Le cadre de cette thèse est celui de la théorie des représentations p-adiques, et plus particulièrement la théorie de Fontaine. Je m'intéresse au cas d'une extension métabélienne d'un corps local et construit un (phi, Gamma)-module adapté à cette extension, puis je fournis des généralisations de certains outils usuels associés à ce (phi, Gamma)-module tel qu'un complexe calculant la cohomologie de la représentation. J'établis encore les formules explicites du dictionnaire entre le monde des représentations et celui des (phi, Gamma)-modules, pour le complexe de Herr, le cup-produit ou l'application de Kummer.<br /><br />La seconde partie de ce travail est dévolue à la preuve de la loi de réciprocité de Brückner-Vostokov pour un groupe formel. Je combine pour cela des méthodes relevant des (phi, Gamma)-modules à l'aide des résultats de la première partie et des techniques spécifiques introduites par Abrashkin à travers une interprétation cohomologique de ses travaux. J'obtiens ainsi une preuve de la loi de réciprocité libre de toute hypothèse non naturelle sur l'appartenance de racines de l'unité au corps de base.

Cette thèse étudie l'existence de points de torsion pour les modules de Drinfeld de rang 2 sur des extensions finies de F_q(T), pour q puissance d'un nombre premier. Notre approche suit celle de Mazur et Merel pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres : nous introduisons un quotient de la jacobienne d'une courbe modulaire de Drinfeld, défini à l'aide d'un symbole modulaire de Teitelbaum particulier, et étudions ses propriétés. Sous une hypothèse de dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires pour F_q[T], ainsi qu'une hypothèse technique mineure, on montre le résultat suivant : s'il existe un module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus q de F_q(T), muni d'un point de torsion d'ordre un idéal premier n de F_q[T], alors le degré de n est au plus max(q,4). Nous utilisons pour cela une description de l'action de l'algèbre de Hecke sur les symboles modulaires de Teitelbaum et sur les formes modulaires pour F_q[T]. Lorsque le degré de n est petit, on obtient des résultats non conditionnels : il n'existe aucun module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus 2 (resp. au plus 3) de F_q(T) possédant un point de torsion d'ordre un idéal premier de degré 3 (resp. de degré 4 si q est au moins 7). Cela confirme partiellement une conjecture de Poonen et Schweizer de borne uniforme sur la torsion des modules de Drinfeld.

Cette thèse se compose de deux parties: dans la première on démontre une généralisation du théorème de Gabriel sur les faisceaux cohérents au cas des faisceaux cohérents tordus. Plus précisément, on démontre que tout schéma noethérien X peut être reconstruit à partir de sa catégorie abélienne Coh(X,\alpha) des faisceaux cohérents tordus par un élément \alpha du groupe de Brauer cohomologique de X. Dans la deuxième partie on étudie les deux espaces des modules M_{10} et M_{6} introduits par O'Grady, qu'il utilise pour obtenir ses deux nouveaux examples de variétés irréductibles symplectiques de dimension 10 et 6 respectivement. On calcule les groupes de Picard de M_{10} et M_{6}, et on démontre que ces deux variétés ne sont pas localement factorielles, mais 2-factorielles. Ceci est accompli en utilisant les résultats de Rapagnetta sur la cohomologie et la forme de Beauville-Bogomolov de M_{10} et M_{6}, et en étudiant les propriétés du morphisme de Le Potier dans ces deux cas.

