No description available.

Abstract could not load on D Space.

This thesis is on the automation of diagrammatic proofs, a novel approach to mechanised mathematical reasoning. Theorems in automated theorem proving are usually proved by formal logical proofs. However, there are some conjectures which humans can prove by the use of geometric operations on diagrams that somehow represent these conjectures, so called diagrammatic proofs. Insight is often more clearly perceived in these diagrammatic proofs than in the algebraic proofs. We are investigating and automating such diagrammatic reasoning about mathematical theorems. Concrete rather than general diagrams are used to prove ground instances of a universally quantified theorem. The diagrammatic proof in constructed by applying geometric operations to the diagram. These operations are in the inference steps of the proof. A general schematic proof is extracted from the ground instances of a proof. it is represented as a recursive program that consists of a general number of applications of geometric operations. When gien a particular diagram, a schematic proof generates a proof for that diagram. To verify that the schematic proof produces a correct proof of the conjecture for each ground instance we check its correctness in a theory of diagrams. We use the constructive omega-rule and schematic proofs to make a translation from concrete instances to a general argument about the diagrammatic proof. The realisation of our ideas is a diagrammatic reasoning system DIAMOND. DIAMOND allows a user to interactively construct instances of a diagrammatic proof. It then automatically abstracts these into a general schematic proof and checks the correctness of this proof using an inductive theorem prover.

Student Number : 0008975N - M Ed research report - School of Education - Faculty of Humanities / This qualitative study was conducted in one school in an informal settlement, West of Johannesburg. The study explored how a grade 7 teacher promoted mathematical reasoning in multilingual mathematics class of English second language learners. The focus of the research was on how a Grade 7 mathematics teacher interacts with the learners to encourage mathematical reasoning during his teaching in a multilingual class. The study also looked at the kind of tasks the teacher used to promote mathematical reasoning and how he uses language to enable mathematical reasoning. The study was informed by a theory of learning which emphasises the importance of social interaction in the classroom where the teacher encourages learners to interact with each other to explain their thinking and to justify their answers. Data was collected through lesson and teacher interviews. The study shows the teacher focused more on developing the learners’ procedural fluency. This focus on procedural fluency was accompanied by the dominance of the use of English by the learners.

Abstrakt Syftet med denna studie är att undersöka faktorer som kan påverka elevers matematiska resonemang. Detta gjordes genom att undersöka vilken typ av resonemang elever i årskurs 9 använde när de löste olika uppgifter och även elevernas uppfattningar om matematik. Teoretiska perspektiv för studien är baserad på Lithners teoretiska ramverk som skiljer på två huvudtyper av matematiska resonemang: den första är imitativt resonemang, där eleven imiterar lösningsalgoritmer som hen känner till, och kreativt matematiskt resonemang, där eleven skapar en lösning för att lösa en uppgift. Metoderna som användes i studien var observation och ostrukturerade intervjuer. Resultaten visar att elever använde imitativa resonemang för att lösa uppgifter och sällan använde kreativa matematiska resonemang. Det är rimligt att anta att arbetssättet hade en roll för vilken typ av matematiska resonemang elever använde för att lösa olika övningsuppgifter. Resultatet tyder även på att elevens träning på att lösa uppgifter som krävde användning av kreativt matematiskt resonemang påverkade betyget eleven fick i det skriftliga provet. Eleverna indikerade uppfattningar om att uppgifter som krävde användning av kreativa matematiska resonemang för att lösas var svåra, särskilt svåra att förstå. De slutsatser som dras är att antalet uppgifter som kräver användning av kreativt matematiskt resonemang för att lösas bör utökas och eleverna behöver utveckla sitt matematiska språk.

Thesis (M.A.)--Brigham Young University. Dept. of Mathematics Education, 2007. / Includes bibliographical references (p. 54-56).

