Le but de cette thèse est d'étudier diveres notions de positivité, dans le cadre de la géométrie algébrique et de la géométrie d'Arakelov, pour un fibré vectoriel sur une variété algébrique projective, et de développer des applications à l'étude de l'algébricité des sous-schémas formels des variété algébriques et du comportement asymptotique des polygones de Harder-Narasimhan.<br /><br />Dans la première partie de la thèse, on propose une condition appelée P3 d'un fibré vectoriel sur une varété algébrique projective de dimension au moins 1. On vérifie que cette condition est plus faible que l'amplitude du fibré vectoriel et dans le cadre de la géométrie algébrique complexe, plus faible que la 1-positivité. On montre que si la condition P3 est vérifiée pour le fibré normal du schéma de définition dans un sous-schéma formel, alors on a l'algébricité du sous-schéma formel considéré. Enfin, on donne une application de ce critère à la comparaison de l'équivalence dans un voisinage étale et celle dans un voisinage formel de deux couples de schémas. Une analogue de la condition P3 dans le cadre de la géométrie d'Araklov est aussi étudiée.<br /><br />Dans la deuxième partie de la thèse, on propose un nouveau point de vu de la filtration de Harder-Narasimhan d'un fibré vectoriel (resp. fibré vectoriel hermitien) sur une courbe projective lisse (resp. le spectre de un anneau des entiers algébriques). On en profite de ramener l'étude de la filtration (ou le polygone) de Harder-Narasimhan à celui de la mesure (borélienne sur R) associée. En combinant cette interprétation avec un argument combinatoire, on démontre que, sous des conditions techniques très faibles, les polygones de Harder-Narasimhan (normalisés) associés à une algèbre graduée de type fini en fibrés vectoriels (hermitiens) convergent uniformément vers une courbe concave sur [0,1], où la démonstration de la partie arithmétique utilise une nouvelle estimation de la pente maximale du produit tensoriel de plusieurs fibrés vectoriels hermitiens développée dans cette thèse.

On étudie dans le corps des séries formelles de Puiseux, la résolution des équations algébriques de 2 et 3 variables. Le développement des solutions dépend de la nature du point au voisinage duquel on développe la fonction algébrique associée à cette équation algébrique. Pour les points réguliers on développe un algorithme basé sur la méthode itérative de Newton: xk+1=xk−f(xk)/f'(xk). Pour les points singuliers une méthode constructive appelée polygone de Newton permet de déterminer de proche en proche les approximants des solutions. On donne une application de la méthode du polygone de Newton à la détermination des polynômes facteurs déterminants d'un opérateur différentiel à singularité irrégulière à l'origine

Nos travaux portent sur l'estimation non paramétrique de la densité d'un processus à temps continu, faiblement stationnaire et à valeurs dans Rd lorsqu'une trajectoire est observée continûment sur [0,T]. Dans le premier chapitre, nous étudions les vitesses optimale et suroptimale des convergences L2 et presque sûres ainsi que la normalité asymptotique des estimateurs par histogrammes et polygones de fréquences dans le cadre fortement mélangeant. Le deuxième chapitre est consacré aux vitesses L2 du régressogramme pour estimer la régression quand on observe (Xt,Yt) à valeurs dans RdxRd' sur [0,T]. Le troisième chapitre reprend l'étude dans L2 de l'histogramme et du polygone de fréquences pour des observations discrétisées en introduisant différents schémas de discrétisation. En particulier, nous établissons pour le polygone de fréquences des vitesses de convergence qui sont comparables à celles des estimateurs à noyau. Finalement, des simulations viennent valider nos résultats.

