Dans une première partie, nous considérons des problèmes de Cauchy pour des équations et systèmes hyperboliques du premier ordre. Nous donnons une représentation de l'opérateur solution comme produit infini d'opérateurs intégraux de Fourier à phase complexe. Nous démontrons la convergence de cette représentation dans les espaces de Sobolev, ainsi que celle du front d'onde. Pour les systèmes, nous traitons les cas symétriques et symétrisables. La représentation proposée conduit naturellement à des schémas numériques pour la résolution des problèmes de Cauchy. Nous présentons des applications de cette méthode dans le domaine de l'imagerie sismique. Dans ce cadre, grâce à des approximations microlocales nous obtenons des schémas efficaces. D'autres applications de l'analyse microlocale à la sismologie sont présentées.<br />Dans une seconde partie, nous étudions la contrôlabilité aux trajectoires pour des équations paraboliques linéaires et semi-linéaires. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas d'opérateurs sous forme divergentielle où le coefficient de la partie principale est non continu. Nous prouvons tout d'abord une inégalité de Carleman, en dimension un d'espace, pour un coefficient $C^1$ par morceaux. Par un passage à la limite dans l'inégalité de Carleman, ce résultat est étendu au cas d'un coefficient $BV$. Avec ces résultats, nous prouvons la contrôlabilité de ces équations paraboliques en dimension un d'espace sans faire d'hypothèse de compatibilité entre la région de contrôle et les signes des sauts du coefficient discontinu. De plus, nous exhibons un cas en dimension supérieure pour lequel la même conclusion est obtenue. Finalement, nous utilisons une inégalité de Carleman afin d'identifier le coefficient discontinu à partir de mesures faites sur la solution.

De type parabolique et soumis à l’action d’un couple de contrôles (h, k) où h et k jouent des rôles différents ; le contrôle k étant de type "contrôlabilité" et h de type "contrôle optimal".Il est alors naturel de considérer un problème d’optimisation multi-critères. Il existe plusieurs façons d’étudier de tels problèmes. Nous proposons, dans cette thèse, le contrôle de Stackelberg. Il s’agit d’une notion d’optimisation hiérarchique avec, ici, h qui est le "Leader" et k le "Follower". / In this thesis, we are interested in evolution problems governed by parabolic equations subjected to the action of a pair of controls (h, k) where h and k play different roles : the control k being of "controllability" type and h of "optimal control" type.It is then natural to consider a multi-criteria optimization problem. There are several ways to study such problems. We propose in this thesis, the Stackelberg control which is a notion of hierarchical optimization with here, h which is the "Leader" and k the "Follower".

Dans la première partie, on démontre des inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques. Au chapitre 1, on démontre des inégalités de stabilité pour un système parabolique 2 x 2 en utilisant des inégalités de Carleman avec une seule observation. Il s'agit d'un problème inverse pour l'identification des coefficients et les conditions initiales du système. Le chapitre2 est consacré aux inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques dont les coefficients de diffusion sont de classe C1 par morceaux ou à variations bornées. A la fin, on donne quelques applications à la contrôlabilité à zéro. La seconde partie est consacrée à l'étude d'un problème de diffraction d'ondes acoustiques dans un demi-plan homogène. Il s'agit d'un problème aux limites associé à l'équation de Helmholtz dans le demi-plan supérieur avec une donnée de Neumann non homogène au bord. On apporte des éléments de réponse sur la question d'unicité et d'existence des solutions pour certaines classes de la donnée au bord. / In the first part, we prove Carleman estimates for parabolic systems. In chapter1, we prove stability inequalities for 2 x 2 parabolic system using Carleman estimates with one observation. It is concerns to the identification of the coefficients and initial conditions of the system. The chapter2 is devoted to th Carleman estimates of parabolic systems for which the diffusion coefficients are assumed to be ofclass piecewise C1 or with bounded variations. In the end, we give some applications to the null controllability. The second part is devoted to the study of the scattering problem of acoustics waves in a homogeneous half-plane. It is about a boundary value problem associated to the Helmholtz equation in theupper half-plane with a nonhomogeneous Neumann boundary data. We provide some answers to the question of uniqueness and existence of solutions for some classes of the boundary data.

