Dans la modélisation statistique, nous sommes le plus souvent amené à supposer que le phénomène étudié est généré par une structure pouvant s’ajuster aux données observées. Cette structure fait apparaître une partie principale qui représente le mieux possible le phénomène étudié et qui devrait expliquer les données et une partie supposée négligeable appelée erreur ou innovation. Cette structure complexe est communément appelée un modèle, dont la forme peut être plus ou moins complexe. Afin de simplifier la structure, il est souvent supposé qu’elle repose sur un nombre fini de valeurs, appelées paramètres. Basé sur les données, ces paramètres sont estimés avec ce que l’on appelle des estimateurs. La qualité du modèle pour les données à notre disposition est également fonction des estimateurs et de leurs propriétés, par exemple, est-ce que les estimateurs sont raisonnablement proches des valeurs idéales, c’est-à-dire les vraies valeurs. Des questions d’importance portent sur la qualité de l’ajustement d’un modèle aux données, ce qui se fait par l’étude des propriétés probabilistes et statistiques du terme d’erreur. Aussi, l’étude des relations ou l’absence de ces dernières entre les phénomènes sous des hypothèses complexes sont aussi d’intérêt. Des approches possibles pour cerner ce genre de questions consistent dans l’utilisation des tests portemanteaux, dits également tests de diagnostic. La thèse est présentée sous forme de trois projets. Le premier projet est rédigé en langue anglaise. Il s’agit en fait d’un article actuellement soumis dans une revue avec comité de lecture. Dans ce projet, nous étudions le modèle vectoriel à erreurs multiplicatives (vMEM) pour lequel nous utilisons les propriétés des estimateurs des paramètres du modèle selon la méthode des moments généralisés (GMM) afin d’établir la distribution asymptotique des autocovariances résiduelles. Ceci nous permet de proposer des nouveaux tests diagnostiques pour ce type de modèle. Sous l’hypothèse nulle d’adéquation du modèle, nous montrons que la statistique usuelle de Hosking-Ljung-Box converge vers une somme pondérée de lois de khi-carré indépendantes à un degré de liberté. Un test généralisé de Hosking-Ljung-Box est aussi obtenu en comparant la densité spectrale des résidus de l’estimation et celle présumée sous l’hypothèse nulle. Un avantage des tests spectraux est qu’ils nécessitent des estimateurs qui convergent à la vitesse n−1/2 où n est la taille de l’échantillon, et leur utilisation n’est pas restreinte à une technique particulière, comme par exemple la méthode des moments généralisés. Dans le deuxième projet, nous établissons la distribution asymptotique sous l’hypothèse de faible dépendance des covariances croisées de deux processus stationnaires en covariance. La faible dépendance ici est définie en terme de l’effet limité d’une observation donnée sur les observations futures. Nous utilisons la notion de stabilité et le concept de contraction géométrique des moments. Ces conditions sont plus générales que celles de l’invariance des moments conditionnels d’ordre un à quatre utilisée jusque là par plusieurs auteurs. Un test statistique basé sur les covariances croisées et la matrice des variances et covariances de leur distribution asymptotique est alors proposé et sa distribution asymptotique établie. Dans l’implémentation du test, la matrice des variances et covariances des covariances croisées est estimée à l’aide d’une procédure autorégressive vectorielle robuste à l’autocorrélation et à l’hétéroscédasticité. Des simulations sont ensuite effectuées pour étudier les propriétés du test proposé. Dans le troisième projet, nous considérons un modèle périodique multivarié et cointégré. La présence de cointégration entraîne l’existence de combinaisons linéaires périodiquement stationnaires des composantes du processus étudié. Le nombre de ces combinaisons linéaires linéairement indépendantes est appelé rang de cointégration. Une méthode d’estimation en deux étapes est considérée. La première méthode est appelée estimation de plein rang. Dans cette approche, le rang de cointégration est ignoré. La seconde méthode est appelée estimation de rang réduit. Elle tient compte du rang de cointégration. Cette dernière est une approche non linéaire basée sur des itérations dont la valeur initiale est l’estimateur de plein rang. Les propriétés asymptotiques de ces estimateurs sont aussi établies. Afin de vérifier l’adéquation du modèle, des statistiques de test de type portemanteau sont considérées et leurs distributions asymptotiques sont étudiées. Des simulations sont par la suite présentées afin d’illustrer le comportement du test proposé. / In statistical modeling, we assume that the phenomenon of interest is generated by a model that can be fitted to the observed data. The part of the phenomenon not explained by the model is called error or innovation. There are two parts in the model. The main part is supposed to explain the observed data, while the unexplained part which is supposed to be negligible is also called error or innovation. In order to simplify the structures, the model are often assumed to rely on a finite set of parameters. The quality of a model depends also on the parameter estimators and their properties. For example, are the estimators relatively close to the true