Cette thèse comporte trois volets indépendants en cryptographie, en théorie de Hodge p-adique et en analyse numérique.La première partie consiste en l'étude d'algorithmes performants de résolution du logarithme discret. La résolution du logarithme discret consiste à déterminer les exposants d'une famille fixée de générateurs dans la décomposition des éléments du groupe. Dans le cas des groupes multiplicatifs d'un corps fini, la complexité des calculs dépendent de la taille - dite de petite, moyenne ou grande caractéristique- de la caractéristique du corps dans lesquels on effectue les calculs.Nous présentons différents algorithmes dans chacune des caractéristiques (petite, moyenne ou grande) en précisant quel est l'algorithme le plus performant dans chacun des cas.La seconde partie s'inscrit dans le contexte du programme de Langlands p-adique. Nous présentons une généralisation de l'un des outils centraux de la théorie, les modules de Breuil-Kisin, en plusieurs variables La troisième partie est un travail effectué en collaboration avec Victor Vilaça Da Rocha, Roberta Tittarelli, Richard Sambilason Rafefimanana, Victor Michel-Dansac et Benjamin Couéraud. Il a été initié lors de la treizième SEME, Semaine d'Etudes Maths Entreprises organisée par l'Agence pour les Mathématiques en Interaction avec l'Entreprise et la Société (AMIES).L'Institut Français du Pétrole et des Energies Nouvelles nous a soumis un problème de résolution numérique d'un système d'équations modélisant la désorption d'un gaz de schiste en une dimension.Nous proposons plusieurs schémas du premier ordre recourant à un traitement implicite de l'équation de relaxation. Enfin nous présentons un schéma numérique d'ordre deux en temps. / In this thesis, we present three independent works in cryptography, p-adic Hodge theory and Numerical analysis.First we present several algorithms to solve the discrete logarithm in several characteristic finite fields. We are particularly interested with the determination of classes of polynomial functions with small coefficients.The second part of the thesis deals with one of the major object of p-adic Hodge theory. We present a multi-variable version of Breuil-Kisin modules where the Lubin-Tate tower replaces the classical cyclotomic tower. He third proposes two numerical schemes for the modelisation of desorption of shale gaz.

Le problème du logarithme discret est une brique fondamentale de nombreux protocoles de communication sécurisée. Son instantiation sur les courbes elliptiques a permis, grâce à la petite taille des opérandes considérées, le déploiement de primitives asymétriques efficaces sur des systèmes embarqués. De nos jours, les cryptosystèmes utilisant des courbes elliptiques, aussi appelées courbes de genre 1, sont déjà intensément utilisés: il est donc impératif de savoir estimer précisément la robustesse de ces systèmes. L'existence d'attaques mathématiques permettant de transférer un problème de logarithme discret elliptique dans un autre type de courbe algébrique, et la nouvelle compétitivité des courbes de genre 2 imposent de ne pas se restreindre à la seule compréhension du problème sur les courbes elliptiques.Dans cette optique, le sujet de cette thèse se concentre sur les attaques algébriques sur les courbes de genre supérieur à 1. Les algorithmes de type calcul d'indice sont en général préférés pour ce genre d'attaque. Ces algorithmes se déroulent en deux phases: la première, appelée phase de récolte, dispose de nombreuses modélisations algébriques dépendant de la courbe ciblée. Le problème sous-jacent revient à savoir décomposer efficacement des points dans la variété Jacobienne de la courbe en somme d'autres points.On propose dans un premier temps une approche par crible pour la phase de récolte, s'adaptant à tous les types de courbes de genre plus grand que 1, et qui est expérimentalement plus efficaces que les méthodes de l'état de l'art. Cette méthode a l'avantage de proposer une implémentation immédiate, et évite les problèmes usuels de gestion des relations obtenues.Ensuite, on se concentre les variantes de calcul d'indice appelées attaques par décomposition, et ciblant les courbes définies sur des extensions de corps. Dans cette situation, la phase de récolte est effectuée par résolution de nombreux systèmes polynomiaux multivariés. On propose une nouvelle approche de modélisation de ces systèmes, en généralisant la notion de polynômes de sommation elliptique à tout les types de courbes algébriques. Pour cela on fait appel à la théorie de l'élimination, tandis que l'aspect pratique est gérée par des méthodes de bases de Gröbner.Enfin, on fournit des algorithmes d'amélioration du processus de résolution des systèmes