Aktuelle Studien belegen ein rasantes, mehrdimensionales Wachstum in analytischen Datenbanken: Das Datenvolumen verzehnfachte sich in den letzten vier Jahren, die Anzahl der Nutzer wuchs um durchschnittlich 25% pro Jahr und die Anzahl der Anfragen verdoppelte sich seit 2004 jährlich. Bei den Anfragen handelt es sich zunehmend um komplexe Verbundanfragen mit Aggregationen; sie sind häufig explorativer Natur und werden interaktiv an das System gestellt. Eine Möglichkeit, der Forderung nach Interaktivität bei diesem starken, mehrdimensionalen Wachstum nachzukommen, stellen Stichproben und eine darauf aufsetzende näherungsweise Anfrageverarbeitung dar. Diese Lösung bietet signifikant kürzere Antwortzeiten sowie Schätzungen mit probabilistischen Fehlergrenzen. Mit den Operationen Verbund, Gruppierung und Aggregation als Hauptbestandteile analytischer Anfragen ergeben sich folgende Anforderungen an das Design von Stichproben in analytischen Datenbanken: Zwischen den Stichproben fremdschlüsselverbundener Relationen ist die referenzielle Integrität zu gewährleisten, sämtliche Gruppen sind angemessen zu repräsentieren und Aggregationsattribute sind auf extreme Werte zu untersuchen. In dieser Dissertation wird für jedes dieser Teilprobleme ein Stichprobenverfahren vorgestellt, das sich durch speicherplatzbeschränkte Stichproben und geringe Schätzfehler auszeichnet. Im ersten der vorgestellten Verfahren wird durch eine korrelierte Stichprobenerhebung die referenzielle Integrität bei minimalem zusätzlichen Speicherplatz gewährleistet. Das zweite vorgestellte Stichprobenverfahren hat durch eine Berücksichtigung der Streuung der Daten eine angemessene Repräsentation sämtlicher Gruppen zur Folge und unterstützt damit beliebige Gruppierungen, und im dritten Verfahren ermöglicht eine mehrdimensionale Ausreißerbehandlung geringe Schätzfehler für beliebig viele Aggregationsattribute. Für jedes dieser Verfahren wird die Qualität der resultierenden Stichprobe diskutiert und bei der Berechnung speicherplatzbeschränkter Stichproben berücksichtigt. Um den Berechnungsaufwand und damit die Systembelastung gering zu halten, werden für jeden Algorithmus Heuristiken vorgestellt, deren Kennzeichen hohe Effizienz und eine geringe Beeinflussung der Stichprobenqualität sind. Weiterhin werden alle möglichen Kombinationen der vorgestellten Stichprobenverfahren betrachtet; diese Kombinationen ermöglichen eine zusätzliche Verringerung der Schätzfehler und vergrößern gleichzeitig das Anwendungsspektrum der resultierenden Stichproben. Mit der Kombination aller drei Techniken wird ein Stichprobenverfahren vorgestellt, das alle Anforderungen an das Design von Stichproben in analytischen Datenbanken erfüllt und die Vorteile der Einzellösungen vereint. Damit ist es möglich, ein breites Spektrum an Anfragen mit hoher Genauigkeit näherungsweise zu beantworten. / Recent studies have shown the fast and multi-dimensional growth in analytical databases: Over the last four years, the data volume has risen by a factor of 10; the number of users has increased by an average of 25% per year; and the number of queries has been doubling every year since 2004. These queries have increasingly become complex join queries with aggregations; they are often of an explorative nature and interactively submitted to the system. One option to address the need for interactivity in the context of this strong, multi-dimensional growth is the use of samples and an approximate query processing approach based on those samples. Such a solution offers significantly shorter response times as well as estimates with probabilistic error bounds. Given that joins, groupings and aggregations are the main components of analytical queries, the following requirements for the design of samples in analytical databases arise: 1) The foreign-key integrity between the samples of foreign-key related tables has to be preserved. 2) Any existing groups have to be represented appropriately. 3) Aggregation attributes have to be checked for extreme values. For each of these sub-problems, this dissertation presents sampling techniques that are characterized by memory-bounded samples and low estimation errors. In the first of these presented approaches, a correlated sampling process guarantees the referential integrity while only using up a minimum of additional memory. The second illustrated sampling technique considers the data distribution, and as a result, any arbitrary grouping is supported; all groups are appropriately represented. In the third approach, the multi-column outlier handling leads to low estimation errors for any number of aggregation attributes. For all three approaches, the quality of the resulting samples is discussed and considered when computing memory-bounded samples. In order to keep the computation effort - and thus the system load - at a low level, heuristics are provided for each algorithm; these are marked by high efficiency and minimal effects on the sampling quality. Furthermore, the dissertation examines all possible combinations of the presented sampling techniques; such combinations allow to additionally reduce estimation errors while increasing the range of applicability for the resulting samples at the same time. With the combination of all three techniques, a sampling technique is introduced that meets all requirements for the design of samples in analytical databases and that merges the advantages of the individual techniques. Thereby, the approximate but very precise answering of a wide range of queries becomes a true possibility.

