Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

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Ces travaux concernent deux équations paraboliques, dégénérées et non-locales. La première équation est une équation de films minces fractionnaire et la deuxième est une équation des milieux poreux fractionnaire. La présentation des problèmes, les résultats existants dans la littérature, ainsi que le résumé de nos résultats font l'objet de l'introduction. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode de De Giorgi utilisée pour montrer la régularité Hölder des solutions des équations elliptiques. On présente de plus les résultats utilisant cette approche dans les cas paraboliques local et non-local. Dans le troisième chapitre, on montre l'existence de solutions faibles d'une équation des films minces fractionnaire. C'est une équation parabolique, dégénérée, non-locale d'ordre $alpha+2$ où $0 < alpha < 2$. C'est une généralisation d'une équation étudiée par Imbert et Mellet en 2011 pour $alpha = 1$. Pour construire les solutions, on passe par un problème régularisé. En utilisant les injections de Sobolev, on passe à la limite pour trouver des solutions faibles. Vu la différence des injections de Sobolev, on distingue deux cas $0 <alpha < 1$ et $1 leq alpha < 2$. Dans les deux cas on démontre que la solution est positive si la condition initiale l'est. Le quatrième chapitre concerne une équation des milieux poreux fractionnaire. On montre la régularité Hölder de solutions faibles positives satisfaisant des estimées d'énergie. D'abord, on montre l'existence de solutions faibles qui satisfont des estimées d'énergie. On distingue deux cas $0 <alpha < 1$ et $1 leq alpha < 2$ à cause de problème de divergence. Puis on démontre les lemmes de De Giorgi qui sont des lemmes de réduction de l'oscillation d'en dessus et d'au-dessous. Ces deux lemmes ne suffisent pas pour montrer la régularité Hölder. On a besoin d'améliorer le résultat du lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus. Donc, on passe par un lemme des valeurs intermédiaires et on montrer un lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus amélioré. Enfin, on montre la régularité Hölder des solutions en utilisant la propriété scaling de ces solutions / In this thesis, we study two degenerate, non-local parabolic equations, a fractional thin film equation and a fractional porous medium equation. The introduction contains a presentation of problems, the previous results in the literature and a brief presentation of our results. In the second chapter, we present a short overview of the De Giorgi method used to prove Hölder regularity of solutions of elliptic equations. Moreover, we present the results using this approach in the local and non-local parabolic cases. In the third chapter we prove existence of weak solutions of a fractional thin film equation. It is a non-local degenerate parabolic equation of order $alpha + 2$ where $0 < alpha < 2$. It is a generalization of an equation studied by Imbert and Mellet in 2011 for $alpha = 1$. To construct these solutions, we consider a regularized problem then we pass to the limit using Sobolev embedding theorem, that's why we distinguish two cases $0 < alpha < 1$ and $1 leq alpha < 2$. We also prove that the solution is positive if the initial condition is so. The fourth chapter is dedicated for a fractional porous medium equation. We prove Hölder regularity of positive weak solutions satisfying energy estimates. First, we prove the existence of weak solutions that satisfy energy estimates. We distiguish two cases $0 < alpha < 1$ and $1 leq alpha < 2$ because of divergence problems. The we prove De Giorgi Lemmas about oscillation reduction from above and from below. This is not suffisant. We need to improve the lemma about oscillation reduction from above. So we pass by an intermediate values lemma and we prove an improved oscillation reduction lemma from above. Finally, we prove Hölder regularity of solutions using the scaling property

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension.

