Métodos eficientes para planejamento de caminhos têm sido explorados ao longo dos anos para permitir movimento de robôs autônomos ou agentes virtuais. Basicamente, estes algoritmos buscam pelo ambiente por um caminho com pouca probabilidade de colisão com obstáculos, e que conduza o agente de uma posição inicial para uma posição objetivo. Apesar de os primeiros algoritmos para planejamento de caminhos para calcular rotas em grafos foram apresentados a mais de 50 anos atrás, ainda existe muito trabalho sendo realizado para melhorar as técnicas existentes hoje em dia. Os algoritmos de planejamento de caminhos atuais normalmente assumem que o ambiente pode ser facilmente projetado em um plano. Também existem diversos algoritmos que podem trabalhar facilmente com mais dimensões. Porém, uma classe de ambientes que não podem ser facilmente tratadas pelos algoritmos atuais é composta por superfícies arbitrárias. Estas superfícies, com buracos e torções, por exemplo, não podem ser facilmente projetadas em um plano. O fato de o caminho ser restrito à superfície faz com que, em um dado ponto o algoritmo precise calcular um caminho 2D em uma superfície 3D, o que não é trivial de mapear em um algoritmo de planejamento de caminhos para várias dimensões. Este trabalho apresenta uma nova técnica de planejamento de caminhos em superfícies 3D, chamada 3DS-BVP. Este novo planejador de caminhos é baseado em um algoritmo de planejamento de caminhos para ambientes 2D. O algoritmo anterior, chamado BVPPath- Planner, utiliza problemas de valor de contorno (Boundary Value Problems, BVP) e funções harmônicas para gerar campos potenciais. Ao seguir o gradiente descente destes campos potenciais, é possível produzir caminhos suaves livres de mínimos locais, partindo de qualquer posição do ambiente para um dado objetivo. Nosso algoritmo gera um campo potencial diretamente na superfície 3D utilizando um método numérico que foi inspirado por aquele utilizado no BVP-Path-Planner. O 3DS-BVP trabalha sobre superfícies complexas com buracos ou curvaturas, representadas por malhas de triângulos, sem a necessidade de parametrizar a superfície em uma representação 2D. Nossos resultados demonstram que a técnica pode gerar caminhos com qualidade similar àqueles gerados pelo BVP-Path-Planner em ambientes planos. O mesmo algoritmo é capaz de gerar caminhos em superfícies arbitrárias a taxas de atualização interativas. / Efficient path planning methods are being explored along the years to allow the movement of autonomous robots or virtual agents. Basically these algorithms search the environment for a path with low probability of collision with obstacles that conduces the agent from an initial to a goal position. Although the first path planning algorithms to compute routes in graphs were presented more than 50 years ago, there is still a lot of effort into improving the current approaches. The current path planning algorithms usually assume that the environment can be easily projected on a plane. There are also other algorithms that can easily deal with higher dimensional spaces. But a class of environments that cannot be easily treated by current algorithms is the one composed by arbitrary surfaces. These surfaces, with holes and bends for instance, cannot be directly projected on a plane. Because the path must be on the surface, it has only 2 degrees of freedom in any point of the surface, which is not trivial to map for a higher dimensional path planning algorithm. This work presents a new technique for path planning on 3D surfaces called 3DS-BVP. This new path planner is based on a previous path planning algorithm for 2D environments. The former algorithm, called BVP-Path-Planner, uses Boundary Value Problems (BVP) and harmonic functions to generate potential fields. By following the gradient descent of these potential fields, it is possible to produce smooth paths free from local minima from any point of the environment to a given goal position. Our algorithm generates a potential field directly on the 3D surface using a numerical method inspired on the one used by the BVP-Path-Planner. The 3DS-BVP works over complex surfaces of arbitrary genus or curvature, represented by a triangle mesh, without the need of 2D parametrizations. Our results demonstrate that our technique can generate paths with similar quality as those generated by the BVP-Path-Planner in planar environments. The same algorithm is also able to generate paths in arbitrary surfaces at interactive frame rates.

