Les xarxes neuronals cel·lulars altrament anomenades CNNs, són un tipus de sistema dinàmic que relaciona diferents elements que s'anomenen neurones via unes plantilles de paràmetres. Aquest sistema queda completament determinat coneixent quines són les entrades a la xarxa, les sortides i els paràmetres o pesos. En aquest treball fem un estudi exhaustiu sobre aquest tipus de xarxa en el cas més senzill on només hi intervenen dues neurones. Tot i la simplicitat del sistema, veurem que pot tenir una dinàmica molt rica. Primer de tot, revisem l'estabilitat d'aquest sistema des de dos punts de vista diferents. Usant la teoria de Lyapunov, trobem el rang de paràmetres en el que hem de treballar per aconseguir la convergència de la xarxa cap a un punt fix. Aquest mètode ens obre les portes per abordar els diferents tipus de problemes que es poden resoldre usant una xarxa neuronal cel·lular de dues neurones. D'altra banda, el comportament dinàmic de la CNN està determinat per la funció lineal a trossos que defineix les sortides del sistema. Això ens permet estudiar els diferents sistemes que apareixen en cada una de les regions on el sistema és lineal, aconseguint un estudi complet de l'estabilitat de la xarxa en funció de les posicions locals dels diferents punts d'equilibri del sistema. D'aquí obtenim bàsicament dos tipus de convergència, cap a un punt fix o bé cap a un cicle límit. Aquests resultats ens permeten organitzar aquest estudi bàsicament en aquests dos tipus de convergència. Entendre el sistema d'equacions diferencials que defineixen la CNN en dimensió 1 usant només dues neurones, ens permet trobar les dificultats intrínseques de les xarxes neuronals cel·lulars així com els possibles usos que els hi podem donar. A més, ens donarà les claus per a poder entendre el cas general. Un dels primers problemes que abordem és la dependència de les sortides del sistema respecte les condicions inicials. La funció de Lyapunov que usem en l'estudi de l'estabilitat es pot veure com una quàdrica si la pensem com a funció de les sortides. La posició i la geometria d'aquesta forma quadràtica ens permeten trobar condicions sobre els paràmetres que descriuen el sistema dinàmic. Treballant en aquestes regions aconseguim abolir el problema de la dependència. A partir d'aquí ja comencem a estudiar les diferents aplicacions de les CNN treballant en un rang de paràmetres on el sistema convergeix a un punt fix. Una primera aplicació la trobem usant aquest tipus de xarxa per a reproduir distribucions de probabilitat tipus Bernoulli usant altre cop la funció de Lyapunov emprada en l'estudi de l'estabilitat. Una altra aplicació apareix quan ens centrem a treballar dins del quadrat unitat. En aquest cas, el sistema és capaç de reproduir funcions lineals. L'existència de la funció de Lyapunov permet també de construir unes gràfiques que depenen dels paràmetres de la CNN que ens indiquen la relació que hi ha entre les entrades de la CNN i les sortides. Aquestes gràfiques ens donen un algoritme per a dissenyar plantilles de paràmetres reproduint aquestes relacions. També ens obren la porta a un nou problema: com composar diferents plantilles per aconseguir una determinada relació entrada¬sortida. Tot aquest estudi ens porta a pensar en buscar una relació funcional entre les entrades externes a la xarxa i les sortides. Com que les possibles sortides és un conjunt discret d'elements gràcies a la funció lineal a trossos, la correspondència entrada¬sortida es pot pensar com un problema de classificació on cada una de les classes està definida per les diferent possibles sortides. Pensant¬ho d'aquesta manera, estudiem quins problemes de classificació es poden resoldre usant una CNN de dues neurones i trobem quina relació hi ha entre els paràmetres de la CNN, les entrades i les sortides. Això ens permet trobar un mètode per a dissenyar plantilles per a cada problema concret de classificació. A més, els resultats obtinguts d'aquest estudi ens porten cap al problema de reproduir funcions Booleanes usant CNNs i ens mostren alguns dels límits que tenen les xarxes neuronals cel·lulars tot intentant reproduir el capçal de la màquina universal de Turing descoberta per Marvin Minsky l'any 1962. A partir d'aquí comencem a estudiar la xarxa neuronal cel·lular quan convergeix cap a un cicle límit. Basat en un exemple particular extret del llibre de L.O Chua, estudiem primer com trobar cicles límit en el cas que els paràmetres de la CNN que connecten les diferents neurones siguin antisimètrics. D'aquesta manera