El objetivo de nuestra investigación es realizar una categorización y organización de las investigaciones producidas en la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas en la Pontificia Universidad Católica del Perú, relacionadas con la problemática de la enseñanza y aprendizaje en el área de la geometría desde la primera publicación en el año 2000 hasta las investigaciones del año 2014 inclusive. Esta investigación es bibliográfica del tipo estado del arte. Buscamos responder a nuestra pregunta de investigación: ¿cuáles son las principales características de las investigaciones en el área de la Geometría de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica del Perú? Para poder responderla, realizamos una recolección de todas las tesis producidas por la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas y realizamos un fichaje, una categorización y una reseña crítica de cada una de las once tesis encontradas en el área de la geometría. Este fichaje no solo abarcó los resúmenes de las investigaciones desarrolladas, sino también fue necesario revisar el contenido íntegro de las referidas investigaciones. El análisis nos permitió concluir que las investigaciones desarrolladas son del tipo cualitativo, pues identificaron la naturaleza profunda de las situaciones investigadas y buscando así alcanzar los objetivos planteados. En cuanto a la aplicación de las investigaciones tomadas para nuestra investigación, todas se desarrollaron en un ambiente profesor-alumno, donde el profesor fue el investigador. Los temas analizados en el área de geometría son variados. Pudimos observar que hay convergencia en el tipo de marco teórico, así como la metodología usada. Además, el uso de tecnología (software de geometría dinámica) es común en investigaciones de este tipo, y las investigaciones son desarrolladas en el nivel secundario de colegios nacionales o particulares. Concluimos que las investigaciones desarrolladas en el área de la geometría en la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica del Perú son una tendencia debido a la cantidad de investigaciones desarrolladas y que el uso de algún software de geometría dinámica es un mediador idóneo para estas investigaciones. / The aim of our research is to categorization and organization of research produced in the Masters in Teaching Mathematics at the Pontifical Catholic University of Peru, related to the problems of teaching and learning in the area of the geometry from the first publication in 2000 until 2014 inclusive research. This research is bibliographical state type of art. We seek to answer our research question: what are the main features of research in the area of the geometry of the Master in Teaching Mathematics of the Pontificia Universidad Catolica del Peru? In order to answer it, we make a collection of all theses produced in the Masters in Teaching Mathematics and conducted a record card, a categorization and a critique of each of the eleven theses found in the area of the geometry. This record card not only included summaries of research developed, but was also necessary to review the entire contents of those inquiries. The analysis allows us to conclude that the developed research is the qualitative, therefore identified the profound nature of the investigated situations and thus seeking to reach the objectives. Regarding the application of research taken to our research, all they developed in a teacher-student environment where the teacher was the investigator. The topics discussed in the geometry area are varied. We observed that there is convergence in the type of theoretical framework and the methodology used. In addition, the use of technology (dynamic geometry software) is common in investigations of this type, and investigations are developed at the secondary level of national schools or individuals. We conclude that research conducted in the area of the geometry in the Masters in Teaching Mathematics at the Pontificia Universidad Catolica del Peru is a tendency for due to the amount of developed investigations and that the use of a dynamic geometry software is an ideal mediator for these investigations. / Tesis

