La physique de la lumière ainsi que les outils géométriques pour la Conception Assistée par Ordinateur sont à la base des logiciels de simulation des phénomènes lumineux pour la fabrication des systèmes optiques. Ce n'est pas sans difficulté que les industriels conçoivent ces logiciels dont un des principaux handicaps est que les simulations sont très coûteuses en temps. L'objectif principal de ce travail est de rechercher et développer des algorithmes de calcul plus performants. Dans un premier temps, on décrit précisément le modèle du transport des photons dans ce contexte, composé de l'équation de Boltzmann accompagné de conditions de bord, et qui, dans le cas de milieux homogènes par morceaux, se ramène à l'équation de radiosité. Ensuite, on présente les outils géométriques utilisés dans le modeleur hybride CSG (Constructive Solid Geometry) et BRep (Boundary Representation) ainsi que les algorithmes de base nécessaires à la recherche d'intersections entre des demi-droites et des objets géométriques. Puis, un tour d'horizon des méthodes d'accélération des calculs en radiométrie par localisation spatiale est présenté. En tenant compte des contraintes industrielles, une telle méthode d'accélération est alors adaptée au contexte puis développée dans un environnement logiciel existant. Des expérimentations numériques montrent l'efficacité des nouvelles bibliothèques. Enfin, une étude théorique des complexités en temps et en mémoire liées aux méthodes de localisation spatiale, faisant intervenir les sommes de Minkowski d'ensembles géométriques, débouche sur une stratégie consistant à minimiser la complexité en temps pour choisir les paramètres de localisation.

Cette thèse est consacrée à la définition d'une surface géométriquement lisse interpolant un ensemble triangulé de points de R^3. Une telle triangulation, que nous appelons "réseau surfacique", doit définir une sous-variété de dimension 2, et peut représenter des surfaces de n'importe quel genre topologique. Il fournit l'information topologique, par l'intermédiaire d'une structure de données contenant les informations d'adjacence entre les sommets, les arêtes et les faces. Nous avons développé deux méthodes pour l'interpolation des sommets du réseau surfacique. Elles sont strictement locales et produisent des surfaces polynomiales par morceaux de degré 5 et de continuité G^1. De nombreux paramètres libres sont disponibles et ajustés soit interactivement soit automatiquement afin de lisser la surface. Dans le contexte interactif, plusieurs outils de design sont développés, basés sur l'interprétation géométrique des paramètres libres. La forme voulue peut être obtenue par une modélisation temps réel, grâce à la localité des algorithmes. Dans le cas du design automatique, de nombreux algorithmes ont été developpés satisfaisant un certain nombre de caractéristiques de forme. Un grand nombre de règles heuristiques et d'optimisations locales sont utilisées pour définir les valeurs des paramètres de forme dans le but d'obtenir des formes satisfaisantes ainsi qu'un contrôle optimal de la surface.

Dans le domaine de la modélisation géométrique comme dans le domaine de l'informatique graphique, les utilisateurs sont toujours en quête d'outils ergonomiques pour éditer et déformer des courbes et des surfaces. La construction de ces outils nécessite d'abord un choix pertinent de modèles mathématiques pour représenter ces objets géométriques. Ensuite, l'adjonction de contraintes géométriques, intégrées dans l'outil d'édition, peut faciliter la manipulation.<br /><br />L'objet de ce manuscrit est d'étudier l'intégration de contraintes non linéaires dans la déformation multirésolution de courbes et de surfaces lisses. Nous abordons successivement la conservation de l'aire inscrite dans une courbe B-spline plane, la conservation du volume englobé par une surface B-spline, la conservation du volume englobé par une surface de topologie arbitraire (paramétrée sur un maillage triangulaire), et la conservation de la longueur d'une courbe linéaire par morceaux. Les modèles multirésolution, basés sur des analyses en ondelettes, permettent de créer aisément des déformations à différentes échelles sur des objets complexes, tout en conservant les détails fins. Les contraintes sont calculées dans la base multirésolution, puis intégrées grâce à des optimisations sous contraintes. Les déformations gagnent ainsi en réalisme, sans que l'utilisateur n'ait à intervenir. Les méthodes que nous développons fonctionnent interactivement, et sont étudiées pour s'adapter à différents types de déformations.

