Dans cette thèse, nous généralisons les inégalités universelles de Yang etde Levitin et Parnovski, concernant les valeurs propres du laplacien de Dirichlet sur undomaine euclidien borné, au cas du laplacien de Hodge-de Rham sur une sous-variétéeuclidienne fermée. Cela permet une extension de l’inégalité de Reilly et de l’inégalitéd’Asada, concernant respectivement la première valeur propre du laplacien et celle dulaplacien de Hodge-de Rham, à toutes les valeurs propres de ces deux opérateurs. Ensuite,nous obtenons une nouvelle inégalité algébrique qui relie les valeurs propres d’un opérateurauto-adjoint sur un espace d’Hilbert à deux familles d’opérateurs symétriques et antisymétriqueset à leurs commutateurs. Cette inégalité permet d’unifier et d’améliorer denombreux résultats connus concernant le laplacien, le laplacien de Hodge-de Rham, lecarré de l’opérateur de Dirac et plus généralement le laplacien agissant sur les sections d’unfibré vectoriel riemannien au-dessus d’une sous-variété euclidienne, le laplacien de Kohn,les puissances du laplacien... Dans une dernière partie, nous montrons une majoration dela première valeur propre du problème de Steklov sur un domaine Ω d’une sous-variétéeuclidienne ou sphérique, en fonction des r-courbures moyennes de son bord ∂Ω. / In this thesis, we generalize the Yang and the Levitin and Parnovski universalinequalities, concerning the eigenvalues of the Dirichlet Laplacian on a Euclideanbounded domain, to the case of the Hodge-de Rham Laplacian on a Euclidean closed submanifold.This gives an extension of Reilly’s inequality and Asada’s inequality, concerningthe first eigenvalues of the Laplacian and the Hodge-de Rham Laplacian respectively, toall eigenvalues of these operators. We also obtain a new abstract inequality relating theeigenvalues of a self-adjoint operator on a Hilbert space to two families of symmetric andskew-symmetric operators and their commutators. This inequality is proved useful both forunifying and for improving numerous known results concerning the Laplacian, the Hodgede Rham Laplacian, the square of the Dirac operator and more generally the Laplacianacting on sections of a Riemannian vector bundle on a Euclidean submanifold, the KohnLaplacian, a power of the Laplacian...In the last part, we obtain an upper bound for thefirst eigenvalue of Steklov problem on a domain Ω of a Euclidean or a spherical submanifoldin terms of the r-th mean curvatures of ∂Ω

Th. doct.-ing.--Grenoble 1, 1984. N°: 106.

Rapport de recherche. / Titre provenant de l'écran-titre. 12 p. Bibliogr. p. 11-12.

Th. 3e cycle--Math. pures--Grenoble 1, 1983. N°: 99.

Dans ce manuscrit de thèse nous présentons des nouveaux résultats concernant l’existence, la non-existence, la multiplicité et la régularité des solutions positives pour deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec conditions de Dirichlet dans un domaine borné. Dans le chapitre 1 d’introduction, nous décrivons les deux problèmes que nous allons étudier et nous donnons les principaux résultats. Le premier, d’inconnue u, comporte un terme de source de gradient à croissance critique. Le second, d’inconnue v, contient un terme source d’ordre 0. Dans le chapitre 2 nous donnons des nouveaux résultats de régularité des solutions renormalisées utiles pour notre étude. A l’aide d’un changement d’inconnue, nous établissons un lien précis entre les problèmes en u et v. Le chapitre 3 est consacré à montrer ce lien et à donner une première application. Dans les chapitres 4 et 5 nous traitons de l’existence de solutions, la solution extrémale et sa régularité, l’existence d’une deuxième solution bornée du problème en v. Dans le chapitre 6 nous démontrons un résultat d’existence pour le problème en v avec des données mesures de Radon bornées quelconques. Dans le chapitre 7 nous obtenons des nouveaux résultats pour le problème en u en utilisant la connexion entre ces deux problèmes. / In the thesis manuscript we present new results concerning existence, nonexistence, multiplicity and regularity of positive solutions for two elliptic quasilinear problems with Dirichlet data in a bounded domain. In chapter 1 we describe the two problems which we study in the sequel and we give the main results. The first one, of unknown u, involves a gradient term with natural growth. The second one, of unknown v, presents a source term of order 0. In chapter 2 we give new regularity results for renormalized solutions. Thanks to a change of unknown we establish a precise connection between problems in u and v. Chapter 3 is devoted to show this connection and to give a first application. In the chapters 4 and 5 we treat existence solutions, extremal solution and its regularity, the existence of a second bounded solution for the problem in v. In chapter 6 we prove a result of existence for the problem in v with general bounded Radon measures data. In chapter 7 we obtain new results for the problem in u by using the connection between these two problems.

