L’objectif global de ce travail est d’étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d’érosion à l’échelle du bassin versant. Après avoir passé en revue les différents modèles existants, nous dérivons une solution analytique non triviale pour le système couplé modélisant le transport de sédiments par charriage. Ensuite, nous étudions l’hyperbolicité de ce système avec diverses lois de sédimentation proposées dans la littérature. Concernant le schéma numérique, nous présentons le domaine de validité de la méthode de splitting, pour les équations modélisant l’écoulement et celle décrivant l’évolution du fond. Pour la modélisation du transport en suspension à l’échelle de la parcelle, nous présentons un système d’équations couplant les mécanismes d’infiltration, de ruissellement et le transport de plusieurs classes de sédiments. L’implémentation et des tests de validation d’un schéma d’ordre élevé et de volumes finis bien équilibré sont également présentés. Ensuite, nous discutons sur l’application et la calibration du modèle avec des données expérimentales sur dix parcelles au Niger. Dans le but d’aboutir la simulation à l’échelle du bassin versant, nous développons une modélisation multi échelle dans laquelle nous intégrons le taux d’inondation dans les équations d’évolution afin de prendre en compte l’effet à petite échelle de la microtopographie. Au niveau numérique, nous étudions deux schémas bien équilibrés : le schéma de Roe basé sur un chemin conservatif, et le schéma avec reconstruction hydrostatique généralisée. Enfin, nous présentons une première application du modèle avec les données expérimentales du bassin versant de Ganspoel qui nécessite la parallélisation du code. / The overall objective of this thesis is to study a multiscale modelling and to develop a suitable method for the numerical simulation of soil erosion on catchment scale. After reviewing the various existing models, we derive an analytical solution for the non-trivial coupled system modelling the bedload transport. Next, we study the hyperbolicity of the system with different sedimentation laws found in the literature. Relating to the numerical method, we present the validity domain of the time splitting method, consisting in solving separately the Shallow-Water system (modelling the flow routing) during a first time step for a fixed bed and updating afterward the topography on a second step using the Exner equation. On the modelling of transport in suspension at the plot scale, we present a system coupling the mechanisms of infiltration, runoff and transport of several classes of sediment. Numerical implementation and validation tests of a high order wellbalanced finite volume scheme are also presented. Then, we discuss on the model application and calibration using experimental data on ten 1 m2 plots of crusted soil in Niger. In order to achieve the simulation at the catchment scale, we develop a multiscale modelling in which we integrate the inundation ratio in the evolution equations to take into account the small-scale effect of the microtopography. On the numerical method, we study two well-balanced schemes : the first one is the Roe scheme based on a path conservative, and the second one is the scheme using a generalized hydrostatic reconstruction. Finally, we present a first model application with experimental data of the Ganspoel catchment where the parallel computing is also motived.

Beaucoup de méthodes numériques ont été développées pour résoudre l'équation de Vlasov, car obtenir des simulations numériques précises en un temps raisonnable pour cette équation est un véritable défi. Cette équation décrit en effet l'évolution de la fonction de distribution de particules (électrons/ions) qui dépend de 3 variables d'espace, 3 variables de vitesse et du temps. L'idée principale de cette thèse est de réécrire l'équation de Vlasov sous forme d'un système hyperbolique par semi-discrétisation en vitesse. Cette semi-discrétisation est effectuée par méthode d'éléments finis. Le modèle ainsi obtenu est appelé équation de Vlasov réduite. Nous proposons différentes méthodes numériques pour résoudre efficacement ce modèle: méthodes des volumes finis, méthodes semi-Lagrangiennes et méthodes Galerkin discontinus. / Many numerical methods have been developed in order to selve the Vlasov equation, because computing precise simulations in a reasonable time is a real challenge. This equation describes the time evolution of the distribution function of charged particles (electrons/ions), which depends on 3 variables in space, 3 in velocity and time. The main idea of this thesis is to rewrite the Vlasov equation in the form of a hyperbolic system using a semi-discretization of the velocity. This semi-discretization is achieved using the finite element method. The resulting model is called the reduced Vlasov equation. We propose different numerical methods to salve this new model efficiently: finite volume methods, semi-Lagrangian methods and discontinuous Galerkin methods.

