Im Rahmen dieser Arbeit werden unterschiedliche Aspekte der korrelierten Elektronen-Kerndynamik, anhand verschiedener Modellsysteme untersucht. Dabei wird vor allem auf den Vergleich numerisch exakter und approximativer Methoden zur Beschreibung der Wellenpaketdynamik eingegangen, wobei bei letzterem das Augenmerk auf der Born-Oppenheimer (BO) Näherung liegt. Die verwendeten Modellsysteme erlauben es, die gekoppelte Elektronen-Kern-Dynamik exakt zu beschreiben. Die daraus gewonnenen Ergebnisse dienen als Referenz für den Vergleich mit den Näherungsmethoden. Im ersten Teil der Arbeit wird die Dynamik eines Wellenpakets in der Umgebung einer Konischen-Durchschneidung (CI) untersucht, wobei die Beschreibung des Wellenpakets quantenmechanisch und durch die klassische Mechanik im Phasenraum erfolgt. Im zweiten Teil wird die Wahrscheinlichkeitsflussdichte untersucht. Zuerst wird ein Fall konstruiert, in welchem die Bewegung im elektronischen Grundzustand stattfindet, sodass die Bedingungen der BO Näherung erfüllt sind. Dabei wird vor allem auf das Verschwinden der elektronischen Wahrscheinlichkeitsflussdichte innerhalb der BO Näherung eingegangen. Im weiteren Verlauf werden die Flussdichten in der Umgebung einer CI untersucht, wobei unterschiedliche Situationen modelliert werden. Im dritten Teil wird die Berechnung des elektronischen Impulserwartungswerts innerhalb der BO Näherung untersucht. Dieser verschwindet innerhalb der BO Näherung, wenn man diesen direkt berechnet (Geschwindigkeitsform), während man über das Ehrenfest Theorem (Längenform) sehr gute Werte erhält. Im vierten Teil wird eine neue Flussdichte, die Translationsflussdichte, vorgestellt. Diese ergibt sich aus der Überlegung, dass die Geschwindigkeitsform des Impulserwartungswerts durch die Wahrscheinlichkeitsflussdichte ausgedrückt werden kann. Demnach muss auch die Längenform einer Flussdichte entsprechen und man erhält die Translationsflussdichte. / In the present work different aspects of the correlated electron nuclear dynamics are investigated based on different model systems. The focus is set on the comparison of numerically exact and approximate methods, especially on the Born-Oppenheimer (BO) approximation, for the description of wave packet dynamics. The employed model systems allows a numerically exact solution for the coupled dynamics which serves as a reference for the comparison with the approximate description. In the first part of this thesis, wave packet dynamics are studied in the vicinity of a conical intersection (CI). The wave packet motion is treated quantum mechanically and also using classical mechanics. In the second part of this work the probability flux density is examined. A case is constructed where nearly the complete dynamics take place in the electronic ground state, so that the BO approximation is valid and the disappearance of the electronic probability flux density within the BO approximation is discussed. After that flux densities are studied in the vicinity of a CI whereby different situations are constructed In the third part of this thesis, the calculation of the electronic momentum expectation value within the BO approximation is examined. The electronic momentum expectation value disappears within the BO approximation if it is directly calculated (velocity form). The Ehrenfest theorem offers the possibility to calculate the momentum expectation value via the expectation value of the position operator (length form). The length form can be used to calculated an electronic momentum expectation value within the BO approximation which is in very good agreement with the one obtained from the coupled dynamics. In the fourth part of the thesis a new flux density, the translational flux density, is presented. This flux density emerges from the property that the velocity form of the momentum expectation value can be expressed by the probability flux density. Accordingly, the length form must also result from a flux density which identifies the translation flux density.

