Cette thèse concerne l’existence et la régularité de solutions d’équations non-linéaires elliptiques, d’équations paraboliques et d’équations de Hesse avec mesures, et les critères de l’existence de solutions grandes d’équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. / This thesis is concerned to the existence and regularity of solutions to nonlinear elliptic, parabolic and Hessian equations with measure, and criteria for the existence of large solutions to some nonlinear elliptic and parabolic equations.

Cette thése concerne l'existence et la régularité de solutions d'équations non-linéaires elliptiques, d'équations paraboliques et d'équations de Hesse avec mesures, et les critéres de l'existence de solutions grandes d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. \textbf{Liste de publications} \begin{description} \item[1.] Avec M. F. Bidaut-Véron, L. Véron; {\em Quasilinear Lane-Emden equations with absorption and measure data,} Journal des Mathématiques Pures et Appliquées,~{\bf 102}, 315-337 (2014). \item[2] Avec L. Véron; {\em Quasilinear and Hessian type equations with exponential reaction and measure data,} Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bf 214}, 235-267 (2014). \item[3] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of quasilinear elliptic equations with absorption,} 17 pages, soumis, arXiv:1308.2956. \item[4] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Stability properties for quasilinear parabolic equations with measure data,} 29 pages, á apparaître dans Journal of European Mathematical Society, arXiv:1409.1518. \item[5] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Evolution equations of $p$-Laplace type with absorption or source terms and measure data}, 21 pages, á apparaître dans Communications in Contemporary Mathematics, arXiv:1409.1520. \item[6] {\em Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data,} 118 pages, arXiv:1405.2587v1. \item[7] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of nonlinear parabolic equations with absorption in a non-cylindrical domain,} 29 pages, soumis,\\ arXiv:1406.3850. \item[8] Avec M. F. Bidaut-Véron; {Pointwise estimates and existence of solutions of porous medium and $p$-Laplace evolution equations with absorption and measure data,\em } 27 pages, soumis, arXiv:1407.2218. \end{description}\begin{description} \item[1.] Avec M. F. Bidaut-Véron, L. Véron; {\em Quasilinear Lane-Emden equations with absorption and measure data,} Journal des Mathématiques Pures et Appliquées,~{\bf 102}, 315-337 (2014). \item[2] Avec L. Véron; {\em Quasilinear and Hessian type equations with exponential reaction and measure data,} Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bf 214}, 235-267 (2014). \item[3] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of quasilinear elliptic equations with absorption,} 17 pages, soumis, arXiv:1308.2956. \item[4] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Stability properties for quasilinear parabolic equations with measure data,} 29 pages, á apparaître dans Journal of European Mathematical Society, arXiv:1409.1518. \item[5] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Evolution equations of $p$-Laplace type with absorption or source terms and measure data}, 21 pages, á apparaître dans Communications in Contemporary Mathematics, arXiv:1409.1520. \item[6] {\em Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data,} 118 pages, arXiv:1405.2587v1. \item[7] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of nonlinear parabolic equations with absorption in a non-cylindrical domain,} 29 pages, soumis,\\ arXiv:1406.3850. \item[8] Avec M. F. Bidaut-Véron; {Pointwise estimates and existence of solutions of porous medium and $p$-Laplace evolution equations with absorption and measure data,\em } 27 pages, soumis, arXiv:1407.2218. \end{description}

The master's thesis is dedicated to studying the propagation of ultra-high energy proton cosmic rays under a hypothesis of Lorentz invariance violation. For this purpose, numerical methods were used. Our calculations indicated that the ef- fective horizon of ultra-high energy cosmic protons is significantly extended when Lorentz invariance violation is assumed. Further, we investigated the effects of Lo- rentz invariance violation on the Cosmic ray spectrum. We learned that measured cosmic ray spectra are a suitable tool for constraining the coefficients describing Lorentz invariance violation and we estimated an interval where the upper bound on the pion Lorentz invariance violating coefficient lies. Moreover, a correlation between free parameters of the analytical model of cosmic ray spectrum and coefficients, that describes Lorentz invariance violation, was found.

