We propose a discontinuous Galerkin finite element method (DGFEM) for fully nonlinear elliptic Hamilton--Jacobi--Bellman (HJB) partial differential equations (PDE) of second order with Cordes coefficients. Our analysis shows that the method is both consistent and stable, with arbitrarily high-order convergence rates for sufficiently regular solutions. Error bounds for solutions with minimal regularity show that the method is generally convergent under suitable choices of meshes and polynomial degrees. The method allows for a broad range of hp-refinement strategies on unstructured meshes with varying element sizes and orders of approximation, thus permitting up to exponential convergence rates, even for nonsmooth solutions. Numerical experiments on problems with nonsmooth solutions and strongly anisotropic diffusion coefficients demonstrate the significant gains in accuracy and computational efficiency over existing methods. We then extend the DGFEM for elliptic HJB equations to a space-time DGFEM for parabolic HJB equations. The resulting method is consistent and unconditionally stable for varying time-steps, and we obtain error bounds for both rough and regular solutions, which show that the method is arbitrarily high-order with optimal convergence rates with respect to the mesh size, time-step size, and temporal polynomial degree, and possibly suboptimal by an order and a half in the spatial polynomial degree. Exponential convergence rates under combined hp- and τq-refinement are obtained in numerical experiments on problems with strongly anisotropic diffusion coefficients and early-time singularities. Finally, we show that the combination of a semismooth Newton method with nonoverlapping domain decomposition preconditioners leads to efficient solvers for the discrete nonlinear problems. The semismooth Newton method has a superlinear convergence rate, and performs very effectively in computations. We analyse the spectral bounds of nonoverlapping domain decomposition preconditioners for a model problem, where we establish sharp bounds that are explicit in both the mesh sizes and polynomial degrees. We then go beyond the model problem and show computationally that these algorithms lead to efficient and competitive solvers in practical applications to fully nonlinear HJB equations.

No description available.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Uma hipersuperficie sigma està contido Rn+1 à r-mÃnima se sua (r + 1)-curvatura (a (r + 1)-Ãsima funÃÃo simÃtrica elementar de suas curvaturas principais) à identicamente nula. Se n > 2(r + 1)mostramos que a hipersuperfÃcie r-mÃnima rotacionalmente invariante en Rn+1, a saber, o n-catenÃide, descrito em [HL1], à nÃo-degenerado no sentido que nÃo possui campos de Jacobi que decaem suficientemente rÃpido no infinito. Combinando isto com a teoria de deformaÃÃo em espaÃos de Holder com peso desenvolvida por Mazzeo, Pacard, Pollack, Uhlenbeck e outros,obtemos novos resultados sobre a estrutura de hipersuperfÃcies r-mÃnimas com fins planares. Por exemplo, mostramos que o espaÃo moduli Mr,k de hipersuperfÃcies completas r-mÃnimas elÃpticas no espaÃo euclidiano Rn+1, n > 2(r + 1), com k > 2 fins planares, tem a estrutura de variedade analÃtica de dimensÃo formal k(n + 1), que à realizada na vizinhanÃa de umelemento nÃo-degenerado. Mais ainda, produzimos novos exemplos de famÃlias de dimensÃo infinita de hipersuperfÃcies r-mÃnimas obtidas por perturbaÃÃes de catenÃides truncados. / A hypersurface sigma Rn+1 is r-minimal if its (r + 1)th-curvature (the (r + 1)th elementary symmetric function of its principal curvatures) vanishes identically. If n > 2(r + 1) we show that the rotationally invariant r-minimal hypersurfaces in Rn+1 (catenoids) first described in [HL1] are nondegenerate in the sense that they do not carry Jacobi fields which decay rapidly enough at infinity. Combining this with the deformation theory in weighted Holder spaces developed by Kusner, Mazzeo, Pacard, Pollack, Uhlenbeck and others, we obtain new results on the structure of r-minimal hypersurfaces with ends of planar type. For example, we show that the moduli space Mr,k of complete r-minimal hypersurfaces in Euclidean space Rn+1,n > 2(r+1), with k > 2 ends of planar type has the structure of an analytic manifold of virtual dimension k(n+1), which is attained in a neighborhood of a nondegenerate element. Also, we produce new infinite dimensional families of examples of r-minimal hypersurfaces obtained by perturbing noncompact portions of the catenoids. These seem to be the first known families of examples of noncompact elliptic r-minimal hypersurfaces without symmetries

這篇論文使用前人所提出的七種方法LMGS、ITQR、imITQR、CB、HH、TLD和TLS，去造一個賈可比(Jacobi)矩陣。文中我們使用已知的特徵值(eigenvalue)和特徵向量的第一個成份，去運作這些演算法，並列出數值的結果，以比較這六種方法造出來的賈可比矩陣之準確性。 / In this thesis seven methods LMGS、ITQR、imITQR、CB、HH、TLS and TLD developed in the past are applied to construct a Jacobi matrix. We use the known eige-envalues and the first components of eigenvctors of a Jacobi matrix to execute thes-e algorithms and list the numerical results and compare the accuracy of the computed Jacobi matrix.

.

Cette Thèse porte sur les familles tangentielles et les équations de Hamilton--Jacobi. <br />Ces deux sujets sont reliés à des thèmes classiques en théorie des singularités, comme la théorie des enveloppes, les singularités des fronts d'onde et des caustiques, la géométrie symplectique et de contact. <br />Les premiers trois chapitres de la Thèse sont consacrés à l'étude des familles tangentielles, à la classification de leurs singularités stables et simples, et à leurs interprétation dans le cadre de la Géométrie de Contact. <br />Le dernier chapitre est dédié à l'étude des solutions de minimax pour l'équation de Hamilton--Jacobi, notamment à la classification des leurs singularités génériques de petite codimension.

L'objet principal de cette thèse est l'application de méthodes nouvelles inspirées de l'analyse non-lisse et impliquant l'équation Hamilton-Jacobi pour l'étude de certains problèmes en théorie du contrôle. Notre travail se compose de trois parties : * La première partie est consacrée à la généralisation d'un résultat célèbre de R. Vinter (1993) qui porte sur la dualité non-convexe en contrôle optimal. Entre autre, ceci mène à une nouvelle caractérisation de la fonction temps minimal. * Dans la deuxième partie, nous étudions l'équation classique d'Hamilton-Jacobi de la fonction temps minimal mais dans un domaine contenant l'origine. Nous démontrons l'existence de solutions et même d'une solution minimale de cette équation, et établissons des liens avec les trajectoires géodésiques. * La dernière partie de cette thèese est consacr\ée à l'étude des boucles minimales pour les systèmes de contrôle. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de ces boucles en un point donné.

Dans cette thèse, nous étudions divers problèmes issus de la topologie symplectique où la topologie C° intervient. Nous étudions diverses complétions de l'espace des applications hamiltoniennes, puis appliquons cette étude aux équations d'Hamilton-Jacobi. Nous abordons ensuite le problème de l'extension du morphisme de Calabi à des groupes d'homéomorphismes. Enfin, nous nous intéressons à la rigidité C° du crochet de Poisson et à l'extension au cadre C° de la notion de représentation hamiltonienne.

Thesis (Ph. D.)--Ohio State University, 2006. / Title from first page of PDF file. Includes bibliographical references (p. 145-151).

No description available.