trobem en quin rang de paràmetres hem de treballar per assegurar que l'estat final de la xarxa sigui una corba tancada. A més ens dona la base per poder abordar el problema en el cas general. El comportament periòdic d'aquestes corbes ens incita primer a calcular aquest període per cada cicle i després a pensar en possibles aplicacions com ara usar les CNNs per a generar senyals de rellotge. Finalment, un cop estudiats els diferents tipus de comportament dinàmics i les seves possibles aplicacions, fem un estudi comparatiu de la xarxa neuronal cel·lular quan la sortida està definida per la funció lineal a trossos i quan està definida per la tangent hiperbòlica ja que moltes vegades en la literatura s'usa l'una en comptes de l'altra aprofitant la seva diferenciabilitat. Aquest estudi ens indica que no sempre es pot usar la tangent hiperbòlica en comptes de la funció lineal a trossos ja que la convergència del sistema és diferent en un segons com es defineixin les sortides de la CNN. / Les redes neuronales celulares o CNNs, son un tipo de sistema dinámico que relaciona diferentes elementos llamados neuronas a partir de unas plantillas de parámetros. Este sistema queda completamente determinado conociendo las entradas de la red, las salidas y los parámetros o pesos. En este trabajo hacemos un estudio exhaustivo de estos tipos de red en el caso más sencillo donde sólo intervienen dos neuronas. Este es un sistema muy sencillo que puede llegar a tener una dinámica muy rica. Primero, revisamos la estabilidad de este sistema desde dos puntos de vista diferentes. Usando la teoría de Lyapunov, encontramos el rango de parámetros en el que hemos de trabajar para conseguir que la red converja hacia un punto fijo. Este método nos abre las puertas parar poder abordar los diferentes tipos de problemas que se pueden resolver usando una red neuronal celular de dos neuronas. Por otro lado, el comportamiento dinámico de la CNN está determinado por la función lineal a tramos que define las salidas del sistema. Esto nos permite estudiar los diferentes sistemas que aparecen en cada una de las regiones donde el sistema es lineal, consiguiendo un estudio completo de la estabilidad de la red en función de las posiciones locales de los diferentes puntos de equilibrio del sistema. Obtenemos básicamente dos tipos de convergencia, hacia a un punto fijo o hacia un ciclo límite. Estos resultados nos permiten organizar este estudio básicamente en estos dos tipos de convergencia. Entender el sistema de ecuaciones diferenciales que definen la CNN en dimensión 1 usando solamente dos neuronas, nos permite encontrar las dificultades intrínsecas de las redes neuronales celulares así como sus posibles usos. Además, nos va a dar los puntos clave para poder entender el caso general. Uno de los primeros problemas que abordamos es la dependencia de las salidas del sistema respecto de las condiciones iniciales. La función de Lyapunov que usamos en el estudio de la estabilidad es una cuadrica si la pensamos como función de las salidas. La posición y la geometría de esta forma cuadrática nos permiten encontrar condiciones sobre los parámetros que describen el sistema dinámico. Trabajando en estas regiones logramos resolver el problema de la dependencia. A partir de aquí ya podemos empezar a estudiar las diferentes aplicaciones de las CNNs trabajando en un rango de parámetros donde el sistema converge a un punto fijo. Una primera aplicación la encontramos usando este tipo de red para reproducir distribuciones de probabilidad tipo Bernoulli usando otra vez la función de Lyapunov usada en el estudio de la estabilidad. Otra aplicación aparece cuando nos centramos en trabajar dentro del cuadrado unidad. En este caso, el sistema es capaz de reproducir funciones lineales. La existencia de la función de Lyapuno v permite también construir unas graficas que dependen de los parámetros de la CNN que nos indican la relación que hay entre las entradas de la CNN y las salidas. Estas graficas nos dan un algoritmo para diseñar plantillas de parámetros reproduciendo estas relaciones. También nos abren la puerta hacia un nuevo problema: como componer diferentes plantillas para conseguir una determinada relación entrada¬salida. Todo este estudio nos lleva a pensar en buscar una relación funcional entre las entradas externas a la red y las salidas. Teniendo en cuenta que las posibles salidas es un conjunto discreto de elementos gracias a la función lineal a tramos, la correspondencia entrada¬salida se puede pensar como un problema de