A caracterização completa de um feixe de raios X diagnósticos baseia-se na medição de seu espectro de fluência. O espectro de fluência pode ser medido diretamente utilizando métodos espectroscópicos, no entanto, exige equipamento especializado e não é facilmente realizável em ambiente clínico. Neste trabalho foi implementada uma metodologia que permite obter o espectro de raios X de forma indireta. Esta metodologia baseia-se na aplicação de um modelo matemático que utiliza a transformada inversa de Laplace da curva de atenuação do feixe, gerando dados sobre a distribuição espectral deste. As curvas de atenuação foram medidas por meio de uma câmara de ionização e filtros de alumínio de alta pureza. Os espectros reconstruídos foram validados por meio da comparação da fluência em energia calculada a partir destes e a fluência em energia calculada a partir das curvas de atenuação obtidas experimentalmente. Como aplicação também foram calculados alguns dados característicos do feixe, como primeira e segunda camada semirredutora, energia média, 10º percentil e fator de kerma. Os resultados da fluência em energia calculada a partir dos espectros reconstruídos e da fluência em energia calculada a partir das curvas de atenuação obtidas experimentalmente apresentaram boa concordância, validando os espectros reconstruídos e mostrando o valor da análise da curva de atenuação em comparação com métodos espectroscópicos uma vez que os dados de atenuação podem ser obtidos com comparativa facilidade. Os dados característicos do feixe calculados a partir dos espectros obtidos neste trabalho apresentaram resultados satisfatórios, como era de se esperar, uma vez que a integração é um processo de regularização para a distribuição espectral / A complete characterization of a diagnostic X-ray beam is based on the measurement of its fluency spectrum. The fluency spectrum can be measured directly using spectroscopic methods, however, require specialized equipment and is not easily performed in a clinical environment. In this work a methodology was implemented that allows to obtain the X-ray spectrum in an indirect way. This methodology is based on the application of a mathematical model that uses an inverse Laplace transform of the beam attenuation curve, generating data on a spectral distribution of this beam. The attenuation curves are measured by means of an ionization chamber and high purity aluminum filters. The reconstructed spectra were validated by means of the comparison of energy fluency calculated from them and an energy fluence calculated from the experimentally obtained attenuation curves. As an application, some characteristic beam data were also calculated, such as first and second half-value layers, mean energy, 10th percentile and kerma factor. The energy fluency calculated from the reconstructed spectra and the energy fluence calculated from the experimentally obtained attenuation curves showed good agreement, validating the reconstructed spectra and showing the value of the attenuation curve analysis in comparison with one spectroscopic methods attenuation data can be obtained with comparative ease. The characteristic beam data calculated from the spectra obtained in this work presented satisfactory results, as expected, since it is a regularization process for a spectral distribution

A distribuição espectral de raios X de megavoltagem utilizados em departamentos de radioterapia é uma grandeza fundamental a partir da qual, em princípio, todas as informações requeridas relevantes para tratamentos de radioterapia podem ser determinadas. A medição direta é difícil de realizar clinicamente, e a análise da transmissão é um método indireto clinicamente viável para determinar espectros de fótons de aceleradores lineares clínicos. Neste método, os sinais de transmissão são adquiridos após o feixe passar através de diferentes espessuras de atenuadores. O objetivo deste trabalho foi o estabelecimento e a aplicação de um método indireto que utilizou um modelo espectral baseado no algoritmo de recozimento simulado generalizado para determinar o espectro de fótons de aceleradores lineares clínicos com base na curva de transmissão. A análise dos espectros obtidos foi feita por determinação analítica de grandezas dosimétricas e parâmetros relacionados. / The spectral distribution of megavoltage X-rays used in radiotherapy departments is a fundamental quantity from which, in principle, all relevant information required for radiotherapy treatments can be determined. The direct measurement is difficult to achieve clinically and analyzing the transmission is a clinically viable indirect method for determining clinical linear accelerators photon spectra. In this method, transmission signals are acquired after the beam passes through different thicknesses of attenuators. The objective of this work was the establishment and application of an indirect method that used a spectral model based on generalized simulated annealing algorithm to determine the spectrum of clinical linear accelerators photons based on the transmission curve. Analysis of the spectra was made by analytical determination of dosimetric quantities and related parameters.