L'objet de ce mémoire est l'analyse des schémas de subdivision, outil de modélisation de surface lisse multi-résolution. Nos travaux se sont tout d'abord consacrés à l'étude du comportement géométrique de ces surfaces au voisinage des sommets extraordinaires du maillage de contrôle. La géométrie d'une surface de subdivision présente un comportement complexe au voisinage de ces sommets, et ces effets parfois néfastes sont pour certains encore mal connus. Nous avons proposé un cadre d'évaluation du comportement géométrique d'une surface de subdivision à travers une mesure de qualité adaptée : le gradient de courbure absolue. Nous avons ensuite proposé un espace de visualisation adapté à l'analyse du voisinage d'un sommet extraordinaire.Celui-ci étant indépendant du schéma de subdivision utilisé, ce cadre d'analyse nous permet de les comparer. Nos travaux se sont alors portés sur une analyse fréquentielle polaire des comportements géométriques, en tenant compte de leurs caractéristiques radiales et angulaires par rapport à la topologie du voisinage d'un sommet extraordinaire. Notre analyse étend les études existantes pour l'évaluation des comportements géométriques de cet outil de modélisation. De plus, nous avons proposé un systàme de description de la phase de subdivision topologique d'un schéma de subdivision. Notre systàme prend la forme d'un codage compact et flexible, il généralise les descriptions existantes. Ce codage permet la description des phases topologiques de tous les schémas de subdivision connus, ainsi que de nombreuses autres.

Dans de nombreux domaines d'applications, une variété plongée dans l'espace euclidien est souvent représentée par un échantillon de points. Nous définissons dans cette thèse un système de coordonnées associé à un tel échantillon sur la variété qui généralise les coordonnées naturelles définies par Sibson. Nous exhibons ses propriétés mathématiques fondamentales ainsi que son application à l'interpolation d'une fonction définie sur la variété. Nous introduisons la notion d'atlas de Voronoï, défini comme un ensemble de cellules approximant le diagramme de Voronoï restreint à la variété et montrons son application à la reconstruction de surface et au remaillage. Enfin, nous étendons les propriétés des coordonnées naturelles aux diagrammes de puissance et proposons une synthèse des méthodes d'interpolation par coordonnées naturelles. Cette dernière détaille des preuves omises dans les articles originaux.

Depuis quelques années, les déformations sont utilisées en synthèse d'images pour la modélisation des solides. La déformation libre est une méthode de transformation qui déforme des objets en déplaçant un maillage de points de contrôle définis dans un repère local et en utilisant une interpolation volumique. Deux extensions ont été développées. La première utilise l'interpolation de type b-spline, au lieu de l'interpolation de type bezier. La deuxième utilise un repère local cylindrique ou sphérique, au lieu d'un repère local cartésien. Pour visualiser des objets déformés un algorithme de facettisation adaptative est proposé. Pour déplacer des points de contrôle dans l'espace 3d avec un localiseur 2d, un curseur 3d est utilisé.

Actuellement, la restauration des oeuvres d'art, notamment des statues fracturées, repose sur des techniqueséprouvées, mais empiriques. Les statues endommagées comportent souvent des parties brisées. Leur restaurationconsiste la plupart du temps à les rassembler. Ainsi apparait la nécessité de prendre en compte lespropriétés mécaniques des interfaces entre les différentes parties brisées, ce qui permet de limiter l'ampleur desréparations et ainsi, de mieux conserver l'intégrité de l'oeuvre. Par ailleurs, les techniques numériques d'acquisition3D font leur entrée au service de la conservation du patrimoine. Cette thèse propose une méthodologiecapable d'utiliser des données issues d'une acquisition 3D pour simuler les opérations de restauration et leurseffets sur la structure de l'oeuvre. Les processus de restauration peuvent ainsi être testés et optimisés.Un scanner laser est utilisé pour l'acquisition de la géométrie des oeuvres, ce qui nous permet de reconstruireun modèle 3D pour la simulation numérique. Les calculs sont menés dans le cadre de la mécanique des milieuxcontinus déformables avec FLAC3D. Pour vérifier tous les points clés garantissant la stabilité mécanique, lecomportement des éléments de renforts et celui des interfaces entre les blocs ont été considérés. À partirdes résultats de ces études, une critique des stratégies de restauration mises en oeuvre ou envisageables estproposée.De plus, plusieurs méthodes de caractérisation visant à retrouver la provenance du matériau et/ou estimerles propriétés mécaniques de l'oeuvre sont proposées : caractérisations physico-chimiques et minéralogiques,essais non destructifs et destructifs. Une campagne expérimentale visant à caractériser le comportement desfractures en contact frottant avec acquisition de l'état de surface a été réalisée. Une analyse des corrélationsentre les propriétés mécaniques et morphologique des interfaces est ensuite élaborée. Enfin nous proposonsdes modèles prédictifs construits par régressions linéaires multiples et multivariées. Cette étude permet desimuler le comportement d'une oeuvre fracturée.

