Le pseudo-groupe de Malgrange d'un champ de vecteurs défini sur une variété est la sous-pro-variété de l'espace des jets de biholomorphismes locaux de cette variété obtenue en prenant la clôture de Zariski des flots du champ de vecteurs. Une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 définit un champ de vecteurs sur une variété de dimension 3. Le pseudogroupe de Malgrange de ce dernier est de type différentiel d'ordre inférieur ou égal à 2. Une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 est dite irréductible si ses solutions générales ne peuvent pas être exprimées à l'aide de solutions d'équations algébriques, différentielles linéaires ou différentielles d'ordre 1. Si le type différentiel du pseudo-groupe de Malgrange d'une équation d'ordre 2 est exactement 2 alors cette dernière est irréductible. Nous donnons plusieurs définitions du pseudo-groupe de Malgrange d'un champ de vecteurs équivalentes à la définition originale donnée par Bernard Malgrange. La définition du premier paragraphe nous permet d'appliquer un théorème de semi-continuité de la dimension des clôtures de Zariski des feuilles d'un feuilletage holomorphe de Philippe Bonnet. Nous obtenons le résultat suivant concernant les équations différentielles ordinaires dépendant de paramètres. Si le type différentiel du pseudo-groupe de Malgrange de l'équation spécialisée en une valeur des paramètres est à exactement 2 alors il en sera de même pour les pseudo-groupes de Malgrange de l'équation spécialisée en des valeurs générales des paramètres. Une première application de ce résultat est de redémontrer l'irréductibilité des équations de Painlevé pour des valeurs générales des paramètres. Une seconde application est de déterminer complètement les pseudo-groupes de Malgrange de ces équations pour des valeurs générales des paramètres. Les définitions du pseudo-groupe de Malgrange et les résultats de spécialisations s'adaptent aux équations aux q-différences. En appliquant ces résultats aux équations de Painlevé discrètes, nous obtenons le pseudo-groupe de Malgrange de ces dernières pour des valeurs générales des paramètres. / The Malgrange pseudogroup of a vector field on a variety is the sub-pro-variety of the jet space of local biholomorphisms of this variety obtained by taking the Zariski closure of the flow of the vector field. A second-order ordinary differential equation defines a vector field on a variety of dimension 3. The differential type of the Malgrange pseudogroup of this one is at most 2. A second-order ordinary differential equation is said to be irreductible if its general solutions can not be expressed using solutions of algebraic equations, linear differential equations or differential equations of order 1. If the differential type of the Malgrange pseudogroup of a second-order differential equation is exactly 2 then the latter is irreductible. We give several definitions of the Malgrange pseudogroup of a vector field which are equivalent to the original definition given by Bernard Malgrange. The definition of the first paragraph leads us to apply a semi-continuity theorem of the dimension of the Zariski closure of the leaves of a holomorphic foliation given by Philippe Bonnet. We obtain the following result about the ordinary differential equations which depend on parameters. If the differential type of the Malgrange pseudogroup of the equation specialized in one value of parameters is exactly two then it will be the same for the Malgrange pseudogroup of the equation specialized in a general value of parameters. A first application of this result is an other proof of the irreductibility of the Painlevé equations for general value of parameters. A second application is to fully determined the Malgrange pseudogroups of this equations for general value of parameters. The definitions of the Malgrange pseudogroup of a vector field and the specialisation results can be adapted the q-difference equations. By applying this results to the discret Painlevé equations, we fully determined the Malgrange pseudogroup of the latters for general value of parameters.

This report presents and discusses proofs of the Malgrange-Ehrenpreis theorem, which states that every non-zero linear partial differential operator with constant coefficients has a fundamental solution. The main topic is explicit formulae, and more specifically, how they can be used to prove the theorem. Two different formulas will be considered in detail and the aim is to provide a fundamental and elementary description of how to prove the Malgrange-Ehrenpreis theorem using those formulas. In addition to the proofs, an example of how to use one of the formulas for the Cauchy-Riemann operator is shown. Finally, the report also contains a chapter discussing a few different notable methods of proof and their historical signifance.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux singularités d'espaces analytiques complexes définis comme le lieu des zéros d'un morphisme sans pente. Nous étudions dans un premier temps les cycles proches et les cycles évanescents associés à un tel morphisme. Dans un deuxième temps nous cherchons à comprendre la théorie de Hodge des morphismes sans pente.La première partie de cette thèse est consacrée à apporter des compléments au travail de P. Maisonobe sur les morphismes sans pente. Nous commençons par construire un morphisme de comparaison entre cycles proches algébriques (pour les $mathscr{D}$-modules) et cycles proches topologiques (pour les faisceaux pervers). Nous montrons ensuite que ce morphisme est un isomorphisme dans le cas d'un morphisme sans pente. Enfin nous construisons un foncteur cycles évanescents topologiques pour un morphisme sans pente et nous démontrons que ce foncteur et le foncteur cycles proches topologiques de P. Maisonobe se placent dans le diagramme de triangles exacts attendu.Dans la seconde partie de cette thèse nous étudions les morphismes sans pente pour les modules de Hodge mixtes. Nous démontrons dans un premier temps la commutativité des cycles proches et des cycles évanescents itérés appliqués à un module de Hodge mixte dans le cas d'un morphisme sans pente. Dans un deuxième temps nous définissons la notion << strictement sans pente >> pour un module de Hodge mixte et nous démontrons sa stabilité par image directe propre. Nous démontrons comme application la compatibilité de la filtration de Hodge et des filtrations de Kashiwara-Malgrange pour certains modules de Hodge purs supportés sur une hypersurface à singularités quasi-ordinaires. / In this thesis we are interested in singularities of complex varieties defined as the zero locus of a morphism without slope. In a first time we study nearby cycles and vanishing cycles associated to such morphisms. In a second time we want to understand Hodge theory of morphisms without slope.The first part of this thesis is devoted to add some complements to the work of P. Maisonobe on morphisms without slope. We start with the construction of a comparison morphism between algebraic nearby cycles (for $mathscr{D}$-modules) and topological nearby cycles (for perverse sheaves). Then we show that this morphism is an isomorphism in the case of a morphism without slope. Finally we construct a topological vanishing cycles functor for a morphism without slope et we prove that this functor and the topological nearby cycles functor of P. Maisonobe fit into the expected diagram of exact triangles.In the second part of the thesis we study morphisms without slope for mixed Hodge modules. We first show the commutativity of iterated nearby cycles and vanishing cycles applied to a mixed Hodge module in the case of a morphism without slope. Second we define the notion "strictly without slope" for a mixed Hodge module and we show that it is preserved by proper direct image. As an application we prove the compatibility of the Hodge filtration and Kashiwara-Malgrange filtrations for some pure Hodge modules with support an hypersurface with quasi-ordinary singularities.