Cette thèse étudie les variétés non compactes dont le bas du spectre du Laplacien est une valeur propre isolée. L'objectif général est de relier la géométrie de ces variétés à certaines propriétés spectrales.<br /><br />Au Chapitre 2, nous étudions les variétés $G$-périodiques, qui généralisent les variétés périodiques et les revêtements. Nous relions le bas du spectre d'une telle variété avec celui de sa cellule élémentaire et la combinatoire du graphe $G$ sous-jacent. Nous montrons que les deux bas du spectres sont égaux si et seulement si le graphe est moyennable.<br /><br />Au Chapitre 3, nous donnons une caractérisation du bas du spectre d'une variété à bord par ses fonctions $\lambda$-harmoniques positives. Puis nous montrons que pour une métrique générique, lorsque le bas du spectre est une valeur propre isolée la première fonction propre est de Morse. Enfin, nous montrons que pour un revêtement générique, on peut construire un domaine fondamental pour l'action du groupe de revêtement sur lequel le relevé de la première fonction propre vérifie les conditions de Neumann. Ceci nous permet d'appliquer les résultats du Chapitre 2 aux revêtements.<br /><br />Au Chapitre 4, nous présentons une conjecture due à R. Canary, qui prévoit que lorsque l'on déforme une variété hyperbolique de dimension 3 géométriquement finie et acylindrique, le bas du spectre est maximal lorsque le bord du coeur convexe est lisse. Au Chapitre 5, une étude de l'entropie des variétés à courbure négative pincée convexe cocompacte nous permet d'obtenir une formule de variation du bas du spectre dans le cas des déformations des variétés hyperboliques convexe cocompactes.

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Considérons une nilvariété graduée munie d'une métrique riemannienne (resp. sous-riemannienne), on relève la métrique sur le revêtement universel, on obtient ainsi une distance qui à son tour définit des boules. Sur ces boules on peut étudier le laplacien (resp. un sous-laplacien). On se concentre sur son spectre pour le problème de Dirichlet. On décrit, en utilisant les outils de l'homogénéisation, le comportement asymptotique des valeurs propres quand le rayon des boules tend vers l'infini. On obtient également une minoration du volume asymptotique des boules faisant intervenir le tore d'Albanese. Dans le cas particulier des tores, on étudie aussi le spectre de Neumann et on caractérise les tores plats grâce à l'asymptotique de la première valeur propre du laplacien pour le problème de Dirichlet. On explore aussi le cas des groupes de Heisenberg.

Note de l'administrateur du service : le résumé de cette thèse est disponible dans le fichier déposé par l'auteur. Il ne peut techniquement pas être placé sous cette rubrique, dans la mesure où il contient des formules mathématiques avec des caractères grecs.

Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs problèmes d'équations aux dérivées partielles non-linéaires. La première partie (chapitres 1-2-3) traite d'un problème trouvant son origine en biologie mathématique, à savoir l'étude de la survie à long terme d'une population dont l'évolution est gouvernée par une équation parabolique non-linéaire. Dans le modèle considéré, le mécanisme de diffusion est contrôlé par le p-Laplacien, la non-linéarité est de type logistique et fait intervenir un poids m pouvant changer de signe, et les conditions aux limites sont de flux nul. Le poids m correspond à une répartition des ressources devant permettre la survie de la population. Dans le chapitre 1, nous déterminons entre autres un critère de survie à long terme faisant intervenir la valeur propre principale du p-Laplacien avec poids m. Cette valeur propre apparait, plus précisément, comme la valeur limite d'un paramètre en-dessous de laquelle toute solution positive de l'équation converge vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Ceci nous conduit naturellement au problème de minimiser la valeur propre en question lorsque m varie dans une classe adéquate de poids. Dans le chapitre 2, nous prouvons l'existence de minimiseurs et montrons que ces derniers satisfont une propriété de type “bang-bang”. Plusieurs propriétés de montonie sont aussi étudiées dans des situations géométriques particulières, et une caractérisation complète est donnée en dimension 1. Le chapitre 3 est consacré à l'élaboration de simulations numériques, où l'algorithme utilisé combine un méthode de plus grande pente avec une représentation de certains ensembles comme ensembles de niveaux. La deuxième sujet de cette thèse (chapitre 4) est un problème elliptique faisant intervenir l'opérateur de courbure moyenne. Nous nous intéressons à l'existence et à la multiplicité de solutions nodales de ce problème. Nous montrons que, si un certain paramètre de l'équation est suffisamment grand, il existe une solution nodale qui change de signe exactement deux fois. Nous établissons également l'existence d'un nombre arbitrairement grand de solutions nodales. Enfin, dans le cas particulier où le domaine est une boule, un résultat de brisure de symétrie est obtenu, résultat qui induit l'existence d'au moins deux solutions à deux domaines nodaux.