On étudie le prolongement méromorphe de la résolvante du laplacien sur une classe de variétés riemanniennes complètes non-compactes à courbure asymptotiquement -1. On montre que la résolvante se prolonge méromorphiquement à C avec pôles de multiplicité finie (appelés résonances) si et seulement si la métrique vérifie une certaine condition de parité asymptotique, puis on construit des exemples pour lesquels il existe une suite de résonances convergeant vers un point du feuillet non-physique, prouvant que des singularités essentielles peuvent apparaître sans cette condition. Dans un deuxième temps, on montre que les résonances coïncident, avec multiplicités, avec les pôles de l'opérateur de diffusion renormalisé à l'exception d'un ensemble discret de points pour lesquels on explicite géométriquement la différence des multiplicités. Enfin, on montre l'existence d'une zone sans résonance exponentiellement proche de l'axe critique.

Thèse doctorat : Mathématiques : Nancy 1 : 2006. / Titre provenant de l'écran-titre.

La thèse étudie les problèmes de Dirichlet linéaires et semilinéaires pour différents opérateurs du type Laplacien fractionnaire. Les données peuvent être des fonctions régularières [régulières] ou plus généralement des mesures de Radon. Le but est de classifier les solutions qui présentent une singularité au bord du domaine prescrit. Nous remarquons d'abord l'existence de toute une gamme de fonctions harmoniques explosant au bord et nous les caractérisons selon une nouvelle notion de trace au bord. A l'aide d'une nouvelle formule d'intégration par parties, nous élaborons ensuite une théorie faible de type Stampacchia pour étendre la théorie linéaire à un cadre qui comprend ces fonctions : nous étudions les questions classiques d'existence, d'unicité, de dépendance à l'égard des données, la régularité et le comportement asymptotique au bord. Puis, nous développons la théorie des problèmes sémilinéaires, en généralisant la méthode des sous- et sursolutions. Cela nous permet de construire l'analogue fractionnaire des grandes solutions dans la théorie des EDPs elliptiques nonlinéaires, en donnant des conditions suffisantes pour l'existence. La thèse se termine par la définition et l'étude d'une notion de courbures directionnelles nonlocales / The thesis studies linear and semilinear Dirichlet problems driven by different fractional Laplacians. The boundary data can be smooth functions or also Radon measures. The goal is to classify the solutions which have a singularity on the boundary of the prescribed domain. We first remark the existence of a large class of harmoni functions with a boundary blow-up and we characterize them in termsof a new notion of degenerate boundary trace. Via some integration by parts formula, we then provide a weak theory of Stampacchia's sort to extend the linear theory to a setting including these functions: we study the classical questions of existence, uniqueness, continuous dependence on the data, regularity and asymptotic behaviour at the boundary. Afterwards we develop the theory of semilinear problems, by adapting and generalizing some sub- and supersolution methods. This allows us to build the fractional counterpart of large solutions in the elliptic PDE theory of nonlinear equations, giving sufficient conditions for the existence. The thesis is concluded with the definition and the study of a notion of nonlocal directional curvatures

