Cette thèse traite de trois modèles de géométrie aléatoire: les mosaïques de Poisson-Voronoi, les mosaïques poissoniennes d'hyperplans et le modèle de fissuration unidirectionnel de Rényi-Widom. Nous montrons tout d'abord l'équivalence entre les deux approches historiques pour l'étude statistique des mosaïques: la convergence des moyennes ergodiques et la définition au sens de Palm de la cellule typique. Nous donnons ensuite en dimension deux la loi du nombre de sommets de la cellule typique et conditionnellement à ce nombre, les lois des positions des frontières, de l'aire et du périmètre. De plus, nous explicitons la loi conjointe des rayons des disques centrés en l'origine inscrit dans (resp. circonscrit à) la cellule typique et nous en déduisons le caractère circulaire des "grandes cellules". Dans le cas Poisson-Voronoi, nous relions en toute dimension la fonction spectrale de la cellule typique au pont brownien, ce qui permet en particulier d'estimer asymptotiquement la loi de la première valeur propre en dimension deux. Dans le cas des mosaïques poissoniennes d'hyperplans, nous exploitons les techniques de Palm pour en déduire une construction explicite en toute dimension de la cellule typique à partir de sa boule inscrite et de son simplexe circonscrit. Une preuve rigoureuse d'un résultat de R. E. Miles lorsqu'on épaissit les hyperplans est également donnée. Par ailleurs, nous modélisons un phénomène de fissuration par un processus unidimensionnel stationnaire dont nous calculons la loi de la distance inter-fissures typique. Nous montrons en outre que les points successifs sont ceux d'un processus de renouvellement conditionné explicite.

Dans ce manuscrit de thèse nous présentons des nouveaux résultats concernant l'existence, la non-existence, la multiplicité et la régularité des solutions positives pour deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec conditions de Dirichlet dans un domaine borné. Dans le chapitre 1 d'introduction, nous décrivons les deux problèmes que nous allons étudier et nous donnons les principaux résultats. Le premier, d'inconnue u, comporte un terme de source de gradient à croissance critique. Le second, d'inconnue v, contient un terme source d'ordre 0. Dans le chapitre 2 nous donnons des nouveaux résultats de régularité des solutions renormalisées utiles pour notre étude. A l'aide d'un changement d'inconnue, nous établissons un lien précis entre les problèmes en u et v. Le chapitre 3 est consacré à montrer ce lien et à donner une première application. Dans les chapitres 4 et 5 nous traitons de l'existence de solutions, la solution extrémale et sa régularité, l'existence d'une deuxième solution bornée du problème en v. Dans le chapitre 6 nous démontrons un résultat d'existence pour le problème en v avec des données mesures de Radon bornées quelconques. Dans le chapitre 7 nous obtenons des nouveaux résultats pour le problème en u en utilisant la connexion entre ces deux problèmes.

Cette thèse établit des formules asymptotiques robustes pour le second moment harmonique ramolli des fonctions $L$ de Rankin-Selberg. La principale contribution est une amélioration substancielle de la longueur admissible du ramollisseur qui est réalisée grâce à la résolution d'un problème de convolution avec décalage additif par une méthode spectrale considérée en moyenne. Une première conséquence est une nouvelle borne de sous-convexité pour les fonctions L de Rankin-Selberg par rapport au niveau qui possède de nombreuses applications arithmétiques déjà connues. En outre, une infinité de fonctions L de Rankin-Selberg ayant au plus huit zéros réels non-triviaux est exhibée et de nouvelles estimations non-triviales du rang analytique de la famille étudiée sont obtenues.

l'équation de Schrödinger associée au laplacien de Dunkl trigonométrique unidimensionnel . Cette étude commence par des estimations optimales du noyau de la chaleur et de Schrödinger. A l'aide de ces résultats, ainsi que les outils d'analyse harmonique dévellopée dans le chapitre 2, on montre des éstimées de type Strichartz qui permettent de trouver des conditions d'admissibilité pour des équations de Schrödinger semi-linéaires.

L'objectif premier de cette thèse est le développement d'une approche théorique des divers phénomènes de transport laplacien aux interfaces irrégulières: diffusion stationnaire à travers des membranes semi-perméables, transport électrique vers une électrode non bloquante dans un électrolyte, catalyse hétérogène sur une surface catalytique. L'influence de l'irrégularité géométrique, qui joue un rôle primordial dans ces phénomènes, peut être intégralement prise en compte à l'aide d'un opérateur purement mathématique, dit opérateur de Dirichlet-Neumann. Ses propriétés spectrales déterminent complètement la réponse linéaire d'un système considéré. Une étude numérique approfondie des différents aspects du transport laplacien aux interfaces irrégulières, modélisées ici par des frontières de Von Koch déterministes ou stochastiques, a apporté de nombreux résultats dont les plus importants sont: mise en évidence de la très faible proportion de modes propres de l'opérateur de Dirichlet-Neumann contribuant à l'impédance de la frontière, interprétation des valeurs propres de cet opérateur comme inverses des longueurs caractéristiques de l'interface, déduction d'un modèle analytique de l'impédance. En particulier, le modèle mathématique développé, qui exploite la hiérarchie des échelles caractéristiques, permet d'étudier des préfractales d'ordre très élevé. L'étude numérique de la mesure harmonique, dont la densité représente les probabilités de premier contact (analogue du courant primaire en électrochimie), a d'ailleurs permis de mettre au point une méthode de marches aléatoires rapides adaptées aux frontières de Von Koch considérées et de déterminer les dimensions multifractales avec une très bonne précision. Enfin, l'étude expérimentale avec une électrode de Von Koch a montré que cette approche théorique permet de prendre en compte l'irrégularité géométrique sans connaître le mécanisme de transport microscopique, ce qui ouvre toute une nouvelle branche d'applications possibles en électrochimie ou dans d'autres domaines.