lorsque la caractéristique du corps de base est paire. Par le biais d'une présentation théorique générale et en utilisant des méthodes de bases de Gröbner, on propose une analyse fine de l'impact de ces améliorations sur la complexité de la résolution. Cette analyse fine, ainsi qu'une implémentation dédiée, nous permettent d'attaquer une courbe de genre 2 satisfaisant des bornes de sécurité réaliste en pratique. / The discrete logarithm problem is a fundamental brick for several protocols for secured communications. Its instantiation over elliptic curves allows the deployment of efficient asymmetric primitives in embedded systems, because of the small size of the parameters considered. Nowadays, elliptic curves cryptosystems are already widely used: it is therefore crucial to precisely understand the hardness of such systems. Because of the existence of mathematical attacks enabling the transfer from an elliptic curve discrete logarithm problem to another algebraic curve, and the upcoming competitivity of genus 2 curves, it is mandatory to study the problem not only for elliptic curves, but for the other curves as well.In this way, this thesis focuses on the algebraic attacks over curves with genus greater than 1. The index calculus family of algorithms is in general preferred for this kind of attacks. Those algorithms run in two phases: the first, called harvesting phase, can be modelled by different algebraic approaches, depending in the targetted curve. The underlying problem amounts to knowing how to decompose efficiently points in the Jacobian variety of the curve into sums of other points.First, we propose a sieving approach to the harvesting, that can be adated to any type of curves with genus greater than 1, and which turns to be experimentally more efficient than state-of-the-art's methods. Moreover, our method allows a close-to-immediate implementation, and avoid complications coming from relations management.Our second focus is on a variant of index calculus called decomposition attack, targetting curves defined over field extensions. In this situation, harvesting is done by solving numerous multivariate polynomial systems. We propose a new approach to this modelling by generalizing the notion of elliptic summation polynomias to any type of algebraic curves. This uses elimination theory, and the computational aspect is handled by Gröbner bases methods.Third, we give algorithms to improve the solving process of the systems arising from a decomposition attacks when the characteristic of the base field is even. By mean of a general theoretical presentation, and using Gröbner bases methods, we give a sharp analysis of the impact of such improvement on the complexity of the resolution process. This sharp analysis together with a dedicated implementation allows us to attack a genus 2 curve satisfying realistic security parameters.

La sécurité des systèmes cryptographiques à clef publique repose sur la difficulté de résoudre certains problèmes mathématiques, parmi lesquels se trouve le problème du logarithme discret sur les corps finis GF(p^n). Dans cette thèse, nous étudions les variantes de l’algorithme de crible algébrique, number field sieve (NFS) en anglais, qui résolvent le plus rapidement ce problème, dans le cas où la caractéristique du corps est dite moyenne. NFS peut être divisé en quatre étapes principales : la sélection polynomiale, la recherche de relations, l’algèbre linéaire et le calcul d’un logarithme individuel. Nous décrivons ces étapes, en insistant sur la recherche de relations, une des étapes les plus coûteuses. Une des manières efficaces de réaliser cette étape est d’utiliser des algorithmes de crible. Contrairement au cas classique où la recherche de relations est réalisée dans un espace à deux dimensions, les corps finis que nous ciblons requièrent une énumération d’éléments dans un espace de plus grande dimension pour atteindre la meilleure complexité théorique. Il existe des algorithmes de crible efficaces en deux dimensions, mais peu pour de plus grandes dimensions. Nous proposons et analysons deux nouveaux algorithmes de crible permettant de traiter n’importe quelle dimension, en insistant particulièrement sur la dimension trois. Nous avons réalisé une implémentation complète de la recherche de relations pour plusieurs variantes de NFS en dimensions trois. Cette implémentation, qui s'appuie sur nos nouveaux algorithmes de crible, est diffusée au sein du logiciel CADO-NFS. Nous avons pu valider ses performances en nous comparant à des exemples de la littérature. Nous avons également été en mesure d’établir deux nouveaux records de calcul de logarithmes discrets, l'un dans un corps GF(p^5) de taille 324 bits et