Dans tout ce qui suit, nous considérons une variété riemannienne compacte de dimension au moins égale à 2. A tout domaine (suffisamment régulier) $\Omega$, on peut associer la première valeur propre $\lambda_\Omega$ de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous dirons qu'un domaine $\Omega$ est extrémal (sous entendu, pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami) si $\Omega$ est un point critique de la fonctionnelle $\Omega \rightarrow \lambda_\Omega$ sous une contrainte de volume $Vol (\Omega) = c_0$. Autrement dit, $\Omega$ est extrémal si, pour toute famille régulière $\{\Omega_t\}_{t \in (-t_0,t_0)}$ de domaines de volume constant, telle que $\Omega_0 = \Omega$, la dérivée de la fonction $t \rightarrow \lambda_{\Omega_t}$ en $0$ est nulle. Rappelons que les domaines extrémaux sont caractérisés par le fait que la fonction propre, associée à la première valeur propre sur le domaine avec condition de Dirichlet au bord, a une donnée de Neumann constante au bord. Ce résultat a été démontré par A. El Soufi et S. Ilias en 2007. Les domaines extrémaux sont donc des domaines sur lesquels peut être résolu un problème elliptique surdéterminé. L'objectif principal de cette thèse est la construction de domaines extrémaux pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous donnons des résultats d'existence de domaines extrémaux dans le cas de petits volumes ou bien dans le cas de volumes proches du volume de la variété. Nos résultats permettent ainsi de donner de nouveaux exemples non triviaux de domaines extrémaux. Le premier résultat que nous avons obtenu affirme que si une variété admet un point critique non dégénéré de la courbure scalaire, alors pour tout volume petit il existe un domaine extrémal qui peut être construit en perturbant une boule géodésique centrée en ce point critique non dégénéré de la courbure scalaire. La méthode que nous utilisons pour construire ces domaines extrémaux revient à étudier l'opérateur (non linéaire) qui à un domaine associe la donnée de Neumann de la première fonction propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur le domaine. Il s'agit d'un opérateur (hautement non linéaire), nonlocal, elliptique d'ordre 1. Dans $\mathbb R^n \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, le domaine cylindrique $B_r \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, où $B_r$ est la boule de rayon $r >0$ dans $\mathbb{R}^{n}$, est un domaine extrémal. En étudiant le linéarisé de l'opérateur elliptique du premier ordre défini par le problème précédent et en utilisant un résultat de bifurcation, nous avons démontré l'existence de domaines extrémaux nontriviaux dans $\mathbb R^{n}\times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$. Ces nouveaux domaines extrémaux sont proches de domaines cylindriques $B_r \times \mathbb{R}/ \mathbb{Z}$. S'ils sont invariants par rotation autour de l'axe vertical, ces domaines ne sont plus invariants par translations verticales. Ce deuxième résultat donne un contre-exemple à une conjecture de Berestycki, Caffarelli et Nirenberg énoncée en 1997. Pour de grands volumes la construction de domaines extrémaux est techniquement plus difficile et fait apparaître des phénomènes nouveaux. Dans ce cadre, nous avons dû distinguer deux cas selon que la première fonction propre $\phi_0$ de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété est constante ou non. Les résultats que nous avons obtenus sont les suivants : $\phi_0$ a des points critiques non dégénérés (donc en particulier n'est pas constante), alors pour tout volume assez proche du volume de la variété, il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d'une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de $\phi_0$. Si $\phi_0$ est constante et la variété admet des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire, alors pour tout volume assez proche du volume de la variété il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d'une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire.