This thesis investigates the possibility of automating the classification of post-feedback mathematical reasoning styles, Creative Mathematical Reasoning (CMR) and Algorithmic Reasoning (AR), using prompt-based classification with a Large Language Model (LLM). The study, conducted in collaboration with the Department of Science and Mathematics Education of Umeå University, aims to enhance the efficiency of pedagogical research by reducing the manual labor involved in classifying student responses. The thesis utilizes a dataset of 40 expert-labeled student mathematical solutions, incorporating feedback interactions to assess shifts in reasoning post-feedback. Various prompting methods, including definitions-only and examples-inclusive prompts, were systematically tested to determine their effectiveness in classifying reasoning styles. The classification performance was measured using accuracy, F1-score, and Cohen’s kappa. Results indicate that definitionbased prompts performed robustly, achieving moderate to strong inter-rater agreement. The study also explored the impact of output formats and found that allowing the LLM to classify uncertain cases as indeterminate could potentially automate about 25% of the classification tasks without compromising performance. This thesis underscores the potential of LLMs in automating complex cognitive task classifications in educational research, suggesting further exploration into optimal prompting strategies and reliability enhancements for practical applications. / Denna uppsats undersöker möjligheten att automatisera klassificeringen av matematiska resonemangstyper efter feedback, Kreativt Matematiskt Resonemang (CMR) och Algoritmiskt Resonemang (AR), med hjälp av promptbaserad klassificering med en stor språkmodell (LLM). Studien, som genomfördes i samarbete med Institutionen för naturvetenskapernas och matematikens didaktik vid Umeå universitet, syftar till att öka effektiviteten i pedagogisk forskning genom att minska det manuella arbetet som krävs för att klassificera studenters matematiska resonemang. Uppsatsen använder ett dataset med 40 matematiska lösningar från studenter, klassificerade av experter. Dessa lösningar inkluderar feedback-interaktioner för att bedöma förändringar i resonemang efter feedback. Olika promptmetoder, innehållandes enbart definitioner och exempel-inkluderande promptar, testades systematiskt för att avgöra deras effektivitet vid klassificering av resonemangsstilar. Klassificeringsprestandan mättes med hjälp av accuracy, F1-score och Cohen’s kappa. Resultaten visar att promptar baserade på definitioner hade en robust prestanda och uppnådde måttlig till stark överensstämmelse mellan bedömare. Studien undersökte också påverkan av utdataformat och fann att genom att tillåta LLM att klassificera osäkra fall som obestämdbarkunde cirka 25% av klassificeringsuppgifterna automatiseras utan att kompromissa med prestandan. Denna avhandling framhäver potentialen hos LLMs att automatisera komplexa kognitiva uppgiftsklassificeringar inom utbildningsforskning och föreslår vidare studier av optimala promptstrategier och tillförlitlighetsförbättringar för praktiska tillämpningar.

