Le but principal de ce mémoire est de calculer la mesure de Mahler logarithmique d’une famille de polynômes à trois variables x^n + 1 + (x^(n−1) + 1)y + (x − 1)z. Pour réaliser cet objectif, on intègre des régulateurs définis sur des complexes motiviques polylogarithmiques. Pour comprendre ces régulateurs, on explore les propriétés des polylogarithmes et démontre quelques identités polylogarithmiques. Ensuite, on utilise les régulateurs afin de simplifier l’intégrante. Notre résultat est une formule qui relie la mesure de Mahler de la famille de polynômes susmentionnée au dilogarithme de Bloch–Wigner et à la fonction zêta de Riemann. / The main purpose of this thesis is to compute the logarithmic Mahler measure of the three variable polynomial family xn + 1 + (xn−1 + 1)y + (x − 1)z. In order to accomplish this, we integrate regulators defined on polylogarithmic motivic complexes. To understand these regulators, we explore the properties of polylogarithms and show some polylogarithmic identities. The regulators are then applied to simplify the integrand. Our result is a formula relating the Mahler measure of the family of polynomials to the Bloch–Wigner Dilogarithm and the Riemann zeta function.

Nous exprimons la mesure de Mahler 2-supérieure et 3-supérieure de certaines fonctions rationnelles en terme de valeurs spéciales de la fonction zêta, de fonctions L et de polylogarithmes multiples. Les résultats obtenus sont une généralisation de ceux obtenus dans [10] pour la mesure de Mahler classique. On améliore un de ces résultats en réduisant une combinaison linéaire de polylogarithmes multiples en termes de valeurs spéciales de fonctions L. On termine avec la réduction complète d’un cas particuler. / The 2-higher and 3-higher Mahler measure of some rational functions are given in terms of special values of the Riemann zeta function, a Dirichlet L-function and multiple polylogarithms. Our results generalize those obtained in [10] for the classical Mahler measure. We improve one of our results by providing a reduction for a certain linear combination of multiple polylogarithms in terms of Dirichlet L-functions. We conclude by giving a complete reduction of a special case.

Nous exprimons la mesure de Mahler 2-supérieure et 3-supérieure de certaines fonctions rationnelles en terme de valeurs spéciales de la fonction zêta, de fonctions L et de polylogarithmes multiples. Les résultats obtenus sont une généralisation de ceux obtenus dans [10] pour la mesure de Mahler classique. On améliore un de ces résultats en réduisant une combinaison linéaire de polylogarithmes multiples en termes de valeurs spéciales de fonctions L. On termine avec la réduction complète d’un cas particuler. / The 2-higher and 3-higher Mahler measure of some rational functions are given in terms of special values of the Riemann zeta function, a Dirichlet L-function and multiple polylogarithms. Our results generalize those obtained in [10] for the classical Mahler measure. We improve one of our results by providing a reduction for a certain linear combination of multiple polylogarithms in terms of Dirichlet L-functions. We conclude by giving a complete reduction of a special case.