Ce mémoire porte sur l'étude des équations d'évolution sur des variétés à coubure non nulle, plus particulièrement l'équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact. Des propriétés de dispersion des solutions du problème de Cauchy homogène sont démontrées. Ces propriétés sont ensuite utilisées pour établir des estimations dites estimations de Strichartz. L'examen de ces estimées permet de déduire que le problème de Cauchy non linéaire avec des non-linéarités de type puissance est globalement bien posé pour des données initiales petites et localement bien posé pour des données arbitraires. Après un chapitre introductif dédié aux définitions, propriétés algébriques et géométriques des espaces symétriques et à quelques aspects élémentaires d'analyse harmonique sphérique sur ces espaces, un article est présenté : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. Cet article contient nos résultats principaux. Dans le dernier chapitre nous présentons en détail deux problèmes ouverts qui prolongent nos travaux. Il s'agit respectivement d'établir le lien entre le comportement asymptotique des estimées et les orbites nilpotentes, et l'étude de l'équation des ondes pour les formes différentielles sur les espaces symétriques.

Cette thèse s'intéresse à la transcription d'équations aux dérivées partielles vers des domaines discrets en exploitant le formalisme des équations aux différences partielles définies sur des graphes pondérés. Dans une première partie, nous proposons une transcription de l'opérateur p-laplacien normalisé au domaine des graphes comme une combinaison linéaire entre le laplacien infini non-local et le laplacien normalisé (ces deux opérateurs étant discrets). Cette adaptation peut être considérée comme une nouvelle classe d'opérateurs p-laplaciens sur graphes, qui interpolent entre le laplacien infini non-local et le laplacien normalisé. Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux équations de propagation de fronts sur des graphes de topologie arbitraire. Ces équations sont obtenues par la transcription de la méthode des ensembles de niveaux, définie en continu, vers une formulation discrète définie sur le domaine des graphes. Au delà de la transcription en elle-même, nous proposons une formulation générale et des algorithmes efficaces pour la propagation simultanées de plusieurs fronts évoluant sur un graphe. Les approches proposées dans ces deux premières parties donnent lieu à de nombreuses applications en segmentation d'images et classification de données que nous illustrons dans ce manuscrit. Enfin, dans une troisième partie, nous présentons une application à l'aide au diagnostic informatisé concrétisant l'emploi des différents outils proposés dans les deux premières parties. Nous présentons également le logiciel Antarctic développé au cours de cette thèse.

L'animation de personnages virtuels guidée par des données fait l'objet de nombreuses études dans le domaine de l'informatique graphique. Dans ce contexte, le mouvement est classiquement défini par une suite de squelettes au cours du temps, chacun étant décrit par un vecteur de positions et de rotations. Le maillage 3D est ensuite guidé par les squelettes au moyen d'un couplage défini explicitement. L'enchaînement des différentes étapes de ce processus est difficile à mettre en oeuvre, et conduit à des approximations et des erreurs de modélisation, à la fois au niveau de l'animation du squelette et de la déformation du maillage. Dans ce manuscrit nous proposons d'étudier d'autres représentations du mouvement par le biais d'un ensemble de relations spatiales. Cette approche nous permet de tenir compte implicitement de contraintes de distance entre les points de la structure articulée, du maillage et de l'environnement, et d'exprimer en particulier la notion de contact. Deux axes d'étude sont principalement abordés~: le premier considère le mouvement dans l'espace métrique, et le second caractérise chaque posture par son information différentielle dans l'espace Laplacien. Dans un premier temps, nous proposons de représenter les squelettes associés aux postures du mouvement par un ensemble de distances. Caractériser une telle structure dans l'espace métrique se ramène à un formalisme mathématique connu sous le nom de problème de la géométrie des distances. Ainsi, nous nous inspirons des différentes techniques existantes et les appliquons au contrôle du mouvement. L'objectif est de produire de nouveaux mouvements à partir de processus d'édition ou d'inversion cinématique. Nous montrons que cette représentation permet un contrôle simple et intuitif de l'animation d'un personnage. Elle possède également plusieurs propriétés exploitables dans le cadre de l'analyse du mouvement. Ce dernier point est illustré par une application originale de recherche de mouvements dans des grandes bases de données. Dans un second temps, nous définissons le mouvement par un ensemble de graphes dont les sommets sont caractérisés par une information différentielle. A travers cette représentation, nous proposons une nouvelle méthode d'édition du mouvement couplant des contraintes de distance avec l'opérateur Laplacien discret. Cet opérateur permet de préserver les relations spatiales lors de l'édition du mouvement alors que les contraintes de distance préservent certaines propriétés inhérentes au squelette. Ce concept donne lieu à plusieurs applications dédiées à la reconstruction et l'édition de mouvement : (i) l'édition interactive d'animation de squelette, où nous proposons d'éditer tout type de mouvement avec de fortes déformations tout en préservant l'information spatio-temporelle ; (ii) la reconstruction de trajectoires de marqueurs~: en faisant l'hypothèse qu'il existe un lien entre la trajectoire d'un marqueur et celles de ses voisins, nous proposons de reconstruire les trajectoires incomplètes ; (iii) l'animation de maillage où nous proposons un nouveau processus d'animation directement guidé par les trajectoires des marqueurs.