Le travail de thèse traite de l'analyse des signaux et des images par décomposition modale empirique (EMD) et par modèles AM-FM. Dans la première partie de cette thèse, nous apportons des cadres théoriques à l'EMD 1D et 2D. Nous approchons localement les enveloppes supérieures et inférieures, dans le processus de tamisage de l'EMD, par des opérateurs continus. Par suite, nous formulons différemment la moyenne locale et prouvons que les itérations du tamisage 1D et 2D peuvent être approchées par des équations aux dérivées partielles (EDP) bien posées. Nous apportons des justifications théoriques et proposons des caractérisations analytiques des modes empiriques 1D et 2D. Ce travail a permis d'éclaircir de nombreux points et notions relatifs à l'EMD, et définis en 1D comme en 2D, que de manière très intuitive ou sur la base de simulations numériques contrôlées. Nous apportons de la sorte des contributions théoriques à l'EMD 1D et 2D, initialement définie par un algorithme et dont la principale limite est le manque de cadre théorique. Enfin, nous proposons de nouveaux algorithmes EMD 1D et 2D, et résolvons numériquement les EDP proposées en 1D et 2D. Nous illustrons nos approches par EDP sur de nombreux signaux et images. Dans la seconde partie, nous étudions les modèles AM-FM pour l'analyse d'images. Ces modèles se basent sur une décomposition des images en composantes regroupant les niveaux de gris des parties texturées (AM), d'une part, et une partie contenant la géométrie de l'image (FM), d'autre part. Nous proposons d'abord une amélioration de la démodulation d'images large bande. Dans un deuxième temps, nous explorons la démodulation d'images avec les opérateurs de Teager-Kaiser d'ordres supérieurs (HODEO 2D), en proposant de meilleurs algorithmes de démodulation, basés sur les HODEO 2D. Nous proposons ensuite une application à la segmentation d'images sonar et illustrons nos approches sur de nombreuses images. Les résultats sont comparés à ceux obtenus avec l'algorithme DESA (Discrete Energy Separation Algorithm) et l'approche par image analytique.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de concentration des fonctions propres du laplacien discret sur des graphes réguliers de degré fixé dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Cette étude s'inspire de la théorie de l'ergodicité quantique sur les variétés. Par analogie avec cette dernière, nous développons un calcul pseudo-différentiel sur les arbres réguliers : nous définissons des classes de symboles et des opérateurs associés, et nous prouvons un certain nombre de propriétés de ces classes de symboles et opérateurs. Nous montrons notamment que les opérateurs sont bornés dans L², et nous donnons des formules de l'adjoint et du produit. Nous nous servons ensuite de cette théorie pour montrer un théorème d'ergodicité quantique pour des suites de graphes réguliers dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Il s'agit d'un résultat de délocalisation de la plupart des fonctions propres dans la limite des grands graphes réguliers. Les graphes vérifient une hypothèse d'expansion et ne comportent pas trop de cycles courts, deux hypothèses vérifiées presque sûrement par des suites de graphes réguliers aléatoires.

Dans cette thèse, nous nous inté́ressons à l'é́tude précise de valeurs propres exponentiellement petites du Laplacien de Witten. Plus particulièrement, nous considérons la ré́alisation autoadjointe du Laplacien de Witten agissant sur les fonctions, sur une variété à bord, avec conditions au bord de type Neumann. Cette étude prolonge et complète des travaux de B. Helffer, M. Klein et F. Nier dans le cas sans bord, et de B. Helffer et F. Nier dans le cas d'une varié́té́ à bord, avec conditions au bord de type Dirichlet. La prise en compte de conditions au bord de type Neumann demande de traiter l'analyse au bord avec un niveau de géné́ralité plus large que dans les travaux antérieurs. En particulier la construction de solutions WKB doit être abordée dans le cadre géné́ral des p-formes.

