In this thesis we demonstrate the power of the Gross-Pitaevskii and the time-dependent Ginzburg-Landau equations by numerically solving them for various fundamental problems related to superfluidity and superconductivity. We start by studying the motion of a massive object through a quantum fluid modelled by the Gross-Pitaevskii equation. Below a critical velocity, the object does not exchange momentum or energy with the fluid. This is a manifestation of its superfluid nature. We discuss the effect of applying a constant force to the object and show that for small forces a vortex ring is created to which the object becomes attached. For a larger force the object detaches from the vortex ring and we observe periodic shedding of rings. All energy transfered to the system is contained within the vortex rings and the drag force on the object is due to the recoil of the vortex emission. If we exceed the speed of sound, there is an additional contribution to the drag from sound emission. To make a link to superconductivity, we then discuss vortex states in a rotating system. In the ground state, regular arrays of vortices are observed which, for systems containing many vortices, mimic solid-body rotation. In the second part of the thesis, we initially review solutions to the Ginzburg-Landau equations in an applied magnetic field. For superconducting disks we observe vortex arrays similar to those in rotating superfluids. Finally, we study an electrical current flow along a superconducting wire subject to an external magnetic field. We observe the motion of flux lines, and hence dissipation, due to the Lorentz force. We measure the V – I curve which is analogous to the drag force in a superfluid. With the introduction of impurities, flux lines become pinned which gives rise to an increased critical current.

This dissertation focuses on the further development of creating accurate numerical models of complex dynamical systems using the holistic discretisation technique [Roberts, Appl. Num. Model., 37:371-396, 2001]. I extend the application from second to fourth order systems and from only one spatial dimension in all previous work to two dimensions (2D). We see that the holistic technique provides useful and accurate numerical discretisations on coarse grids. We explore techniques to model the evolution of spatial patterns governed by pdes such as the Kuramoto-Sivashinsky equation and the real-valued Ginzburg-Landau equation. We aim towards the simulation of fluid flow and convection in three spatial dimensions. I show that significant steps have been taken in this dissertation towards achieving this aim. Holistic discretisation is based upon centre manifold theory [Carr, Applications of centre manifold theory, 1981] so we are assured that the numerical discretisation accurately models the dynamical system and may be constructed systematically. To apply centre manifold theory the domain is divided into elements and using a homotopy in the coupling parameter, subgrid scale fields are constructed consisting of actual solutions of the governing partial differential equation(pde). These subgrid scale fields interact through the introduction of artificial internal boundary conditions. View the centre manifold (macroscale) as the union of all states of the collection of subgrid fields (microscale) over the physical domain. Here we explore how to extend holistic discretisation to the fourth order Kuramoto-Sivashinsky pde. I show that the holistic models give impressive accuracy for reproducing the steady states and time dependent phenomena of the Kuramoto-Sivashinsky equation on coarse grids. The holistic method based on local dynamics compares favourably to the global methods of approximate inertial manifolds. The excellent performance of the holistic models shown here is strong evidence in support of the holistic discretisation technique. For shear dispersion in a 2D channel a one-dimensional numerical approximation is generated directly from the two-dimensional advection-diffusion dynamics. We find that a low order holistic model contains the shear dispersion term of the Taylor model [Taylor, IMA J. Appl. Math., 225:473-477, 1954]. This new approach does not require the assumption of large x scales, formerly absolutely crucial in deriving the Taylor model. I develop holistic discretisation for two spatial dimensions by applying the technique to the real-valued Ginzburg-Landau equation as a representative example of second order pdes. The techniques will apply quite generally to second order reaction-diffusion equations in 2D. This is the first study implementing holistic discretisation in more than one spatial dimension. The previous applications of holistic discretisation have developed algebraic forms of the subgrid field and its evolution. I develop an algorithm for numerical construction of the subgrid field and its evolution for 1D and 2D pdes and explore various alternatives. This new development greatly extends the class of problems that may be discretised by the holistic technique. This is a vital step for the application of the holistic technique to higher spatial dimensions and towards discretising the Navier-Stokes equations.

Les matériaux ferromagnétiques jouent un rôle primordial dans les applications industrielles. Dans le cadre du modèle micromagnétique de Brown (1940), nous étudions l'influence d'un espaceur mince non magnétique sur le comportement d'un corps ferromagnétique. l'évolution dynamique est modélisée par l'équation de Landau-Lifchitz. Nous tenons compte des phénomènes de surface sur l'espaceur : le super-échange et l'anisotropie surfacique. Après avoir étudié le problème d'existence de cette équation en présence des termes de surfaces, nous établissons rigoureusement une condition équivalente de bord qui simule l'épaisseur de l'espaceur sur un domaine avec un espaceur sans épaisseur. Nous calculons lors les états d'équilibres et la susceptibilité hyperfréquence pour certaines configurations magnétiques. Dans une deuxième phase, nous homogénéisons l'équation de Landau-Lifchitz en domaine perforé et pour des agencements multicouches.