Este trabajo de investigación tiene como objetivo fundamental establecer si existen diferencias significativas en la competencia matemática en dos comunidades educativas en las cuales coexisten dos lenguas. Se trata de una investigación de tipo descriptivo comparativa, realizada en dos instituciones educativas particulares localizadas en los distritos de La Molina y Pueblo Libre. Una de las muestras estuvo constituida por 68 niños y niñas del primer grado que estudian en una institución cuya enseñanza – aprendizaje se desarrolló exclusivamente utilizando una lengua extranjera (Inglés) y la otra muestra conformada por 70 niños y niñas de una institución donde la enseñanza – aprendizaje de las asignaturas se hizo exclusivamente en su lengua materna (Castellano / Español). Se encontró diferencias significativas tanto en el primer y en el segundo momento en la competencia matemática global y la dimensión de numeración a favor de los niños que recibieron la enseñanza de la matemática sin exposición a una lengua extranjera. Cabe resaltar la importancia de la lengua materna como instrumento mediador para la adquisición de los contenidos matemáticos, especialmente la competencia matemática, y señalar que el rendimiento de los alumnos de primer grado de primaria en esta área curricular está en función del dominio y el uso de la lengua materna, en este caso el Castellano / Español. Por otro lado, los resultados de esta investigación abren nuevas interrogantes para futuras investigaciones. / This research's main purpose is to establish whether there are significant differences in the mathematical competence in two educational communities where two languages coexist. This is a comparative descriptive research, conducted in two private educational institutions located in the districts of La Molina and Pueblo Libre. One of the samples consisted of 68 children from first grade studying in an institution whose teaching - learning was developed exclusively using a foreign language (English) and the other sample consisted of 70 children in an institution where the teaching - learning math classes was made exclusively in their native language (Spanish). Significant differences in both the first and second time overall mathematical literacy scale and numbering for children who received the teaching of mathematics without exposure to a foreign language was found. It should highlight the importance of the mother tongue as mediating instrument for the acquisition of mathematical content, especially mathematical competence, and show that the performance of first grade students in this curriculum area is in function of the domain and the use of the mother tongue, Spanish. Furthermore, the results of this research raise further questions for future research. / Tesis

En este trabajo nos proponemos investigar las condiciones con las que es posible lograr que los alumnos de tercer grado de primaria sean capaces de construir, en forma progresiva, los conocimientos de división y divisibilidad de números naturales. La presente investigación contiene: (i) un análisis sobre los significados de la división y de las consideraciones que se hacen sobre las justificaciones en los documentos oficiales elaborados por el Ministerio de Educación del Perú, entre los que se estudia el libro de texto que es distribuido por el Estado Peruano; (ii) un análisis de las producciones de alumnos de tercer grado de primaria en la construcción de los conocimientos de división y divisibilidad de los números naturales y las justificaciones que estos presenten; así como el producto final, que es (iii) una propuesta para la enseñanza de la división y divisibilidad de números naturales que incluye las condiciones que permiten la construcción de estos conocimientos por parte de estudiantes de tercer grado de Primaria. / Tesis

El presente trabajo de investigación tiene por finalidad diseñar una propuesta didáctica para la enseñanza de los cuadriláteros basada en las fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele con apoyo del software de geometría dinámica GeoGebra. La elección del modelo de Van Hiele como marco teórico permitirá proponer niveles de desarrollo del pensamiento geométrico para la adquisición de conocimientos y habilidades en relación a los cuadriláteros, así como, identificar el nivel de razonamiento en el que se encuentran nuestros estudiantes; y además servirá para señalar las fases de aprendizaje que se deben seguir para promover el ascenso de los estudiantes de un nivel de razonamiento al inmediato superior. Además, las propiedades de recursividad y de secuencialidad que son propias de estas fases garantizan el desarrollo de las actividades, las cuales permitirán alcanzar mayores grados de adquisición en los distintos niveles de razonamiento. Con este trabajo pretendemos que los estudiantes del cuarto grado de secundaria alcancen el nivel 3, de deducción informal, de acuerdo al modelo de Van