parameters ? Some questions also address the goodness-of-fit of the model to the observed data. This question is answered by studying the statistical and probabilistic properties of the innovations. On the other hand, it is also of interest to evaluate the presence or the absence of relationships between the observed data. Portmanteau or diagnostic type tests are useful to address such issue. The thesis is presented in the form of three projects. The first project is written in English as a scientific paper. It was recently submitted for publication. In that project, we study the class of vector multiplicative error models (vMEM). We use the properties of the Generalized Method of Moments to derive the asymptotic distribution of sample autocovariance function. This allows us to propose a new test statistic. Under the null hypothesis of adequacy, the asymptotic distributions of the popular Hosking-Ljung-Box (HLB) test statistics are found to converge in distribution to weighted sums of independent chi-squared random variables. A generalized HLB test statistic is motivated by comparing a vector spectral density estimator of the residuals with the spectral density calculated under the null hypothesis. In the second project, we derive the asymptotic distribution under weak dependence of cross covariances of covariance stationary processes. The weak dependence is defined in term of the limited effect of a given information on future observations. This recalls the notion of stability and geometric moment contraction. These conditions of weak dependence defined here are more general than the invariance of conditional moments used by many authors. A test statistic based on cross covariances is proposed and its asymptotic distribution is established. In the elaboration of the test statistics, the covariance matrix of the cross covariances is obtained from a vector autoregressive procedure robust to autocorrelation and heteroskedasticity. Simulations are also carried on to study the properties of the proposed test and also to compare it to existing tests. In the third project, we consider a cointegrated periodic model. Periodic models are present in the domain of meteorology, hydrology and economics. When modelling many processes, it can happen that the processes are just driven by a common trend. This situation leads to spurious regressions when the series are integrated but have some linear combinations that are stationary. This is called cointegration. The number of stationary linear combinations that are linearly independent is called cointegration rank. So, to model the real relationship between the processes, it is necessary to take into account the cointegration rank. In the presence of periodic time series, it is called periodic cointegration. It occurs when time series are periodically integrated but have some linear combinations that are periodically stationary. A two step estimation method is considered. The first step is the full rank estimation method that ignores the cointegration rank. It provides initial estimators to the second step estimation which is the reduced rank estimation. It is non linear and iterative. Asymptotic properties of the estimators are also established. In order to check for model adequacy, portmanteau type tests and their asymptotic distributions are also derived and their asymptotic distribution are studied. Simulation results are also presented to show the behaviour of the proposed test.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

La thèse concerne différents aspects de la répartition des fonctions arithmétiques.1. Deshouillers, Iwaniec et Luca se sont récemment intéressés à la répartition modulo 1 de suites qui sont des valeurs moyennes de fonctions multiplicatives, par exemple phi(n)/n où phi est la fonction d'Euler. Nous étendons leur travail à la densité modulo 1 de suites qui sont des valeurs moyennes sur des suites polynômiales, typiquement n^2+1.2. On sait depuis les travaux de Katai, il y a une quarantaine d'années que la fonction de répartition des valeurs de phi(p-1)/(p-1) (où p parcourt les nombres premiers) est continue, purement singulière, strictement croissante entre 0 et 1/2. On précise cette étude en montrant que cette fonction de répartition a une dérivée infinie à gauche de tout point phi(2n)/(2n). / Abstract

La combinatoire a permis de résoudre certains problèmes en Mathématiques, en Physique et en Informatique, en retour celles-ci inspirent des questions nouvelles à la combinatoire. Ce mémoire de thèse intitulé "Combinatoire et algorithme des factorisations tangentes à l'identité" regroupe plusieurs travaux sur la combinatoire des déformations du produit de Shuffle. L'objectif de cette thèse est d'écrire des factorisations dont le terme principal est l'identité à travers l'utilisation d'outils portant principalement sur la combinatoire des mots (ordres, graduation etc.). Dans le cas classique, soit F une algèbre libre. En raison du fait que F est une algèbre enveloppante, on a une factorisation exacte de l'identité de End(F) = F*⨶F comme un produit infini d'exponentielles (End(F) étant muni du produit de Shuffle sur la gauche et de la concaténation sur la droite, une représentation fidèle du produit de convolution). La procédure est la suivante : premièrement on commence avec une base de