L'objet de ce travail est l'étude des courbes intégrales du champ de gradient de fonctions définissables dans une structure o-minimale. On s'intéresse au comportement des courbes intégrales au voisinage d'une fibre atypique. <br /><br /><br /><br />Le premier chapitre rappelle certaines propriétés géométriques des<br />ensembles définissables dans une structure o-minimale.<br /><br /><br />Le deuxième chapitre s'attache à l'étude d'une famille définissable de fonctions définies sur des ouverts contenus dans un même compact. On montre grâce à la formule de Cauchy-Crofton que la longueur des courbes intégrales du champ de gradient de chaque fonction est majorée par une constante ne dépendant que de la dimension et du compact. On en déduit ensuite une borne explicite dans le cas d'un polynôme générique de degré fixé. <br /><br /><br />Le troisième chapitre est consacré aux fonctions $C^1$ définies sur<br />des ouvert non bornés. On montre que l'ensemble des valeurs ne vérifiant pas la condition de Malgrange (valeurs critiques asymptotiques) est fini et contient les valeurs atypiques qui ne sont pas valeurs critiques. <br /><br /><br />On établit dans le quatrième chapitre un théorème de plongement d'une composante connexe arbitraire d'une fibre correspondant à la valeur critique asymptotique dans une composante connexe d'une fibre typique voisine. Ce résultat, obtenu par une inégalité du type Lojasiewicz à l'infini, permet de comprendre les changements de type topologiques des fibres d'une fonction définissable au voisinage d'une valeur atypique. En dimension deux, on décrit l'ensemble des points d'une fibre typique par lesquels passe une courbe intégrale du champ de gradient qui n'atteint pas le niveau atypique. <br /><br /><br />Enfin, le dernier chapitre étudie certaines courbes intégrales<br />remarquables du champ de gradient. Une courbe réalisant le minimum de la norme du gradient sur les niveaux est une courbe intégrale du champ de gradient si et seulement si c'est une droite. Ce résultat conduit à s'interroger sur la finitude de séparatrices du champ de gradient d'une fonction polynomiale.

Afin d'étendre à un cadre singulier des résultats de la théorie du polynôme de Bernstein-Sato, nous étudions ici les polynômes de Bernstein d'une fonction analytique f associée aux sections du module de cohomologie locale algébrique R à support une intersection complète locale X définie par un morphisme analytique g. En effet, il résulte de la construction algébrique des cycles évanescents que les racines de ces polynômes sont étroitement liées aux valeurs propres de la monodromie locale de f sur X.<br /><br />Après avoir donné des résultats sur les polynômes de Bernstein associés aux sections d'un D-Module holonome, nous faisons l'étude du cas g lisse à l'origine, puis f lisse et X hypersurface. Nous étudions ensuite l'existence de polynômes de Bernstein génériques et relatifs des sections de R associées à une déformation analytique, reliant ces questions à la géométrie d'espaces conormaux.<br /><br />Reprenant des idées de B. Malgrange, nous donnons ensuite une construction adaptée à l'étude des polynômes de Bernstein des sections de R lorsque les morphismes g et (f,g) définissent des intersections complètes à singularité isolée à l'origine. Cette construction impose notamment la quasi-homogénéité de g et nécessite des calculs d'annulateurs. Nous nous consacrons enfin aux calculs de polynômes de Bernstein basés sur ces résultats. Nous donnons d'abord un algorithme de calcul lorsque en plus des hypothèses adéquates, nous supposons que la partie initiale de f définit une singularité isolée sur X. Quand de plus f est quasi-homogène, nous obtenons des formules explicites. Nous terminons notre étude par des exemples de calculs lorsque X est un cône quadratique non dégénéré.