Les polynômes sont une entité fondamentale en mathématiques, notamment en théorie des nombres. Les fonctions de hauteur sont utilisées pour étudier les polynômes de manière systématique et, dans de nombreux cas, simplifient grandement la preuve de théorèmes complexes. Les fonctions \(L\) forment une autre classe d'objets mathématiques qui trouvent une grande importance dans la théorie des nombres. La célèbre fonction zêta de Riemann est l'un des exemples les plus connus et les plus fondamentaux d'une fonction \(L\). Cette thèse s'articule autour de la mesure de Mahler, une fonction de hauteur sur les polynômes qui apparaît souvent comme des valeurs spéciales des fonctions \(L\) et forme un lien mystérieux entre ces deux domaines de recherche. Notre objectif est d'explorer trois questions concernant la mesure de Mahler de plusieurs familles de polynômes construites via certaines transformations de Möbius. Le premier résultat, publié dans [Bull. Lond. Math. Soc. 55 (2023), 1129-1142], décrit une famille de transformations non triviales qui, appliquées à n'importe quel polynôme, donnent des polynômes de plus en plus complexes sans changer sa mesure de Mahler. Cela conduit à plusieurs identités entre la mesure de Mahler des polynômes et résout de nombreuses relations conjecturales. Dans le deuxième résultat, nous obtenons des formules explicites pour la mesure de Mahler des familles polynomiales pouvant avoir autant de variables que souhaité. Ces mesures de Mahler sont exprimées en termes de valeurs \(\zeta\) et de valeurs \(L\) correspondant au caractère primitif de Dirichlet de conducteur 3. Le résultat s'appuie sur les idées de Lalín pour construire de telles familles de \(n\)-variables dans un nouveau direction, ouvrant les portes à de nombreuses autres relations intéressantes du même genre. Ce résultat a été soumis pour publication. Enfin, notre troisième résultat, accepté pour publication, concerne la mesure de Mahler d'une autre famille de polynômes \(n\)-variables qui ont des degrés non linéaires, par opposition aux familles des travaux de Lalín et à notre deuxième résultat dans lequel chaque variable avait un degré linéaire. Ce résultat conduit à l'expression de la mesure de Mahler en termes de plusieurs polylogarithmes de longueur 2 qui sont réduits à des polylogarithmes de longueur un en utilisant des identités appropriées. Nous présentons certains exemples où ces expressions peuvent être écrites en termes de valeurs zêta et de valeurs de fonctions \(L\) de Dirichlet de caractères de conducteurs 4, 8 et 12. / Polynomials are a fundamental entity in Mathematics, especially in Number Theory. Height functions are useful tools employed to study polynomials in a systematic way and in many cases greatly simplify the proof of complex theorems. \(L\)-functions form another class of mathematical objects that find great importance in Number Theory. The celebrated Riemann zeta function is one of the most well-known and foundational examples of an \(L\)-function. This dissertation revolves around the Mahler measure - a height function on polynomials that often appears as special values of \(L\)-functions and forms a mysterious link between these two areas of research. We aim to explore three questions concerning the Mahler measure of several polynomial families that are constructed via certain Möbius transformations. The first result, published in [Bull. Lond. Math. Soc. 55 (2023), 1129-1142], describes a family of non-trivial transformations which when applied on any polynomial, yields increasingly complex polynomials without changing its Mahler measure. This leads to several identities involving the Mahler measure of polynomials and resolves many conjectural relations. In the second result, we obtain explicit formulae for the Mahler measure of polynomial families that can have as many variables as desired. These Mahler measures are expressed in terms of \(\zeta\)-values and \(L\)-values corresponding to the primitive Dirichlet character of conductor 3. The result builds on the ideas of Lalín for constructing such \(n\)-variable families in a new direction, opening the doors to possibly many more interesting relations of the same kind. This result has been submitted for publication. Finally, our third result, accepted for publication, concerns the Mahler measure of yet another \(n\)-variable polynomial family which has non-linear degree, as opposed to the families in the work of Lalín and our second result in which each variable had linear degree. This result leads to the expression of the Mahler measure in terms of several length 2 polylogarithms which are reduced to length one polylogarithms using appropriate identities. We present certain examples where these expressions can be written in terms of zeta values and values of Dirichlet \(L\)-functions of characters with conductors 4, 8 and 12.

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Les objets considérés dans cette thèse sont les empilements de sphères égales, principalement de $R^n$, et les beta-entiers, pour lesquels on utilise indifféremment le langage des empilements de sphères ou celui des ensembles uniformément discrets pour les décrire. Nous nous sommes concentrés sur les problèmes suivants : (i) aspects métriques et topologiques de l'espace des empilements de sphères pour lequels nous prouvons un théorème de compacité qui généralise le Théorème de Sélection de Mahler relatif aux réseaux, (ii) les relations entre trous profonds et la densité par la constante de Delone ainsi que la structure interne asymptotique, en couches, des empilements les plus denses, (iii) les empilements autosimilaires de type fini pour lesquels nous montrons, pour chacun, l'existence d'un schéma de coupe-et-projection associé à un entier algébrique (l'autosimilarité) dont le degré divise le rang de l'empilement, dans le contexte des quasicristaux mathématiques, (iv) les empilements de sphères sur beta-réseaux, dont l'étude a surtout consisté à comprendre l'ensemble discret localement fini $Z_\beta$ des beta-entiers et à proposer une classification des nombres algébriques qui complémente celle de Bertrand-Mathis, reportée dans un article de Blanchard, et où la mesure de Mahler de beta intervient naturellement.