Relação de dispersão é outro nome para a função Hamiltoniana, cujo conhecimento especica completamente a dinâmica de um sistema no formalismo da mecânica classica. Sua escolha está intimamente vinculada às simetrias do sistema e, no contexto cosmologico aqui apresentado, com as simetrias locais obedecidas pelas leis fsicas. Mais ainda, a contribuição da materia na dinâmica cosmologica reflete a escolha do grupo local de simetrias das leis fsicas. Por outro lado, o problema fundamental da cosmologia pode ser definido como a construção de um modelo de evolução temporal de estados que, sob as hipoteses mais simples sobre estados iniciais (digamos, que demande a menor quantidade de informação possível para serem enunciadas), prediga o estado atual observado. O paradigma inacionario é atualmente a ideia que melhor cumpre esta denição, uma vez que prediz que uma grande variedade de condições iniciais leva a aspectos fundamentais do universo observado. Contudo, os mecanismos usuais de realização da inflação sofrem de problemas conceituais. O ponto de vista deste trabalho e que a realização convencional da inflação, isto é, atraves dos campos escalares minimamente acoplados, é a formulação localmente relativisticamente invariante da inflação. A maneira de incluir quebras e deformações da estrutura de simetrias locais na cosmologia é não única e está associado ao chamado problema trans Planckiano da inflação. Analogamente, a motivação conceitual para incluir esse tipo de modicação tampouco é unica. Dependendo do esquema de realização, a versão localmente não relativstica da mesma pode apresentar graves diculdades de conciliação com observações atuais, ou apresentar vantagens conceituais em relacão ao modelo padrão de inflacão, enquanto em conformidade com observações cosmológicas. Da maneira como foi posto o problema fundamental da cosmologia, a escolha das simetrias locais influi na regra de evolução dos estados. O conceito de simetrias encontra sua formulação independente de teorias físicas no formalismo da teoria de grupos, mas consideraremos uma extensão da ideia, de aplicabilidade mais geral, a teoria das algebras de Hopf que, de certo modo, trata das simetrias de estruturas algebricas. Esta extensão é útil inclusive no trato de simetrias dos espacos não comutativos, uma das principais propostas fsicas que em última analise afeta a estrutura de simetrias locais do espaco-tempo. A expressão simetrias locais, por si só, não diz muito sem a consideração de regras de realização. Essas regras dependem da estrutura matematica das observaveis da teoria. Sob hipoteses muito gerais, que não especicam uma teoria em particular, é possível mostrar, não como um teorema matematico formal, mas como uma hipotese tecnicamente bem motivada, que existem apenas dois tipos de teorias fsicas: as classicas e as quânticas. Trabalharemos sob essas hipoteses, as quais se formulam algebricamente assumindo a estrutura de C*-álgebra para as observaveis físicas, outra motivação para o uso das álgebras de Hopf para descrição das simetrias da natureza. / Dispersion relation is another name for the Hamiltonian function whose knowledge completely specifies the dynamics in the formalism of classical mechanics. Its choice is intimately related to the symmetries of the system, and, in the cosmological context here exposed, with the local space-time symmetries obeyed by physical laws. For the other side, the fundamental problem of cosmology can be defined as a construction of a time evolution model of states which, under simplest possible hypothesis concerning initial conditions (say, which demands the minimal amount of information to be specified), predicts the present observed state. The inflationary paradigm is currently the idea which better accomplishes this definition, since it predicts that a great variety of initial conditions lead to essential aspects of observed universe. The usual mechanisms of inflation suffer, however, with conceptual problems. The point of view of this work is that the usual realization of inflation based on weakly coupled scalar fields is the local relativistic invariant realization. The way of including breaks and deformations of the local space-time symmetries is not unique and it is associated to the so called Trans-Planckian problem of inflation. Analogously, the motivation to include this kind of modification is neither unique. Depending of the scheme of realization, the locally non-relativistic version may lead to serious difficulties in conciliation with observations, or to conceptual advantages over standard formulations while in accordance with observational data. In the way that was proposed the fundamental problem of cosmology, the choice of local symmetries affects the rule of evolution of states. The concept of symmetry finds its formulation independently of physical theories in the group theory formalism, but we will consider an extension of the idea, with wider applicability, the theory of Hopf algebras, which is about symmetries of algebraic structures. That extension is also useful to deal with symmetries of non-commutative spaces, one of the main physical proposals that affects the structure of space-time symmetries. The expression, local symmetries, by itself, does not say too much without considering realization rules. Those rules depend on mathematical structure of observables in the theory. Under very general hypothesis that do not specify a particular theory, it is possible to show, not as a formal mathematical theorem, but as a technically well motivated hypothesis, that only two types of physical theories do exist: The classical ones and the quantum ones. We are going to work under those hypothesis, which can be algebraically formulated assuming a C*-algebra structure for physical observables, another motivation for the use of algebraic structures like Hopf algebras for the description of nature\'s symmetries