clasificación donde cada una de las clases está definida por las diferentes posibles salidas. Pensándolo de esta forma, estudiamos qué problemas de clasificación se pueden resolver usando una CNN de dos neuronas y encontramos la relación que hay entre los parámetros de la CNN, las entradas y las salidas. Esto nos permite encontrar un método de diseño de plantillas para cada problema concreto de clasificación. Además, los resultados obtenidos en este estudio nos conducen hacia el problema de reproducir funciones Booleanas usando CNNs y nos muestran algunos de los límites que tienen las redes neuronales celulares al intentar reproducir el cabezal (la cabeza) de la máquina universal de Turing descubierta por Marvin Minsky el año 1962. A partir de aquí empezamos a estudiar la red neuronal celular cuando ésta converge hacia un ciclo límite. Basándonos en un ejemplo particular sacado del libro de L.O Chua, estudiamos primero como encontrar ciclos límite en el caso que los parámetros de la CNN que conectan las diferentes neuronas sean anti¬simétricos. De esta forma encontramos el rango de parámetros en el cuál hemos de trabajar para asegurar que el estado final de la red sea una curva cerrada. Además nos da la base para poder abordar el problema en el caso general. El comportamiento periódico de estas curvas incita primero a calcular su periodo para cada ciclo y luego a pensar en posibles aplicaciones como por ejemplo usar las CNNs para generar señales de reloj. Finalmente, estudiados ya los diferentes tipos de comportamiento dinámico y sus posibles aplicaciones, hacemos un estudio comparativo de la red neuronal celular cuando la salida está definida por la función lineal a trozos y cuando está definida por la tangente hiperbólica ya que muchas veces en la literatura se usa una en vez de la otra intentado aprovechar su diferenciabilidad. Este estudio nos indica que no siempre se puede intercambiar dichas funciones ya que la convergencia del sistema es distinta según como se definan las salidas de la CNN. / In this dissertation we review the two neuron cellular neural network stability using the Lyapunov theory, and using the different local dynamic behavior derived from the piecewise linear function use. We study then a geometrical way to understand the system dynamics. The Lyapunov stability, gives us the key point to tackle the different convergence problems that can be studied when the CNN system converges to a fixed¬point. The geometric stability shed light on the convergence to limit cycles. This work is basically organized based on these two convergence classes. We try to make an exhaustive study about Cellular Neural Networks in order to find the intrinsic difficulties, and the possible uses of a CNN. Understanding the CNN system in a lower dimension, give us some of the main keys in order to understand the general case. That's why we will focus our study in the one dimensional CNN case with only two neurons. From the results obtained using the Lyapunov function, we propose some methods to avoid the dependence on initial conditions problem. Its intrinsic characteristics as a quadratic form of the output values gives us the key points to find parameters where the final outputs do not depend on initial conditions. At this point, we are able to study different CNN applications for parameter range where the system converges to a fixed¬point. We start by using CNNs to reproduce Bernoulli probability distributions, based on the Lyapunov function geometry. Secondly, we reproduce linear functions while working inside the unit square. The existence of the Lyapunov function allows us to construct a map, called convergence map, depending on the CNN parameters, which relates the CNN inputs with the final outputs. This map gives us a recipe to design templates performing some desired input¬output associations. The results obtained drive us into the template composition problem. We study the way different templates can be applied in sequence. From the results obtained in the template design problem, we may think on finding a functional relation between the external inputs and the final outputs. Because the set of final states is discrete, thanks to the piecewise linear function, this correspondence can be thought as a classification problem. Each one of the different classes is defined by the different final states which, will depend on the CNN parameters. Next, we study which classifications problems can be solved by a two neuron CNN, and relate them with weight parameters. In