Le présent mémoire traite une variation de la mesure de Mahler où l'intégrale de définition est réalisée sur un tore plus général. Notre travail est basé sur une famille de polynômes tempérée originellement étudiée par Boyd, P_k (x, y) = x + 1/x + y + 1/y + k avec k ∈ R_{>4}. Pour le k = 4 cas, nous utilisons des valeurs spéciales du dilogarithme de Bloch-Wigner pour obtenir la mesure de Mahler de P_4 sur un tore arbitraire (T_ {a, b})^2 = {(x, y) ∈ C* X C* : | x | = a, | y | = b } avec a, b ∈ R_{> 0}. Ensuite, nous établissons une relation entre la mesure de Mahler de P_8 sur un tore (T_ {a, √a} )^2 et sa mesure de Mahler standard. La combinaison de cette relation avec des résultats de Lalin, Rogers et Zudilin conduit à une formule impliquant les mesures de Mahler généralisées de ce polynôme données en termes de L' (E, 0). Au final, nous proposons une stratégie pour prouver des résultats similaires dans le cas général k> 4 sur (T_ {a, b})^2 avec certaines restrictions sur a, b. / In this thesis we consider a variation of the Mahler measure where the defining integral is performed over a more general torus. Our work is based on a tempered family of polynomials originally studied by Boyd, Boyd P_k (x, y) = x + 1/x + y + 1/y + k with k ∈ R_{>4}. For the k = 4 case we use special values of the Bloch-Wigner dilogarithm to obtain the Mahler measure of P_4 over an arbitrary torus (T_ {a, b})^2 = {(x, y) ∈ C* X C* : | x | = a, | y | = b } with a, b ∈ R_{> 0}. Next we establish a relation between the Mahler measure of P_8 over a torus(T_ {a, √a} )^2 and its standard Mahler measure. The combination of this relation with results due to Lalin, Rogers, and Zudilin leads to a formula involving the generalized Mahler measure of this polynomial given in terms of L'(E, 0). In the end, we propose a strategy to prove some similar results for the general case k > 4 over (T_ {a, b})^2 with some restrictions on a, b.

Dans cette thèse, nous considérons quatre cas de conjectures de Boyd pour la mesure de Mahler de polynômes. Le premier cas concerne un polynôme associé à une courbe de genre 1, deux autres cas couvrent des courbes de genre 2, et le dernier cas traite d’une courbe de genre 3. Pour le cas de la courbe de genre 1, nous étudions une identité conjecturée par Boyd et prouvée par Boyd et Rodriguez-Villegas. On trouve un expression de la mesure de Mahler donnée par une combinaison linéaire de certaines valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner. En combinant cela avec le résultat prouvé par Boyd et Rodriguez-Villegas, nous pouvons établir certaines identités entre différentes valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner. Pour les problèmes liés aux courbes de genre 2, nous utilisons le régulateur elliptique pour récupérer des identités entre les mesures de Mahler des certaines familles de courbes de genre 2 qui ont ́eté conjecturées par Boyd et prouvèes par Bertin et Zudilin en différenciant le paramètre des formules de la mesure de Mahler et en utilisant des identités hypergéométriques. Pour le cas impliquant la courbe de genre 3, nous utilisons le régulateur elliptique pour prouver une identité entièrement nouvelle entre les mesures de Mahler d’une famille polynomiale de genre 3 et d’une famille polynomiale de genre 1 qui à été initialement conjectur ́ee par Liu et Qin. Comme nos preuves pour les cas des courbes des genres 2 et 3 impliquent le régulateur, elles éclairent la relation des mesures de Mahler des familles des genres 2 ou 3 avec des valeurs spéciales des fonctions L associées aux familles de genre 1. / In this dissertation, we consider four cases of Boyd’s conjectures for the Mahler measure of polynomials. The first case involves a polyno- mial defining a genus 1 curve, two other cases cover genus 2 curves, and the final case deals with a genus 3 curve. For the case of the genus 1 curve, we study an identity conjectured by Boyd and proven by Boyd and Rodriguez-Villegas. We find an expression of the Mahler measure given by a linear combination of some values of the Bloch-Wigner dilogarithm. Combining this with the result proven by Boyd and Rodriguez-Villegas, we can establish some identities among different values of the Bloch-Wigner dilogarithm. For the problems related to the genus 2 curves, we use the elliptic regulator to recover some identities between Mahler measures involving certain families of genus 2 curves that were conjectured by Boyd and proven by Bertin and Zudilin by differentiating the parameter in the Mahler measure formulas and using hypergeometric identities. For the case involving the genus 3 curve, we use the elliptic regulator to prove an entirely new identity between the Mahler measures of a genus 3 polynomial family and of a genus 1 polynomial family that was initially conjectured by Liu and Qin. Since our proofs for the cases of genus 2 and 3 curves involve the regulator, they yield light into the relation of the Mahler measures of the genus 2 or 3 families with special values of the L-functions associ- ated to the genus 1 families.