Nesta pesquisa, estudamos e comparamos duas maneiras de se construir redes. O principal objetivo do nosso estudo é encontrar uma forma efetiva de se construir redes, especialmente quando temos menos observações do que variáveis. A construção das redes é realizada através da estimação do coeficiente de correlação parcial com base na estatística clássica (inverse method) e na Bayesiana (priori conjugada Normal - Wishart invertida). No presente trabalho, para resolver o problema de se ter menos observações do que variáveis, propomos uma nova metodologia, a qual chamamos correlação parcial local, que consiste em selecionar, para cada par de variáveis, as demais variáveis que apresentam maior coeficiente de correlação com o par. Aplicamos essas metodologias em dados simulados e as comparamos traçando curvas ROC. O resultado mais atrativo foi que, mesmo com custo computacional alto, usar inferência Bayesiana é melhor quando temos menos observações do que variáveis. Em outros casos, ambas abordagens apresentam resultados satisfatórios. / This research is about studying and comparing two different ways of building complex networks. The main goal of our study is to find an effective way to build networks, particularly when we have fewer observations than variables. We construct networks estimating the partial correlation coefficient on Classic Statistics (Inverse Method) and on Bayesian Statistics (Normal - Invese Wishart conjugate prior). In this current work, in order to solve the problem of having less observations than variables, we propose a new methodology called local partial correlation, which consists of selecting, for each pair of variables, the other variables most correlated to the pair. We applied these methods on simulated data and compared them through ROC curves. The most atractive result is that, even though it has high computational costs, to use Bayesian inference is better when we have less observations than variables. In other cases, both approaches present satisfactory results.

Neste trabalho, introduzimos uma generalização da noção de módulo de homologia local de um módulo com respeito a um ideal, o qual nós chamamos de módulo de homologia local com respeito a um par de ideais. Estudamos suas várias propriedades tais como teoremas de anulamento e de não anulamento, e Artinianidade. Também fazemos sua conexão com a homologia e cohomologia local usual. Introduzimos uma generalização da noção de largura de um ideal sobre um módulo aplicando o conceito de módulo de homologia local com respeito a um par de ideais. Também introduzimos o conceito de um módulo co-Cohen-Macaulay para um par de ideais, o qual é uma generalização o conceito de um módulo co-Cohen-Macaulay. Para finalizar, introduzimos o limite inverso de homologia local, e estudamos algumas de suas propriedades, analisamos a sua estrutura, o anulamento, não anulamento e Artinianidade. / In this work, we introduce a generalization of the notion of local homology module of a module with respect to an ideal, which we call of local homology module with respect to a pair of ideals. We study its various properties such as vanishing and nonvanishing theorems, and Artinianness. We also do its connection with ordinary local homology and cohomology. We introduce a generalization of the notion of width of an ideal on a module applying the concept of local homology module with respect to a pair of ideals. Also we introduce the concept of a co-Cohen-Macaulay module for a pair of ideals, what is a generalization of the concept of a co-Cohen-Macaulay module. To finish, we introduce the inverse limit of local homology, and we study some of its properties, we analyze the their structure, the vanishing, non-vanishing and Artinianness.