Hiele. La metodología que usamos para este trabajo está basada en la propuesta de Jaime (1993), que consiste en describir el proceso de adquisición de un nuevo nivel de razonamiento y describe una forma de evaluar las respuestas de los alumnos. En esta experiencia se presentaron 10 estudiantes, en forma voluntaria, a quienes se les tomó una prueba de entrada para identificar el nivel de razonamiento en el que se encontraban respecto al objeto matemático cuadriláteros. Luego se trabajó con ellos varias actividades diseñadas según las fases de aprendizaje de Van Hiele con el objetivo de promover el desarrollo del pensamiento geométrico respecto a los cuadriláteros y ayudarlos a avanzar a un nivel de razonamiento superior. Finalmente se les aplicó una prueba de salida para verificar si habían incrementado su nivel de razonamiento respecto a los cuadriláteros. Según los resultados obtenidos, la propuesta didáctica permitió que los estudiantes lograrán un grado de adquisición alta en el nivel 1, un grado de adquisición intermedia en el nivel 2 y se encuentren desarrollando habilidades en el nivel 3, pasando de un nivel de adquisición nula a una adquisición baja. / Tesis

El estudiante de primaria debe desarrollar la capacidad de resolver problemas matemáticos y esto implica contar con métodos pedagógicos orientados a dicho fin. El Método Singapur, para promover habilidades en la resolución de problemas matemáticos, se basa en el enfoque CPA (Concreto- Pictórico- Abstracto). Este método está evidenciando ser eficaz, puesto que Singapur, al incluirlo en su curriculum de matemática, ha logrado ubicarse entre las primeras posiciones en el ranking internacional en educación PISA (2012). Constituye una aplicación de pedagogía de la matemática, basada en la investigación y en las propuestas pedagógicas de Bruner, Dienes y Skemp, donde los estudiantes, para aprender matemática, van progresando de lo concreto a lo pictórico para finalmente generar representaciones abstractas. Los resultados en las evaluaciones PISA ubican al Perú en las últimas posiciones y esto puede deberse a que se carece de un método con evidencias de eficacia para el desarrollo del pensamiento matemático. A partir de lo anteriormente mencionado, la presente investigación tiene como objetivo principal demostrar la efectividad del “Método Singapur” en el incremento del nivel de logro en la resolución de problemas matemáticos en estudiantes de tercer grado de primaria en una Institución Educativa Privada del distrito de Villa el Salvador. Se emplea un diseño pre experimental, donde la muestra está conformada por 57 estudiantes correspondientes al grupo experimental que cursan el tercer grado de educación primaria, a quienes se aplica el método Singapur para trabajar la resolución de problemas y se utiliza la prueba de Resolución de Problemas de la Batería Psicopedagógica Evalúa-3 para medir la efectividad del método. Los resultados después de aplicado el método, muestran diferencias significativas en el nivel de logro de resolución de problemas matemáticos en diferencia del pre-test y post-test. / The primary school student must develop the ability to solve mathematical problems and this implies having pedagogical methods oriented to that goal. The Singapore Method, to promote skills in solving mathematical problems, is based on the CPA (Concrete - Pictorial - Abstract) approach. This method is showing to be effective, since Singapore, by including it in its Mathematics Curriculum, has managed to be among the first positions in the international education ranking PISA (2012). It is an application of pedagogy of mathematics based on research and the pedagogical proposals of Jerome Bruner, Dienes and Skemp, where students, to learn mathematics, progress from the concrete to the pictorial to finally generate abstract representations. In Peru, the results in the PISA evaluations place us in the last positions and this may be due to the lack of a method with evidence of effectiveness for the development of mathematical thinking. Based on the aforementioned, the main objective of this research is to demonstrate the effectiveness of the "Singapore Method" in increasing the level of achievement in solving mathematical problems in third grade students in a private educational institution in the district of Villa El Salvador. A pre-experimental design is used, where the sample is made up of 57 students corresponding to the experimental group who are in the third grade of primary school education, to whom the Singapore Method is applied to work on problem solving and it is used the test of Problem Solving of the Batería Psicopedagógica Evalúa-3 to measure the effectiveness of the method. The results after applying the method, show significant differences in the level of achievement of solving mathematical problems in contrast to the pre-test and post-test applied to the experimental group. / Tesis