Les travaux rassemblés dans ce manuscrit d'habilitation portent sur quelques modèles d'équations aux dérivées partielles et se développent selon deux axes, l'un orienté vers des questions d'identifiabilité de paramètres, l'autre vers la commande robuste aux perturbations extérieures. Le premier axe est introduit par une présentation de l'état de l'art concernant les problèmes inverses de détermination de coefficients dans les principales équations d'évolution. Il s'articule d'abord autour de la démonstration de la stabilité du problème inverse de détermination du potentiel dans une simple équation des ondes posée en domaine borné. Cela permet de décrire divers cas plus exotiques, où l'équation des ondes est posée avec des conditions de transmission sur une interface connue, ou posée sur un réseau de branches en dimension un d'espace, ou bien encore semi-discrétisée en la variable d'espace. Le principal outil construit et employé est une inégalité de Carleman appropriée à chaque situation. La méthode qui permet d'en déduire la stabilité du problème inverse sert ensuite à la mise en place d'un schéma numérique nouveau pour la reconstruction du potentiel. D'autres études de stabilité de problèmes inverses pour des équations paraboliques et dispersives viennent conclure cette partie. Le second axe de mes travaux s'attache à la commande robuste de systèmes de dimension infinie décrits par des équations aux dérivées partielles. La principale motivation consiste à pouvoir travailler même avec ces systèmes dans un cadre de type espace d'état et obtenir des résultats en commande robuste H-infini similaires à ceux de la dimension finie. Nous détaillons ainsi un théorème ramenant, dans le cadre de systèmes de dimension infinie, la commande robuste à la résolution d'équations de Riccati. L'idée finale est de formuler des résultats théoriques de commande garantissant une certaine robustesse de la stabilité du système en assurant le rejet des perturbations. Nous présentons dans un premier temps l'étude d'un système d'optique adaptative qu'il a été possible de formuler dans un tel cadre avant d'effectuer des simulations numériques sur le modèle tronqué. C'est ensuite un système couplé fluide/structure modélisé à base d'équations aux dérivées partielles puis réduit à la dimension finie qui est présenté. Il est finalement étudié avec les outils usuels de la commande (placement de pôles, observateurs, contrôleurs d'ordre réduit) avant de faire l'objet de test sur le banc d'essai à l'origine du modèle.

Ce travail est consacré à l'étude de quelques problèmes de contrôlabilité concernant plusieurs modèles issues de la mécanique des fluides. Dans le Chapitre 2, on obtient la contrôlabilité locale à zéro du système de Navier-Stokes avec contrôles distribués ayant une composante nulle. La nouveauté la plus importante est l'absence de conditions géometriques sur le domaine de contrôle. Le Chapitre 3 étend ce résultat pour le système de Boussinesq, où le couplage avec l'équation de la chaleur permet d'avoir jusqu'à deux composantes nulles dans le contrôle agissant sur l'équation du fluide. Le Chapitre 4 traite l'existence de contrôles insensibilisants pour le système de Boussinesq. En particulier, on montre la contrôlabilité à zéro d'un système en cascade issu du problème d'insensibilisation où le contrôle dans l'équation du fluide possède deux composantes nulles. Pour ces problèmes, on suit une approche classique. On établit la contrôlabilité à zéro du système linéalisé autour de zéro par une inégalité de Carleman pour le système adjoint avec des termes source. Puis, on obtient le résultat pour le système non linéaire par un argument d'inversion locale.Dans le Chapitre 5, on étudie quelques aspects de la contrôlabilité à zéro d'une équation de KdV linéaire avec conditions au bord de type Colin-Ghidaglia. On obtient une estimation du coût de la contrôlabilité à zéro qui est optimal par rapport au coefficient de dispersion. Sa preuve repose sur une inégalité de Carleman avec un comportement optimal en temps. Puis, on montre que le coût de la contrôlabilité à zéro explose exponentiellement par rapport au coefficient de dispersion lorsque le temps final est suffisamment petit. / This work is devoted to the study of some controllability problems concerning some models from fluid mechanics. First, in Chapter 2, we obtain the local null controllability of the Navier-Stokes system with distributed controls having one vanishing component. The main novelty is that no geometric condition is imposed on the control domain. In Chapter 3, we extend this result for the Boussinesq system, where the coupling with the temperature equation allows us to have up to two vanishing components in the control acting on the fluid equation. Chapter 4 deals with the existence of insensitizing controls for the Boussinesq system. In particular, we prove the null controllability of the cascade system arising from the reformulation of the insensitizing problem, where the control on the fluid equation has two vanishing components. For these problems, we follow a classical approach. We establish the null controllability of the linearized system around the origin by means of a suitable Carleman inequality for the adjoint system with source terms. Then, we obtain the result for the nonlinear system by a local inversion argument.In Chapter 5, we study some null controllability aspects of a linear KdV equation with Colin-Ghidaglia boundary conditions. First, we obtain an estimation of the cost of null controllability, which is optimal with respect to the dispersion coefficient. This improves previous results on this matter. Its proof relies on a Carleman estimate with an optimal behavior in time. Finally, we prove that the cost of null controllability blows up exponentially with respect to the dispersion coefficient provided that the final time is small enough.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité de différentes équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à la méthode de Lebeau-Robbiano pour le contrôle des équations paraboliques linéaires. On étend tout d'abord cette méthode à des opérateurs elliptiques non-autoadjoints, montrant une inégalité spectrale ainsi que la contrôlabilité de l'équation parabolique associée. On prouve ensuite ces deux propriétés pour un modèle de transmission à travers une interface, pour lequel la condition de transmission implique une diffusion tangentielle. La preuve repose sur une inégalité de Carleman, uniforme par rapport au petit paramètre représentant l'épaisseur de l'interface. Dans la deuxième partie, on analyse les propriétés de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires couplées par des termes d'ordre zéro. Après avoir étudié la stabilisation de deux équations d'ondes, dont une seulement est amortie, on montre la contrôlabilité en temps grand d'un système similaire au moyen d'un seul contrôle, sous des conditions géométriques optimales sur les zones de contrôle et de couplage. Par des méthodes d'analyse microlocale, on obtient de plus la contrôlabilité de systèmes d'ondes en cascade, ainsi que l'expression exacte du temps minimal de contrôle. On déduit de ces résultats la contrôlabilité des systèmes paraboliques associés, dans des situations où les zones de contrôle et de couplage sont disjointes. Enfin, dans la troisième partie, on étudie la contrôlabilité uniforme de perturbations visqueuses de lois de conservation scalaires, dans la limite de viscosité évanescente. On montre la contrôlabilité exacte globale aux états constants au moyen de contrôles uniformément bornés lorsque la viscosité tend vers zéro.