Les objets bifurcation, du fait de leurs topologies non homotopiques aux classiques surfaces sphériques, cylindriques ou toriques, sont des entités difficilement paramétrables de façon naturelle. Relevant du domaine de la modélisation et de l'imagerie, ce travail de thèse présente, dans un premier temps, de possibles paramétrages planaires univoques de cette entité, dont un particulier, d'inspiration physique, a permis la génération d'une surface C1 de topologie compatible: bâtie comme une enveloppe de superquadriques reposant sur un squelette déformable, elle est entièrement définie par la donnée de 24 paramètres. Dans un second temps, motivé par l'amélioration de l'étude d'un marqueur indirect des maladies cardiovasculaires, première cause de mortalité dans les pays industrialisés, cette surface est déformée à partir de données échographiques 2.5D de la bifurcation de l'artère Carotide : pour obtenir ces données, un système d'acquisition, intégrant un localisateur optique à marqueurs actifs, a été développé et évalué. Enrichi successivement par des informations a priori complémentaires de différents types, ce modèle est alors mis en correspondance par deux méthodes distinctes ("extraction puis ajustement", "contours actifs") avec les données échographiques précédemment acquises. Les premiers résultats obtenus sont présentés dans ce travail.

Le morphing est la transformation progressive et lisse d'un modèle en un autre par interpolation. Le problème est de créer une transition entre deux formes qui soit esthétique et intuitive. Les formes intermédiaires doivent préserver l'apparence et les propriétés des formes en entrée. Le processus de morphing se décompose en deux problèmes : le couplage des sommets (trouver une correspondance entre les caractéristiques géométriques des objets) et la trajectoire des sommets (trouver la trajectoire suivie par deux éléments correspondants au cours du morphing). Ces deux problèmes suscitent toujours beaucoup d'intérêt en recherche, puisqu'il n'existe pas à ce jour de définition formelle d'une solution satisfaisante. Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de la trajectoire des sommets au cours du morphing. Nous présentons un nouvel algorithme de morphing de courbes utilisant une décomposition multirésolution intrinsèque que nous introduisons, basée sur des quantités intrinsèques des courbes polygonales : les longueurs et angles. Elle présente l'avantage que l'orientation des détails suit naturellement n'importe quelle déformation. Le principe du morphing multirésolution est d'interpoler séparément les coefficients grossiers et ceux de détails issus de la décomposition multirésolution. Les polygones intermédiaires se comportent naturellement et leur distorsion est minimale grâce à la représentation multirésolution intrinsèque que nous avons développée. Nous montrons la robustesse de notre algorithme sur des polygones de grande taille comportant de nombreux détails. Nous déclinons notre morphing MR pour les courbes planaires, puis pour les courbes de l'espace.

De nos jours, les objets virtuels sont devenus omniprésents. On les trouve dans de nombreux domaines comme le divertissement (cinéma, jeux vidéo, etc.), la conception assistée par ordinateur ou encore la réalité virtuelle. Nous nous intéressons en particulier à la modélisation d'objets 3D dans le domaine de la création artistique. Ici, la création d'images riches nécessite de faire appel à des modèles très détaillés et donc extrêmement complexes. Les surfaces de subdivision, traditionnellement utilisées dans ces domaines, voient leur complexité croître rapidement lorsqu'on ajoute des détails, et la gestion de la connectivité du maillage de contrôle devient trop contraignante. Une approche standard pour gérer la complexité de tels modèles est d'utiliser des représentations différentes pour la forme générale de la surface et les détails. Cependant, ces détails sont représentés par des cartes matricielles qui ne possèdent pas la plupart des avantages des représentations vectorielles, et cela complexifie certaines tâches, comme par exemple l'animation. Dans cette thèse, nous proposons deux nouvelles représentations vectorielles, la première pour les surfaces de base, la deuxième pour les détails. Nous utilisons pour cette dernière une représentation vectorielle appelée images de diffusion permettant de créer des variations lisses à l'aide d'un ensemble réduit de contraintes. Cela nous permet de représenter aussi bien la géométrie que la couleur ou d'autres paramètres nécessaires au rendu de façon purement vectoriel, en conservant des contrôles de haut niveau. Notre première contribution est une représentation de surfaces, baptisée LS3, issue de la combinaison entre surfaces de subdivision et -point set surfaces. Cette approche réduit notablement les artefacts des surfaces de subdivision aux alentours de sommets dits extraordinaires, qui sont connus pour poser problème. Nous présentons une analyse numérique des propriétés de ces surfaces, qui tend à montrer que du point de vue de la continuité elles se comportent au moins aussi bien que les schémas de subdivision linéaires traditionnels. Notre deuxième contribution est un solveur pour les images de diffusion dont le principal avantage est de produire en sortie une autre représentation vectorielle légère et très rapide à évaluer. Nous illustrons la force de note solveur sur de nombreux exemples difficiles ou impossibles à réaliser avec les méthodes précédentes. Pour conclure, nous montrons comment combiner nos deux contributions pour obtenir une représentation de surface entièrement vectorielle capable de représenter des détails sans avoir à manipuler la connectivité d'un maillage.