En el cuerpo de los números reales un resultado clásico de Riemann (1854) afirma que si tenemos una serie condicionalmente convergente entonces al cambiar el orden de los sumandos es posible hacerla converger a cualquier número deseado, o hacerla diverger. En el caso de series de números complejos condicionalmente convergentes podemos reordenar las partes reales (o imaginarias) y obtener cualquier suma prefijada; pero esta misma reordenación también afecta a la parte imaginaria (o real), pudiendo esta diverger, por tanto hacer que toda la serie de términos complejos diverja y no habremos conseguido nada. Entonces podemos preguntarnos: ¿Cuál es el correspondiente teorema para series de números complejos? P. Lévy (1905) probó que “el conjunto de todas las reordenaciones de una serie de números complejos es el vacío o la traslación de un subespacio vectorial real”. Este resultado fue generalizado a un espacio vectorial real n-dimensional por E. Steinitz (1913) que es uno de los capítulos que pretendemos estudiar en este trabajo de tesis de una manera accesible e interesante. De la misma manera nos podemos preguntar: ¿Cuál es la situación para espacios de Banach infinito dimensionales, se cumplirá el resultado de Steinitz? La respuesta a esta pregunta es negativa gracias a un contraejemplo propuesto por Marcinkiewicz en el espacio L2r0, 1s. Ahora lo natural es estudiar a que tipos de espacios se puede extender el resultado de Steinitz, es decir, dar condiciones a ciertos espacios de dimensión infinita para que el teorema de Steinitz se mantenga. Por ejemplo, W. Banaszczyk en [13] y [14], prob´o que un espacio de Fr´echet es Nuclear si y sólo si se cumple el teorema de Lévy-Steinitz. / Tesis

La comunicación oral y escrita en el nivel de Educación Básica se suele trabajar desde el área de Comunicación. Sin embargo, también forma parte de las capacidades en el área de Matemática. La capacidad de Comunicación Matemática implica el desarrollo de elementos para la expresión de ideas con contenido matemático, lo que favorece la argumentación, la profundización y la conexión entre ideas. Esta capacidad se puede desarrollar si se ofrecen oportunidades y medios para hacerlo, como las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), que en la actualidad ofrecen una serie de recursos que son una fuente potencial de transformación de las prácticas educativas. En este contexto, analizamos el uso del blog para el desarrollo de la capacidad de Comunicación Matemática desde cuatro aspectos: organización del pensamiento matemático a través de la comunicación; comunicación del pensamiento matemático; análisis y evaluación de las estrategias y pensamiento matemático de los demás; y expresión de ideas matemáticas empleando lenguaje matemático, con la intención de responder al siguiente problema: ¿Cómo usan el blog para el desarrollo de la capacidad de Comunicación Matemática las alumnas del 2do de secundaria de un colegio particular de Lima? El estudio se realizó desde un enfoque cualitativo a nivel exploratorio sobre las publicaciones en el blog de Matemática del 2do de secundaria. Para ello, se utilizaron las técnicas de la observación de 20 publicaciones; del focus group con una muestra de 9 alumnas con diferentes niveles de rendimiento académico; y de una entrevista a la Coordinadora Académica. Se concluyó que la organización del pensamiento matemático a través de la comunicación se realiza en el blog de manera escrita, gráfica y oral mediante explicaciones, esquemas y videos. En relación a la comunicación del pensamiento matemático, el blog es utilizado para describir conceptos, argumentos y procedimientos matemáticos con palabras y ejemplos de las alumnas. El análisis y evaluación de las estrategias y el pensamiento matemático de los demás se realiza a través de los comentarios a las publicaciones, lo que genera un debate virtual. Asimismo, se observó que el blog dificulta el uso del lenguaje matemático para expresar ideas matemáticas, puesto que no permite la escritura directa de símbolos y gráficos. / Tesis