Aktuelle Studien belegen ein rasantes, mehrdimensionales Wachstum in analytischen Datenbanken: Das Datenvolumen verzehnfachte sich in den letzten vier Jahren, die Anzahl der Nutzer wuchs um durchschnittlich 25% pro Jahr und die Anzahl der Anfragen verdoppelte sich seit 2004 jährlich. Bei den Anfragen handelt es sich zunehmend um komplexe Verbundanfragen mit Aggregationen; sie sind häufig explorativer Natur und werden interaktiv an das System gestellt. Eine Möglichkeit, der Forderung nach Interaktivität bei diesem starken, mehrdimensionalen Wachstum nachzukommen, stellen Stichproben und eine darauf aufsetzende näherungsweise Anfrageverarbeitung dar. Diese Lösung bietet signifikant kürzere Antwortzeiten sowie Schätzungen mit probabilistischen Fehlergrenzen. Mit den Operationen Verbund, Gruppierung und Aggregation als Hauptbestandteile analytischer Anfragen ergeben sich folgende Anforderungen an das Design von Stichproben in analytischen Datenbanken: Zwischen den Stichproben fremdschlüsselverbundener Relationen ist die referenzielle Integrität zu gewährleisten, sämtliche Gruppen sind angemessen zu repräsentieren und Aggregationsattribute sind auf extreme Werte zu untersuchen. In dieser Dissertation wird für jedes dieser Teilprobleme ein Stichprobenverfahren vorgestellt, das sich durch speicherplatzbeschränkte Stichproben und geringe Schätzfehler auszeichnet. Im ersten der vorgestellten Verfahren wird durch eine korrelierte Stichprobenerhebung die referenzielle Integrität bei minimalem zusätzlichen Speicherplatz gewährleistet. Das zweite vorgestellte Stichprobenverfahren hat durch eine Berücksichtigung der Streuung der Daten eine angemessene Repräsentation sämtlicher Gruppen zur Folge und unterstützt damit beliebige Gruppierungen, und im dritten Verfahren ermöglicht eine mehrdimensionale Ausreißerbehandlung geringe Schätzfehler für beliebig viele Aggregationsattribute. Für jedes dieser Verfahren wird die Qualität der resultierenden Stichprobe diskutiert und bei der Berechnung speicherplatzbeschränkter Stichproben berücksichtigt. Um den Berechnungsaufwand und damit die Systembelastung gering zu halten, werden für jeden Algorithmus Heuristiken vorgestellt, deren Kennzeichen hohe Effizienz und eine geringe Beeinflussung der Stichprobenqualität sind. Weiterhin werden alle möglichen Kombinationen der vorgestellten Stichprobenverfahren betrachtet; diese Kombinationen ermöglichen eine zusätzliche Verringerung der Schätzfehler und vergrößern gleichzeitig das Anwendungsspektrum der resultierenden Stichproben. Mit der Kombination aller drei Techniken wird ein Stichprobenverfahren vorgestellt, das alle Anforderungen an das Design von Stichproben in analytischen Datenbanken erfüllt und die Vorteile der Einzellösungen vereint. Damit ist es möglich, ein breites Spektrum an Anfragen mit hoher Genauigkeit näherungsweise zu beantworten. / Recent studies have shown the fast and multi-dimensional growth in analytical databases: Over the last four years, the data volume has risen by a factor of 10; the number of users has increased by an average of 25% per year; and the number of queries has been doubling every year since 2004. These queries have increasingly become complex join queries with aggregations; they are often of an explorative nature and interactively submitted to the system. One option to address the need for interactivity in the context of this strong, multi-dimensional growth is the use of samples and an approximate query processing approach based on those samples. Such a solution offers significantly shorter response times as well as estimates with probabilistic error bounds. Given that joins, groupings and aggregations are the main components of analytical queries, the following requirements for the design of samples in analytical databases arise: 1) The foreign-key integrity between the samples of foreign-key related tables has to be preserved. 2) Any existing groups have to be represented appropriately. 3) Aggregation attributes have to be checked for extreme values. For each of these sub-problems, this dissertation presents sampling techniques that are characterized by memory-bounded samples and low estimation errors. In the first of these presented approaches, a correlated sampling process guarantees the referential integrity while only using up a minimum of additional memory. The second illustrated sampling technique considers the data distribution, and as a result, any arbitrary grouping is supported; all groups are appropriately represented. In the third approach, the multi-column outlier handling leads to low estimation errors for any number of aggregation attributes. For all three approaches, the quality of the resulting samples is discussed and considered when computing memory-bounded samples. In order to keep the computation effort - and thus the system load - at a low level, heuristics are provided for each algorithm; these are marked by high efficiency and minimal effects on the sampling quality. Furthermore, the dissertation examines all possible combinations of the presented sampling techniques; such combinations allow to additionally reduce estimation errors while increasing the range of applicability for the resulting samples at the same time. With the combination of all three techniques, a sampling technique is introduced that meets all requirements for the design of samples in analytical databases and that merges the advantages of the individual techniques. Thereby, the approximate but very precise answering of a wide range of queries becomes a true possibility.