Métodos eficientes para planejamento de caminhos têm sido explorados ao longo dos anos para permitir movimento de robôs autônomos ou agentes virtuais. Basicamente, estes algoritmos buscam pelo ambiente por um caminho com pouca probabilidade de colisão com obstáculos, e que conduza o agente de uma posição inicial para uma posição objetivo. Apesar de os primeiros algoritmos para planejamento de caminhos para calcular rotas em grafos foram apresentados a mais de 50 anos atrás, ainda existe muito trabalho sendo realizado para melhorar as técnicas existentes hoje em dia. Os algoritmos de planejamento de caminhos atuais normalmente assumem que o ambiente pode ser facilmente projetado em um plano. Também existem diversos algoritmos que podem trabalhar facilmente com mais dimensões. Porém, uma classe de ambientes que não podem ser facilmente tratadas pelos algoritmos atuais é composta por superfícies arbitrárias. Estas superfícies, com buracos e torções, por exemplo, não podem ser facilmente projetadas em um plano. O fato de o caminho ser restrito à superfície faz com que, em um dado ponto o algoritmo precise calcular um caminho 2D em uma superfície 3D, o que não é trivial de mapear em um algoritmo de planejamento de caminhos para várias dimensões. Este trabalho apresenta uma nova técnica de planejamento de caminhos em superfícies 3D, chamada 3DS-BVP. Este novo planejador de caminhos é baseado em um algoritmo de planejamento de caminhos para ambientes 2D. O algoritmo anterior, chamado BVPPath- Planner, utiliza problemas de valor de contorno (Boundary Value Problems, BVP) e funções harmônicas para gerar campos potenciais. Ao seguir o gradiente descente destes campos potenciais, é possível produzir caminhos suaves livres de mínimos locais, partindo de qualquer posição do ambiente para um dado objetivo. Nosso algoritmo gera um campo potencial diretamente na superfície 3D utilizando um método numérico que foi inspirado por aquele utilizado no BVP-Path-Planner. O 3DS-BVP trabalha sobre superfícies complexas com buracos ou curvaturas, representadas por malhas de triângulos, sem a necessidade de parametrizar a superfície em uma representação 2D. Nossos resultados demonstram que a técnica pode gerar caminhos com qualidade similar àqueles gerados pelo BVP-Path-Planner em ambientes planos. O mesmo algoritmo é capaz de gerar caminhos em superfícies arbitrárias a taxas de atualização interativas. / Efficient path planning methods are being explored along the years to allow the movement of autonomous robots or virtual agents. Basically these algorithms search the environment for a path with low probability of collision with obstacles that conduces the agent from an initial to a goal position. Although the first path planning algorithms to compute routes in graphs were presented more than 50 years ago, there is still a lot of effort into improving the current approaches. The current path planning algorithms usually assume that the environment can be easily projected on a plane. There are also other algorithms that can easily deal with higher dimensional spaces. But a class of environments that cannot be easily treated by current algorithms is the one composed by arbitrary surfaces. These surfaces, with holes and bends for instance, cannot be directly projected on a plane. Because the path must be on the surface, it has only 2 degrees of freedom in any point of the surface, which is not trivial to map for a higher dimensional path planning algorithm. This work presents a new technique for path planning on 3D surfaces called 3DS-BVP. This new path planner is based on a previous path planning algorithm for 2D environments. The former algorithm, called BVP-Path-Planner, uses Boundary Value Problems (BVP) and harmonic functions to generate potential fields. By following the gradient descent of these potential fields, it is possible to produce smooth paths free from local minima from any point of the environment to a given goal position. Our algorithm generates a potential field directly on the 3D surface using a numerical method inspired on the one used by the BVP-Path-Planner. The 3DS-BVP works over complex surfaces of arbitrary genus or curvature, represented by a triangle mesh, without the need of 2D parametrizations. Our results demonstrate that our technique can generate paths with similar quality as those generated by the BVP-Path-Planner in planar environments. The same algorithm is also able to generate paths in arbitrary surfaces at interactive frame rates.

Métodos eficientes para planejamento de caminhos têm sido explorados ao longo dos anos para permitir movimento de robôs autônomos ou agentes virtuais. Basicamente, estes algoritmos buscam pelo ambiente por um caminho com pouca probabilidade de colisão com obstáculos, e que conduza o agente de uma posição inicial para uma posição objetivo. Apesar de os primeiros algoritmos para planejamento de caminhos para calcular rotas em grafos foram apresentados a mais de 50 anos atrás, ainda existe muito trabalho sendo realizado para melhorar as técnicas existentes hoje em dia. Os algoritmos de planejamento de caminhos atuais normalmente assumem que o ambiente pode ser facilmente projetado em um plano. Também existem diversos algoritmos que podem trabalhar facilmente com mais dimensões. Porém, uma classe de ambientes que não podem ser facilmente tratadas pelos algoritmos atuais é composta por superfícies arbitrárias. Estas superfícies, com buracos e torções, por exemplo, não podem ser facilmente projetadas em um plano. O fato de o caminho ser restrito à superfície faz com que, em um dado ponto o algoritmo precise calcular um caminho 2D em uma superfície 3D, o que não é trivial de mapear em um algoritmo de planejamento de caminhos para várias dimensões. Este trabalho apresenta uma nova técnica de planejamento de caminhos em superfícies 3D, chamada 3DS-BVP. Este novo planejador de caminhos é baseado em um algoritmo de planejamento de caminhos para ambientes 2D. O algoritmo anterior, chamado BVPPath- Planner, utiliza problemas de valor de contorno (Boundary Value Problems, BVP) e funções harmônicas para gerar campos potenciais. Ao seguir o gradiente descente destes campos potenciais, é possível produzir caminhos suaves livres de mínimos locais, partindo de qualquer posição do ambiente