In this work we study the existence of nontrivial weak solutions for some Hamiltonian elliptic systems in dimension two, involving a potential function and nonlinearities which possess maximal growth with respect to a critical curve (hyperbola). We consider four different cases. First, we study Hamiltonian systems in bounded domains with potential function identically zero. The second case deals with systems of equations on the whole space, the potential function is bounded from below for some positive constant and satisfies some integrability conditions, while the nonlinearities involve weight functions containing a singulatity at the origin. In the third case, we consider systems with coercivity potential functions and nonlinearities with weight functions which may have singularity at the origin or decay at infinity. In the last case, we study Hamiltonian systems, where the potential can be unbounded or can vanish at infinity. To establish the existence of solutions, we use variational methods combined with Trudinger-Moser type inequalities for Lorentz-Sobolev spaces and a finite-dimensional approximation. / Neste trabalho estudamos a existência de soluções fracas não triviais para sistemas hamiltonianos do tipo elíptico, em dimensão dois, envolvendo uma função potencial e não linearidades tendo crescimento exponencial máximo com respeito a uma curva (hipérbole) crítica. Consideramos quatro casos diferentes. Primeiramente estudamos sistemas de equações em domínios limitados com potencial nulo. No segundo caso, consideramos sistemas de equações em domínio ilimitado, sendo a função potencial limitada inferiormente por alguma constante positiva e satisfazendo algumas de integrabilidade, enquanto as não linearidades contêm funções-peso tendo uma singularidade na origem. A classe seguinte envolve potenciais coercivos e não linearidades com funções peso que podem ter singularidade na origem ou decaimento no infinito. O quarto caso é dedicado ao estudo de sistemas em que o potencial pode ser ilimitado ou decair a zero no infinito. Para estabelecer a existência de soluções, utilizamos métodos variacionais combinados com desigualdades do tipo Trudinger-Moser em espaços de Lorentz-Sobolev e a técnica de aproximação em dimensão finita.

No description available.

Es wird die Twistorgleichung auf Lorentz-Spin-Mannigfaltigkeiten untersucht. Bekanntermaßen existieren Lösungen der Twistorgleichung auf den pp-Mannigfaltigkeiten, den Lorentz-Einstein-Sasaki Mannigfaltigkeiten und den Fefferman-Räumen. Es wird gezeigt, dass in den kleinen Dimensionen 3,4 und 5 Twistor-Spinoren ohne 'Singularitäten' nur für diese genannten Lorentz-Geometrien vorkommen. Von besonderem Interesse sind Lösungen der Twistorgleichung mit Nullstellen. Es wird die Gestalt der Nullstellenmenge von konformen Vektorfeldern und Twistor-Spinoren beschrieben. Weiterhin wird die Twistorgleichung im Kontext der konformen Cartan-Geometrie formuliert. Als Anwendung werden konform-flache semi-Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeiten mit Twistor-Spinoren unter Zuhilfenahme der Holonomiedarstellung der ersten Fundamentalgruppe charakterisiert. Abschließend wird eine Anwendung des Twistorraumes einer Lorentz-4-Mannigfaltigkeit in der Flächentheorie diskutiert. Dabei zeigen wir eine Korrespondenz zwischen holomorphen Kurven im Twistorraum und raumartig immergierten Flächen mit lichtartigem mittlerem Krümmungsvektor. Beispielhaft werden solche Flächen in den Lorentzschen Raumformen der Dimension 4 konstruiert. / The twistor equation on Lorentzian spin manifolds is investigated. Known solutions of the twistor equation exist on the pp-manifolds, the Lorentz-Einstein-Sasaki manifolds and the Fefferman spaces. It is shown that in the low dimensions 3,4 and 5 twistor spinors without 'singularities' appear only for these mentioned Lorentzian spin geometries. Solutions of the twistor equation with zeros are of particular interest. The shape of the zero set of conformal vector fields and twistor spinors is described. Moreover, the twistor equation is formulated in the context of conformal Cartan geometry. As an application the conformally flat semi-Riemannian spin spaces with twistor spinors are characterized by the holonomy representation of the first fundamental group. Finally, we discuss an application of the twistor space of a Lorentzian 4-manifold in surface theory. Thereby, we prove a correspondence between holomorphic curves in the twistor space and spacelike immersed surfaces with lightlike mean curvature vector. Exemplary, such surfaces are constructed in the Lorentzian space forms of dimension 4.