On présente tout d'abord la théorie des commutateurs positifs et ses développements récents. On discute ensuite les applications à la théorie spectrale des Laplaciens magnétiques sur les variétés, les opérateurs de Dirac singuliers et des opérateurs de Schroedinger à décroissance lente. On étudie ensuite les propriétés spectrales de divers Laplaciens discrets pour les questions de l'auto-adjonction et l'asymptotique des valeurs propres. Puis on présente des résultats liés au spectre absolument continu pour les opérateurs de Dirac discret en dimension 1. Enfin on caractérise les chemins hamiltonien pour les échiquiers de grande dimension.

L'objectif de cette thèse est l'étude d'un descripteur d'images adapté à une grande variété d'applications. Nous cherchons à obtenir un descripteur robuste et discriminant, facile à adapter et peu coûteux en calcul et en mémoire.Nous définissons un nouveau descripteur, composé de valeurs du Laplacien à différentes échelles et de valeurs d'une transformée de Fourier radiale, calculées à partir d'une pyramide Gaussienne. Ce descripteur capture une information de forme multi-échelle autour d'un point de l'image. L'expérimentation a montré que malgré une taille mémoire réduite les performances en robustesse et en pouvoir discriminant de ce descripteur sont à la heuteur de l'état de l'art.Nous avons expérimenté ce descripteur avec trois types de tâches différentes.Le premier type de tâche est la mise en correspondance de points-clés avec des images transformées par rotation, changement d'échelle, floutage, codage JPEG, changement de point de vue, ou changement d'éclairage. Nous montrons que la performance de notre descripteur est au niveau des meilleurs descripteurs connus dans l'état de l'art. Le deuxième type de tâche est la détection de formes. Nous avons utilisé le descripteur pour la création de deux détecteurs de personnes, construits avec Adaboost. Comparé à un détecteur semblable construit avec des histogrammes de gradients (HOG) nos détecteurs sont très compétitifs tout en utilisant des descripteurs sensiblement plus compacts. Le dernier type de tâche est la détection de symétries de réflexion dans des images "du monde réel". Nous proposons une technique de détection d'axes potentiels de symétries en miroir. Avec cette tâche nous montrons que notre descripteur peut être genéralisé à des situations complexes. L'expérimentation montre que cette méthode est robuste et discriminante, tout en conservant un faible coût en calcul et en mémoire. / In this thesis we explore a new image description method composed of a multi-scale vector of Laplacians of Gaussians, the Laplacian Profile, and a Radial Fourier Transform. This method captures shape information with different proportions around a point in the image. A Gaussian pyramid of scaled images is used for the extraction of the descriptor vectors. The aim of this new method is to provide image description that can be suitable for diverse applications. Adjustability as well as low computational and memory needs are as important as robustness and discrimination power. We created a method with the ability to capture the image signal efficiently with descriptor vectors of particularly small length compared to the state of the art. Experiments show that despite its small vector length, the new descriptor shows reasonable robustness and discrimination power that are competitive to the state of the art performance.We test our proposed image description method on three different visual tasks. The first task is keypoint matching for images that have undergone image transformations like rotation, scaling, blurring, JPEG compression, changes in viewpoint and changes in light. We show that against other methods from the state of the art, the proposed descriptor performs equivalently with a very small vector length. The second task is on pattern detection. We use the proposed descriptor to create two different Adaboost based detectors for people detection in images. Compared to a similar detector using Histograms of Oriented Gradients (HOG), the detectors with the proposed method show competitive performance using significantly smaller descriptor vectors. The last task is on reflection symmetry detection in real world images. We introduce a technique that exploits the proposed descriptor for detecting possible symmetry axes for the two reflecting parts of a mirror symmetric pattern. This technique introduces constraints and ideas of how to collect more efficiently the information that is important to identify reflection symmetry in images. With this task we show that the proposed descriptor can be generalized for rather complicated applications. The set of the experiments confirms the qualities of the proposed method of being easily adjustable and requires relatively low computational and storage requirements while remaining robust and discriminative.