The primary goal of the thesis is to study localization of Laplacian eigenfunctions in bounded domains when an eigenfunction is mainly supported by a small region of the domain and vanishing outside this region. The high-frequency and low-frequency localization in simple and irregular domains has been investigated for both Dirichlet and Neumann boundary conditions. Three types of high-frequency localization (whispering gallery, bouncing ball, and focusing eigemodes) have been revisited in circular, spherical and elliptical domains by deriving explicit inequalities on the norm of eigenfunctions. In turn, no localization has been found in most rectangular domains that led to formulating an open problem of characterization of domains that admit high-frequency localization. Using the Maslov-type differential inequalities, the exponential decay of low-frequency Dirichlet eigenfunctions has been extensively studied in various domains with branches of variable cross-sectional profiles. Under an explicit condition, the L2-norm of an eigenfunction has been shown to exponentially decay along the branch with an explicitly computed decay rate. This rigorous upper bound, which is applicable in any dimension and for both finite and infinite branches, presents a new achievement in the theory of classical and quantum waveguides, with potential applications in microelectronics, optics and acoustics. For bounded quantum waveguides with constant cross-sectional profiles, a sufficient condition on the branch lengths has been derived for getting a localized eigenfunction. The existence of trapped modes in typical finite quantum waveguides (e.g L-shape, bent strip and cross of two strips) has been proven provided that their branches are long enough, with an accurate estimate on the required minimal length. The high sensitivity of the localization character of eigenmodes to the length of branches and to the shape of the waveguide may potentially be used for switching devices in microelectronics and optics. The properties of localized eigenmodes in a class of planar spectral graphs have been analyzed. An efficient divide-and-conquer algorithm for solving the eigenproblem of the Laplacian matrix of undirected weighted graphs has been proposed and shown to run faster than traditional algorithms. A spectral approach has been developed to investigate the survival probability of reflected Brownian motion in reactive media. The survival probabilities have been represented in the form of a spectral decomposition over Laplacian eigenfunctions. The role of the geometrical structure of reactive regions and its influence on the overall reaction rate in the long-time regime has been studied. This approach presents a mathematical basis for designing optimal geometrical shapes of efficient catalysts or diffusive exchangers.

Le problème de l'optimisation des valeurs propres du Laplacien est ancien puisqu'à la fin du XIXème siècle Lord Rayleigh conjecturait que la première valeur propre avec condition de Dirichlet était minimisée par le disque. Depuis le problème a été beaucoup étudié. Et les possibilités de recherches sont multiples : diverses conditions, ajout de contraintes, existence, description des optima ... Dans ce document on se limite aux conditions de Dirichlet et de Neumann, dans R^2 et dans R^3. On procède dans un premier temps à un état de l'art. On se focalise ensuite sur les disques et les boules. En effet, ils font partie des rares formes pour lesquelles il est possible de calculer explicitement et relativement facilement les valeurs propres. On verra malheureusement que ces formes ne sont la plupart du temps pas des minimiseurs. Enfin on s'intéresse aux simulations numériques possibles. En effet, puisque peu de calculs théoriques peuvent être faits il est intéressant d'obtenir numériquement des candidats. Cela permet ensuite d'avoir des hypothèses de travail théorique. `{A} cet effet nous donnerons des éléments de compréhension sur une méthode de simulation numérique ainsi que des résultats obtenus. / The optimization of Laplacian eigenvalues is a classical problem. In fact, at the end of the nineteenth century, Lord Rayleigh conjectured that the first eigenvalue with Dirichlet boundary condition is minimized by a disk. This problem received a lot of attention since this first study and research possibilities are numerous: various conditions, geometrical constraints added, existence, description of optimal shapes... In this document we restrict us to Dirichlet and Neumann boundary conditions in R^2 and R^3. We begin with a state of the art. Then we focus our study on disks and balls. Indeed, these are some of the only shapes for which it is possible to explicitly and relatively easily compute the eigenvalues. But we show in one of the main result of this document that they are not minimizers for most eigenvalues. Finally we take an interest in the possible numerical experiments. Since we can do very few theoretical computations, it is interesting to get numerical candidates. Then we can deduce some theoretical working assumptions. With this in mind we give some keys to understand our numerical method and we also give some results obtained.