this case, we also find a recipe to design templates performing these classification problems. The results obtained allow us to tackle the problem to realize Boolean functions using CNNs, and show us some CNN limits trying to reproduce the header of a universal Turing machine. Based on a particular limit cycle example extracted from Chua's book, we start this study with anti symmetric connections between cells. The results obtained can be generalized for CNNs with opposite sign parameters. We have seen in the stability study that limit cycles have the possibility to exist for this parameter range. Periodic behavior of these curves is computed in a particular case. The limit cycle period can be expressed as a function of the CNN parameters, and can be used to generate clock signals. Finally, we compare the CNN dynamic behavior using different output functions, hyperbolic tangent and piecewise linear function. Many times in the literature, hyperbolic tangent is used instead of piecewise linear function because of its differentiability along the plane. Nevertheless, in some particular regions in the parameter space, they exhibit a different number of equilibrium points. Then, for theoretical results, hyperbolic tangent should not be used instead of piecewise linear function.

Submitted by RUBENS PAZIM CARNEVAROLLO JUNIOR null (pazim@ufmt.br) on 2016-09-06T21:16:47Z No. of bitstreams: 1 Tese_Pazim_Buzzi.pdf: 1680950 bytes, checksum: 095b9843312f8b0b7449972896a94d73 (MD5) / Approved for entry into archive by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br) on 2016-09-09T19:56:44Z (GMT) No. of bitstreams: 1 carnevarollojunior_rp_dr_sjrp.pdf: 1680950 bytes, checksum: 095b9843312f8b0b7449972896a94d73 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-09T19:56:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 carnevarollojunior_rp_dr_sjrp.pdf: 1680950 bytes, checksum: 095b9843312f8b0b7449972896a94d73 (MD5) Previous issue date: 2016-08-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Este trabalho está relacionado ao estudo de bifurcações e órbitas periódicas de sistemas diferenciais suaves por partes planares em duas e três zonas. Em sistemas com duas zonas, estamos interessados em encontrar uma fronteira de separação para um dado par de sistemas suaves de tal modo que o sistema descontínuo, formado pelo par de sistemas suaves, tem um contínuo de órbitas periódicas. Neste caso, denominamos a fronteira de separação como Fronteira de Centros. Para os sistemas com três zonas, consideramos sistemas lineares por partes contínuo, em que a zona central é degenerada e na qual o determinante da parte linear é nulo. Ao mover um parâmetro específico, detectamos algumas bifurcações até então desconhecidas, exibindo transição de salto nos pontos de equilíbrios e o aparecimento de ciclos limites. Em particular, introduzimos a bifurcação Bainha de Espada, caracterizada pelo nascimento de um ciclo limite de um contínuo de pontos de equilíbrios. / This work is related to the study of bifurcations and periodic orbits in planar piecewise smooth differential systems with two and three zones. In the systems with two zones, we are interested in finding a separation boundary for a given pair of smooth systems in such a way that the discontinuous system, formed by the pair of smooth systems, has a continuum of periodic orbits. In this case we call the separation boundary as a Center Boundary. For the systems with three zones, we consider continuous piecewise linear systems where the central one is degenerate, that is, the determinant of its linear part vanishes. By moving one special parameter, we detect some new bifurcations exhibiting jump transitions both in the equilibrium location and in the appearance of limit cycles. In particular, we introduce the Scabbard Bifurcation, characterized by the birth of a limit cycle from a continuum of equilibrium points. / CAPES/DS: 33004153071P0 / CAPES/PDSE: 7038/2014-03

Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Luis Fernando Mello / Banca: João Carlos Ferreira Costa / Resumo: Nesta dissertação estudamos critérios para determinar a existência, a não existência e a unicidade de ciclos limites de campos de vetores planares. Mais especificamente, estudamos equações de Lienard Äx + f(x; _ x) _ x + g(x) = 0; onde f e g satisfazem determinadas hip¶oteses. Em particular estudamos a equa»c~ao de van der Pol Äx + "(x2 ¡ 1) _ x + x = 0; a qual é conhecida da teoria dos circuitos elétricos. Provamos a existência e a unicidade de ciclos limites para estas equações. Por fim estudamos a equação de van der Pol com o parâmetro" " 1 e o fenômeno canard que ocorre ao considerarmos um parâmetro adicional ®: As técnicas utilizadas s~ao as usuais de Análise Assintótica. / Abstract: In this work we study the existence, the non existence and the uniqueness of limit cycles of planar vector felds. More specifically, we study Lienard equations Äx+f(x; _ x) _ x+g(x) = 0; where f and g satisfy some hypothesis. In particular we study the van der Pol equation Äx + "(x2 ¡ 1) _ x + x = 0; which is knew of the circuit theory. We prove the existence and the uniqueness of limit cycles for these equations. In the last part we study the van der Pol equation with the parameter " " 1 and the canard phenomenon which appears when we consider an additional parameter ®: The techniques employed are the usual in the Asymptotic Analysis. / Mestre

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Kamila - A coexistencia de quatro ciclos limite.pdf: 385468 bytes, checksum: 7bfc558e3fb5ab2755c2afa480f819c8 (MD5) Previous issue date: 2012-07-30 / In this work we study continuous, symmetric and piecewise linear vector fields on R3, we investigate the existence of limit cycles using the closing equations method. More specifically, we study a two parameters family of this vector fields and we show the coexistence of four limit cycles and too, its realization on Chua s circuit. / Neste trabalho estudamos campos vetoriais seccionalmente lineares, contínuos e simétricos, com três zonas em R3, investigamos a existência de ciclos limite utilizando o método das closing equations. Mais especificamente, estudamos uma família a dois parâmetros e mostramos a coexistência de quatro ciclos limites para esta família e também sua realização no circuito de Chua.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-05-19T12:02:56Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Mariana Queiroz Velter - 2016.pdf: 3434033 bytes, checksum: 280742df0a3947cbf0f1aa8039428a72 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-05-19T12:04:25Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Mariana Queiroz Velter - 2016.pdf: 3434033 bytes, checksum: 280742df0a3947cbf0f1aa8039428a72 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-19T12:04:25Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Mariana Queiroz Velter - 2016.pdf: 3434033 bytes, checksum: 280742df0a3947cbf0f1aa8039428a72 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2016-02-05 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work the first-order Averaging theory will be studied. This theory replaces the problem of finding and quantifying limit cycles of a vector field by the problem of finding positive zeros of a function. We present the classical Averaging method (done for C 2 smooth vector fields) and we apply it to some special cases of quadratic polynomial vector fields in R3. Afterwards, we show a generalization of the Averaging method proposed in [3], which uses Brouwer degree theory in order to extend the method to continuous vector field, in other words, the differentiability of a vector field is no longer required. Finally, we will study the Averaging theory for piecewise smooth vector fields, presented in [14] using the regularization technique for piecewise smooth vector fields, see [22]. Also we will apply it to a class of polynomial vector field defined by parts, known as Kukles fields, see [16]. / Neste trabalho a teoria do Averaging de primeira ordem será estudada. Teoria essa que consiste em transferir o problema de encontrar e quantificar os ciclos limites de um determinado campo de vetores para o problema de encontrar zeros positivos de uma determinada função. Apresentaremos o método do Averaging clássico para campos de vetores suaves, o qual assume que o referido campo é, no mínimo, de classe C 2 e aplicaremos o método em alguns campos de vetores polinomiais quadráticos em R3 particulares. Em seguida, apresentaremos uma generalização do método do Averaging, proposto em [3], que utiliza a teoria do grau topológico de Brouwer para que esse seja válido para campos de vetores somente contínuos, ou seja, nesse contexto, a diferenciabilidade não é necessária. Por fim, estudaremos a teoria do Averaging para campos de vetores suaves por partes, apresentada em [14] que utiliza a técnica de regularização de campos de vetores suaves por partes, veja [22], e o aplicaremos a uma classe de campos de vetores polinomiais por partes, denominada campos Kukles estudada em [16].