Dans cette thèse on considère le prolongement méromorphe fini de la résolvante du laplacien libre sur une variété riemannienne connexe non compacte de dimension supérieure ou égale à 2. Ses pôles sont appelés résonances. On suppose que la variété possède certaines symétries comme S^1, (S^1)^m ou encore SO(n). Avec cette hypothèse, on construit des potentiels V dits isorésonants c'est-à-dire tels que le laplacien plus V ait les mêmes résonances que le laplacien libre avec les mêmes multiplicités. Au passage on est amené à estimer le bas du spectre du laplacien agissant sur les fonctions S^1 homogènes à support compact. On montre également que ces potentiels isorésonants peuvent modifier l'ordre des résonances. Enfin, les résonances sont parfois définies comme pôles de l'opérateur de diffusion : on montre que dans ce cadre on a aussi l'isorésonance de nos potentiels.

Reproduction de : Thèse doctorat : Mathématiques appliquées : Pau : 2008. / Titre provenant de l'écran titre. Bibliographie.

Cette thèse est consacrée à l'étude de propriétés du laplacien dans trois contextes bien distincts. Dans une première partie, celui-ci nous sera utile pour régulariser des solutions d'équations venues de la mécanique des fluides incompressibles. En application, on montrera un théorème dans la lignée des résultats de J. Serrin et de ses continuateurs. Dans une deuxième partie, le laplacien est vu comme le pendant stationnaire de l'opérateur des ondes sur un graphe, dont les modes et fréquences propres déterminent la propagation de perturbations sur le graphe. On y explore et démêle les liens entre la topologie du graphe, sa forme et sa première fréquence propre non nulle. Dans une dernière partie, le laplacien est pensé comme un opérateur linéaire à diagonaliser dans une base adaptée, objectif dont l'accomplissement est intimement lié à la transformée de Fourier. Deux difficultés majeures apparaissent ici : la non commutativité des groupes auxquels nous nous intéressons d'une part, l'apparition d'une limite singulière de la transformée de Fourier d'autre part. / This thesis is devoted to the study of the laplacian properties in three fully distinct contexts.In a first part, it will be used to smooth solutions of equations coming from incompressible fluid mechanics.As an application, we will show a result in the spirit of J. Serrin and his continuators' theorem.In a second part, the laplacien is seen as the stationary counterpart of the wave operator on a graph, whose eigenmodes and eigenfrequencies determine the propagation of perturbations on the graph.We explore and disentangle the ties between the graph's topology, its shape and its first nonzero eigenfrequency.In the last part, the laplacian is thought of as a linear operator which we wish to diagonalize in an appropriate basis, a goal which is intimately tied to the Fourier transform.Two major difficulties appear in our context : the noncommutativity of the groups of interest on the one hand, the appearance of a singular limit in the Fourier transform on the other hand.

Cette thèse est constituée de trois chapitres. Le premièr chapitre porte sur l’examen desconditions de validité du principe d’équipartition de l’énergie totale de la solution de l’équationdes ondes associée au laplacien de Dunkl trigonométrique. Enfin, nous établissons lecomportement asymptotique de l’équipartition dans le cas général. Les résultats de cettepartie ont fait l’objet de la publication [8]. Le deuxième chapitre, publié avec J.Ph. Ankeret M. Sifi [6], montre que les fonctions d’Opdam dans le cas de rang 1 satisfont à uneformule produit. Cela nous a permis de définir une structure de convolution du genre hypergroupe.En particulier, on montre que cette convolution satisfait l’analogue du phénomènede Kunze-Stein. Le dernier chapitre est consacrée à l’étude des propriétés dispersives et estimationsde Strichartz pour la solution de l’équation de Schrödinger associée au laplaciende Dunkl trigonométrique unidimensionnel [7]. Cette étude commence par des estimationsoptimales du noyau de la chaleur et de Schrödinger. À l’aide de ces résultats, ainsi que lesoutils d’analyse harmonique dévellopée dans le chapitre 2, on montre des éstimées de typeStrichartz qui permettent de trouver des conditions d’admissibilité pour des équations deSchrödinger semi-linéaires. / This thesis consists of three chapters. The first one is concerned with energy properties of the wave equation associated with the trigonometric Dunkl Laplacian. We establish the conservation of the total energy, the strict equipartition of energy under suitable assumptions and the asymptotic equipartition in the general case. These results were published in [8]. The second chapter, in collaboration with J.Ph. Anker and M. Sifi [6], shows that Opdam’s functions in the rank one case satisfy a product formula. We then define and study a convolution structure related to Opdam’s functions. In particular, we prove that this convolution fulfills a Kunze-Stein type phenomena. The last chapter deals with dispersive and Strichartz estimates for the linear Schrödinger equation associated with the one dimensional trigonometric Dunkl Laplacian [7]. We establish sharp estimates for the heat kernel in complex time, and therefore for the Schrödinger kernel. We then use these estimates together with tools from chapter 2 to deduce dispersive and Strichartz inequalities for the linear Schrödinger equation and apply them to well–posedness in the nonlinear case.

Nous étudions des équations relatives au p-Laplacien anisotrope lorsque certaines composantes du vecteur p sont égales à 1. / We study anisotropic p-Laplacian equations when some components of p are equal to 1.