Nous considérons la fonction zêta d’Epstein des réseaux euclidiens pour étudier le problème des minima de la hauteur du tore plat associé à un réseau. La hauteur est définie comme la dérivée au point s = 0 de la fonction zêta spectrale du tore, fonction qui coïncide, à un facteur près, avec la fonction zêta d’Epstein du réseau dual du réseau donné. Nous donnons dans cette dissertation une condition suffisante pour qu’un réseau donné soit un point critique de la hauteur. En particulier, en utilisant la théorie des designs sphériques, nous montrons qu’un réseau qui a des 2-designs sphériques sur toutes ses couches est un point critique de la hauteur. Nous donnons un algorithme pour tester si un réseau donné satisfait cette condition de 2-designs, et nous donnons des tables de résultats en dimension jusqu’à 7. Ensuite, nous montrons qu’un réseau qui réalise un minimum local de la hauteur est nécessairement irréductible. Enfin, nous nous intéressons à certains tores définis sur les corps de nombres quadratiques imaginaires, et nous prouvons une formule qui donne leur hauteur comme limite d’une suite de hauteurs de tores complexes discrets. / In this thesis we consider the Epstein zeta function of Euclidean lattices, in order to study the problem of the minima of the height of the flat torus associated to a lattice. The height is defined as the first derivative at the point s = 0 of the spectral zeta function of the torus ; this function coincides, up to a factor, with the Epstein zeta function of the dual lattice of the given lattice. We describe a sufficient condition for a given lattice to be a stationary point of the height. In particular, by means of the theory of spherical designs, we show that a lattice which has a spherical 2-design on every shell is a stationary point of the height. We give an algorithm to check whether a given lattice satisfies this 2-design condition or not, and we give some tables of results in dimension up to 7. Then, we show that a lattice which realises a local minimum of the height is necessarily irreducible. Finally, we deal with some tori defined over the imaginary quadratic number fields, and we show a formula which gives their height as a limit of a sequence of heights of discrete complex tori.

Dans cette thèse, on donne une formule géométrique explicite pour les intégrales orbitales semisimples tordues du noyau de la chaleur sur un espace symétrique, en utilisant la méthode du laplacien hypoelliptique développée par Bismut. On montre que nos résultats sont compatibles avec les résultats classiques de la théorie de l'indice équivariant local sur les espaces localement symétriques compacts. On utilise notre formule explicite pour évaluer le terme dominant dans l'asymptotique quand d -> + ∞ de la torsion analytique équivariante de Ray-Singer associée à une famille de fibrés vectoriels plats Fd sur un espace localement symétrique compact. On montre que le terme dominant peut être calculé à l'aide de W-invariants au sens de Bismut-Ma-Zhang. / In this thesis, we give an explicit geometric formula for the twisted semisimple orbital integrals associated with the heat kernel on symmetric spaces. For that purpose, we use the method of the hypoelliptic Laplacian developed by Bismut. We show that our results are compatible with classical results in local equivariant index theory. We also use this formula to evaluate the leading term of the asymptotics as d -> + ∞ of the equivariant Ray-Singer analytic torsion associated with a sequence of flat vector bundles Fd on a compact locally symmetric space. We show that the leading term can be evaluated in terms of the W-invariants constructed by Bismut-Ma-Zhang.