Ziel dieser Arbeit ist theoretische Eigenschaften verschiedener Bootstrap Methoden zu untersuchen. Als Ergebnis führen wir die Konvergenzraten des Bootstrap-Verfahrens ein, die sich auf die Differenz zwischen der tatsächlichen Verteilung einer Statistik und der Resampling-Näherung beziehen. In dieser Arbeit analysieren wir die Verteilung der l2-Norm der Summe unabhängiger Vektoren, des Summen Maximums in hoher Dimension, des Wasserstein-Abstands zwischen empirischen Messungen und Wassestein-Barycenters. Um die Bootstrap-Konvergenz zu beweisen, verwenden wir die Gaussche Approximations technik. Das bedeutet dass man in der betrachteten Statistik eine Summe unabhängiger Vektoren finden muss, so dass Bootstrap eine erneute Abtastung dieser Summe ergibt. Ferner kann diese Summe durch Gaussche Verteilung angenähert und mit der Neuabtastung Verteilung als Differenz zwischen Kovarianzmatrizen verglichen werden. Im Allgemeinen scheint es sehr schwierig zu sein, eine solche Summe unabhängiger Vektoren aufzudecken, da einige Statistiken (zum Beispiel MLE) keine explizite Gleichung haben und möglicherweise unendlich dimensional sind. Um mit dieser Schwierigkeit fertig zu werden, verwenden wir einige neuartige Ergebnisse aus der statistischen Lerntheorie. Darüber hinaus wenden wir Bootstrap bei Methoden zur Erkennung von Änderungspunkten an. Im parametrischen Fall analysieren wir den statischen Likelihood Ratio Test (LRT). Seine hohen Werte zeigen Änderungen der Parameter Verteilung in der Datensequenz an. Das Maximum von LRT hat eine unbekannte Verteilung und kann mit Bootstrap kalibriert werden. Wir zeigen die Konvergenzraten zur realen maximalen LRT-Verteilung. In nicht parametrischen Fällen verwenden wir anstelle von LRT den Wasserstein-Abstand zwischen empirischen Messungen. Wir testen die Genauigkeit von Methoden zur Erkennung von Änderungspunkten anhand von synthetischen Zeitreihen und Elektrokardiographiedaten. Letzteres zeigt einige Vorteile des nicht parametrischen Ansatzes gegenüber komplexen Modellen und LRT. / The objective of this thesis is to explore theoretical properties of various bootstrap methods. We introduce the convergence rates of the bootstrap procedure which corresponds to the difference between real distribution of some statistic and its resampling approximation. In this work we analyze the distribution of Euclidean norm of independent vectors sum, maximum of sum in high dimension, Wasserstein distance between empirical measures, Wassestein barycenters. In order to prove bootstrap convergence we involve Gaussian approximation technique which means that one has to find a sum of independent vectors in the considered statistic such that bootstrap yields a resampling of this sum. Further this sum may be approximated by Gaussian distribution and compared with the resampling distribution as a difference between variance matrices. In general it appears to be very difficult to reveal such a sum of independent vectors because some statistics (for example, MLE) don't have an explicit equation and may be infinite-dimensional. In order to handle this difficulty we involve some novel results from statistical learning theory, which provide a finite sample quadratic approximation of the Likelihood and suitable MLE representation. In the last chapter we consider the MLE of Wasserstein barycenters model. The regularised barycenters model has bounded derivatives and satisfies the necessary conditions of quadratic approximation. Furthermore, we apply bootstrap in change point detection methods. In the parametric case we analyse the Likelihood Ratio Test (LRT) statistic. Its high values indicate changes of parametric distribution in the data sequence. The maximum of LRT has a complex distribution but its quantiles may be calibrated by means of bootstrap. We show the convergence rates of the bootstrap quantiles to the real quantiles of LRT distribution. In non-parametric case instead of LRT we use Wasserstein distance between empirical measures. We test the accuracy of change point detection methods on synthetic time series and electrocardiography (ECG) data. Experiments with ECG illustrate advantages of the non-parametric approach versus complex parametric models and LRT.