Dans cette thèse on s'intéresse à la contrôlabilité de deux classes de systèmes paraboliques linéaires.On caractérise dans un premier temps la contrôlabilité à zéro de systèmes à coefficients constants en dimension 1 lorsque les contrôles agissent sur différentes parties du domaine ou de sa frontière.On regarde ensuite avec le théorème de Fattorini la contrôlabilité frontière approchée de ces systèmes en dimension quelconque.On obtient notamment que les systèmes de 2 équations sont toujours contrôlables dans un rectangle si la zone de contrôle contient 2 directions.Dans un autre travail sur les systèmes à coefficients constants, on obtient une estimation du coût du contrôle frontière à zéro en dimension 1.On utilise ce résultat pour montrer que la contrôlabilité frontière à zéro dans des domaines cylindrique est réduite à la contrôlabilité frontière à zéro en dimension 1.On étudie ensuite la contrôlabilité approchée de systèmes en cascade avec un couplage d'ordre 1.On prouve que la contrôlabilité interne avec un couplage constant à toujours lieu, quel que soit la dimension et la zone de contrôle.On établit d'autre part une caractérisation de la contrôlabilité frontière en dimension 1 avec un couplage variable.Enfin, dans une dernière partie on s'intéresse à la contrôlabilité interne approchée de systèmes en cascade à coefficients variables en dimension 1.On montre qu'on est ramené à établir une caractérisation de la propriété de continuation unique pour une équation elliptique non-homogène.A l'aide de la caractérisation alors obtenue on montre en particulier comment la géométrie de la zone de contrôle peut influencer la contrôlabilité des systèmes. / This thesis focuses on the controllability of two classes of linear parabolic systems.We start with a caracterization of the null-controllability of systems with constant coefficients in dimension 1 where the controls are acting on different parts of the domain or its boundary.With the help of the theorem of Fattorini we then look at the boundary approximate controllability of these systems in any dimension.We show that a system of 2 equations is always approximately controllable on a rectangle if we assume that the control domain contains 2 directions.In another work on the systems with constant coefficients, we obtain an estimate of the boundary null-control cost in dimension 1.We then use this result to show that the boundary null-controllability in cylindrical domains is reduced to the boundary null-controllability in dimension 1.We then study the approximate controllability of cascade systems with a first order coupling term.We prove the distributed controllability when the coupling is constant, whatever the dimension and control domain are.On the other hand, we establish a caracterisation of the boundary controllability in dimension 1 for space-dependent couplings.Last, we investigate the distributed approximate controllability of cascade systems with space-dependent coefficients in dimension 1.Using the theorem of Fattorini and the structure of the systems under study we are lead to characterize the unique continuation property for a non-homogeneous elliptic equation.With the help of the caracterization then obtained we show in particular how the geometry of the control domain can affect the controllability properties of systems.