l'autre dans un corps GF(p^6) de taille 422 bits / The security of public-key cryptography relies mainly on the difficulty to solve some mathematical problems, among which the discrete logarithm problem on finite fields GF(p^n). In this thesis, we study the variants of the number field sieve (NFS) algorithm, which solve the most efficiently this problem, in the case where the characteristic of the field is medium. The NFS algorithm can be divided into four main steps: the polynomial selection, the relation collection, the linear algebra and the computation of an individual logarithm. We describe these steps and focus on the relation collection, one of the most costly steps. A way to perform it efficiently is to make use of sieve algorithms. Contrary to the classical case for which the relation collection takes place in a two-dimensional space, the finite fields we target require the enumeration of elements in a higher-dimensional space to reach the best theoretical complexity. There exist efficient sieve algorithms in two dimensions, but only a few in higher dimensions. We propose and study two new sieve algorithms allowing us to treat any dimensions, with an emphasis on the three-dimensional case. We have provided a complete implementation of the relation collection for some variants of the NFS in three dimensions. This implementation relies on our new sieve algorithms and is distributed in the CADO-NFS software. We validated its performances by comparing with examples from the literature. We also establish two new discrete logarithm record computations, one in a 324-bit GF(p^5) and one in a 422-bit GF(p^6)

Dans cette thèse on discute l'influence des plasmons de surfaces sur l'effet Casimir entre deux miroirs métalliques plans et parallèles placés à une distance arbitraire. En utilisant le model plasma pour décrire la réponse optique du métal, on exprime l'énergie de Casimir comme une somme des contributions associées aux modes évanescents relatifs aux plasmons de surface et aux modes propagatifs de la cavité. Contrairement à une ce qu'on pouvait attendre, la contribution des modes plasmoniques est essentielle à toute distance afin d'assurer le correct résultat pour l'énergie de Casimir. Un des deux modes plasmoniques génère une contribution répulsive qui compense la contribution attractive provenant des modes propagatifs de la cavité, alors que les deux contributions, prises séparément, sont beaucoup plus importantes que la valeur réelle pour l'énergie de Casimir. Cela suggère qu'il est possible d'ajuster le signe de la force de Casimir en manipulant les plasmons de surface.

Le problème du logarithme discret sur courbes elliptiques est à la base de nombreux protocoles cryptographiques, dans la mesure où on ne connaît jusqu'à présent aucun algorithme permettant de l'attaquer efficacement. Du point de vue de la cryptanalyse, certaines approches basées sur des méthodes de calcul d'indices, et s'appuyant sur la résolution de systèmes pour la recherche de relations, sont toutefois prometteuses. La première partie de cette thèse est consacrée aux techniques de calcul de bases de Gröbner appliquées à la résolution de systèmes polynomiaux. Après une description détaillée des algorithmes F4 et F5 de Faugère considérés comme les plus performants actuellement, on présente et analyse une variante de l'algorithme F4, particulièrement utile pour la résolution de nombreux systèmes "similaires". Plusieurs exemples d'applications de ce nouvel algorithme sont donnés à la fois au domaine du calcul formel et de la cryptographie, montrant que pour certaines attaques algébriques, cette variante est plus efficace que F4 et F5. Etant munis de ces nouveaux outils, on étudie dans la seconde partie le problème du logarithme discret sur courbes algébriques. Après une présentation rapide des attaques existantes sur ce type de courbes dans un contexte général, on s'intéresse plus particulièrement aux courbes elliptiques définies sur des extensions de corps finis. On donne ainsi une description complète des techniques GHS, puis des méthodes d'attaques par décomposition introduites par Gaudry et Diem. On présente notamment des variantes de ces méthodes de décompositions permettant, grâce aux outils introduits en première partie de cette thèse, de fragiliser le DLP (et des problèmes reliés) sur courbes elliptiques sur une gamme plus large d'extensions de corps finis. Enfin, une nouvelle approche combinant les attaques par recouvrement ainsi que les méthodes de décompositions est proposée : cette attaque permet entre autres de calculer complètement le logarithme discret sur des courbes elliptiques définies sur des extensions sextiques de taille jamais atteinte auparavant.