El presente trabajo de investigación tiene por objetivo analizar las creencias sobre demostración matemática que poseen profesores de Educación Secundaria. Para alcanzar este objetivo desarrollamos la investigación con doce profesores de Matemática de colegios de secundaria de distintas ciudades del Perú, que cursan una maestría en una universidad privada. Nos basamos en Reid & Knipping, Godino y Recio, Hersh, Stylianides, de Villiers, Hanna, entro otros como marco teórico y en Martínez, Ponte, Hernández, Fernández & Baptista y Andrade entre otros como marco metodológico. En cuanto a la metodología del estudio de casos, los datos son obtenidos por medio de entrevistas semiestructuradas en dos etapas. En la primera etapa las entrevistas con preguntas abiertas sobre las demostraciones matemáticas, su importancia y roles en la enseñanza en la educación secundaria y la segunda etapa con preguntas cerradas sobre la evaluación de argumentos que demuestran tareas específicas, con el fin de analizar sus coincidencias o contradicciones en ambas etapas. Observamos que los docentes expresan significados sobre la demostración matemática diferentes a los expresados cuando valoran argumentos demostrativos. Finalmente los docentes reconocen algunos de los roles que desempeña la demostración matemática en su trabajo de enseñanza en la escuela. / This research aims to analyze beliefs about mathematical proof that middle and high school teachers have. To achieve this objective we develop research with twelve high school mathematics teachers from different cities of Peru who are pursuing a master's degree in a private university. We rely on Reid & Knipping, Godino and Recio, Hersh, Stylianides, de Villiers and Hanna, among others as a theoretical framework and Martinez, Ponte, Hernandez Fernandez & Baptista and Andrade among others as a methodological framework. As for the study of the methodology cases, data is obtained through semi-structured interviews in two stages. In the first stage, the interview consists of open questions about mathematical proofs, its importance and role in middle and high school teaching. The second stage consists of closed questions on the evaluation of arguments that demonstrate specific tasks, in order to analyze their similarities or contradictions in both stages. We also noted that teachers express different meanings about mathematical proof than when they‟re assessing the demonstrated arguments. Finally teachers recognize some of the roles played by mathematical proof in their teaching job at the school. / Tesis

El presente trabajo nace de nuestra preocupación respecto al aprendizaje del concepto de derivada, y todo lo que abarca el término, en alumnos de la carrera de Ciencias Administrativas, que cursan la materia de Cálculo. Para ello hemos enfocado nuestra atención en una sección de alumnos de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, y específicamente en el curso de Lógica – Matemática del área de Ciencias, cursado por los alumnos de la carrera de Ciencias Administrativas. Teniendo como objetivo ayudar a lograr un aprendizaje significativo del concepto derivada, diseñamos una secuencia de tareas, que – a partir de conocimientos que los alumnos tienen de los conceptos previos – permita reforzar la interpretación geométrica de la derivada de una función f cuando la variable independiente toma un valor específico (digamos x  a) , como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a; f (a)) , y así poder incorporar ese conocimiento en su estructura cognitiva. Durante la realización de la secuencia diseñada los estudiantes van construyendo gráficas de funciones de acuerdo a ciertas condiciones que les son dadas, y siguiendo un proceso inductivo van explorando y descubriendo relaciones. La demanda cognitiva de las tareas va incrementándose hasta que finalmente deben usar esos conocimientos para construir funciones con una demanda cognitiva más compleja, y terminar con un problema contextualizado del ámbito de su carrera, como una especie de cierre. Se diseñó la secuencia de tareas teniendo en cuenta algunos principios del diseño de tareas (“task design”) y al analizar las producciones de los alumnos se hicieron evidentes algunas dificultades en sus conocimientos previos y en la comprensión del concepto de derivada. Posteriormente se formularon preguntas personalizadas a algunos de los alumnos, con el fin de aclarar sus respuestas, y así poder comprender sus concepciones. Finalmente damos algunas conclusiones, hacemos recomendaciones para posteriores investigaciones e incluimos algunas reflexiones como resultado de una mirada global al trabajo realizado. En los Anexos se