Submitted by JÚLIO HEBER SILVA (julioheber@yahoo.com.br) on 2017-06-13T19:33:36Z No. of bitstreams: 2 Tese - Bruno Rodrigues de Freitas - 2016.pdf: 2506265 bytes, checksum: be3374b7af568ce914be02e5fa39c4ad (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-06-14T15:23:37Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Bruno Rodrigues de Freitas - 2016.pdf: 2506265 bytes, checksum: be3374b7af568ce914be02e5fa39c4ad (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-14T15:23:38Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Bruno Rodrigues de Freitas - 2016.pdf: 2506265 bytes, checksum: be3374b7af568ce914be02e5fa39c4ad (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-05-13 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás - FAPEG / We consider a class of piecewise linear di erential systems in R3 separated by a plane and we study its global and local dynamics. More precisely, we give conditions to the existence of invariant surfaces and limit cycles, presenting the maximum number of limit cycles and characterizing these invariant surfaces. Also, we obtain results about the T-singularity obtained by a perturbation of piecewise linear di erential systems. In our approach, we use many techniques, as an extension of the theorem’s Rolle for vector fields, Theory of Sturm’s sequence, extendedcomplete Tchebyche systems and extensions of Averaging theory. / Consideramos uma classe de sistemas diferenciais lineares por partes em R3 separados por umplano e estudamos sua dinâmica global e local. Mais precisamente, damos condições para a existência de superfícies invariantes e ciclos limite, apresentando o número máximo de ciclos limite e caracterizando estas superfícies. Obtemos resultados sobre a T-singularidade obtida por uma perturbação de sistemas diferenciais lineares por partes. Em nossa abordagem, usamos várias técnicas como uma extensão do teorema de Rolle para campos, teoria da sequência de Sturm, sistemas estendidos completos de Tchebyche e extensões da teoria da Média.

Traditionally, differential-equation models for population dynamics have considered organisms as "fixed" entities in terms of their behaviour and characteristics. However, there have been many observations of adaptivity in organisms, both at the level of behaviour and as an evolutionary change of traits, in response to the environmental conditions. Taking such adaptiveness into account alters the qualitative dynamics of traditional models and is an important factor to be included, for example, when developing reliable model predictions under changing environmental conditions. In this thesis, we consider piecewise-smooth and smooth dynamical systems to represent adaptive change in a 1 predator-2 prey system. First, we derive a novel piecewise-smooth dynamical system for a predator switching between its preferred and alternative prey type in response to prey abundance. We consider a linear ecological trade-off and discover a novel bifurcation as we change the slope of the trade-off. Second, we reformulate the piecewise-smooth system as two novel 1 predator-2 prey smooth dynamical systems. As opposed to the piecewise-smooth system that includes a discontinuity in the vector fields and assumes that a predator switches its feeding strategy instantaneously, we relax this assumption in these systems and consider continuous change in a predator trait. We use plankton as our reference organism because they serve as an important model system. We compare the model simulations with data from Lake Constance on the German-Swiss-Austrian border and suggest possible mechanistic explanations for cycles in plankton concentrations in spring.