Cette thèse est consacrée aux résultats asymptotiques pour les modèles ARX en poursuite adaptative. Elle est constituée de quatre parties. La première partie est une brève introduction sur les modèles ARMAX et un état de l’art des principaux résultats de la littérature en poursuite adaptative. La seconde partie porte sur l’introduction d’un nouveau concept de contrôlabilité forte pour les modèles ARX en poursuite adaptative. Il permet de généraliser les résultats antérieurs. On montre la convergence presque sûre des algorithmes des moindres carrés ordinaires et pondérés. On établit également le théorème de la limite centrale ainsi que la loi du logarithme itéré pour ces deux algorithmes. La troisième partie est dédiée aux modèles ARX qui ne sont pas fortement contrôlables. On montre que, via un contrôle de poursuite excité, il est possible de s’affranchir de l’hypothèse de forte contrôlabilité. La quatrième partie est consacrée au comportement asymptotique de la statistique de Durbin-Watson pour les modèles ARX en poursuite adaptative via des arguments martingales. / This thesis is devoted to asymptotical results for ARX models in adaptive tracking. It is divided into four parts. The first part is a short introduction on ARMAX models together with a state of the art on the main results in the literature on adaptive tracking. The second part deals with a new concept of strong controllability for ARX models in adaptive tracking. This new notion allows us to extend the previous convergence results. We prove the almost sure convergence for both least squares and weighted least squares algorithms. We also establish a central limit theorem and a law of iterated logarithm for these two algorithms. The third part is dedicated to ARX models that are not strongly controllable. Thanks to a persistently excited adaptive tracking control, we show that it is possible to get rid of the strong controllability assumption. The fourth part deals with the asymptotic behaviour of the Durbin-Watson statistic for ARX models in adaptive tracking via a martingale approach.

La cryptologie consiste en l’étude des techniques utilisées par deux entités pour communiquer en secret en présence d’une troisième. Les propriétés mathématiques qui sous-tendent ces techniques garantissent que leur attaque reste infaisable en pratique par un adversaire malveillant. Ainsi, les protocoles s’appuient sur diverses hypothèses, comme la di fficulté présumée de factoriser des entiers ou de calculer le logarithme discret d’un élément arbitraire dans certains groupes. Cette thèse qui porte sur le problème du logarithme discret dans les corps finis s’articule autour de trois volets.Nous exposons les résultats théoriques associés au problème sans considération du groupe cible, détaillant ainsi les classes de complexité auxquelles il appartient ainsi que di fférentes approches pour tenter de le résoudre.L’étude du problème dans les corps finis commence en tant que telle par les corps présentant une caractéristique de petite taille relativement à l’ordre total du corps en question. Cette seconde partie résulte sur l’exposition d’un algorithme par représentation de Frobenius dont une application a aboutit au record actuel de calcul de logarithme discret en caractéristique 3.Pour les corps de moyenne ou grande caractéristiques, une autre méthode est requise. Le crible par corps de nombres (NFS) multiples obtient les complexités asymptotiques les plus basses pour un corps arbitraire. Un dernier chapitre introduit la notion de matrice presque creuse. L’élaboration d’un nouvel algorithme spécifique qui explicite le noyau d’une telle matrice facilite en pratique l’étape d’algèbre sous-jacente à toute variante de NFS. / Cryptography is the study of techniques for secure communication in the presence of third parties, also called adversaries. Such techniques are detailed in cryptosystems, explaining how to securely encode and decode messages. They are designed around computational hardness assumptions related to mathematical properties, making such algorithms hard to break in practice by any adversary. These protocols are based on the computational difficulty of various problems which often come from number theory, such as integer factorization or discrete logarithms computations. This manuscript focuses on the discrete logarithm problem in finite fields and revolves around three axes.First we detail classical results about the problem without any consideration to the target group. We deal with complexity classes and some general methods that do not need any information on the group.The study of the discrete logarithm problem in finite fields starts with small characteristic ones. The aim is to present a Frobenius representation algorithm that leads to the current discrete logarithm record in characteristic 3.For medium or large characteristics finite fields, another approach is required. The multiple number field sieve reaches the best asymptotic heuristic complexities for this double range of characteristics. We also introduce the notion of nearly sparse matrices. Designing a new algorithm dedicated to explicitly give the kernel of such a matrix eases in practice the linear algebra step of any variant of the number field sieve.