Les transferts de chaleur par convection forcée turbulente dans une conduite plane partiellement remplie par un milieu poreux sont étudiés numériquement. L’étude concerne l’analyse de l’encrassement dans un canal plan représentatif d’un échangeur de chaleur à plaques. Un fluide, ayant un fort pouvoir encrassant, est considéré en régime turbulent. L’objectif de cette étude est de proposer une technique qui repose sur l’utilisation de matériaux fibreux comme capteur de particules pouvant réduire les méfaits de l’encrassement. Cela consiste à essayer de réduire la résistance d’encrassement en agissant sur les propriétés thermiques du dépôt. L’étude de la cinétique de l’encrassement permet de déterminer la loi de variation de l’épaisseur du dépôt au cours du temps. Cette équation est couplée aux équations de conservation. Un modèle de conductivité thermique effective (fluide, dépôt, fibres poreuses) a été choisi et le phénomène de colmatage de la matrice poreuse est considéré. L’apport du milieu poreux sur les performances de l’échangeur est analysé / A numerical study is carried out to investigate the forced convection heat transfer induced by a turbulent flow in a parallel plate channel partly filled with a porous or fibrous material. The study involves the analysis of fouling in a plate heat exchanger, represented by a parallel plate channel with a high fouling potential liquid flow in turbulent regime. The objective is to come out with a technical solution that relies on the use of fibrous materials capability to capture deposited particles, and therefore to reduce the fouling impacts within heat exchangers. This solution focuses on reducing the fouling resistance on wall surfaces by modifying the thermal properties of the deposit. The deposit thickness evolution is obtained through a kinetics model of fouling, which is coupled to the conservation equations. An effective thermal conduction model (liquid, deposit, porous material) is selected in order to account for fouling within the porous matrix. The benefits of porous material on heat exchanger performance are analyzed

Dans cette thèse, on considère plusieurs problèmes issus de la modélisation macroscopique des mouvements de foule. Le premier modèle consiste en une loi de conservation avec un flux discontinu, le second est un système mixte hyperbolique-elliptique et le dernier est une équation non-locale. D'abord, on utilise le modèle de Hughes une dimension pour décrire l'évacuation d'un couloir avec deux sorties. Ce modèle couple une loi de conservation avec un flux discontinu à une équation eikonale. On implémente la méthode de suivi de fronts, qui traite explicitement le comportement de la solution non-classique au point de rebroussement, afin d'obtenir des solutions de référence. Elles serviront à tester numériquement la convergence de schémas aux volumes finis classiques. Ensuite, on modélise le croisement de deux groupes marchant dans des directions opposées avec un système de lois de conservation mixte hyperbolique-elliptique dont le flux dépend des deux densités. Le système perd son hyperbolicité pour certainement valeurs de densité. On assiste à l'apparition d'oscillations persistantes mais bornées, ce qui conduit à la reformulation du problème associé dans le cadre des mesures de probabilités. Finalement, on étudie un modèle non-local de trafic piétonnier en deux dimensions. Le modèle consiste en une loi de conservation dont le flux dépend d'une convolution de la densité. Avec ce modèle, on résout un problème d'optimisation pour une évacuation d'une salle avec une méthode de descente, évaluant l'impact du calcul explicite du gradient de la fonction coût avec la méthode de l'état adjoint plutôt que son approximation par différences finies. / In this thesis, we consider nonclassical problems brought out by the macroscopic modeling of pedestrian flow. The first model consists of a conservation law with a discontinuous flux, the second is a mixed hyperbolic-elliptic system of conservation laws and the last one is a nonlocal equation. In the first chapter, we use the Hughes model in one space-dimension to represent the evacuation of a corridor with two exits. The model couples a conservation law with discontinuous flux to an eikonal equation. We implement the wave front tracking scheme, treating explicitly the solution nonclassical behavior at the turning point, to provide a reference solution, which is used to numerically test the convergence of classical finite volume schemes. In the second chapter, we model the crossing of two groups of pedestrians walking in opposite directions with a system of conservation laws whose flux depends on the two densities. This system loses its hyperbolicity for certain density values. We assist to the rising of persistent but bounded oscillations, that lead us to the recast of the problem in the framework of measure-valued solutions. Finally we study a nonlocal model of pedestrian flow in two space-dimensions. The model consists of a conservation law whose flux depends on a convolution of the density. With this model, we solve an optimization problem for a room evacuation with a descent method, evaluating the impact of the explicit computation of the cost function gradient with the adjoint state method rather than approximating it with finite differences.