Der Fokus dieser Dissertation liegt darauf, effiziente numerische Methode für ungekoppelte lokal Lipschitz-stetige und quadratische stochastische Vorwärts-Rückwärtsdifferenzialgleichungen (BSDE) mit Endbedingungen von schwacher Regularität zu entwickeln. Obwohl BSDE viele Anwendungen in der Theorie der Finanzmathematik, der stochastischen Kontrolle und der partiellen Differenzialgleichungen haben, gibt es bisher nur wenige numerische Methoden. Drei neue auf Monte-Carlo- Simulationen basierende Algorithmen werden entwickelt. Die in der zeitdiskreten Approximation zu lösenden bedingten Erwartungen werden mittels der Methode der kleinsten Quadrate näherungsweise berechnet. Ein Vorteil dieser Algorithmen ist, dass sie als Eingabe nur Simulationen eines Vorwärtsprozesses X und der Brownschen Bewegung benötigen. Da sie auf modellfreien Abschätzungen aufbauen, benötigen die hier vorgestellten Verfahren nur sehr schwache Bedingungen an den Prozess X. Daher können sie auf sehr allgemeinen Wahrscheinlichkeitsräumen angewendet werden. Für die drei numerischen Algorithmen werden explizite maximale Fehlerabschätzungen berechnet. Die Algorithmen werden dann auf Basis dieser maximalen Fehler kalibriert und die Komplexität der Algorithmen wird berechnet. Mithilfe einer zeitlich lokalen Abschneidung des Treibers der BSDE werden quadratische BSDE auf lokal Lipschitz-stetige BSDE zurückgeführt. Es wird gezeigt, dass die Komplexität der Algorithmen im lokal Lipschitz-stetigen Fall vergleichbar zu ihrer Komplexität im global Lipschitz-stetigen Fall ist. Es wird auch gezeigt, dass der Vergleich mit bereits für Lipschitz-stetige BSDE existierenden Methoden für die hier vorgestellten Algorithmen positiv ausfällt. / The focus of the thesis is to develop efficient numerical schemes for quadratic and locally Lipschitz decoupled forward-backward stochastic differential equations (BSDEs). The terminal conditions satisfy weak regularity conditions. Although BSDEs have valuable applications in the theory of financial mathematics, stochastic control and partial differential equations, few efficient numerical schemes are available. Three algorithms based on Monte Carlo simulation are developed. Starting from a discrete time scheme, least-square regression is used to approximate conditional expectation. One benefit of these schemes is that they require as an input only the simulations of an explanatory process X and a Brownian motion W. Due to the use of distribution-free tools, one requires only very weak conditions on the explanatory process X, meaning that these methods can be applied to very general probability spaces. Explicit upper bounds for the error are obtained. The algorithms are then calibrated systematically based on the upper bounds of the error and the complexity is computed. Using a time-local truncation of the BSDE driver, the quadratic BSDE is reduced to a locally Lipschitz BSDE, and it is shown that the complexity of the algorithms for the locally Lipschitz BSDE is the same as that of the algorithm of a uniformly Lipschitz BSDE. It is also shown that these algorithms are competitive compared to other available algorithms for uniformly Lipschitz BSDEs.