L'approximation de Born-Oppenheimer consiste à traiter de manière semi-classique l'équation de Schrödinger associée à une molécule en utilisant la petitesse du rapport de masse entre électrons et noyaux. Nous montrons que pour un type générique de presque croisement de codimension 1 de deux surfaces d'énergie électroniques, la propagation d'un paquet d'ondes nucléaire gaussien associé à l'une des surfaces est gouvernée par une formule du type Landau-Zener. Par ailleurs, dans le cadre de l'équation de Schrödinger stationnaire unidimensionnelle et en situation de croisement générique de deux courbes d'énergie, nous construisons des quasimodes par intégration d'un paquet d'ondes gaussien propagé le long d'une trajectoire classique périodique associée à l'une des deux courbes d'énergie.

Cette thèse s'intéresse, à la diffraction d'ondes électromagnétiques par un matériau ferromagnétique obéissant à la loi non-linéaire de Landau-Lifshitz, et comporte trois parties. On étudie dans la première partie le problème de Cauchy formé par le système de Maxwell et la loi de L.L. On y montre l'existence et l'unicité des solutions fortes en 2D. La deuxième partie traite le problème de diffraction par un revêtement ferromagnétique de faible épaisseur. La couche mince est remplacée par des conditions aux limites équivalentes, obtenues via un développement asymptotique par rapport à l'épaisseur et permettant un calcul approchée de la solution. La stabilité (ou instabilité) de ces conditions est analysée dans le cas général mais l'étude de l'erreur pour le problème non-linéaire n'a été faite que pour le modèle 1D. On propose et on étudie ensuite deux schémas de discrétisation en temps. L'intérêt pratique de ces conditions équivalentes a été mis en évidence par des expériences numériques 1D et 2D. La troisième partie est consacrée à l'homogénéisation d'un milieu ferromagnétique périodique. Le modèle homogénéisé est présenté dans le cas général et comprend une loi non linéaire micro-macro non locale. La convergence double échelle est montrée dans le cas laminaire. Le procédé d'homogénéisation est également validé numériquement dans ce cas.

Ce travail concerne les effets de champ magnétique sur le diagramme de phase des conducteurs quasi-unidimensionnels. Il s'agit de comprendre comment le champ magnétique peut détruire la phase métallique et induire une phase onde de densité de spin (ODS), comme observé expérimentalement dans les conducteurs organiques comme les sels de Bechgaard. La thèse est divisée en deux parties Le couplage Zeeman à un gaz d'électrons unidimensionnel gèle certains processus d'interaction et par conséquent modifie les fluctuations unidimensionnelles. L'évolution des différentes L'instabilités du gaz d'électrons (onde de densité de spin ou de charge, supraconductivité singulet ou triplet) est obtenue en fonction du champ magnétique et du potentiel chimique. Ce dernier a sur les degrés de libertés de charge au voisinage du demi-remplissage, le même effet que le champ magnétique sur les degrés de libertés de spin. Pour le gaz d'électrons quasi-1D, la formation d'une phase ODS dépend à la fois de la géométrie de la surface de Fermi (le " nesting ") et de la quantification des orbites induite pas le champ magnétique). Ce double mécanisme, baptisé le " nesting quantifié " a les conséquences suivantes : * Une série de transitions de phase quantiques du premier ordre entre des sous-phases ODS apparaît lorsque le champ augmente. * Chaque sous-phase est indexée par un nombre quantique n, qui correspond à n niveaux de Landau complètement remplis. * L'effet Hall est quantifié dans chaque sous-phase. * Cette théorie décrit pratiquement tous les phénomènes observés dans les phases induites par le champ dans les sels de Bechgaard.