Neuroimagiologia funcional é uma área da neurociência que visa o desenvolvimento de diversas técnicas para mapear a atividade do sistema nervoso e esteve sob constante desenvolvimento durante as últimas décadas devido à sua grande importância para aplicações clínicas e pesquisa. Técnicas usualmente utilizadas, como imagem por ressonância magnética functional (fMRI) e tomografia por emissão de pósitrons (PET) têm ótima resolução espacial (~ mm), mas uma resolução temporal limitada (~ s), impondo um grande desafio para nossa compreensão a respeito da dinâmica de funções cognitivas mais elevadas, cujas oscilações podem ocorrer em escalas temporais muito mais finas (~ ms). Tal limitação ocorre pelo fato destas técnicas medirem respostas biológicas lentas que são correlacionadas de maneira indireta com a atividade elétrica cerebral. As duas principais técnicas capazes de superar essa limitação são a Eletro- e Magnetoencefalografia (EEG/MEG), que são técnicas não invasivas para medir os campos elétricos e magnéticos no escalpo, respectivamente, gerados pelas fontes elétricas cerebrais. Ambas possuem resolução temporal na ordem de milisegundo, mas tipicalmente uma baixa resolução espacial (~ cm) devido à natureza mal posta do problema inverso eletromagnético. Um imenso esforço vem sendo feito durante as últimas décadas para melhorar suas resoluções espaciais através da incorporação de informação relevante ao problema de outras técnicas de imagens e/ou de vínculos biologicamente inspirados aliados ao desenvolvimento de métodos matemáticos e algoritmos sofisticados. Neste trabalho focaremos em EEG, embora todas técnicas aqui apresentadas possam ser igualmente aplicadas ao MEG devido às suas formas matemáticas idênticas. Em particular, nós exploramos esparsidade como uma importante restrição matemática dentro de uma abordagem Bayesiana chamada Aprendizagem Bayesiana Esparsa (SBL), que permite a obtenção de soluções únicas significativas no problema de reconstrução de fontes. Além disso, investigamos como incorporar diferentes estruturas como graus de liberdade nesta abordagem, que é uma aplicação de esparsidade estruturada e mostramos que é um caminho promisor para melhorar a precisão de reconstrução de fontes em métodos de imagens eletromagnéticos. / Functional Neuroimaging is an area of neuroscience which aims at developing several techniques to map the activity of the nervous system and has been under constant development in the last decades due to its high importance in clinical applications and research. Common applied techniques such as functional magnetic resonance imaging (fMRI) and positron emission tomography (PET) have great spatial resolution (~ mm), but a limited temporal resolution (~ s), which poses a great challenge on our understanding of the dynamics of higher cognitive functions, whose oscillations can occur in much finer temporal scales (~ ms). Such limitation occurs because these techniques rely on measurements of slow biological responses which are correlated in a complicated manner to the actual electric activity. The two major candidates that overcome this shortcoming are Electro- and Magnetoencephalography (EEG/MEG), which are non-invasive techniques that measure the electric and magnetic fields on the scalp, respectively, generated by the electrical brain sources. Both have millisecond temporal resolution, but typically low spatial resolution (~ cm) due to the highly ill-posed nature of the electromagnetic inverse problem. There has been a huge effort in the last decades to improve their spatial resolution by means of incorporating relevant information to the problem from either other imaging modalities and/or biologically inspired constraints allied with the development of sophisticated mathematical methods and algorithms. In this work we focus on EEG, although all techniques here presented can be equally applied to MEG because of their identical mathematical form. In particular, we explore sparsity as a useful mathematical constraint in a Bayesian framework called Sparse Bayesian Learning (SBL), which enables the achievement of meaningful unique solutions in the source reconstruction problem. Moreover, we investigate how to incorporate different structures as degrees of freedom into this framework, which is an application of structured sparsity and show that it is a promising way to improve the source reconstruction accuracy of electromagnetic imaging methods.