Ce travail porte sur l'étude, l'implémentation et le développement de la Microscopie de Lorentz, appliquée à l'observation de films minces magnétiques à anisotropie perpendiculaire (Fer-Palladium) et aux nanostructures auto-assemblées (Fer et Cobalt) à fermeture de flux. Une présentation exhaustive de tous les différents modes de l'imagerie magnétique dans un Microscope Electronique en Transmission (MET) est réalisée en comparaison avec d'autres techniques de caractérisation magnétique par l'image. Il est notamment présenté ici comment cette microscopie peut être implémentée sur un microscope conventionnel et les divers modes de celle-ci sont comparés par la simulation. La Microscopie de Lorentz permet une analyse à la fois locale et quantitative de la distribution de l'induction magnétique dans et autour des matériaux. Dans le même temps, il est possible d'effectuer des études sous l'application d'un champ magnétique pour déterminer l'évolution de la configuration micromagnétique de la matière. Les alliages Fer-Palladium sont ainsi entièrement caractérisés sous différentes géométries par les méthodes de Differential Phase Contrast, résolution de l'équation de Transport d'Intensité et Holographie électronique. L'étude in-situ permet notamment de caractériser et de suivre des défauts magnétiques : les lignes de Bloch verticales. L'étude de nanostructures (plots de Cobalt et plots de Fer) permet quant à elle de de manipuler les différents degrés de libertés magnétiques de systèmes 3D nanostructurés. Il est notamment proposé d'observer des phénomènes de transition entre divers objets du micromagnétisme (vortex, parois de domaines symétriques et asymétriques) ainsi qu'une sélection des degrés de liberté du système par l'application d'un champ.\\

Les fontaines atomiques constituent le développement le plus abouti des horloges atomiques fondées sur l'atome de césium, atome dont une résonance hyperfine est depuis 1967 à la base de la définition la seconde. Ces systèmes sont aujourd'hui parmi ceux qui réalisent la seconde avec la meilleure exactitude. Nous présentons les dernières avancées de la fontaine double à atomes froids de césium et de rubidium du LNE-SYRTE. Combinant deux types d'atomes, ce dispositif unique au monde permet d'envisager des tests de physique fondamentale reposant sur la comparaison de fréquences de transition atomique avec une résolution exceptionnelle. Afin d'autoriser le fonctionnement à deux atomes simultanément, nous avons conçu, testé et mis en place de nouveaux systèmes optiques, chargés de mettre en forme et combiner les lumières utiles à la manipulation des deux espèces atomiques. Sans attendre le fonctionnement double, par la comparaison de notre fontaine rubidium avec une autre fontaine césium, nous avons pu tester sur dix ans la stabilité de la constante de structure fine au niveau de 5x10^-16 par an. Nous avons poursuivi le travail d'amélioration de l'exactitude de l'horloge et focalisé nos efforts sur les effets liés aux gradients de phase dans la cavité d'interrogation et sur l'atténuation des fuites micro-ondes. L'exactitude de la fontaine a alors été évaluée à 4x10^-16 pour la partie césium et 5x10^-16 pour la partie rubidium complètement rénovée. Instrument de métrologie puissant, notre fontaine a été impliquée dans de nombreuses comparaisons d'horloges et a contribué à maintes reprises à l'étalonnage du Temps Atomique International. Nous avons également pu mener avec elle un test inédit de l'invariance de Lorentz.

La recherche en physique nécessite aujourd'hui des accélérateurs de haute énergie ou de forte intensité ; l'utilisation des cavités supraconductrices constitue un progrès technologique très important : elles permettent de fournir de hauts gradients accélérateurs avec une dissipation négligeable. Un des problèmes fondamentaux dans la conception de ces cavités est leur stabilité liée aux effets des forces de Lorentz : au fur et à mesure que la cavité se remplit d'énergie électromagnétique, les déformations de la cavité dues aux forces de Lorentz modifient sa fréquence de résonance, il faut un certain temps (constante mécanique) pour que les parois se déforment, l'amplitude RF s'écroule alors, puis la cavité tend à retrouver sa fréquence de résonance d'origine, le système peut devenir ainsi instable. La contribution de cette thèse consiste d'abord en une analyse numérique de ce problème, puis en une étude mécanique d'une nouvelle méthode de rigidification : un dépôt de cuivre réalisé sur les parois extérieures d'une cavité en niobium par projection thermique afin de réduire ses déformations dues aux forces de Lorentz. Comme il s'agit d'une expérience nouvelle, le choix du processus et une optimisation des paramètres de projection ont été réalisés. En particulier, un effort important a été consacrée aux caractérisations des matériaux et à l'analyse de leurs comportements, indispensables pour déterminer l'effet de rigidification grâce au dépôt. Certains liens entre les propriétés du dépôt et les paramètres de projection ont pu ainsi être établis. Les calculs ont permis ensuite de localiser les déformations maximales, puis de trouver l'emplacement idéal et la forme optimale du renfort. Plusieurs façons de réaliser le dépôt ont été étudiées afin de proposer une solution intéressante. Enfin, une approche originale des phénomènes de décalage en fréquence en mode pulsé a été développée, elle a permis d'interpréter certaines observations expérimentales.