Il existe de nombreuses situations où des objets géométriques ou topologiques (comme les configurations de points du plan, les applications lisses entre variétés, les hypersurfaces projectives complexes) sont paramétrés par des éléments d'un espace vectoriel. Un discriminant (généralisé) est un sous-ensemble formé des éléments singuliers (dans un sens à préciser) d'un tel espace vectoriel. Par la dualité d'Alexander, les groupes de cohomologie du complémentaire d'un discriminant sont isomorphes aux groupes d'homologie de Borel-Moore du discriminant même. Souvent, ces derniers groupes peuvent être calculés en utilisant une certaine résolution naturelle du faisceau constant sur le discriminant ; par référence à leur construction, ces <br />résolutions sont parfois appelées coniques.<br /><br />Dans cette thèse, nous généralisons la méthode des résolutions coniques qui a été proposée par V. A. Vassiliev afin d'étudier la cohomologie des espaces des hypersurfaces projectives lisses complexes. Notre construction se base sur les relations d'inclusion entre les lieux singuliers plutôt qu'entre les systèmes linéaires correspondants. Cela nous permet d'effectuer certains calculs qui semblent être hors de portée de l'approche originelle. Pour illustrer notre méthode, nous calculons la cohomologie rationnelle de l'espace des courbes lisses complexes planes de degré 5, de l'espace des courbes bielliptiques lisses sur une quadrique non dégénérée dans l'espace projectif complexe de dimension 3, ainsi que de l'espace des courbes cubiques réelles lisses planes.<br /><br />La thèse contient un appendice où l'on démontre le résultat suivant. Supposons que le cercle est muni d'un atlas où tous les changements de cartes sont des homographies ; alors ce cercle borde une surface orientable munie d'un atlas où tous les changements de cartes sont aussi des homographies (à coefficients<br />complexes cette fois-ci) et sont compatibles dans le sens évident avec les applications de changement de cartes sur le bord. Dans l'appendice, nous montrons également que la classification des structures projectives sur le cercle donnée il y a longtemps par N. Kuiper n'est pas tout à fait correcte, et nous complétons cette classification.

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'arithmétique des corps de fonctions et à leurs applications à la cryptologie. Tout d'abord, on présente des résultats classiques et généraux sur les polynômes irréductibles: tests d'irréductibilité, dénombrement des polynômes irréductibles, et construction par composition ou récurrence. Ensuite, on rappelle les propriétés élémentaires des corps de nombres $p$-adiques, la formule donnant le discriminant d'un trinômial, le théorème de Swan ainsi qu'une application: il n'existe pas de trinômial irréductible sur $(\bf F)_2$ de degré $n$ divisible par huit. On applique alors ces méthodes aux pentanômiaux. Ensuite, on présente la théorie générale des modules de Drinfeld sur $A=(\bf F)_q [T]$ et on dresse une liste d'analogie entre courbes elliptiques et modules de Drinfeld: structure des points de torsion, isogénies et théorème de Hasse. En utilisant des techniques élémentaires on donne une description explicite des points de torsions dans $A$ lorsque le module de Drinfeld est entier, ainsi qu'une borne unforme pour la torsion dans les extensions entières finies de $A$. Enfin, dans le dernier chapitre, on s'intéresse aux modules de Drinfeld sur un corps fini et leurs applications à la cryptologie.

Dans la théorie des D-modules, on définit les systèmes de Gauss-Manin par l'image directe par un morphisme du faisceau structural. Un résultat essentiel est leur régularité. Dans cette thèse, on s'intéresse à l'irrégularité d'un analogue des systèmes de Gauss-Manin, l'image directe par un polynôme f d'un D-module élémentaire associé à un polynôme g, essentiellement dans le cas à deux variables. On utilisera deux approches que l'on comparera. Cette irrégularité permet de contrôler la croissance non modérée des intégrales d'une forme algébrique relative sur une collection de classes d'homologie dans les fibres de f, localement constante à supports fermés convenablement choisis. Dans une première méthode, nous exprimerons l'irrégularité en c de ces systèmes à l'aide de la courbe discriminante de f et g. On utilisera pour cela les travaux de Lê Dung Trang et C. Weber sur les résolutions à l'infini. En utilisant le théorème de commutation dû à Z. Mebkhout de l'image directe avec le complexe d'irrégularité, on se ramène alors aux calculs de caractéristiques d'Euler de complexes d'irrégularité de D-modules à deux variables dont le lieu singulier est un croisement normal. Un résultat de C. Sabbah permet alors de lier ces caractéristiques d'Euler à celles d'une fibre de Milnor. Pour l'irrégularité à l'infini, il faut ajouter une courbe spéciale qui provient des diviseurs dicritiques pour f et g d'une résolution à l'infini. Dans une deuxième méthode, on se ramènera au cas où f et g sont des projections. On exprimera alors l'irrégularité en fonction des cycles caractéristiques du complexe image directe par (f,g) du faisceau structural.