Cette thèse présente une étude théorique des oscillations de courant et l'émission de lumière THz dans les super-réseaux de semi-conducteur polarisés soumis à une excitation optique pulsée. Ce travail a été fait en étroite collaboration avec des expérimentateurs. Ceci a permis de faire des comparaisons entre la théorie et l'expérience. Dans la dernière partie de cette thèse, nous poursuivons notre étude en incluant les effets sur les oscillations de courant d'un champ magnétique parallèle au champ électrique de polarisation. Nous modélisons par une approche quantique la dynamique des porteurs de charge dans les super-réseaux lors d'une excitation optique femtosecondes au moyen des états de Wannier-Stark et excitoniques. Tous les paramètres mis en jeu dans le phénomène des oscillations de courant sont discutés. De même, nous donnons les éléments nécessaires à l'optimisation de l'émission THz. L'excellent accord entre les calculs et les résultats expérimentaux donne crédit à notre modélisation. Finalement, nous incluons les effets sur l'amplitude du courant et de l'émission suite à l'application d'un champ magnétique intense appliqué parallèlement au champ de polarisation. Nous prédisons d'importantes modifications du spectre des oscillateurs, associées à la quantification additionnelle du quasi-continuum existant dans le plan perpendiculaire au champ électrique en l'absence du champ magnétique.

Ce manuscrit est dédié au transport relativiste cinétique sous influence de champs magnétiques, identifié comme obstacle pour la modélisation et la simulation intégrée, dans le cadre de la Fusion par Confinement Inertiel (FCI). Une réalisation importante concerne le développement d'un code déterministe de référence, 2Dx-3Dv, de type Maxwell-Fokker-Planck-Landau, permettant la prise en compte de fonctions de distribution à large degré d'anisotropie. Ce travail se situe à l'interface de l'analyse numérique, des mathématiques appliquées, et de la physique des plasmas. Un deuxième résultat marquant concerne la dérivation d'un modèle collisionel multi-échelle, pour le transport d'électrons relativistes dans la matière dense. Des processus importants sont mis en évidence pour la FCI, et une analogie est menée vis-à-vis des processus de transport collisionels connus en radiothérapie. Enfin, un modèle mésoscopique aux moments angulaires, avec fermeture entropique, a été dérivé et utilisé pour le dépôt de dose pour la radiothérapie. Des schémas numériques précis, d'ordre élevé, et robustes, ont été développé dans ce cadre.

In order to understand some of the superconducting mechanisms involving external electric fields at nanometric scales, a Lorentz-covariant extension of the phenomenological Ginzburg-Landau theory has been developed by analogy with the Higgs model of particle physics. Among the specific properties of this model, it has been shown that the phase diagram of some particular geometry submitted to crossed electric and magnetic fields in a stationary situation provides a criterion involving the applied electric field, which could discriminate between the usual Ginzburg-Landau theory and its covariant extension. A sub-microscopic device has been manufactured using microelectronics lithography techniques and was used to perform transport measurements at very low temperatures. However, the experimental measurements of the phase diagram do not reproduce the expectations based whether on the usual or the extended model, suggesting a screening of the electric field by some mechanism which is not accounted for by these phenomenological approaches. A microscopic approach has therefore been developed to extend the s-wave channel of the BCS theory in a relativistic framework, using the functional integral formalism of Finite Temperature Field Theory. In particular, the effective action related to the Ginzburg-Landau free energy was obtained up to second order in the fluctuations of the electromagnetic field and of the superconducting condensate density. This allowed for the identification of the electric and magnetic penetration lengths, inclusive of their dependences on temperature and the chemical potential, which fully explain the experimental results. Several analytic expressions have also been provided for the effective potential in the full range of temperatures between 0 K and the critical temperature, among which the Ginzburg-Landau potential was shown to reproduce this effective potential within the limited range of temperatures where it is expected to be valid.

La majeure partie de cette thèse concerne l'étude de la susceptibilité diamagnétique en champ magnétique nul d'un gaz d'électrons de Bloch à température et densité fixées dans la limite des faibles températures. Pour les électrons libres (i.e. en l'absence de potentiel périodique), la susceptibilité diamagnétique a été calculée par L. Landau en 1930; le résultat est connu sous le nom de formule de Landau. Quant au cas des électrons de Bloch, E.R. Peierls montra en 1933 que dans l'approximation des électrons fortement liés, la formule pour la susceptibilité diamagnétique reste la même en remplaçant la masse de l'électron par sa ''masse effective''; ce résultat est connu sous le nom de formule de Landau-Peierls. Depuis, de nombreuses tentatives pour clarifier les hypothèses de validité de la formule de Landau-Peierls ont vu le jour. Le résultat principal de cette thèse établit rigoureusement qu'à température nulle, lorsque la densité d'électrons tend vers zéro, la contribution dominante à la susceptibilité diamagnétique est donnée par la formule de Landau-Peierls avec la masse effective de la plus petite bande d'énergie de Bloch.