Diese Arbeit leistet Beiträge zu zwei Gebieten der mathematischen Programmierung: stochastische Optimierung und gemischt-ganzzahlige nichtlineare Optimierung (MINLP). Im ersten Teil erweitern wir quantitative Stetigkeitsresultate für zweistufige stochastische gemischt-ganzzahlige lineare Programme auf Situationen in denen Unsicherheit gleichzeitig in den Kosten und der rechten Seite auftritt, geben eine ausführliche Übersicht zu Dekompositionsverfahren für zwei- und mehrstufige stochastische lineare und gemischt-ganzzahlig lineare Programme, und diskutieren Erweiterungen und Kombinationen des Nested Benders Dekompositionsverfahrens und des Nested Column Generationsverfahrens für mehrstufige stochastische lineare Programme die es erlauben die Vorteile sogenannter rekombinierender Szenariobäume auszunutzen. Als eine Anwendung dieses Verfahrens betrachten wir die optimale Zeit- und Investitionsplanung für ein regionales Energiesystem unter Einbeziehung von Windenergie und Energiespeichern. Im zweiten Teil geben wir eine ausführliche Übersicht zum Stand der Technik bzgl. Algorithmen und Lösern für MINLPs und zeigen dass einige dieser Algorithmen innerhalb des constraint integer programming Softwaresystems SCIP angewendet werden können. Letzteres erlaubt uns die Verwendung schon existierender Technologien für gemischt-ganzzahlige linear Programme und constraint Programme für den linearen und diskreten Teil des Problems. Folglich konzentrieren wir uns hauptsächlich auf die Behandlung der konvexen und nichtkonvexen nichtlinearen Nebenbedingungen mittels Variablenschrankenpropagierung, äußerer Approximation und Reformulierung. In einer ausführlichen numerischen Studie untersuchen wir die Leistung unseres Ansatzes anhand von Anwendungen aus der Tagebauplanung und des Aufbaus eines Wasserverteilungssystems und mittels verschiedener Vergleichstests. Die Ergebnisse zeigen, dass SCIP ein konkurrenzfähiger Löser für MINLPs geworden ist. / This thesis contributes to two topics in mathematical programming: stochastic optimization and mixed-integer nonlinear programming (MINLP). In the first part, we extend quantitative continuity results for two-stage stochastic mixed-integer linear programs to include situations with simultaneous uncertainty in costs and right-hand side, give an extended review on decomposition algorithm for two- and multistage stochastic linear and mixed-integer linear programs, and discuss extensions and combinations of the Nested Benders Decomposition and Nested Column Generation methods for multistage stochastic linear programs to exploit the advantages of so-called recombining scenario trees. As an application of the latter, we consider the optimal scheduling and investment planning for a regional energy system including wind power and energy storages. In the second part, we give a comprehensive overview about the state-of-the-art in algorithms and solver technology for MINLPs and show that some of these algorithm can be applied within the constraint integer programming framework SCIP. The availability of the latter allows us to utilize the power of already existing mixed integer linear and constraint programming technologies to handle the linear and discrete parts of the problem. Thus, we focus mainly on the domain propagation, outer-approximation, and reformulation techniques to handle convex and nonconvex nonlinear constraints. In an extensive computational study, we investigate the performance of our approach on applications from open pit mine production scheduling and water distribution network design and on various benchmarks sets. The results show that SCIP has become a competitive solver for MINLPs.

Infimalfolgen nichtkonvexer Variationsprobleme haben aufgrund feiner Oszillationen häufig keinen starken Grenzwert in Sobolevräumen. Diese Oszillationen haben eine physikalische Bedeutung; Finite-Element-Approximationen können sie jedoch im Allgemeinen nicht auflösen. Relaxationsmethoden ersetzen die nichtkonvexe Energie durch ihre (semi)konvexe Hülle. Das entstehende makroskopische Modell ist degeneriert: es ist nicht strikt konvex und hat eventuell mehrere Minimalstellen. Die fehlende Kontrolle der primalen Variablen führt zu Schwierigkeiten bei der a priori und a posteriori Fehlerschätzung, wie der Zuverlässigkeits- Effizienz-Lücke und fehlender starker Konvergenz. Zur Überwindung dieser Schwierigkeiten erweitern Stabilisierungstechniken die relaxierte Energie um einen diskreten, positiv definiten Term. Bartels et al. (IFB, 2004) wenden Stabilisierung auf zweidimensionale Probleme an und beweisen dabei starke Konvergenz der Gradienten. Dieses Ergebnis ist auf glatte Lösungen und quasi-uniforme Netze beschränkt, was adaptive Netzverfeinerungen ausschließt. Die vorliegende Arbeit behandelt einen modifizierten Stabilisierungsterm und beweist auf unstrukturierten Netzen sowohl Konvergenz der Spannungstensoren, als auch starke Konvergenz der Gradienten für glatte Lösungen. Ferner wird der sogenannte Fluss-Fehlerschätzer hergeleitet und dessen Zuverlässigkeit und Effizienz gezeigt. Für Interface-Probleme mit stückweise glatter Lösung wird eine Verfeinerung des Fehlerschätzers entwickelt, die den Fehler der primalen Variablen und ihres Gradienten beschränkt und so starke Konvergenz der Gradienten sichert. Der verfeinerte Fehlerschätzer konvergiert schneller als der Fluss- Fehlerschätzer, und verringert so die Zuverlässigkeits-Effizienz-Lücke. Numerische Experimente mit fünf Benchmark-Tests der Mikrostruktursimulation und Topologieoptimierung ergänzen und bestätigen die theoretischen Ergebnisse. / Infimising sequences of nonconvex variational problems often do not converge strongly in Sobolev spaces due to fine oscillations. These oscillations are physically meaningful; finite element approximations, however, fail to resolve them in general. Relaxation methods replace the nonconvex energy with its (semi)convex hull. This leads to a macroscopic model which is degenerate in the sense that it is not strictly convex and possibly admits multiple minimisers. The lack of control on the primal variable leads to difficulties in the a priori and a posteriori finite element error analysis, such as the reliability-efficiency gap and no strong convergence. To overcome these difficulties, stabilisation techniques add a discrete positive definite term to the relaxed energy. Bartels et al. (IFB, 2004) apply stabilisation to two-dimensional problems and thereby prove strong convergence of gradients. This result is restricted to smooth solutions and quasi-uniform meshes, which prohibit adaptive mesh refinements. This thesis concerns a modified stabilisation term and proves convergence of the stress and, for smooth solutions, strong convergence of gradients, even on unstructured meshes. Furthermore, the thesis derives the so-called flux error estimator and proves its reliability and efficiency. For interface problems with piecewise smooth solutions, a refined version of this error estimator is developed, which provides control of the error of the primal variable and its gradient and thus yields strong convergence of gradients. The refined error estimator converges faster than the flux error estimator and therefore narrows the reliability-efficiency gap. Numerical experiments with five benchmark examples from computational microstructure and topology optimisation complement and confirm the theoretical results.