Après avoir rappelé la définition et quelques propriétés des pseudogroupes de Lie, on définit les structures infinitésimales régulières. On peut toujours associer des connexions affines à de telles structures ; courbure et torsion de ces connexions. Équivalence locale de deux structures infinitésimales. Application à l'étude des structures presque complexes, presque paracomplexes, presque symplectiques, presque hermitiennes, presque parahermitiennes, presque quaternioniennes, presque quaternioniennes de deuxième espèce.

Un polyèdre fuchsien de l'espace hyperbolique est une surface polyédrale invariante sous l'action d'un groupe fuchsien d'isométries (c.a.d. un groupe d'isométries qui laissent globalement invariante une surface totalement géodésique et sur laquelle il agit de manière cocompacte). La métrique induite sur un polyèdre fuchsien convexe est isométrique à une métrique hyperbolique avec des singularités coniques de courbure singulière positive sur une surface compacte de genre $>1$. On démontre que ces métriques sont en fait réalisées par un unique polyèdre fuchsien convexe (modulo les isométries globales). Ce résultat étend un théorème célèbre de A.D. Alexandrov. <br />On montre aussi que chaque métrique à courbure constante avec des courbures singulières négatives sur une surface compacte de genre $>1$ peut-être réalisée par un unique polyèdre ``fuchsien'' convexe dans un espace modèle lorentzien.<br />Finalement on présente des extensions possibles de ces résultats, ce qui amène à des énoncés généraux sur la réalisation de métriques sur les surfaces.

Dans cette thèse, nous étudions des transformées de type Radon sur certains espaces symétriques. Une transformée de type Radon associe à toute fonction continue à support compact sur une variété $M$ ses intégrales sur une classe $Xi$ de sous-variétés de $M$. Le problème sur lequel nous nous concentrons est l'inversion d'une telle transformée, c'est-à-dire déterminer la fonction à partir de ses intégrales sur les sous-variétés dans $Xi$. Nous présentons d'abord la solution de ce problème inverse due à Sigurdur Helgason et François Rouvière, entre autres, lorsque $M$ est un espace symétrique riemannien isotrope et $Xi$ une certaine orbite de sous-variétés totalement géodésiques de $M$ sous l'action d'un groupe de transformations de Lie de $M$. La transformée de Radon associée est qualifiée de totalement géodésique.Sur les espaces symétriques pseudo-riemanniens semisimples, nous considérons une autre transformée de type Radon, qui associe à toute fonction continue à support compact ses intégrales orbitales, c'est-à-dire ses intégrales sur les orbites du sous-groupe d'isotropie du groupe des transvections. L'inversion des intégrales orbitales, qui est donnée par une formule-limite, a été obtenue par Sigurdur Helgason sur les espaces symétriques lorentziens à courbure sectionnelle constante et par Jeremy Orloff sur tout espace symétrique pseudo-riemannien semisimple de rang un. Nous résolvons le problème d'inversion des intégrales orbitales sur les espaces de Cahen-Wallach, qui sont les modèles d'espaces symétriques lorentziens indécomposables résolubles.Pour finir, nous nous intéressons aux transformées de type Radon sur les espaces symétriques symplectiques à courbure de type Ricci. L'inversion des orbitales intégrales sur ces espaces lorsqu'ils sont semisimples a déjà été obtenue par Jeremy Orloff. En revanche, lorsque ces espaces ne sont pas semisimples, la transformée donnée par les intégrales orbitales n’est pas inversible. Ensuite, nous déterminons les orbites de sous-variétés totalement géodésiques symplectiques ou lagrangiennes sous l'action d'un groupe de transformations de Lie de l'espace de départ. Dans ce contexte, la méthode d'inversion développée par Sigurdur Helgason et François Rouvière, entre autres, ne fonctionne que pour les transformées de Radon totalement géodésiques symplectiques sur les espaces symétriques kählériens à courbure holomorphe constante. Les formules d'inversion de ces transformées sur les espaces hyperboliques complexes sont dues à François Rouvière. Nous calculons les formules d'inversion de ces transformées sur les espaces projectifs complexes. / In this thesis, we study Radon-type transforms on some symmetric spaces. A Radon-type transform associates to any compactly supported continuous function on a manifold $M$ its integrals over a class $Xi$ of submanifolds of $M$. The problem we address is the inversion of such a transform, that is determining the function in terms of its integrals over the submanifolds in $Xi$. We first present the solution to this inverse problem which is due to Sigurdur Helgason and François Rouvière, amongst others, when $M$ is an isotropic Riemannian symmetric space and $Xi$ a particular orbit of totally geodesic submanifolds of $M$ under the action of a Lie