para um dado objetivo. Nosso algoritmo gera um campo potencial diretamente na superfície 3D utilizando um método numérico que foi inspirado por aquele utilizado no BVP-Path-Planner. O 3DS-BVP trabalha sobre superfícies complexas com buracos ou curvaturas, representadas por malhas de triângulos, sem a necessidade de parametrizar a superfície em uma representação 2D. Nossos resultados demonstram que a técnica pode gerar caminhos com qualidade similar àqueles gerados pelo BVP-Path-Planner em ambientes planos. O mesmo algoritmo é capaz de gerar caminhos em superfícies arbitrárias a taxas de atualização interativas. / Efficient path planning methods are being explored along the years to allow the movement of autonomous robots or virtual agents. Basically these algorithms search the environment for a path with low probability of collision with obstacles that conduces the agent from an initial to a goal position. Although the first path planning algorithms to compute routes in graphs were presented more than 50 years ago, there is still a lot of effort into improving the current approaches. The current path planning algorithms usually assume that the environment can be easily projected on a plane. There are also other algorithms that can easily deal with higher dimensional spaces. But a class of environments that cannot be easily treated by current algorithms is the one composed by arbitrary surfaces. These surfaces, with holes and bends for instance, cannot be directly projected on a plane. Because the path must be on the surface, it has only 2 degrees of freedom in any point of the surface, which is not trivial to map for a higher dimensional path planning algorithm. This work presents a new technique for path planning on 3D surfaces called 3DS-BVP. This new path planner is based on a previous path planning algorithm for 2D environments. The former algorithm, called BVP-Path-Planner, uses Boundary Value Problems (BVP) and harmonic functions to generate potential fields. By following the gradient descent of these potential fields, it is possible to produce smooth paths free from local minima from any point of the environment to a given goal position. Our algorithm generates a potential field directly on the 3D surface using a numerical method inspired on the one used by the BVP-Path-Planner. The 3DS-BVP works over complex surfaces of arbitrary genus or curvature, represented by a triangle mesh, without the need of 2D parametrizations. Our results demonstrate that our technique can generate paths with similar quality as those generated by the BVP-Path-Planner in planar environments. The same algorithm is also able to generate paths in arbitrary surfaces at interactive frame rates.

This thesis aims to provide an introduction to the field of potential theory at an undergraduate level, by studying an important mathematical problem in the field, namely the Dirichlet problem. By examining the historical development of different methods for solving the problem in increasingly general contexts, and the mathematical concepts which were established to support these methods, the aim is to provide an overview of various basic techniques in the field of potential theory, as well as a summary of the fundamental results concerning the Dirichlet problem in Euclidean space. / Målet med detta arbete är att vara en introduktion på kandidatnivå till ämnesfältet potentialteori, genom att studera ett viktigt matematiskt problem inom potentialteori, Dirichletproblemet. Genom att undersöka den historiska utvecklingen av olika lösningsmetoder för problemet i mer och mer allmänna sammanhang, i kombination med de matematiska koncepten som utvecklades för att användas i dessa lösningsmetoder, ges en översikt av olika grundläggande tekniker inom potentialteori, samt en sammanfattaning av de olika matematiska resultaten som har att göra med Dirichletproblemet i det Euklidiska rummet.

Cette thèse concerne l’étude de grandes déviations précises pour deux statistiques de test:le coefficient de corrélation empirique de Pearson et la statistique de Moran.Les deux premiers chapitres sont consacrés à des rappels sur les grandes déviations précises et sur la méthode de Laplace qui seront utilisés par la suite. Par la suite, nous étudions les grandes déviations précises pour des coefficients de Pearson empiriques qui sont définis par:$r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)(Y_i-\bar Y_n)/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\bar X_n)^2 \sum_{i=1}(Y_i-\bar Y_n)^2}$ ou, quand les espérances sont connues, $\tilde r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb E(X))(Y_i-\mathbb E(Y))/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\mathbb E(X))^2 \sum_{i=1}(Y_i-\mathbb E(Y))^2} \, .$. Notre cadre est celui d’échantillons (Xi, Yi) ayant une distribution sphérique ou une distribution gaussienne. Dans chaque cas, le schéma de preuve suit celui de Bercu et al.Par la suite, nous considérons la statistique de Moran $T_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{X_i}{\bar X_n}+\gamma \, ,$o\`u $\gamma$, où γ est la constante d’ Euler. Enfin l’appendice est consacré aux preuves de résultats techniques. / This thesis focuses on the study of Sharp large deviations (SLD) for two test statistics:the Pearson’s empirical correlation coefficient and the Moran statistic.The two first chapters aim to recall general results on SLD principles and Laplace’s methodsused in the sequel. Then we study the SLD of empirical Pearson coefficients, name $r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)(Y_i-\bar Y_n)/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\bar X_n)^2 \sum_{i=1}(Y_i-\bar Y_n)^2}$ and when the meansare known,$\tilde r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb E(X))(Y_i-\mathbb E(Y))/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\mathbb E(X))^2 \sum_{i=1}(Y_i-\mathbb E(Y))^2} \, .$ .Our framework takes place in two cases of random sample (Xi, Yi): spherical distributionand Gaussian distribution. In each case, we follow the scheme of Bercu et al. Next, westate SLD for the Moran statistic $T_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{X_i}{\bar X_n}+\gamma \, ,$o\`u $\gamma$ , where γ is the Euler constant.Finally the appendix is devoted to some technical results.