Le but de cette thèse est de trouver des bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs naturels agissant sur les fonctions d’une variété compacte (M; g). Nous étudions l’opérateur de Laplace–Beltrami et des opérateurs du type laplacien. Dans le cas du laplacien, deux aspects sont étudiés. Le premier aspect est d’étudier des relations entre la géométrie intrinsèque et les valeurs propres du laplacien. Nous obtenons des bornes supérieures ne dépendant que de la dimension et d’un invariant conforme qui s’appelle le volume conforme minimal. Asymptotiquement, ces bornes sont consistantes avec la loi de Weyl. Elles améliorent également les résultats de Korevaar et de Yang et Yau. La méthode employée est intéressante en soi. Le deuxième aspect est d’étudier la relation entre la géométrie extrinsèque et les valeurs propres du laplacien agissant sur des sous-variétés compactes de RN et de CPN. Nous étudions un invariant extrinsèque qui s’appele l’indice d’intersection. Pour des sous-variétés compactes de RN, nous généralisons les résultats de Colbois, Dryden et El Soufi et obtenons des bornes supérieures qui sont stables par des petites perturbations. Pour des sous-variétés de CPN, nous obtenons une borne supérieure ne dépendant que du degré des sous-variétés. Pour des opérateur du type laplacien, une modification de notre méthode donne des bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs de Schrödinger en termes du volume conforme minimal et de l’intégrale du potentiel. Nous obtenons également les bornes supérieures pour les valeurs propres du laplacien de Bakry–Émery dépendant d’invariants conformes. / The purpose of this thesis is to find upper bounds for the eigenvalues of natural operators acting on functions on a compact Riemannian manifold (M; g) such as the Laplace–Beltrami operator and Laplace-type operators. In the case of the Laplace-Beltrami operator, two aspects are investigated: The first aspect is to study relationships between the intrinsic geometry and eigenvalues of the Laplacian operator. In this regard, we obtain upper bounds depending only on the dimension and a conformal invariant called min-conformal volume. Asymptotically, these bounds are consistent with the Weyl law. They improve previous results by Korevaar and Yang and Yau. The method which is introduced to obtain the results, is powerful and interesting in itself. The second aspect is to study the interplay of the extrinsic geometry and eigenvalues of the Laplace–Beltrami operator acting on compact submanifolds of RN and of CPN. We investigate an extrinsic invariant called the intersection index studied by Colbois, Dryden and El Soufi. For compact submanifolds of RN, we extend their results and obtain upper bounds which are stable under small perturbation. For compact submanifolds of CPN, we obtain an upper bound depending only on the degree of submanifolds. For Laplace type operators, a modification of our method lead to have upper bounds for the eigenvalues of Schrödinger operators in terms of the min-conformal volume and integral quantity of the potential. As another application of our method, we obtain upper bounds for the eigenvalues of the Bakry–Émery Laplace operator depending on conformal invariants.

Cette thèse concerne l'étude spectrale de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique et paramètre semi-classique, sur un domaine borné et régulier en dimension 2, avec condition de Neumann au bord. On s'intéresse plus particulièrement au cas où le champ magnétique s'annule sur une union de courbes régulières. L'objectif est de comprendre l'influence d'une annulation du champ et d'expliciter le comportement des basses valeurs propres et des fonctions propres associées lorsque le paramètre semi-classique tend vers 0. Dans cette limite - dite semi-classique - la description précise des éléments propres passe par la compréhension de différents opérateurs modèles sous-jacents. La première partie est consacrée au cas d'un champ magnétique qui s'annule de manière non dégénérée le long d'une courbe régulière simple intersectant le bord du domaine. La deuxième partie concerne le cas d'une annulation quadratique à l'intérieur du domaine. Dans de ces deux cas d'étude, on donne dans un premier temps un équivalent asymptotique de la première valeur propre. La majoration s'obtient par une construction de fonctions tests appropriées tandis que la minoration s'obtient par une méthode de localisation quantique. Ce dernier aspect est délicat car il s'agit de gérer la transition entre des modèles ayant des homogénéités différentes. Dans un second temps, on examine les propriétés de localisation des premières fonctions propres, via des estimées d'Agmon semi-classiques. Ceci permet d'obtenir un développement asymptotique complet des premières valeurs propres, à n'importe quel ordre. Dans le cas d'une annulation quadratique, la thèse est complétée par une étude de l'opérateur modèle pour lequel le lieu d'annulation est une union de deux droites sécantes faisant un angle non nul. Dans la limite petit angle, la structure du spectre est gouvernée un symbole opérateur à deux paramètres. On établit différentes propriétés de ce symbole opérateur et de la fonction de bande associée. Des simulations numériques basées sur la librairie éléments finis Mélina++ ont guidé l'analyse et illustrent les résultats obtenus. Les difficultés numériques - dues aux fortes oscillations de la phase dans l'expression des fonctions propres - sont gérées grâce à une interpolation polynomiale de haut degré. / This thesis is devoted to the spectral analysis of the Schrödinger operator with magnetic field and semiclassical parameter, on a bounded regular domain in dimension two, with Neumann boundary condition. We investigate the case when the magnetic field vanishes along a union of smooth curves. The aim is to understand the influence of the cancellation and to study the behaviour of the lowest eigenvalues and the associated eigenfunctions when the semiclassical parameter tends to 0. In this regime - called the semiclassical limit - the precise description of the eigenpairs requires the understanding of underlying models. In the first part, we consider a magnetic field which vanishes linearly along a smooth simple curve intersecting the boundary. The second part is devoted to the case when the magnetic field vanishes quadratically. In both cases, we firstly give a one term asymptotics of the lowest eigenvalue. The upper bound is obtained by using appropriate test functions whereas the lower bound results from a localisation process. This last aspect constitutes the most difficult part because of the different scales involved. Then we investigate the localisation properties of the first eigenfunctions thanks to semiclassical Agmon estimates. This leads to a full asymptotic expansion of the first eigenvalues. In the case when the magnetic field vanishes quadratically, we study in addition the model operator for which the cancellation set is a union of two straight lines, whose intersection form a non-zero angle. In the small angle regime, the structure of the spectrum is governed by an operator symbol with two parameters. We establish different properties of this symbol and the associated band function. Numerical simulations based on the finite elements library Mélina++ have guided the analysis and illustrate the obtained results. The difficulties of the numerical computations - induced by the high phase oscillations of the eigenfunctions - are circumvented by polynomial interpolation of high degree.