In Zeiten wachsender Datenbankgrößen ist es unumgänglich, Anfragen näherungsweise auszuwerten um schnelle Antworten zu erhalten. Dieser Artikel stellt verschiedene Methoden vor, dieses Ziel zu erreichen, und wendet sich anschließend dem Sampling zu, welches mit Hilfe einer Stichprobe schnell zu adäquaten Ergebnissen führt. Enthalten Datenbankanfragen Verbund- oder Gruppierungsoperationen, so sinkt die Genauigkeit vieler Sampling-Verfahren sehr stark; insbesondere werden vor allem kleine Gruppen nicht erkannt. Dieser Artikel befasst sich mit hierarchischen gruppenbasiertem Sampling, welches Sampling, Gruppierung und Verbundoperationen kombiniert. / In times of increasing database sizes it is crucial to process queries approximately in order to obtain answers quickly. This article introduces several methods for achieving this goal and afterwards focuses on sampling, yielding appropriate results by using only a subset of the actual data. If database queries contain join or group-by operations, the accuracy of many sampling methods drops significantly; especially small groups are not recognized. This article is concerned with hierarchical group-based sampling, which combines sampling, grouping and joins.

In der vorliegenden Arbeit wird die Fredholm-Methode zur semiklassischen Berechnung einzelner Eigenzustaende von Quantenabbildungen eingesetzt. Es wird gezeigt, wie auch Eigenzustaende zu entarteten Eigenwerten berechnet werden koennen. Die semiklassische Berechnung eines Eigenzustandes erfolgt mittels der Husimifunktion. Es wird gezeigt, wie das Auftreten von Bifurkationen periodischer Bahnen beruecksichtigt werden kann. Dies geschieht auch fuer den Fall von energiegemittelten Eigenzustaenden. Ebenfalls wird die Stoerung einer Quantenabbildung durch einen Punktstreuer und dessen Auswirkungen auf die semiklassische Berechnungen untersucht.

In dieser Arbeit wurde die Ionisation einiger zweiatomiger Moleküle (H2, N2 und O2) in intensiven Laserfeldern untersucht. Hierbei wurden verschiedene Modelle zur Beschreibung der Tunnelionisation sowohl untereinander als auch mit der Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung (TDSE) verglichen. Die kernabstandsabhängige Ionisationswahrscheinlichkeit wurde für verschiedene Intensitäten betrachtet und die Gültigkeit modifizierter atomarer bzw. Molekularer Modelle zur Beschreibung der Tunnelionisation analysiert. Es wurde herausgefunden, dass Modelle, die auf der quasistatischen Näherung beruhen (wo die Ionisation unabhängig von der Frequenz des Laserfeldes ist), nur in einem kleinem Frequenz- und Intensitätsbereich hinreichend genaue Ergebnisse liefern, dem Tunnelregime. Modelle mit einem frequenzabhängigen Faktor stimmen hingegen sowohl im Tunnel- als auch im Mehrphotonenregime mit den genaueren TDSE Ergebnissen überein. Weiterhin wird auch die Abweichung zur Franck-Condon Näherung verdeutlicht. Es wurde ein kleiner Einfluss auf die Revival-Zeit des im Wasserstoffmolekül-Ion gestarteten Wellenpakets gefunden. Die Berücksichtigung von Bond-Softening führt weiterhin zu einer Verringerung der Revival-Zeit mit steigender Spitzenintensität des Lasers. Außerdem wird die Anisotropie der Ionisation von H2 als Funktion der Laserintensität in linear und zirkular polarisiertem Licht mit dem molekularen Tunnelmodell MO-ADK untersucht. Gute Übereinstimmung mit den experimentellen Beobachtungen wurde gefunden, insbesondere wenn der Effekt des Fokusvolumens des Laserfeldes berücksichtigt wird. Die Anwendbarkeit des Zwei-Zentren-Modells auf größere Moleküle, N2 und O2, wird ebenfalls getestet. Es wird beobachtet, dass dies für N2 (symmetrisches HOMO) funktioniert, für O2 (asymmetrisches HOMO) jedoch nicht. / The ionization of some diatomic molecules, H2, N2, and O2, exposed to intense laser fields has been studied by comparing various molecular tunneling–ionization models with each other and with the numerical solution of the time-dependent Schrödinger equation (TDSE). The internuclear-distance dependent ionization yields over a wide range of laser peak intensities are investigated and the validity of the modified atomic and molecular tunneling models is examined. It is found that those models that depend on the quasi-static approximation, where ionization is independent on the oscillation frequency of the applied laser field, are useful for laser-induced ionization processes in only a very small region of the frequency and intensity domain of laser fields, i.e. in the tunneling regime. The models that include a frequency dependent factor are in a good agreement with the accurate TDSE calculations in both the multiphoton and the tunneling ionization regimes. Furthermore, the deviation from Franck-Condon-like distribution is also clarified. A small effect on the revival time of the vibrational wavepacket of hydrogen molecular ion, due to this deviation, has been found. Consideration of the bond-softening effect leads to a decrease in the revival time with increasing laser-peak intensity. The anisotropy of H2 as a function of laser intensity in linear and circular polarized fields using molecular tunneling model (MO-ADK) are also studied and a good agreement with the experimental observations, especially if the focal volume of the laser field is considered, has been obtained. The applicability of the two-center model for larger molecules, N2 and O2, is tested. It is found that it works with N2 (symmetric HOMO) but fails in O2 (ansymmetric HOMO).