Cette thèse aborde le processus ponctuel déterminantal, un modèle probabiliste qui capture la répulsion entre les points d’un certain espace. Celle-ci est déterminée par une matrice de similarité, la matrice noyau du processus, qui spécifie quels points sont les plus similaires et donc moins susceptibles de figurer dans un même sous-ensemble. Contrairement à la sélection aléatoire uniforme, ce processus ponctuel privilégie les sous-ensembles qui contiennent des points diversifiés et hétérogènes. La notion de diversité acquiert une importante grandissante au sein de sciences comme la médecine, la sociologie, les sciences forensiques et les sciences comportementales. Le processus ponctuel déterminantal offre donc une alternative aux traditionnelles méthodes d’échantillonnage en tenant compte de la diversité des éléments choisis. Actuellement, il est déjà très utilisé en apprentissage automatique comme modèle de sélection de sous-ensembles. Son application en statistique est illustrée par trois articles. Le premier article aborde le partitionnement de données effectué par un algorithme répété un grand nombre de fois sur les mêmes données, le partitionnement par consensus. On montre qu’en utilisant le processus ponctuel déterminantal pour sélectionner les points initiaux de l’algorithme, la partition de données finale a une qualité supérieure à celle que l’on obtient en sélectionnant les points de façon uniforme. Le deuxième article étend la méthodologie du premier article aux données ayant un grand nombre d’observations. Ce cas impose un effort computationnel additionnel, étant donné que la sélection de points par le processus ponctuel déterminantal passe par la décomposition spectrale de la matrice de similarité qui, dans ce cas-ci, est de grande taille. On présente deux approches différentes pour résoudre ce problème. On montre que les résultats obtenus par ces deux approches sont meilleurs que ceux obtenus avec un partitionnement de données basé sur une sélection uniforme de points. Le troisième article présente le problème de sélection de variables en régression linéaire et logistique face à un nombre élevé de covariables par une approche bayésienne. La sélection de variables est faite en recourant aux méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov, en utilisant l’algorithme de Metropolis-Hastings. On montre qu’en choisissant le processus ponctuel déterminantal comme loi a priori de l’espace des modèles, le sous-ensemble final de variables est meilleur que celui que l’on obtient avec une loi a priori uniforme. / This thesis presents the determinantal point process, a probabilistic model that captures repulsion between points of a certain space. This repulsion is encompassed by a similarity matrix, the kernel matrix, which selects which points are more similar and then less likely to appear in the same subset. This point process gives more weight to subsets characterized by a larger diversity of its elements, which is not the case with the traditional uniform random sampling. Diversity has become a key concept in domains such as medicine, sociology, forensic sciences and behavioral sciences. The determinantal point process is considered a promising alternative to traditional sampling methods, since it takes into account the diversity of selected elements. It is already actively used in machine learning as a subset selection method. Its application in statistics is illustrated with three papers. The first paper presents the consensus clustering, which consists in running a clustering algorithm on the same data, a large number of times. To sample the initials points of the algorithm, we propose the determinantal point process as a sampling method instead of a uniform random sampling and show that the former option produces better clustering results. The second paper extends the methodology developed in the first paper to large-data. Such datasets impose a computational burden since sampling with the determinantal point process is based on the spectral decomposition of the large kernel matrix. We introduce two methods to deal with this issue. These methods also produce better clustering results than consensus clustering based on a uniform sampling of initial points. The third paper addresses the problem of variable selection for the linear model and the logistic regression, when the number of predictors is large. A Bayesian approach is adopted, using Markov Chain Monte Carlo methods with Metropolis-Hasting algorithm. We show that setting the determinantal point process as the prior distribution for the model space selects a better final model than the model selected by a uniform prior on the model space.