Dans cette thèse, nous donnons des résultats d’existence, de non-existence, d’unicité et de multiplicité de solutions pour des équations aux dérivées partielles avec croissance critique dans le gradient. Les principales méthodes utilisées dans nos preuves sont des arguments variationnels, la théorie des sous et sur-solutions, des estimations à priori et la théorie de la bifurcation. La thèse se compose de six chapitres. Dans le chapitre 0 nous introduisons le sujet de thèse et nous présentons les résultats principaux. Le chapitre 1 porte sur l’´étude d’une équation du type p-Laplacien avec croissance critique dans le gradient et dépendant d’un paramètre. En fonction de l’intervalle où se trouve le paramètre, nous obtenons l’existence et l’unicité d’une solution ou nous montrons l’existence et la multiplicité de solutions. Dans les chapitres 2 et 3, nous poursuivons notre étude dans le cas où l’opérateur utilisé est le Laplacien mais, contrairement au chapitre 1, nous étudions le cas où les coefficients changent de signe. Nous obtenons à nouveau des résultats d’existence et de multiplicité de solutions. Dans le chapitre 4, nous étudions des problèmes nonlocaux du type Laplacien fractionnaire avec différents termes de gradient non-local. Nous montrons des résultats d’existence et de non-existence de solutions pour différentes équations de ce type. Finalement, dans le chapitre 5 nous présentons quelques problèmes ouverts liés au contenu de la thèse et des perspectives de recherche. / In this thesis, we provide existence, non-existence, uniqueness and multiplicity results for partial differential equations with critical growth in the gradient. The principal techniques employed in our proofs are variational techniques, lower and upper solution theory, a priori estimates and bifurcation theory. The thesis consists of six chapters. In chapter 0, we introduce the topic of the thesis and we present the main results. Chapter 1 deals with a p-Laplacian type equation with critical growth in the gradient. This equation will depend on a real parameter. Depending on the interval where this parameter lives, we obtain the existence and uniqueness of one solution or we prove the existence and multiplicity of solutions. In chapters 2 and 3, we continue our study in the case where the operator is the Laplacian. However, unlike chapter 1, we study the case where the coefficient functions may change sign. We obtain again existence and multiplicity results. In chapter 4, we study non-local problems of fractional Laplacian type with different non-local gradient terms. We prove existence and non-existence results for different equations of this type. Finally, in chapter 5, we present some open problems related to the content of the thesis and some research perspectives.

La modélisation par éléments finis d'un objet technique conduit souvent à négliger certains détails de structure. C'est en particulier le cas des arêtes et des coins. En effet, la prise en compte précise des rayons de courbure de détails de pièces intégrées dans une grande structure conduit rapidement à des maillages énormes : on les remplace volontiers dans le modèle numérique par des arêtes vives, sans beaucoup perdre sur la précision générale des résultats. C'est par exemple l'expérience des personnes qui modélisent les dispositifs à haute tension, en résolvant l'équation de Laplace associée à des conditions aux limites de type Dirichlet homogène (potentiel électrique imposé sur les parties conductrices) : on constate généralement que les grandeurs globales (par exemple les coefficients de la matrice des capacités partielles) ne sont pas affectées par ce type de simplification de formes. Dans le même temps, certaines grandeurs locales essentielles perdent tout rapport avec leurs valeurs réelles. C'est particulièrement vrai pour le champ électrique donné par les éléments finis autour de ces arêtes vives : le résultat brut est bien difficile à interpréter. Ces points particuliers jouent cependant un rôle important en raison des effets de pointe, et des risques associés de développement d'un arc électrique. Dans la réalité, ce champ dépend du contexte général d'une part, du rayon de courbure réel de l'arête d'autre part, sans qu'on maîtrise bien l'effet de ces deux éléments. Il serait donc utile, après une résolution par éléments finis, de savoir estimer le champ au voisinage de ces singularités, en prenant en compte les rayons de courbure réels, ou même, pour des séries de pièces, la distribution statistique de ces courbures : la question importante est en effet souvent davantage la distribution statistique ou probable des valeurs maximales du champ sur telle ou telle sous-structure, plutôt que l'ensemble des variations de ce champ autour d'elle pour des valeurs précises des rayons de courbure. Nous nous intéressons ici aux liens qui existent entre la solution singulière théorique, la solution numérique obtenue par éléments finis avec un angle vif et une finesse donnée du maillage, et celle qui est obtenue avec un maillage décrivant un arrondi. Notre but, non encore atteint, serait de parvenir à estimer le champ en post-traitement en fonction du rayon de courbure, à partir de la seule résolution par éléments finis en potentiel sur l'angle vif. La méthode devrait aussi nous indiquer a priori comment mailler vers la singularité pour obtenir par ce post traitement une précision donnée sur le champ, pour une gamme prédéterminée de rayons de courbure.