transformation group of $M$. The associated Radon transform is qualified as totally geodesic.On semisimple pseudo-Riemannian symmetric spaces, we consider an other Radon-type transform, which associates to any compactly supported continuous function its orbital integrals, that is its integrals over the orbits of the isotropy subgroup of the transvection group. The inversion of orbital integrals, which is given by a limit-formula, has been obtained by Sigurdur Helgason on Lorentzian symmetric spaces with constant sectional curvature and by Jeremy Orloff on any rank-one semisimple pseudo-Riemannian symmetric space. We solve the inverse problem for orbital integrals on Cahen-Wallach spaces, which are model spaces of solvable indecomposable Lorentzian symmetric spaces.In the last part of the thesis, we are interested in Radon-type transforms on symplectic symmetric spaces with Ricci-type curvature. The inversion of orbital integrals on these spaces when they are semisimple has already been obtained by Jeremy Orloff. However, when these spaces are not semisimple, the orbital integral operator is not invertible. Next, we determine the orbits of symplectic or Lagrangian totally geodesic submanifolds under the action of a Lie transformation group of the starting space. In this context, the technique of inversion that has been developed by Sigurdur Helgason and François Rouvière, amongst others, only works for symplectic totally geodesic Radon transforms on Kählerian symmetric spaces with constant holomorphic curvature. The inversion formulas for these transforms on complex hyperbolic spaces are due to François Rouvière. We compute the inversion formulas for these transforms on complex projective spaces. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Le but de cette thèse est d'étudier les structures symplectiques dans la catégorie des variétés linéaires par morceaux (PL). La question centrale est de déterminer si toute variété symplectique lisse $(M,omega)$ peut être triangulée de manière symplectique, au sens où il existe une variété linéaire par morceaux $K$ et une triangulation $h :K -> M$ telle que $h^*omega$ est une forme symplectique constante par morceaux. Nous étudions d'abord un problème plus simple, qui consiste à trianguler les formes volumes lisses. Étant donnée une variété lisse $M$ munie d'une forme volume $Omega$, nous montrons qu'il existe une triangulation lisse $h :K -> M$ telle que $h^*Omega$ est une forme volume constante par morceaux. En particulier, les variétés symplectiques lisses de dimension 2 admettent donc des triangulations symplectiques. Étant donnée une variété symplectique fermée $(M,omega)$, nous montrons ensuite que pour certaines triangulations lisses $h :K -> M$, on peut, par une modification arbitrairement petite du complexe $K$, supposer que la forme $h^*omega$ est de rang maximal le long de tous les simplexes de $K$. Ce résultat permet d'approximer arbitrairement bien toute variété symplectique fermée par une variété symplectique PL. Nous nous intéressons finalement au cas d'une sous-variété symplectique $M$ d'un espace ambiant qui admet lui-même une triangulation symplectique. Nous montrons qu'il est possible de construire un cobordisme entre la sous-variété $M$ considérée et une approximation lisse par morceaux de celle-ci, triangulée par un complexe symplectique. / In this thesis, we study symplectic structures in a piecewise linear (PL) setting. The central question is to determine whether a smooth symplectic manifold can be triangulated symplectically, in the sense that there exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*omega$ is a piecewise constant symplectic form on $K$. We first focus on a simpler related problem, and show that any smooth volume form $Omega$ on $M$ can be triangulated. This means that there always exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*Omega$ is a piecewise constant volume form. In particular, symplectic surfaces admit symplectic triangulations. Given a closed symplectic manifold $(M,omega)$, we then prove that there exists triangulations $h :K -> M$ for which the piecewise smooth form $h^*omega$ has maximal rank along all the simplices of $K$. This result allows to approximate arbitrarily closely any closed symplectic manifold by a PL one. Finally, we investigate the case of a symplectic submanifold $M$ of an ambient space which is itself symplectically triangulated, and give the construction of a cobordism between $M$ and a piecewise smooth approximation of $M$, triangulated by a symplectic complex. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Let (E,h) be a holomorphic, Hermitian vector bundle over a polarized manifold. We provide a canonical quantisation of the Laplacian operator acting on sections of the bundle of Hermitian endomorphisms of E. If E is simple we obtain an approximation of the eigenvalues and eigenspaces of the Laplacian. In the case when the bundle E is the trivial line bundle, we quantise solutions to the heat equation on the manifold. Furthermore we show that geometric quantisation can be seen as the differential of a natural map between two Riemannian manifolds. Motivated by this fact we compute its next order approximation, namely its Hessian. / Option Mathématique du Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Soit E une courbe elliptique sur un corps de valuation discrètecomplet K à corps résiduel algbriquement clos. Alors E a réduction semi-stable surune extension minimale L/K, galoisienne de groupe de Galois G. Soient O_{K} , O_{L} les anneaux de valuations respectives de K et L, et X , X' les modèles réguliers minimaux de E sur O_{K} et O_{L} respectivement.Premièrement nous montrons que pour tout entier naturel n, la fibre fermée infinitésimale X_{n} est déterminée par l'action du groupe G sur X'_{n+l} pour unentier naturel l assez grand (ne dépendant que du discriminant de L/K sile type de réduction de E n'est pas I*_{r} ). Deuxiémement, nous classifions àisomorphisme près la fibre fermée X_{0} en tant que courbe sur le corps résiduelde K, lorsque la caractéristique résiduelle est nulle ou au moins égale à 7. Cette classification est plus fine que la classification par le type à la Kodairaet Néron. / Suppose E is an elliptic curve over a complete discrete valuationfield K whose residue field k is algebraically closed. Then E has semi-stablereduction after a minimal field extension L/K, moreover L/K is Galois andlet G be the Galois group. Let O_{K} and O_{L} be the ring of integers of K andL respectively. Let X (resp. X ') be the minimal regular model of E over O_{K}(resp. O_{L} ). In the first part of thesis, we prove that for all natural integersn, the infinitesimal fiber X_{n} is determined by the G-action on O_{K}-schemeX'_{n+l} for some positive integer l (depending only on the discriminant of L/Kif the reduction type of E is not I*_{r} ). In the second part of thesis, we classifythe special fiber X_{0} up to isomorphisms as k-curves when Char(k) >= 7. This classification is finer than the classification by Kodaira and Néron.

Partant d'une cône-variété hyperbolique compacte de dimension n>2, on étudie les déformations de la métrique dans le but d'obtenir des cônes-variétés Einstein. Dans le cas où le lieu singulier est une sous-variété fermée de codimension 2 et que tous les angles coniques sont plus petits que 2pi, on montre qu'il n'existe pas de déformations Einstein infinitésimales non triviales préservant les angles coniques. Ce résultat peut s'interpréter comme une généralisation en dimension supérieure du célèbre théorème de Hodgson et Kerckhoff sur les déformations des cônes-variétés hyperboliques de dimension 3.<br />Si tous les angles coniques sont inférieurs à pi, on donne ensuite une construction qui à chaque variation donnée des angles associe une déformation Einstein infinitésimale correspondante.

The thesis comprises two parts. In the first part, we investigate various cohomological aspects of hypercomplex manifolds and analyse the existence of special metrics. In the second part, we define Seiberg-Witten equations on the leaf space of manifolds which admit a Riemannian foliation of codimension four. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Le travail effectué dans cette thèse concerne les domaines de la théorie des matrices aléatoires et des probabilités libres, dont on connaît les riches connexions depuis le début des années 90. Les résultats s'organisent principalement en deux parties : la première porte sur la liberté infinitésimale, la seconde sur les matrices aléatoires déformées. Plus précisément, on jette les bases d'une théorie combinatoire de la liberté infinitésimale, au premier ordre d'abord, telle que récemment introduite par Belinschi et Shlyakhtenko, puis aux ordres supérieurs. On en donne un cadre simple et général, et on introduit des fonctionnelles de cumulants non-croisés, caractérisant la liberté infinitésimale. L'accent est mis sur la combinatoire et les idées d'essence différentielle qui sous-tendent cette notion. La seconde partie poursuit l'étude des déformations de modèles matriciels, qui a été ces dernières années un champ de recherche très actif. Les résultats présentés sont originaux en ce qu'ils concernent des perturbations déterministes Hermitiennes de rang non nécessairement fini de matrices de Wigner et de Wishart. En outre, un apport de ce travail est la mise en lumière du lien entre la convergence des valeurs propres de ces modèles et les probabilités libres, plus particulièrement le phénomène de subordination pour la convolution libre. Ce lien donne une illustration de la puissance des idées des probabilités libres dans les problèmes de matrices aléatoires.