Poincaré-Birkhoff-Witt, deuxièmement on calcule la famille des formes coordonnées et alors les propriétés (combinatoires) non triviales de ces familles en dualité donne la factorisation. Si on part de l'autre côté, l'écriture pour le même produit ne donne exactement l'identité que sous des conditions très restrictives que nous précisons ici. Dans de nombreux autres cas (déformés), la construction explicite des paires de bases en dualité nécessite une étude combinatoire et algorithmique que nous fournissons dans ce mémoire. / Combinatorics has solved many problems in Mathematics, Physics and Computer Science, in return these domains inspire new questions to combinatorics. This memoir entitled "Combinatorics and algorithmics of factorization tangent to indentity includes several works on the combinatorial deformations of the shuffle product. The aim of this thesis is to write factorizations wich principal term is the identity through the use of tools relating mainly to combinatorics on the words (orderings, grading etc). In the classical case, let F be the free algebra. Due to the fact that F is an enveloping algebra, one has an exact factorization of the identity of End(F) = F⨶F as an infinite product of exponentials (End(F) being endowed with the shuffle product on the left and the concatenation on the right, a faithful representation of the convolution product) as follows : first on begins with a PBW basis, second one computes the family of coordinate forms and then non-trivial (combinatorial) properties of theses families in duality gives the factorization. Starting from the other side and writing the same product does give exactly identity only under very restrictive conditions that we clarify here. In many other (deformed) cases, the explicit construction of pairs of bases in duality requires combinatorial and algorithmic studies that we provide in this memoir.

Soit q ⩾ 2 une puissance première fixe. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier le comportement asymptotique de la fonction arithmétique Π_q(n,k) comptant le nombre de polynômes moniques de degré n et ayant exactement k facteurs irréductibles (avec multiplicité) sur le corps fini F_q. Warlimont et Car ont montré que l’objet Π_q(n,k) est approximativement distribué de Poisson lorsque 1 ⩽ k ⩽ A log n pour une constante A > 0. Plus tard, Hwang a étudié la fonction Π_q(n,k) pour la gamme complète 1 ⩽ k ⩽ n. Nous allons d’abord démontrer une formule asymptotique pour Π_q(n,k) en utilisant une technique analytique classique développée par Sathe et Selberg. Nous reproduirons ensuite une version simplifiée du résultat de Hwang en utilisant la formule de Sathe-Selberg dans le champ des fonctions. Nous comparons également nos résultats avec ceux analogues existants dans le cas des entiers, où l’on étudie tous les nombres naturels jusqu’à x avec exactement k facteurs premiers. En particulier, nous montrons que le nombre de polynômes moniques croît à un taux étonnamment plus élevé lorsque k est un peu plus grand que logn que ce que l’on pourrait supposer en examinant le cas des entiers. Pour présenter le travail ci-dessus, nous commençons d’abord par la théorie analytique des nombres de base dans le contexte des polynômes. Nous introduisons ensuite les fonctions arithmétiques clés qui jouent un rôle majeur dans notre thèse et discutons brièvement des résultats bien connus concernant leur distribution d’un point de vue probabiliste. Enfin, pour comprendre les résultats clés, nous donnons une discussion assez détaillée sur l’analogue de champ de fonction de la formule de Sathe-Selberg, un outil récemment développé par Porrit et utilisons ensuite cet outil pour prouver les résultats revendiqués. / Let q ⩾ 2 be a fixed prime power. The main objective of this thesis is to study the asymptotic behaviour of the arithmetic function Π_q(n,k) counting the number of monic polynomials that are of degree n and have exactly k irreducible factors (with multiplicity) over the finite field F_q. Warlimont and Car showed that the object Π_q(n,k) is approximately Poisson distributed when 1 ⩽ k ⩽ A log n for some constant A > 0. Later Hwang studied the function Π_q(n,k) for the full range 1 ⩽ k ⩽ n. We will first prove an asymptotic formula for Π_q(n,k) using a classical analytic technique developed by Sathe and Selberg. We will then reproduce a simplified version of Hwang’s result using the Sathe-Selberg formula in the function field. We also compare our results with the analogous existing ones in the integer case, where one studies all the natural numbers up to x with exactly k prime factors. In particular, we show that the number of monic polynomials grows at a surprisingly higher rate when k is a little larger than logn than what one would speculate from looking at the integer case. To present the above work, we first start with basic analytic number theory in the context of polynomials. We then introduce the key arithmetic functions that play a major role in our thesis and briefly discuss well-known results concerning their distribution from a probabilistic point of view. Finally, to understand the key results, we give a fairly detailed discussion on the function field analogue of the Sathe-Selberg formula, a tool recently developed by Porrit and subsequently use this tool to prove the claimed results.