Algoritmos computacionais e análise matemática têm sido grandes aliados na determinação de informação quantitativa extraída de observações experimentais. No presente trabalho, estudou-se a aplicação da metodologia do problema inverso em balanço populacional que descreve como varia a distribuição de tamanhos de moléculas poliméricas durante diferentes processos de degradação de polímeros. A evolução da distribuição durante o processo de quebra pode ser descrita matematicamente por equação de balanço populacional. No assim chamado problema inverso, as distribuições medidas experimentalmente são usadas para estimar os parâmetros do balanço populacional que descrevem, por exemplo, como as taxas de quebra variam ao longo do comprimento da cadeia e como variam com o tamanho da cadeia. Este problema inverso é conhecido por seu intrínseco mal condicionamento numérico. Um algoritmo previamente desenvolvido na literatura para problemas de quebra de gotas em emulsões líquidas, baseado no conceito de auto-similaridade das distribuições, foi adaptado e aplicado no presente trabalho para o problema de quebra de cadeias poliméricas durante a degradação do polímero. Dados experimentais de diferentes processos de degradação, obtidos da literatura, foram testados: degradação de polipropileno por radicais livres gerados por peróxidos, degradação de dextrana por hidrólise ácida, degradação ultra-sônica de dextrana, degradação mecânica por cisalhamento de poliestireno, degradação enzimática de guar, e degradação ultrassônica de guar. As distribuições de taxa de quebra obtidas para os diferentes sistemas foram analisadas e interpretadas em termos das particularidades e do mecanismo de cada tipo de processo de degradação, visando um melhor entendimento fundamental dos processos. / Computational algorithms are used to obtain quantitative information from experimental observations. The aim of the present work was the application of the methodology of inverse problem in population balance used to describe the evolution of the chain length distribution in different polymer degradation processes. The time evolution of the chain length distribution during the polymer breakage can be mathematically described by a population balance equation. In the so-called inverse problem, experimentally measured distributions are used to estimate the parameters of the population balance, such as the distribution of breakage rate along the chain and as function of the chain length. The inverse problem is known to be an ill-conditioned numerical problem. An algorithm previously developed in the literature for liquid droplet breakage in liquid emulsions, based on the concept of self-similarity of the distributions, was adapted and applied in the present work for the problem of polymer scission during polymer degradation. Experimental data of degradation of different polymers were taken from the literature and used to test the procedure: free-radical degradation of polypropylene acid hydrolysis of dextran, ultrasonic degradation of dextran, shear-induced mechanical degradation of polystyrene, enzymatic hydrolysis of guar; and ultrasonic degradation of guar. The breakage rate distribution obtained for the different systems were analyzed and interpreted in terms of the particularities and chemical mechanisms involved in the different degradation processes, aiming at a better understanding of the fundamentals governing the processes.

O presente trabalho aborda um problema inverso associado a difus~ao de calor em uma barra unidimensional. Esse fen^omeno e modelado por meio da equac~ao diferencial par- cial parabolica ut = uxx, conhecida como equac~ao de difus~ao do calor. O problema classico (problema direto) envolve essa equac~ao e um conjunto de restric~oes { as condic~oes inicial e de contorno {, o que permite garantir a exist^encia de uma soluc~ao unica. No problema inverso que estudamos, o valor da temperatura em um dos extremos da barra n~ao esta disponvel. Entretanto, conhecemos o valor da temperatura em um ponto x0 xo no interior da barra. Para aproximar o valor da temperatura no intervalo a direita de x0, propomos e testamos tr^es algoritmos de diferencas nitas: diferencas regressivas, leap-frog e diferencas regressivas maquiadas. / This work deals with an inverse problem for the heat diusion in a bar of size L. This one-dimensional phenomenum is modeled by the parabolic partial dierential equation ut = uxx, known as the heat diusion equation. The classic problem (Direct Problem) involves this equation coupled to a set of constraints { initial and boundary conditions { in such a way as to guarantee a unique solution for it. The inverse problem hereby considered may be described in the following way: at one bar extreme point the temperature is un- known, but it is given at a xed interior point for all time. Three nite dierence algorithms (backward dierences, leap-frog, disguised backward dierences) are proposed and tested to approximate solutions for this problem. Keywords: Diusion equation. Finite dierences. Inverse problem.