La notion de modules de Drinfeld est le centre de cette thèse, cette notion fut introduite par Drinfeld en 1973, comme étant des " modules elliptiques" appelés de nos jours modules de Drinfeld. Ceux sont des objets algèbriques analogues aux courbes elliptiques sur les corps des nombres et sur les corps finis, obtenus par la réduction modulo une place non-archimédiennene. Une étude de l'arithmétique de tels objet devient légitime, motivée par l'arithmétique des courbes définies sur un corps fini initiée par Artin, Hasse et Weil. Dans cette direction on pousse cette analogie, pour un module de Drinfeld de rang 2, à la majorité de points étudiés pour des courbes elliptiques sur un corps fini. On donne plus précisement un analogue du théorème de Weil, théorème de Deuring-Waterhouse, et un analogue du travail de S. Vladut sur la cyclicité de tel structure algébrique.

L'objet de cette thèse est d'étudier les systèmes linéaires sur le champ algébrique des fibrés quasi-paraboliques sur une courbe algébrique. Dans la première partie nous montrons que la puissance $\ell$-ième du fibré déterminant sur l'espace de modules des fibrés paraboliques semi-stables (au sens de Seshadri) est un système linéaire sans points de base, dès que $\ell$ est supérieur ou égal à un entier $\ell_0$, que nous déterminons et qui ne dépend que du rang des fibrés vectoriels sous-jacents. Ce résultat repose sur l'existence d'un analogue (quasi-)parabolique du schéma des quotients de Grothendieck. Dans la seconde partie nous étudions le lieu de base des systèmes linéaires sur le champ algébrique des fibrés quasi-paraboliques. Le théorème obtenu dans la première partie sur le fibré déterminant parabolique nous permet d'identifier ce lieu de base et le sous-champ fermé des fibrés quasi-paraboliques instables, pour un choix de poids déterminé par le système linéaire.

Nous démontrons une version pour la caractéristique p d'un cas spécial de la conjecture d'André-Oort. Plus précisement, soit Z le produit de n courbes modulaires de Drinfeld, et soit X une sous-variété algébrique irréductible de Z. Alors nous démontrons que X contient un ensemble Zariski-dense de points CM (c.a.d. points correspondant aux n-uples de A-modules de Drinfeld de rang 2 avec mulitplications complexes, où A=F_q[T], et q est une puissance d'un nombre prémier impair) si et seulement si X est une sous-variété dite modulaire. Notre approche répose sur une approche (en caractéristique 0) due à Edixhoven.

Dans ce travail, on étudie les espaces des modules dans le cadre de la géométrie hyperbolique complexe. L'espace des modules des variétés hyperboliques a été auparavant construit par Brody et Wright. On montre l'existence de l'espace des modules des espaces complexes hyperboliques, en considérant des déformations localement triviales et des déformations équisingulières et que ces dernières ne dépendent pas de la résolution choisie en utilisant le théorème de factorisation faible des applications birationelles entre variétés projectives. La construction utilise un critère de représentabilité des foncteurs analytiques par un espace de modules grossier, du à Schumacher et Kosarew-Okonek. Les deux ingrédients principaux de la construction sont l'existence d'une déformation semi-universelle et le théorème de stabilité sur les fibres proches de l'hyperbolicité à travers des morphismes propres. Enfin, en appliquant le même critère, on obtient l'espace des modules des variétés hyperboliquement plongées. Les objets des déformations sont des couples $(X,D)$ où $X$ est une variété compacte et $D$ un diviseur à croisement normaux dans $X$ tel que $X \setminus D$ soit hyperboliquement plongé dans $X$. Les déformations considérées ici sont les déformations logarithmiques.