La thèse consiste en l’étude spectrale d’opérateurs partiellement semi-classiques. Quand la géométrie du problème suggère une localisation anisotrope des fonctions propres associées aux basses énergies (bord du domaine, lieu d’annulation du champs magnétique), le développement local de l’opérateur amène naturellement à une structure à double échelle. Il s'agit, via un schéma de réduction "à la Born-Oppenheimer", utilisant le formalisme du calcul pseudodifférentiel pour des symboles à valeur opérateur, de montrer l’existence d’un opérateur effectif à symbole scalaire. On en déduit ensuite des formules de Weyl pour le comptage des basses valeurs propres. Cette stratégie est appliquée : au Laplacien de Robin sur un domaine borné, en dimension quelconque et au Laplacien magnétique dans R², dans le cas où le champ magnétique s’annule sur une courbe fermée. / The thesis consists in the spectral study of partially semiclassical operators. When the geometry of the problem suggests an anisotropic localization of the eigenfunctions associated to low energies (boundary of the domain, vanishing magnetic field), the local expansion of the operator naturally brings to a doublescale structure. Via a reduction scheme "à la Born-Oppenheimer", using the formalism of pseudodifferential calculus for operator-valued symbols, we can show the existence of an effective operator, with scalar symbol. Then, we deduce Weyl formulae for the number of low-lying eigenvalues. This strategy is applied : to the Robin Laplacian on a bounded domain, in any dimension and to the magnetic Laplacian in R², in the case where the magnetic field vanishes on a closed curve.

Cette thèse comporte deux parties. Dans un premier temps, nous allons faire un lien entre des solutions stationnaires de problèmes d'évolutions de frontières par courbure moyenne avec des champs extérieurs et l'existence de minimiseur globaux d'un problème de minimisation de périmètre avec une énergie. Ces solutions stationnaires permettent en outre de fournir des bornes pour les solutions non stationnaires du problème. De plus, en modifiant l'énergie, on montre que les résolutions successives des problème de périmètre permettent de calculer l'évolution d'un ensemble par courbure moyenne. Enfin, on présentera un algorithme permettant de calculer les solutions de viscosité d'un problème de Dirichlet portant sur le Laplacien Infini grâce aux équations d'Aronsson.