Cette thèse est centrée autour de l’étude théorique et de l’analyse numérique des équations paraboliques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non-linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l’étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d’unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en dimension un d’espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l’unicité avec le choix d’une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires.L’existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l’objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d’un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord.La deuxième partie de cette thèse traite d’un problème à frontière libre décrivant la propagation d’un front de combustion et l’évolution de la température dans un milieu hétérogène. Il s’agit d’un système d’équations couplées constitué de l’équation de la chaleur bidimensionnelle et d’une équation de type Hamilton-Jacobi. L’objectif de cette partie est de construire un schéma numérique pour ce problème en combinant des discrétisations du type éléments finis avec les différences finies. Ceci nous permet notamment de vérifier la convergence de la solution numérique vers une solution onde pour un temps long. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’étude d’un problème unidimensionnel. Très vite,nous nous heurtons à un problème de stabilité du schéma. Cela est dû au problème de prise en compte de la condition de Neumann au bord. Par une technique de changement d’inconnue et d’approximation nous remédions à ce problème. Ensuite, nous adaptons cette technique pour la résolution du problème bidimensionnel. A l’aide d’un changement de variables, nous obtenons un domaine fixe facile pour la discrétisation. La monotonie du schéma obtenu est prouvée sous une hypothèse supplémentaire de propagation monotone qui exige que la frontière libre se déplace dans les directions d’un cône prescrit à l’avance. / This thesis focuses on the theoretical study and numerical analysis of parabolic equations with boundary conditions.The first part is devoted to degenerate parabolic equation which combines features of a hyperbolic conser-vation law with those of a porous medium equation. We define suitable notions of entropy solutions foreach of the boundary conditions (zero-flux, Robin, Dirichlet). The main difficulty in these studies residesin the formulation of the adequate notion of entropy solution and in the proof of uniqueness. There isa technical difficulty due to the lack of regularity required to treat the boundaries terms. We take ad-vantage of the fact that boundary regularity results are easier to obtain for the stationary problem, inparticular in one space dimension. Thus, using strong-weak uniqueness approach we get the uniquenesswith the choice of a non-symmetric test function and using the nonlinear semigroup theory. The exis-tence of solution is proved in two steps, combining the method of parabolic regularization and Galerkinapproximations. Next, we develop a direct approach to construct approximate solutions by an implicitfinite volume scheme. In both cases, the estimates in the appropriately chosen functional spaces are com-bined with arguments of weak or strong compactness and various tricks to pass to the limit in nonlinearterms. In the appendix, we propose a result of existence of strong trace of a solution for the degenerateparabolic problem. In another appendix of independent interest, we introduce a new concept of solutioncalled integral process solution. We exploit it to overcome the difficulty of proving the convergence ofour finite volume scheme to an entropy solution for the zero-flux boundary problem.The second part of this thesis deals with a free boundary problem describing the propagation of a com-bustion front and the evolution of the temperature in a heterogeneous medium. So we have a coupledproblem consisting of the heat equation of bidimensional space and a Hamilton-Jacobi equation. The ob-jective is to construct a numerical scheme and to verify that the numerical solution converges to a wavesolution for a long time. Recall that an existence of wave solution for this problem was already proven inan analytical framework. At first, we focus on the study of a one-dimensional problem. Here, we face aproblem of stability of the scheme. This is due to a difficulty of taking into account the Neumann boun-dary condition. Through a technique of change of unknown, we can propose a monotone scheme. Wealso adapt this technique for solving two-dimensional problem. Using a change of variables, we obtaina fixed domain where the discretization becomes easy. The monotony of the scheme is proved under anadditional assumption of monotone propagation that requires the free boundary moves in the directionsof a cone given beforehand.

L'objet de la thèse est de contribuer à l'étude numérique des lois de conservation hyperboliques avec termes sources, ce qui est motivé par les applications aux équations de Saint-Venant pour les eaux peu profondes. La première partie traite des questions habituelles de l'analyse des approximations numériques des lois de conservation scalaires. On se concentre sur des schémas aux volumes finis semi-discrets, dans le cas général d'un maillage non-uniforme. Pour définir des discrétisations appropriées du terme source, on introduit le formalisme spécifique de la méthode "Upwind Interface Source" et on établit des conditions sur les fonctions numériques telles que le solveur discret préserve les solutions stationnaires. Une définition rigoureuse de consistance est ensuite formulée, adaptée aux "schémas équilibres", pour laquelle on est capable de prouver un théorème de convergence faible de type Lax-Wendroff. La méthode considérée dans un premier temps est essentiellement d'ordre un en espace. Pour améliorer la précision, on développe des approches à haute résolution pour la méthode "Upwind Interface Source" et on montre que celles-ci sont un moyen efficace de dériver des schémas d'ordre plus élevé avec des propriétés convenables. On prouve une estimation d'erreur dans $L^p$, $1\le p < +\infty$, qui est un résultat optimal dans le cas d'un maillage uniforme. On conclut alors que les mêmes taux de convergence $O(h)$ et $O(h^2)$ que pour les systèmes homogènes correspondants sont valables. La deuxième partie présente un schéma numérique pour approcher les équations de Saint-Venant, avec un terme source géométrique, qui vérifie les propriétés théoriques suivantes: il préserve les états stationnaires de l'eau au repos, vérifie une inégalité d'entropie discrète, préserve la positivité de la hauteur de l'eau et reste stable avec des profiles du fond discontinus. Cela est obtenu grâce à une approche cinétique au système; dans ce contexte, on utilise une description formelle du comportement microscopique du système pour définir les flux numériques aux interfaces d'un maillage non-structuré. On utilise aussi le concept de variables conservatives centrées (typique de la méthode des volumes finis) et des termes sources décentrés aux interfaces. Finalement, on présente des simulations numériques du système des équations de Saint-Venant modifiées pour prendre en compte le frottement et la viscosité, afin de retrouver les résultats de certaines études expérimentales. Une application à la modélisation des termes de frottement pour les avalanches de neige est discutée dans l'Appendice.