du Permutoèdre. Puis, nous présentons une description partielle du Huffmanoèdre contenant en particulier une famille d'inégalités définissant des facettes dont les coefficients, une fois triés, forment une suite de Fibonacci. Cette description bien que partielle nous permet d'une part d'expliquer la plupart d'inégalités définissant des facettes du Huffmanoèdre jusqu'à la dimension 8, d'autre part de caractériser les arbres de Huffman les plus profonds, i.e. une caractérisation de tous les facettes ayant au moins un plus profond arbre de Huffman comme point extrême. La contribution principale de ce travail repose essentiellement sur les liens que nous établissons entre la construction des arbres et la génération des facettes / In this thesis, we study the convex hull of full binary trees of n leaves. There are the Huffman trees, the leaves of which are labeled by n characters. To each Huffman tree T of n leaves, we associate a point xT , called Huffman point, in the space Qn where xT i is the lengths of the path from the root node to the leaf node marked by the ith character. The convex hull of the Huffman points is called Huffmanhedron. The extreme points of the Huffmanhedron are first obtained by using the optimization algorithm which is the Huffman algorithm. Then, we describe neighbour constructions given a Huffman point x. In particular, one of these constructions is mainly based on the neighbour construction of the Permutahedron. Thereafter, we present a partial description of the Huffmanhedron particularly containing a family of inequalities-defining facets whose coeficients follows in some way the law of the well-known Fibonacci sequence. This description allows us, on the one hand, to explain the most of inequalities-defining facets of the Huffmanhedron up to the dimension 8, on the other hand, to characterize the Huffman deepest trees, i.e a linear characterization of all the facets containing at least a Huffman deepest tree as its extreme point. The main contribution of this work is essentially base on the link what we establish between the Huffman tree construction and the facet generation.

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes et d'une annexe. Le thème principal de la première partie tourne autour des groupes de réflexions tandis que la deuxième partie aborde la notion de catégorie stable. L'annexe s'attarde sur les conventions de signes dans les catégories de complexes. <br /><br />Dans la première partie, on considère un groupe de réflexion G agissant sur l'espace vectoriel V dans sa représentation de réflexions. On étudie alors la composante isotypique relativement à un caractère linéaire de G de l'algèbre produit tensorielle de l'algèbre symétrique du dual de V et de l'algèbre extérieure d'une représentation de dimension finie de G. On construit une structure d'algèbre sur cette composante isotypique. On montre aussi que la structure d'algèbre construite est en fait une structure d'algèbre extérieure. On termine cette partie en illustrant ces résultats pour quelques groupes de réflexions particuliers.<br /><br />La deuxième partie est consacrée à la généralisation d'un théorème de Rickard. Lorsque M est un foncteur ayant un adjoint à droite et à gauche, on définit la notion de catégorie M-stable d'une catégorie abélienne ou triangulée. La catégorie M-stable hérite d'une structure de catégorie triangulée. Dans le cas abélien, la catégorie M-stable est aussi, de façon analogue à la catégorie stable usuelle, un quotient d'une catégorie M-dérivée.

Les institutions financières sont, dans l’exercice de leurs fonctions, confrontées à divers risques, entre autres le risque de crédit, le risque de marché et le risque opérationnel. L’instabilité de ces facteurs fragilise ces institutions et les rend vulnérables aux risques financiers qu’elles doivent, pour leur survie, être à même d’identifier, analyser, quantifier et gérer convenablement. Parmi ces risques, celui lié au crédit est le plus redouté par les banques compte tenu de sa capacité à générer une crise systémique. La probabilité de passage d’un individu d’un état non risqué à un état risqué est ainsi au cœur de nombreuses questions économiques. Dans les institutions de crédit, cette problématique se traduit par la probabilité qu’un emprunteur passe d’un état de "bon risque" à un état de "mauvais risque". Pour cette quantification, les institutions de crédit recourent de plus en plus à des modèles de credit-scoring. Cette thèse porte sur les techniques actuelles de credit-scoring adaptées aux besoins d’une institution de crédit, le CFCAL-banque, spécialisé dans les prêts garantis par hypothèques. Nous présentons en particulier deux modèles non paramétriques (SVM et GAM) dont nous comparons les performances en termes de classification avec celles du modèle logit traditionnellement utilisé dans les banques. Nos résultats montrent que les SVM sont plus performants si l’on s’intéresse uniquement à la capacité de prévision globale. Ils exhibent toutefois des sensibilités inférieures à celles des modèles logit et GAM. En d’autres termes, ils prévoient moins bien les emprunteurs défaillants. Dans l’état actuel de nos recherches, nous préconisons les modèles GAM qui ont certes une capacité de prévision globale moindre que les SVM, mais qui donnent des sensibilités, des spécificités et des performances de prévision plus équilibrées. En mettant en lumière des modèles ciblés de scoring de crédit, en les appliquant sur des données réelles de crédits hypothécaires, et en les confrontant au travers de leurs performances de classification, cette thèse apporte une contribution empirique à la recherche relative aux modèles de credit-scoring. / Financial institutions face in their functions a variety of risks such as credit, market and operational risk. These risks are not only related to the nature of the activities they perform, but also depend on predictable external factors. The instability of these factors makes them vulnerable to financial risks that they must appropriately identify, analyze, quantify and manage. Among these risks, credit risk is the most prominent due to its ability to generate a systemic crisis. The probability for an individual to switch from a risked to a riskless state is thus a central point to many economic issues. In credit institution, this problem is reflected in the probability for a borrower to switch from a state of “good risk” to a state of “bad risk”. For this quantification, banks increasingly rely on credit-scoring models. This thesis focuses on the current credit-scoring techniques tailored to the needs of a credit institution: the CFCAL-banque specialized in mortgage credits. We particularly present two nonparametric models (SVM and GAM) and compare their performance in terms of classification to those of logit model traditionally used in banks. Our results show that SVM are more effective if we only focus on the global prediction performance of the models. However, SVM models give lower sensitivities than logit and GAM models. In other words the predictions of SVM models on defaulted borrowers are not satisfactory as those of logit or GAM models. In the present state of our research, even GAM models have lower global prediction capabilities, we recommend these models that give more balanced sensitivities, specificities and performance prediction. This thesis is not completely exhaustive about the scoring techniques for credit risk management. By trying to highlight targeted credit scoring models, adapt and apply them on real mortgage data, and compare their performance through classification, this thesis provides an empirical and methodological contribution to research on scoring models for credit risk management.