Dans ce mémoire, nous étudions un système prédateur-proie de Gause généralisé avec une récolte de proie contrôlée et une fonction de réponse de Holling de type III généralisée. Nous introduisons une fonction de récolte contrôlée sur les proies tenant compte du nombre de proies et dépendant d'un seuil de récolte. Ceci permet de rendre le système réaliste, d'optimiser la récolte, et de prévenir la possibilité d'extinction des espèces que le système avec récolte constante pouvait avoir pour toutes valeurs de paramètres. Ce type de fonction de récolte implique a priori la manipulation d'un système discontinu: nous étudions donc des techniques de lissage de ces discontinuités par régularisation. Nous faisons d'abord un retour sur les systèmes sans et avec récolte de proie constante en traçant les diagrammes de bifurcations exacts et les portraits de phase de ces systèmes. Ensuite, nous étudions le système discontinu et les méthodes de régularisation afin de choisir la plus optimale. Finalement, nous assemblons le tout avec l'étude du système avec récolte de proie régularisé, en passant par l'étude complète du système avec approvisionnement de proie, et donnons les différents effets sur les portraits de phase selon les conditions initiales. / In this master thesis, we study a generalized Gause predator-prey system with controlled prey harvest and a generalized Holling response function of type III. We introduce a controlled prey harvesting function taking into account the number of preys with a harvesting threshold. This makes the system realistic, it optimizes the harvesting, and it prevents the possibility of species' extinction which exists in the system with constant harvest for all parameters. This type of harvesting function a priori implies handling a discontinuous system : therefore we study smoothing techniques of such discontinuities by regularization. We first return on systems without and with constant harvest by drawing the exact bifurcation diagrams and phase portraits of those systems. Then, we study the discontinuous system and the regularization methods in order to choose the optimal one. Finally, we put together everything by studying the regularized prey harvesting system through a complete study of the prey stocking system, and we highlight the different effects on the phase portraits under the initial conditions.

This work is devoted to investigating the algebraic and analytic integrability of first order polynomial partial differential equations via an understanding of the well-developed area of local and global integrability of polynomial vector fields. In the view of characteristics method, the search of first integrals of the first order partial differential equations P(x,y,z)∂z(x,y) ∂x +Q(x,y,z)∂z(x,y) ∂y = R(x,y,z), (1) is equivalent to the search of first integrals of the system of the ordinary differential equations dx/dt= P(x,y,z), dy/dt= Q(x,y,z), dz/dt= R(x,y,z). (2) The trajectories of (2) will be found by representing these trajectories as the intersection of level surfaces of first integrals of (1). We would like to investigate the integrability of the partial differential equation (1) around a singularity. This is a case where understanding of ordinary differential equations will help understanding of partial differential equations. Clearly, first integrals of the partial differential equation (1), are first integrals of the ordinary differential equations (2). So, if (2) has two first integrals φ1(x,y,z) =C1and φ2(x,y,z) =C2, where C1and C2 are constants, then the general solution of (1) is F(φ1,φ2) = 0, where F is an arbitrary function of φ1and φ2. We choose for our investigation a system with quadratic nonlinearities and such that the axes planes are invariant for the characteristics: this gives three dimensional Lotka– Volterra systems x' =dx/dt= P = x(λ +ax+by+cz), y' =dy/dt= Q = y(µ +dx+ey+ fz), z' =dz/dt= R = z(ν +gx+hy+kz), where λ,µ,ν 6= 0. v Several problems have been investigated in this work such as the study of local integrability and linearizability of three dimensional Lotka–Volterra equations with (λ:µ:ν)–resonance. More precisely, we give a complete set of necessary and sufficient conditions for both integrability and linearizability for three dimensional Lotka-Volterra systems for (1:−1:1), (2:−1:1) and (1:−2:1)–resonance. To prove their sufficiency, we mainly use the method of Darboux with the existence of inverse Jacobi multipliers, and the linearizability of a node in two variables with power-series arguments in the third variable. Also, more general three dimensional system have been investigated and necessary and sufficient conditions are obtained. In another approach, we also consider the applicability of an entirely different method which based on the monodromy method to prove the sufficiency of integrability of these systems. These investigations, in fact, mean that we generalized the classical centre-focus problem in two dimensional vector fields to three dimensional vector fields. In three dimensions, the possible mechanisms underling integrability are more difficult and computationally much harder. We also give a generalization of Singer’s theorem about the existence of Liouvillian first integrals in codimension 1 foliations in Cnas well as to three dimensional vector fields. Finally, we characterize the centres of the quasi-homogeneous planar polynomial differential systems of degree three. We show that at most one limit cycle can bifurcate from the periodic orbits of a centre of a cubic homogeneous polynomial system using the averaging theory of first order.