Depuis ces dix dernières années, les attaques sur le logarithme discret sur les courbes elliptiques (ECDLP) mettant en jeu la résolution de systèmes polynomiaux connaissent un large succès. C'est dans ce contexte que s'inscrit cette thèse dont les contributions sont doubles. D'une part, nous présentons de nouveaux outils de résolution de systèmes polynomiaux par bases de Gröbner. Nous montrons que la résolution de systèmes avec symétries est étroitement liée à la résolution de systèmes quasi-homogènes. Nous proposons ainsi de nouveaux résultats de complexité pour la résolution de tels systèmes. Nous nous intéressons également à l'étape bloquante de la résolution de systèmes : le changement d'ordre pour bases de Gröbner. La complexité classique de cette étape est cubique en le nombre de solutions et domine la complexité totale de la résolution. Nous proposons pour la première fois des algorithmes de changement d'ordre de complexité sous-cubique en le nombre de solutions. D'autre part, nous nous intéressons à l'attaque du logarithme discret sur les courbes elliptiques par calcul d'indice proposée par Gaudry. Nous mettons en évidence des familles de courbes elliptiques possédant des symétries particulières. Ces symétries impliquent un gain exponentiel sur la complexité de la résolution du ECDLP. Nous obtenons ainsi de nouveaux paramètres de sécurité pour certaines instances du ECDLP. Une des étapes principales de cette attaque nécessite le calcul de polynômes de sommation introduits par Semaev. Les symétries des courbes elliptiques binaires nous permettent d'élaborer un nouvel algorithme par évaluation-interpolation pour le calcul des polynômes de sommation. Munis de cet algorithme nous établissons un nouveau record pour le calcul de ces polynômes.

L'analyse dynamique intègre des outils propres aux systèmes dynamiques (comme l'opérateur de transfert) au cadre de la combinatoire analytique, et permet ainsi l'analyse d'un grand nombre d'algorithmes et objets qu'on peut associer naturellement à un système dynamique. Dans ce manuscrit de thèse, nous présentons, dans la perspective de l'analyse dynamique, l'étude probabiliste de plusieurs problèmes qui semblent à priori bien différents : l'analyse probabiliste de la fonction de récurrence des mots de Sturm, et l'étude probabiliste de l'algorithme du “logarithme continu”. Les mots de Sturm constituent une famille omniprésente en combinatoire des mots. Ce sont, dans un sens précis, les mots les plus simples qui ne sont pas ultimement périodiques. Les mots de Sturm ont déjà été beaucoup étudiés, notamment par Morse et Hedlund (1940) qui en ont exhibé une caractérisation fondamentale comme des codages discrets de droites à pente irrationnelle. Ce résultat relie ainsi les mots de Sturm au système dynamique d'Euclide. Les mots de Sturm n'avaient jamais été étudiés d'un point de vue probabiliste. Ici nous introduisons deux modèles probabilistes naturels (et bien complémentaires) et y analysons le comportement probabiliste (et asymptotique) de la “fonction de récurrence” ; nous quantifions sa valeur moyenne et décrivons sa distribution sous chacun de ces deux modèles : l'un est naturel du point de vue algorithmique (mais original du point de vue de l'analyse dynamique), et l'autre permet naturellement de quantifier des classes de plus mauvais cas. Nous discutons la relation entre ces deux modèles et leurs méthodes respectives, en exhibant un lien potentiel qui utilise la transformée de Mellin. Nous avons aussi considéré (et c'est un travail en cours qui vise à unifier les approches) les mots associés à deux familles particulières de pentes : les pentes irrationnelles quadratiques, et les pentes rationnelles (qui donnent lieu aux mots de Christoffel). L'algorithme du logarithme continu est introduit par Gosper dans Hakmem (1978) comme une mutation de l'algorithme classique des fractions continues. Il calcule le plus grand commun diviseur de deux nombres naturels en utilisant uniquement des shifts binaires et des soustractions. Le pire des cas a été étudié récemment par Shallit (2016), qui a donné des bornes précises pour le nombre d'étapes et a exhibé une famille d'entrées sur laquelle l'algorithme atteint cette borne. Dans cette thèse, nous étudions le nombre moyen d'étapes, tout comme d'autres paramètres importants de l'algorithme. Grâce à des méthodes d'analyse dynamique, nous exhibons des constantes mathématiques précises. Le système dynamique ressemble à première vue à celui d'Euclide, et a été étudié d'abord par Chan (2005) avec des méthodes ergodiques. Cependant, la présence des puissances de 2 dans les quotients change la nature de l'algorithme et donne une nature dyadique aux principaux paramètres de l'algorithme, qui ne peuvent donc pas être simplement caractérisés dans le monde réel.C'est pourquoi nous introduisons un nouveau système dynamique, avec une nouvelle composante dyadique, et travaillons dans ce système à deux composantes, l'une réelle, et l'autre dyadique. Grâce à ce nouveau système mixte, nous obtenons l'analyse en moyenne de l'algorithme. / Dynamical Analysis incorporates tools from dynamical systems, namely theTransfer Operator, into the framework of Analytic Combinatorics, permitting the analysis of numerous algorithms and objects naturally associated with an