La présente thèse porte sur les fonctions propres du laplacien et d’opérateurs de Schrödinger en dimension quelconque. Plus précisément, pour une variété (M,g) de dimension d et une fonction V : M → R, on considère les solutions de l’équation suivante: (∆_g + V ) f_λ = λ f_λ . On appelle l’opérateur ∆_g + V un opérateur de Schrödinger et V le potentiel. Le cas le plus simple et le plus étudié est le laplacien (on pose V ≡ 0 sur M ). Si M est compacte et sans bord, alors il existe une suite 0 = λ_0 < λ_1 ≤ λ_2 -> +∞ qui forme le spectre de ∆_g et une suite de fonctions propres f_n qui satisfont à ∆_g f_n = λ_n f_n . Cette propriété est aussi respectée pour beaucoup de potentiels et de variétés. Premièrement, nous avons étudié le nombre de domaines nodaux des fonctions propres quand la valeur propre tend vers l’infini. Les domaines nodaux d’une fonction f sur M sont les composantes connexes de l’ensemble M \f^{−1} (0). Ils nous permettent de mesurer le caractère oscillatoire de f en comptant le nombre de fois où f change de signe. L’objectif principal de la thèse était de généraliser le théorème de Pleijel [52] sur le nombre de domaines nodaux des fonctions propres du laplacien à d’autre opérateurs de Schrödinger. Dans l’article [2], nous avons montré que la borne du théorème de Pleijel s’applique aussi à l’oscillateur harmonique quantique dans R^d . De plus, nous avons remarqué que cette borne pouvait être améliorée en fonction de la forme quadratique qui définit le potentiel. Ensuite, dans l’article [3], nous avons généralisé le résultat obtenu dans [2] à une large classe de potentiels radiaux, incluant des potentiels qui tendent vers zéro à l’infini ou ayant une singularité à l’origine. Cela inclut le potentiel de Coulomb, qui modélise un atome d’hydrogène isolé dans l’espace. Pour ces potentiels, nous considérons les valeurs propres strictement inférieures au spectre essentiel. Nous avons aussi étudié les points critiques des fonctions propres du laplacien. Jusqu’à tout récemment, il y avait seulement une borne inférieure sur le nombre de points critiques pour certaines variétés [36], mais il n’y avait pas de borne supérieure connue. En 2019, Buhovsky, Logunov et Sodin ont construit une métrique sur T^2 et une suite de fonctions propres du laplacien qui ont toutes une infinité de points critiques. Dans l’article [4], nous utilisons une nouvelle méthode pour construire des métriques sur T^2 et S^2 et des fonctions propres pour ces métriques qui ont une infinité de points critiques. De plus, nous montrons que ces métriques peuvent être arbitrairement proches de la métrique plate sur T^2 et de la métrique standard sur S^2 . Ces métriques donnent aussi des contre-exemples à la conjecture de Courant-Hermann sur le nombre de domaines nodaux des combinaisons linéaires de fonctions propres du laplacien. / The theme of this thesis is the study of the eigenfunctions of the Laplacian and Schrödinger operators. Let (M,g) be a manifold and V : M → R. We are looking at solutions of the following equation: (∆_g + V ) f_λ = λ f_λ . The operator ∆_g + V is called a Schrödinger operator and V is called the potential. The simplest and most studied example is the Laplacian (we put V ≡ 0 on M ). If M is compact and without boundary, then there exists a sequence 0 = λ_0 < λ_1 ≤ λ_2 -> +∞ that makes the spectrum of ∆_g and a sequence of eigenfunctions f_n such that ∆_g f_n = λ_n f_n . This decomposition also holds for various potentials and manifolds. Firstly, we studied the nodal domains of the eigenfunctions as the eigenvalues tend to infinity. The nodal domains of a function f on M are the connected components of M \f^{−1} (0). They can be used to understand the oscillatory character of eigenfunctions by counting the number of times that f changes sign. The principal goal of this thesis was to generalize Pleijel’s nodal domain theorem [52] to other Schrödinger operators. In the article [2], we showed that the upper bound in Pleijel’s theorem also holds for the quantum harmonic oscillator. Furthermore, this bound can be improved depending on the quadratic form that defines the potential. Afterwards, in the article [3], we generalized the result from [2] to a large class of radial potentials, including ones that tend to zero at infinity. These include the Coulomb potential, which modelizes the hydrogen atom in free space. We also studied the number of critical points of Laplace eigenfunctions. Until recently, there were only known lower bounds for certain manifolds [36], but no upper bound was known. In 2019, Buhovsky, Logunov and Sodin [18] constructed a metric on T^2 and a sequence of Laplace eigenfunctions which all have infinitely many critical points. In our article [4], we used a different method to create metrics on T^2 and S^2 and Laplace eigenfunctions for these metrics that have infinitely many critical points. Furthermore, these metrics can be taken arbitrarily close to the flat metric on T^2 and the round metric on S^2. These constructions also provide strong counterexamples to the Courant-Hermann conjecture on the number of nodal domains of linear combinations of Laplace eigenfunctions.