Dans la première partie de cette thèse de doctorat une méthodologie est présentée qui permet de prédire les niveaux de suies produits dans des flammes laminaires monodimensionnelles, ou un modèle semi-empirique de suies est utilisé en combinaison avec une chimie complexe et un solveur radiatif détaillé. La méthodologie est appliquée au calcul de suies dans une série de flammes de diffusion à contre-courant d'éthylène/air. Plusieurs modèles d'oxydation de suies sont testés et les constantes du modèle sont ajustées afin de retrouver un meilleur accord avec les expériences. L'effet des pertes thermiques radiatives sur la formation de suies et la structure des flammes est évalué. Finalement, la performance du modèle de suies est évalué sur des flammes prémélangées monodimensionnelles, ou une expression alternative du terme de croissance de surface est proposée pour reproduire les résultats expérimentaux. Dans la deuxième partie de cette thèse, des outils de Simulation aux Grandes Échelles (SGE) et d'analyse acoustique sont appliqués à la prédiction des oscillations de cycle limite (OCL) d'une instabilité thermo-acoustique qui apparaît dans un brûleur académique partiellement prémélangé de méthane/air à pression atmosphérique. La SGE prédit bien l'apparition et le développement des OCL est un bon accord est trouvé entre simulations et expériences en termes d'amplitude et fréquence des OCL. La simulation permet de révéler certains aspects clés responsables du comportement instable de la flamme. Ensuite, une analyse préliminaire de la quantification des incertitudes est fait, ou l'effet des paramètres tels que l'impédance des entrées, le degré de raffinement du maillage ou les pertes thermiques sur les caractéristiques des OCL est évalué. Aussi, la SGE prédit bien la dépendance de la stabilité de la flamme du point d'opération et de la géométrie du brûleur / In the first part of the present PhD. thesis a methodology is presented that allows to predict the soot produced in one-dimensional academic flames, where a semi-empirical soot model is used in combination with a complex chemistry and a detailed radiation solver. The methodology is applied to the computation of soot in a set of ethylene/air counterflow diffusion flames. Several oxidation models are tested and the constants of the model were adjusted to retrieve the experimental results. Also, the effect of radiative losses on soot formation and the flame structure is evaluated. Finally, the performance of the soot model is evaluated on 1D premixed flames, where an alternative expression for the surface growth term is proposed to better reproduce the experimental findings. In the second part of the thesis, Large-Eddy Simulation (LES) and acoustic analysis tools are applied to the prediction of limit cycle oscillations (LCO) of a thermo-acoustic instability appearing in a partially premixed methane/air academic burner operating at atmospheric pressure. The LES captures well the appearance and development of the LCO and a good agreement is found between simulations and experiments in terms of amplitude and frequency of the LCO. Some light is shed on the mechanisms leading to the existence of such instability. Then, a preliminar uncertainty quantification (UQ) analysis is performed, where the effect on the features of the LCO of several computational parameters such as the inlets impedances, mesh refinement or heat losses is assessed. Also, the LES captures well the flame stability behaviour dependence on the operating point and the burner geometry