Complex networks have been used to represent the fundamental structure of a multitude of complex systems from various fields. In the network representation, the system is reduced to a set of nodes and links that denote the elements of the system and the connections between them respectively. Complex networks are commonly adaptive such that the structure of the network and the states of nodes evolve dynamically in a coupled fashion. Adaptive networks lead to peculiar complex dynamics and network topologies, which can be investigated by moment-closure approximations, a coarse-graining approach that enables the use of the dynamical systems theory. In this thesis, I study several contact processes in adaptive networks that are defined by the transmission of node states. Employing moment-closure approximations, I establish analytical insights into complex phenomena emerging in these systems. I provide a detailed analysis of existing alternative moment-closure approximation schemes and extend them in several directions. Most importantly, I consider developing analytical approaches for models with complex update rules and networks with complex topologies. I discuss four different contact processes in adaptive networks. First, I explore the effect of cyclic dominance in opinion formation. For this, I propose an adaptive network model: the adaptive rock-paper-scissors game. The model displays four different dynamical phases (stationary, oscillatory, consensus, and fragmented) with distinct topological and dynamical properties. I use a simple moment-closure approximation to explain the transitions between these phases. Second, I use the adaptive voter model of opinion formation as a benchmark model to test and compare the performances of major moment-closure approximation schemes in the literature. I provide an in-depth analysis that leads to a heightened understanding of the capabilities of alternative approaches. I demonstrate that, even for the simple adaptive voter model, highly sophisticated approximations can fail due to special dynamic correlations. As a general strategy for targeting such problematic cases, I identify and illustrate the design of new approximation schemes specific to the complex phenomena under investigation. Third, I study the collective motion in mobile animal groups, using the conceptual framework of adaptive networks of opinion formation. I focus on the role of information in consensus decision-making in populations consisting of individuals that have conflicting interests. Employing a moment-closure approximation, I predict that uninformed individuals promote democratic consensus in the population, i.e. the collective decision is made according to plurality. This prediction is confirmed in a fish school experiment, constituting the first example of direct verification for the predictions of adaptive network models. Fourth, I consider a challenging problem for moment-closure approximations: growing adaptive networks with strongly heterogeneous degree distributions. In order to capture the dynamics of such networks, I develop a new approximation scheme, from which analytical results can be obtained by a special coarse-graining procedure. I apply this analytical approach to an epidemics problem, the spreading of a fatal disease on a growing population. I show that, although the degree distribution has a finite variance at any finite infectiousness, the model lacks an epidemic threshold, which is a genuine adaptive network effect. Diseases with very low infectiousness can thus persist and prevail in growing populations.