Nesta pesquisa, estudamos e comparamos duas maneiras de se construir redes. O principal objetivo do nosso estudo é encontrar uma forma efetiva de se construir redes, especialmente quando temos menos observações do que variáveis. A construção das redes é realizada através da estimação do coeficiente de correlação parcial com base na estatística clássica (inverse method) e na Bayesiana (priori conjugada Normal - Wishart invertida). No presente trabalho, para resolver o problema de se ter menos observações do que variáveis, propomos uma nova metodologia, a qual chamamos correlação parcial local, que consiste em selecionar, para cada par de variáveis, as demais variáveis que apresentam maior coeficiente de correlação com o par. Aplicamos essas metodologias em dados simulados e as comparamos traçando curvas ROC. O resultado mais atrativo foi que, mesmo com custo computacional alto, usar inferência Bayesiana é melhor quando temos menos observações do que variáveis. Em outros casos, ambas abordagens apresentam resultados satisfatórios. / This research is about studying and comparing two different ways of building complex networks. The main goal of our study is to find an effective way to build networks, particularly when we have fewer observations than variables. We construct networks estimating the partial correlation coefficient on Classic Statistics (Inverse Method) and on Bayesian Statistics (Normal - Invese Wishart conjugate prior). In this current work, in order to solve the problem of having less observations than variables, we propose a new methodology called local partial correlation, which consists of selecting, for each pair of variables, the other variables most correlated to the pair. We applied these methods on simulated data and compared them through ROC curves. The most atractive result is that, even though it has high computational costs, to use Bayesian inference is better when we have less observations than variables. In other cases, both approaches present satisfactory results.

Neste trabalho, procuramos resolver o problema direto da equação da viga de Euler- Bernoulli bi-engastada com condições iniciais nulas. Estudamos o problema inverso da viga, que consiste em identificar a fonte de vibração, modelada como um elemento em L2, usando como dado a velocidade de um ponto arbitrário da viga, durante um intervalo de tempo arbitrariamente pequeno. A relevância deste trabalho na Engenharia encontra-se, por exemplo, na identificação de danos estruturais em vigas. / In this work, we try to solve the direct problem of the clamped-clamped Euler- Bernoulli beam equation, with zero initial conditions. We study the inverse problem of the beam, consisting in the identification of the source of vibration, shaped as an element in L2, using as data the speed from an arbitrary point of the beam, during a time interval arbitrarily small. The relevance of this work in Engineering, for example, is in the identification of structural damage in beams.

La reología de suspensiones concentradas es un tema complejo tanto en la experimentación como en la teoría. La correcta caracterización de estas mezclas es un campo de investigación activo que tiene gran relevancia científica e industrial y donde la aplicación de la mecánica matemática permite desarrollar diseños de ingeniería más seguros y eficientes. El presente Trabajo de Título es un estudio teórico dividido en dos secciones, ambas en el marco de la reología aplicada a relaves mineros. La primera parte está dirigida al estudio de la construcción adecuada de la curva reológica de un material a partir de mediciones experimentales obtenidas utilizando un Reómetro de Cilindros Coaxiales. El procedimiento matemático involucrado se denomina Problema Inverso de Couette y en esta Memoria se prueba que es un problema mal puesto en el sentido de la estabilidad. Además, se revisan distintas estrategias que han sido utilizadas históricamente para buscar soluciones numéricas, a saber, la aproximación newtoniana, la norma DIN, la fórmula de Krieger y Elrod, la fórmula de diferencias finitas y la regularización de Tikhonov. Estos métodos de aproximación fueron implementados computacionalmente para ser aplicados tanto al estudio de modelos teóricos como a información experimental de relaves. En general, los resultados obtenidos fueron muy similares para todas las suspensiones de variada concentración de sólido que se analizaron. En la segunda parte de esta Memoria se propone un modelo reológico original que da cuenta de la compleja fenomenología observada a partir de las curvas construidas en la sección anterior. El comportamiento tixotrópico que se desprende de los experimentos sugiere la existencia de un parámetro de microestructura cuya variabilidad temporal con- trola la superposición relativa entre un régimen viscoelástico inicial y un comportamiento posterior viscoso tipo Bingham. El modelo resultante es de difícil empleo dada la gran cantidad de parámetros libres. Mediante la integración de los ensayos reológicos Vane y los de cilindros coaxiales es posible reducir el problema a la estimación numérica de sólo una o dos constantes. La validación de este modelo se lleva a cabo contrastando con amplia información experimental. Para el rango de datos estudiados, se observa en todos los casos un ajuste satisfactorio y resultados consistentes físicamente.