underlying dynamical system.This dissertation presents, in the integrated framework of Dynamical Analysis, the probabilistic analysis of seemingly distinct problems in a unified way: the probabilistic study of the recurrence function of Sturmian words, and the probabilistic study of the Continued Logarithm algorithm.Sturmian words are a fundamental family of words in Word Combinatorics. They are in a precise sense the simplest infinite words that are not eventually periodic. Sturmian words have been well studied over the years, notably by Morse and Hedlund (1940) who demonstrated that they present a notable number theoretical characterization as discrete codings of lines with irrationalslope, relating them naturally to dynamical systems, in particular the Euclidean dynamical system. These words have never been studied from a probabilistic perspective. Here, we quantify the recurrence properties of a ``random'' Sturmian word, which are dictated by the so-called ``recurrence function''; we perform a complete asymptotic probabilistic study of this function, quantifying its mean and describing its distribution under two different probabilistic models, which present different virtues: one is a naturaly choice from an algorithmic point of view (but is innovative from the point of view of dynamical analysis), while the other allows a natural quantification of the worst-case growth of the recurrence function. We discuss the relation between these two distinct models and their respective techniques, explaining also how the two seemingly different techniques employed could be linked through the use of the Mellin transform. In this dissertation we also discuss our ongoing work regarding two special families of Sturmian words: those associated with a quadratic irrational slope, and those with a rational slope (not properly Sturmian). Our work seems to show the possibility of a unified study.The Continued Logarithm Algorithm, introduced by Gosper in Hakmem (1978) as a mutation of classical continued fractions, computes the greatest common divisor of two natural numbers by performing division-like steps involving only binary shifts and substractions. Its worst-case performance was studied recently by Shallit (2016), who showed a precise upper-bound for the number of steps and gave a family of inputs attaining this bound. In this dissertation we employ dynamical analysis to study the average running time of the algorithm, giving precise mathematical constants for the asymptotics, as well as other parameters of interest. The underlying dynamical system is akin to the Euclidean one, and was first studied by Chan (around 2005) from an ergodic, but the presence of powers of 2 in the quotients ingrains into the central parameters a dyadic flavour that cannot be grasped solely by studying this system. We thus introduce a dyadic component and deal with a two-component system. With this new mixed system at hand, we then provide a complete average-case analysis of the algorithm by Dynamical Analysis.

Dans cette thèse, nous étudions les problèmes de la factorisation d'entier et de calcul de logarithme discret dans les corps finis. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l'algorithme de factorisation d'entier ECM et présentons une méthode pour analyser les courbes elliptiques utilisées dans cet algorithme en étudiant les propriétés galoisiennes des polynômes de division. Ensuite, nous présentons en détail l'algorithme de factorisation d'entier NFS, et nous nous intéressons en particulier à l'étape de sélection polynomiale pour laquelle des améliorations d'algorithmes existants sont proposées. Puis, nous présentons les algorithmes NFS-DL et FFS pour le calcul de logarithme discret dans les corps finis. Nous donnons aussi des détails sur deux calculs de logarithme discret effectués durant cette thèse, l'un avec NFS-DL et l'autre avec FFS. Enfin, nous étudions une étape commune à l'algorithme NFS pour la factorisation et aux algorithmes NFS-DL et FFS pour le calcul de logarithme discret: l'étape de filtrage. Nous l'étudions en détail et nous présentons une amélioration dont nous validons l'impact en utilisant des données provenant de plusieurs calculs de factorisation et de logarithme discret / In this thesis, we study the problems of integer factorization and discrete logarithm computation in finite fields. First, we study the ECM algorithm for integer factorization and present a method to analyze the elliptic curves used in this algorithm by studying the Galois properties of division polynomials. Then, we present in detail the NFS algorithm for integer factorization and we study in particular the polynomial selection step for which we propose improvements of existing algorithms. Next, we present two algorithms for computing discrete logarithms in finite fields: NFS-DL and FFS. We also give some details of two computations of discrete logarithms carried out during this thesis, one with NFS-DL and the other with FFS. Finally, we study a common step of the NFS algorithm for integer factorization and the NFS-DL and FFS algorithms for discrete logarithm computations: the filtering step. We study this step thoroughly and present an improvement for which we study the impact using data from several computations of discrete logarithms and factorizations