Ce mémoire a pour but d'étudier les propriétés des solutions à l'équation aux valeurs propres de l'opérateur de Laplace sur le disque lorsque les valeurs propres tendent vers l'in ni. En particulier, on s'intéresse au taux de croissance des normes ponctuelle et L1. Soit D le disque unitaire et @D sa frontière (le cercle unitaire). On s'inté- resse aux solutions de l'équation aux valeurs propres f = f avec soit des conditions frontières de Dirichlet (fj@D = 0), soit des conditions frontières de Neumann ( @f @nj@D = 0 ; notons que sur le disque, la dérivée normale est simplement la dérivée par rapport à la variable radiale : @ @n = @ @r ). Les fonctions propres correspondantes sont données par : f (r; ) = fn;m(r; ) = Jn(kn;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Dirichlet) fN (r; ) = fN n;m(r; ) = Jn(k0 n;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Neumann) où Jn est la fonction de Bessel de premier type d'ordre n, kn;m est son m- ième zéro et k0 n;m est le m-ième zéro de sa dérivée (ici on dénote les fonctions propres pour le problème de Dirichlet par f et celles pour le problème de Neumann par fN). Dans ce cas, on obtient que le spectre SpD( ) du laplacien sur D, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres, est donné par : SpD( ) = f : f = fg = fk2 n;m : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Dirichlet) SpN D( ) = f : fN = fNg = fk0 n;m 2 : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Neumann) En n, on impose que nos fonctions propres soient normalisées par rapport à la norme L2 sur D, c'est-à-dire : R D F2 da = 1 (à partir de maintenant on utilise F pour noter les fonctions propres normalisées et f pour les fonctions propres quelconques). Sous ces conditions, on s'intéresse à déterminer le taux de croissance de la norme L1 des fonctions propres normalisées, notée jjF jj1, selon . Il est vi important de mentionner que la norme L1 d'une fonction sur un domaine correspond au maximum de sa valeur absolue sur le domaine. Notons que dépend de deux paramètres, m et n et que la dépendance entre et la norme L1 dépendra du rapport entre leurs taux de croissance. L'étude du comportement de la norme L1 est étroitement liée à l'étude de l'ensemble E(D) qui est l'ensemble des points d'accumulation de log(jjF jj1)= log : Notre principal résultat sera de montrer que [7=36; 1=4] E(B2) [1=18; 1=4]: Le mémoire est organisé comme suit. L'introdution et les résultats principaux sont présentés au chapitre 1. Au chapitre 2, on rappelle quelques faits biens connus concernant les fonctions propres du laplacien sur le disque et sur les fonctions de Bessel. Au chapitre 3, on prouve des résultats concernant la croissance de la norme ponctuelle des fonctions propres. On montre notamment que, si m=n ! 0, alors pour tout point donné (r; ) du disque, la valeur de F (r; ) décroit exponentiellement lorsque ! 1. Au chapitre 4, on montre plusieurs résultats sur la croissance de la norme L1. Le probl ème avec conditions frontières de Neumann est discuté au chapitre 5 et on présente quelques résultats numériques au chapitre 6. Une brève discussion et un sommaire de notre travail se trouve au chapitre 7. / The goal of this master's thesis is to explore the properties of the solutions of the eigenvalue problem for the Laplace operator on a disk as the eigenvalues go to in nity. More speci cally, we study the growth rate of the pointwise and the L1 norms of the eigenfunctions. Let D be the unit disk and @D be its boundary (the unit circle). We study the solutions of the eigenvalue problem f = f with either Dirichlet boundary condition (fj@D = 0) or Neumann boundary condition ( @f @nj@D = 0; note that for the disk the normal derivative is simply the derivative with respect to the radial variable: @ @n = @ @r ). The corresponding eigenfunctions are given by: f (r; ) = fn;m(r; ) = Jn(kn;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Dirichlet) fN (r; ) = fN n;m(r; ) = Jn(k0 n;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Neumann) where Jn is the nth order Bessel function of the rst type, kn;m is its mth zero and k0 n;m is the mth zero of its derivative (here we denote the eigenfunctions for the Dirichlet problem by f and those for the Neumann problem by fN). The spectrum of the Laplacian on D, SpD( ), that is the set of its eigenvalues, is given by: SpD( ) = f : f = fg = fk2 n;m : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Dirichlet) SpN D( ) = f : fN = fNg = fk0 n;m 2 : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Neumann) Finally, we normalize the L2 norm of the eigenfunctions on D, namely: R D F2 da = 1 (here and further on we use the notation F for the normalized eigenfunctions and f for arbitrary eigenfunctions). Under these conditions, we study the growth rate of the L1 norm of the normalized eigenfunctions, jjF jj1, in relation to . It is important to mention that the L1 norm of a function on a given domain corresponds to the iv maximum of its absolute value on the domain. Note that depends on two parameters, m and n, and the relation between and the L1 norm depends on the regime at which m and n change as goes to in nity. Studying the behavior of the L1 norm is linked to the study of the set E(D) which is the set of accumulation points of log(jjF jj1)= log : One of our main results is that [7=36; 1=4] E(B2) [1=18; 1=4]: The thesis is organized as follows. Introduction and main results are presented in chapter 1. In chapter 2 we review some well-known facts regarding the eigenfunctions of the Laplacian on the disk and the properties of the Bessel functions. In chapter 3 we prove results on pointwise growth of eigenfunctions. In particular, we show that, if m=n ! 0, then, for any xed point (r; ) on D, the value of F (r; ) decreases exponentially as ! 1. In chapter 4 we study the growth of the L1 norm. Eigenfunctions of the Neumann problem are discussed in chapter 5. Some numerical results are presented in chapter 6. A discussion and a summary of our work could be found in chapter 7.