Skolverket (2022a) betonar vikten av att elever utvecklar sin resonemangsförmåga, som är en av de fem angivna förmågorna i matematikens kursplan. Trots kursplanens betoning visar forskning att elever ofta spenderar mycket tid på självständigt arbete med läroböcker under matematikundervisningen. Därför undersöker vår studie hur elever i årskurs 1 resonerar när de arbetar med uppgifter som anses främja ett kreativt matematiskt resonemang (KMR). Vidare undersöktes möjligheter och utmaningar med att använda sådana uppgifter. Som teoretiskt ramverk användes Lithners (2008) kategorisering av olika resonemang samt Gray och Talls (1994) teori om proceptuellt tänkande för att besvara studiens frågeställningar. Utöver dessa teorier användes aven Vygoskijs teori för bredare förståelse av studiens resultat (Säljö, 2020). Studien identifierade möjligheter med att använda arbetssättet som metod, om den anpassas och stöttas på rätt sätt. Detta kan hjälpa eleverna att utveckla djupare matematiska insikter samt förbättra sin resonemangsförmåga. En utmaning med arbetssättet var att hitta en uppgift som betraktas utmanade för alla elever trots skillnaderna i deras förkunskaper. Metoden som användes för att samla in empirin var "task-based interviews". Eleverna engagerades i matematiska aktiviteter och ombads tänka högt för att synliggöra deras tankeprocess. Resultaten visade att trots att det var utmanade att tillämpa Lithners (2008) ramverk på yngre elever så kunde de flesta föra KMR. / The Swedish National Agency (2002a) for Education emphasizes the importance of students developing their reasoning skills, which is one of the five competencies outlined in the mathematics curriculum. Despite the curriculum's emphasis, research shows that students often spend a lot of time working independently with textbooks during mathematics instruction. Therefore, our study examines how first-grade students reason when working on tasks designed to promote creative mathematical reasoning (CMR). Additionally, the study explores the opportunities and challenges associated with using such tasks. To answer the research questions, Lithner's (2008) categorization of different types of reasoning and Gray and Tall's (1994) theory of proceptual thinking were used as theoretical frameworks. Vygotsky's theory was also employed for a broader understanding of the study's results (Säljö, 2020). The study identified opportunities for using this approach as a method, provided it is adapted and supported appropriately. This can help students develop deeper mathematical insights and improve their reasoning skills. One challenge with this approach was finding a task that is challenging for all students despite differences in their prior knowledge. The method used to collect empirical data was "task-based interviews." Students engaged in mathematical activities and were asked to think aloud to reveal their thought processes. The results showed that although it was challenging to apply Lithner's (2008) framework to younger students, most were able to engage in CMR.

<div> <div> <div> <p>Currently there is a need for research that explores students’ understanding of advanced topics in order to improve teaching and learning beyond the context of introductory-level courses. This work investigates students’ reasoning about graphs used in enzyme kinetics. Using semi-structured interviews and a think aloud-protocol, 14 second-year students enrolled in a biochemistry course were provided two graphs to prompt their reasoning, a typical Michaelis-Menten graph and a Michaelis-Menten graph involving enzyme inhibition. Student responses were coded using a combination of inductive and deductive analysis, influenced by the resource-based model of cognition. Results involve a discussion regarding how students utilized mathematical resources to reason about chemical kinetics and enzyme kinetics, such as engaging in the use of symbolic/graphical forms and focusing on surface-level features of the equations/graphs. This work also addresses student conceptions of the particulate-level mechanism associated with competitive, noncompetitive, and uncompetitive enzyme inhibition. Based on the findings of this study, suggestions are made regarding the teaching and learning of enzyme kinetics. </p> </div> </div> </div>