incluye la secuencia de tareas, las tablas de resultados y también las preguntas aclaratorias, así como las respuestas de los alumnos a dichas preguntas. Se concluyó que existen dificultades importantes en la evocación de los conceptos previos para ser utilizados como “conceptos ancla” – usando la terminología de Ausubel – sobre los cuales construir nuevos conocimientos (Ausubel, 2000). También se encontraron dificultades en el aprendizaje de la derivada, y conflictos semióticos importantes cuando los alumnos tuvieron que relacionar las diversas representaciones del concepto derivada, como la simbólica, la gráfica y la algebraica. Estas dificultades encontradas pueden influir en el hecho de que muchos alumnos solo alcanzan lo que Skemp (2006) denomina una “comprensión instrumental” del concepto de derivada y no una “comprensión relacional” de la derivada, que explicado en pocas palabras, significa, saber lo que se va a hacer y porqué se va a hacer. Alcanzar una tal comprensión del concepto de derivada es un factor importante para lograr un acercamiento adecuado hacia conceptos como elasticidad, marginalidad y optimización, que se estudian en cursos paralelos o posteriores de la carrera de Ciencias Administrativas. / Tesis

En general, encontrar una solución analítica de una ecuación diferencial parcial no es fácil, y más aún cuando ésta ecuación es no lineal. Debido a esto, surgieron varios métodos numéricos para encontrar una solución aproximada a la deseada. Los métodos numéricos más conocidos son: • Métodos de Diferencias Finitas que tuvo su gran auge en la década de 1950. • Métodos de Elementos Finitos que tuvo su gran auge en la década de 1960. • Métodos Espectrales que tuvo su gran auge en la década de 1970. Mientras que los métodos de diferencias finitas dan soluciones aproximadas en los puntos de la malla computacional elegida, los métodos de elementos finitos dan aproximaciones polinomiales continuas o continuas por partes en regiones poligonales (generalmente triangulares en dos dimensiones), mientras que los métodos espectrales brindan soluciones aproximadas en la forma de polinomios sobre todo su dominio. Los métodos espectrales son una clase de discretización espacial para ecuaciones diferenciales. Las componentes claves para su formulación son las funciones base (llamadas también funciones de aproximación o expansión) y las funciones de prueba. Las funciones base se usan para dar una representación aproximada de la solución. Las funciones de prueba se usan para asegurar que la ecuación diferencial y quizás algunas condiciones de frontera se cumplan tanto como sea posible por la serie truncada de expansión. Esto se consigue minimizando, con respecto a una norma adecuada, el residuo producido por el uso de la expansión truncada en lugar de la solución exacta. Los métodos espectrales tienen un amplio uso en diferentes áreas como: teoría cuántica ([31], [36]) basado en la ecuación Schrödinger que proporciona la descripción teórica de numerosos sistemas en química y física; teoría cinética basada en la ecuación de Boltzmann ([27], [32]) o en la ecuación de Fokker-Planck ([5], [45]); problemas en mecánica de fluidos ([4], [20], [42]). También hay importantes aplicaciones en el escape átomos de la atmósfera del planeta ([14], [51]) como la pérdida de carga de partículas de la tierra ([33], [43]) y del sol [11]. El presente trabajo pretende contribuir en sentar los fundamentos sobre métodos espectrales, para que sean aplicados en futuras investigaciones más elaboradas, así como brindar los códigos de implementación (en Matlab), los cuales raramente se encuentran en forma explícita en la literatura. Este trabajo está organizado de la siguiente manera: el Capítulo 1 abarca las propiedades más importantes de los polinomios ortogonales; en particular, los polinomios de Chebyshev, los cuales son adecuados para representar funciones de dominio finito y sus relaciones de recurrencia asociadas. Además, se presenta un breve repaso de las fórmulas de cuadratura gaussiana. En el Capítulo 2, se presenta en forma detallada los métodos espectrales polinomiales, útiles para problemas con condiciones de frontera no periódicas. Presentamos los métodos de Galerkin, Tau y de Colocación. En el Capítulo 3 se da ejemplos de la implementación numérica de la ecuación del calor usando los métodos de diferencias finitas y los métodos espectrales, usando los polinomios de Chebyshev. Además, se brindan los detalles necesarios para implementar la ecuación de Burger usando los métodos espectrales. / Tesis