On propose des algorithmes de réduction des systèmes différentiels linéaires dont les coefficients sont des séries formelles. Ces méthodes donnent une caractérisation de la singularité et construisent par le même moyen des transformations permettant la résolution du système

La modélisation par éléments finis d'un objet technique conduit souvent à négliger certains détails de structure. C'est en particulier le cas des arêtes et des coins. En effet, la prise en compte précise des rayons de courbure de détails de pièces intégrées dans une grande structure conduit rapidement à des maillages énormes : on les remplace volontiers dans le modèle numérique par des arêtes vives, sans beaucoup perdre sur la précision générale des résultats. C'est par exemple l'expérience des personnes qui modélisent les dispositifs à haute tension, en résolvant l'équation de Laplace associée à des conditions aux limites de type Dirichlet homogène (potentiel électrique imposé sur les parties conductrices) : on constate généralement que les grandeurs globales (par exemple les coefficients de la matrice des capacités partielles) ne sont pas affectées par ce type de simplification de formes. Dans le même temps, certaines grandeurs locales essentielles perdent tout rapport avec leurs valeurs réelles. C'est particulièrement vrai pour le champ électrique donné par les éléments finis autour de ces arêtes vives : le résultat brut est bien difficile à interpréter. Ces points particuliers jouent cependant un rôle important en raison des effets de pointe, et des risques associés de développement d'un arc électrique. Dans la réalité, ce champ dépend du contexte général d'une part, du rayon de courbure réel de l'arête d'autre part, sans qu'on maîtrise bien l'effet de ces deux éléments. Il serait donc utile, après une résolution par éléments finis, de savoir estimer le champ au voisinage de ces singularités, en prenant en compte les rayons de courbure réels, ou même, pour des séries de pièces, la distribution statistique de ces courbures : la question importante est en effet souvent davantage la distribution statistique ou probable des valeurs maximales du champ sur telle ou telle sous-structure, plutôt que l'ensemble des variations de ce champ autour d'elle pour des valeurs précises des rayons de courbure. Nous nous intéressons ici aux liens qui existent entre la solution singulière théorique, la solution numérique obtenue par éléments finis avec un angle vif et une finesse donnée du maillage, et celle qui est obtenue avec un maillage décrivant un arrondi. Notre but, non encore atteint, serait de parvenir à estimer le champ en post-traitement en fonction du rayon de courbure, à partir de la seule résolution par éléments finis en potentiel sur l'angle vif. La méthode devrait aussi nous indiquer a priori comment mailler vers la singularité pour obtenir par ce post traitement une précision donnée sur le champ, pour une gamme prédéterminée de rayons de courbure.

Cette thèse étudie les formes normales rationnelles de perturbations de matrices en vue de la résolution du problème de perturbations pour les valeurs propres : le comportement asymptotique des valeurs propres d'une perturbation de matrice pouvant être entièrement décrit à partir de seulement quelques monômes du polynôme caractéristique, il s'agit essentiellement d'arriver à "lire" ces invariants matriciels directement sur la matrice de départ (perturbations quasi-génériques) ou, à défaut, sur une perturbation qui lui soit semblable (forme réduite). Partant des travaux de Moser et de Lidskii, on propose deux premières formes réduites, chacune étant associée à une famille de perturbations quasi-génériques. Des algorithmes de réduction par similitude polynomiale ainsi que les formes normales correspondantes sont également présentés. Enfin, une généralisation d'un théorème de Lidskii indique une troisième forme réduite, pour laquelle le problème de départ est complètement résolu. L'ensemble de ces résultats trouve une interprétation simple avec le polygone de Newton et l'implantation en Maple des algorithmes proposés a permis de développer une première "boîte à outils" pour les perturbations de matrices.

Dans un premier temps, nous décrivons le complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique d'un D-module M en fonction des solutions de M. Pour cela, nous définissons un foncteur de transformation de Mellin faisceautique. Nous montrons alors que le transformé de Mellin du complexe des solutions à décroissance rapide en 0 et à l'infini d'un D-module holonome régulier M est quasi-isomorphe au complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique de M, l'hypothèse de régularité n'étant plus nécessaire à une variable.<br />Dans un second temps, nous faisons un travail analogue avec la transformation de Mellin inverse : les résultats sont plus partiels. Nous définissons une transformation de Mellin inverse faisceautique. Nous démontrons alors qu'il existe des morphismes naturels reliant le complexe des solutions du transformé de Mellin inverse algébrique d'un module aux différences avec le transformé de Mellin inverse faisceautique du complexe des solutions à croissance au plus exponentielle d'ordre 1 à l'infini dans des bandes verticales. Nous montrons ensuite que dans le cas d'un module aux différences à une variable et à une seule pente strictement positive, ces morphismes sont des isomorphismes.