Avhandlingen består av två ganska olika delar som ändå har en del gemensamt. Del A är baserad på två artiklar i matematik och del B är baserad på två matematikdidaktiska artiklar. De matematiska artiklarna utgår från ett begrepp som heter polynomkonvexitet. Grundidén är att man skulle kunna se vissa ytor som en sorts ”tak” (tänk på taket till en carport). Alla punkter, eller positioner, ”under taket” (ungefär som de platser som skyddas från regn av carporttaket) ligger i något som kallas ”polynomkonvexa höljet.” Tidigare forskning har visat att för ett givet tak och en given punkt så finns det ett sätt att avgöra om punkten ligger ”under taket”. Det finns nämligen i så fall alltid en sorts matematisk funktion med vissa egenskaper. Finns det ingen sådan funktion så ligger inte punkten under taket och tvärt om; ligger punkten utanför taket så finns det heller ingen sådan funktion. Jag visar i min första artikel att det kan finnas flera olika sådana funktioner till en punkt som ligger under taket. I den andra artikeln visar jag några exempel på hur man kan konstruera sådana funktioner när man vet hur taket ser ut och var under taket punkten ligger. De matematikdidaktiska artiklarna i avhandlingen handlar om vad som krävs av studenterna när de gör universitetstentor i matematik. Vissa uppgifter kan gå att lösa genom att studenterna lär sig någonting utantill ur läroboken och sen skriver ner det på tentan. Andra går kanske att lösa med hjälp en algoritm, ett ”recept,” som studenterna har övat på att använda. Båda dessa sätt att resonera kallas imitativt resonemang. Om uppgiften kräver att studenterna ”tänker själva” och skapar en (för dem) ny lösning, så kallas det kreativt resonemang. Forskning visar att elever i stor utsträckning väljer att jobba med imitativt resonemang, även när uppgifterna inte går att lösa på det sättet. Mycket pekar också på att de svårigheter med att lära sig matematik som elever ofta har är nära kopplat till detta arbetssätt. Det är därför viktigt att undersöka i vilken utsträckning de möter olika typer av resonemang i undervisningen. Den första artikeln består av en genomgång av tentauppgifter där det noggrant avgörs vilken typ av resonemang som de kräver av studenterna. Resultatet visar att studenterna kunde bli godkända på nästan alla tentorna med hjälp av imitativt resonemang. Den andra artikeln baserades på intervjuer med sex av de lärare som konstruerat tentorna. Syftet var att ta reda på varför tentorna såg ut som de gjorde och varför det räckte med imitativt resonemang för att klara dem. Det visade sig att lärarna kopplade uppgifternas svårighetsgrad till resonemangstypen. De ansåg att om uppgiften krävde kreativt resonemang så var den svår och att de uppgifter som gick att lösa med imitativt resonemang var lättare. Lärarna menade att under rådande omständigheter, t.ex. studenternas försämrade förkunskaper, så är det inte rimligt att kräva mer kreativt resonemang vid tentamenstillfället. / This dissertation consists of two different but connected parts. Part A is based on two articles in mathematics and Part B on two articles in mathematics education. Part A mainly focus on properties of positive currents in connection to polynomial convexity. Earlier research has shown that a point z0 lies in the polynomial hull of a compact set K if and only if there is a positive current with compact support such that ddcT = μ−δz0. Here μ is a probability measure on K and δz0 denotes the Dirac mass at z0. The main result of Article I is that the current T does not have to be unique. The second paper, Article II, contains two examples of different constructions of this type of currents. The paper is concluded by the proof of a proposition that might be the first step towards generalising the method used in the first example. Part B consider the types of reasoning that are required by students taking introductory calculus courses at Swedish universities. Two main concepts are used to describe the students’ reasoning: imitative reasoning and creative reasoning. Imitative reasoning consists basically of remembering facts or recalling algorithms. Creative reasoning includes flexible thinking founded on the relevant mathematical properties of ob jects in the task. Earlier research results show that students often choose imitative reasoning to solve mathematical tasks, even when it is not a successful method. In this context the word choose does not necessarily mean that the students make a conscious and well considered selection between methods, but just as well that they have a subconscious preference for certain types of procedures. The research also show examples of how students that work with algorithms seem to focus solely on remembering the steps, and researchers argue that this weakens the students’ understanding of the underlying mathematics. Article III examine to what extent students at Swedish universities can solve exam tasks in introductory calculus courses using only imitative reasoning. The results show that about 70 % of the tasks were solvable by imitative reasoning and that the students were required to use creative reasoning in only one of 16 exams in order to pass. In Article IV, six of the teachers that constructed the analysed exams in Article III were interviewed. The purpose was to examine their views and opinions on the reasoning required in the exams. The analysis showed that the teachers are quite content with the present situation. The teachers expressed the opinion that tasks demanding creative reasoning are usually more difficult than tasks solvable with imitative reasoning. They therefore use the required reasoning as a tool to regulate the tasks’ degree of difficulty, rather than as a task dimension of its own. The exams demand mostly imitative reasoning since the teachers believe that they otherwise would, under the current circumstances, be too difficult and lead to too low passing rates.