Kateb Yacine est un écrivain qui suscite des questionnements et mystères quant à la portée sémantique et structurelle de ses écrits. Porte-étendard de la conscience insoumise, son oeuvre est une tentative de reconstitution du passé à travers une écriture engagée, propre à penser et à agir debout. Son oeuvre se trouve au carrefour d’obsessions personnelles, de mythes collectifs et de l’histoire millénaire de l’Algérie. Sa vie même se recompose au sein de ses oeuvres marquées par l’éclatement poétique. le personnage de Nedjma qui est tout au plus une figure constante dans l'imaginaire katébien, suggère la forme géométrique de l'étoile comme une sorte d'alternative au mouvement concentrique de la temporalité narrative. L'éclatement des formes passe passe résolument par l'étoile qui concentre en elle la passion amoureuse, la pésie, le mythe et l'histoire. La figure de Nedjma a permis à Kateb d'exterioriser la complexité de ses débats personnels ainsi collectifs, en les approfondissant / Kateb Yacine is a writer who sparks questions and mysteries about the semantic and structural scope of his writings. Flagship of the rebellious conscience, his works is an attempt to rebuild the past trough engaged writing, able to think and to act up. His work lies at the crossroads of personal obsessions, collective myths and ancient history of Algeria. His life even decomposes in his works marked by poetic burst. the character of Nedjma is at most a constant figure of Katebian imaginary, suggests the geometric shape of the star as an alternative of the concentric motion of narrative temporality. The explosion of forms is resolutely through the star which concentrates in itself passionate love, poetry, myth and history. Nedjma figure allowed Kateb externalizing and deepening the complexity of his personal and collective discussions

Nous étudions la régression bayésienne sous contraintes de régularité et de forme. Pour cela,on considère une base de B-spline pour obtenir une courbe lisse et nous démontrons que la forme d'une spline engendrée par une base de B-spline est contrôlée par un ensemble de points de contrôle qui ne sont pas situés sur la courbe de la spline. On propose différents types de contraintes de forme (monotonie, unimodalité, convexité, etc). Ces contraintes sont prises en compte grâce à la loi a priori. L'inférence bayésienne a permis de dériver la distribution posteriori sous forme explicite à une constante près. En utilisant un algorithme hybride de type Metropolis-Hastings avec une étape de Gibbs, on propose des simulations suivant la distribution a posteriori tronquée. Nous estimons la fonction de régression par le mode a posteriori. Un algorithme de type recuit simulé a permis de calculer le mode a posteriori. La convergence des algorithmes de simulations et du calcul de l'estimateur est prouvée. En particulier, quand les noeuds des B-splines sont variables, l'analyse bayésienne de la régression sous contrainte devient complexe. On propose des schémas de simulations originaux permettant de générer suivant la loi a posteriori lorsque la densité tronquée des coefficients de régression prend des dimensions variables. / We investigate the Bayesian regression under shape and smoothness constraints. We first elicita Bayesian method for regression under shape restrictions and smoothness conditions. Theregression function is built from B-spline basis that controls its regularity. Then we show thatits shape can be controlled simply from its coefficients in the B-spline basis. This is achievedthrough the control polygon whose definition and some properties are given in this article.The regression function is estimated by the posterior mode. This mode is calculated by asimulated annealing algorithm which allows to take into account the constraints of form inthe proposal distribution. A credible interval is obtained from simulations using Metropolis-Hastings algorithm with the same proposal distribution as the simulated annealing algorithm.The convergence of algorithms for simulations and calculation of the estimator is proved. Inparticular, in the case of Bayesian regression under constraints and with free knots, Bayesiananalysis becomes complex. we propose original simulation schemes which allows to simulatefrom the truncated posterior distribution with free dimension.

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