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung von statistischen Eigenschaften der ungeordneten Metallen im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung. Betrachtet wird ein Elektron auf einem Gitter mit "Nächste-Nachbarn-Hüpfen" und zufälligen potentiellen Gitterplatzenergien. Wegen der Zufälligkeit zeigen die Elektroneigenschaften, zum Beispiel die Eigenenergien und -zustände, irreguläre Fluktuationen, deren Statistik von der Amplitude der Potentialenergie abhängt. Mit steigender Amplitude wird das Elektron immer mehr lokalisiert, was schliesslich zum Metall-Isolator-Übergang führt. In dieser Arbeit wird die Statistik insbesondere im metallischen Bereich untersucht, und dadurch der Einfluss der Lokalisierung an den Eigenschaften des Systems betrachtet. Zuerst wird die Statistik der Matrixelemente des Dipoloperators untersucht. Die numerischen Ergebnisse für das Anderson-Modell werden mit Vorhersagen der semiklassischen Näherung verglichen. Dann wird der spektrale Strukturfaktor betrachtet, der als Fourier-Transformation der zwei-Punkt Zustandsdichtekorrelationsfunktion definiert wird. Dabei werden besonders die nichtuniversellen Abweichungen von den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie untersucht. Die Abweichungen werden numerisch ermittelt, und danach mit den analytischen Vorhersagen verglichen. Die Statistik der Wellenfunktionen zeigt ebenfalls Abweichungen von der Zufallsmatrixtheorie. Die Abweichungen sind am größten für Statistik der großen Wellenfunktionsamplituden, die sogenannte seltene Ereignisse darstellen. Die analytischen Vorhersagen für diese Statistik sind teilweise widersprüchlich, und deshalb ist es interessant, sie auch numerisch zu untersuchen.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung von statistischen Eigenschaften der ungeordneten Metallen im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung. Betrachtet wird ein Elektron auf einem Gitter mit "Nächste-Nachbarn-Hüpfen" und zufälligen potentiellen Gitterplatzenergien. Wegen der Zufälligkeit zeigen die Elektroneigenschaften, zum Beispiel die Eigenenergien und -zustände, irreguläre Fluktuationen, deren Statistik von der Amplitude der Potentialenergie abhängt. Mit steigender Amplitude wird das Elektron immer mehr lokalisiert, was schliesslich zum Metall-Isolator-Übergang führt. In dieser Arbeit wird die Statistik insbesondere im metallischen Bereich untersucht, und dadurch der Einfluss der Lokalisierung an den Eigenschaften des Systems betrachtet. Zuerst wird die Statistik der Matrixelemente des Dipoloperators untersucht. Die numerischen Ergebnisse für das Anderson-Modell werden mit Vorhersagen der semiklassischen Näherung verglichen. Dann wird der spektrale Strukturfaktor betrachtet, der als Fourier-Transformation der zwei-Punkt Zustandsdichtekorrelationsfunktion definiert wird. Dabei werden besonders die nichtuniversellen Abweichungen von den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie untersucht. Die Abweichungen werden numerisch ermittelt, und danach mit den analytischen Vorhersagen verglichen. Die Statistik der Wellenfunktionen zeigt ebenfalls Abweichungen von der Zufallsmatrixtheorie. Die Abweichungen sind am größten für Statistik der großen Wellenfunktionsamplituden, die sogenannte seltene Ereignisse darstellen. Die analytischen Vorhersagen für diese Statistik sind teilweise widersprüchlich, und deshalb ist es interessant, sie auch numerisch zu untersuchen.

Here, we investigate different cell density-dependent migration strategies. In particular, we consider strategies which differ in the precise regulation of transitions between resting and motile phenotypes. We develop a lattice-gas cellular automaton (LGCA) model for each migration strategy. Using a mean-field approximation we quantify the corresponding spreading dynamics at the cell population level. Our results allow for the prediction of cell population spreading based on experimentally accessible single cell migration parameters.

In der vorliegenden Arbeit wird die Fredholm-Methode zur semiklassischen Berechnung einzelner Eigenzustaende von Quantenabbildungen eingesetzt. Es wird gezeigt, wie auch Eigenzustaende zu entarteten Eigenwerten berechnet werden koennen. Die semiklassische Berechnung eines Eigenzustandes erfolgt mittels der Husimifunktion. Es wird gezeigt, wie das Auftreten von Bifurkationen periodischer Bahnen beruecksichtigt werden kann. Dies geschieht auch fuer den Fall von energiegemittelten Eigenzustaenden. Ebenfalls wird die Stoerung einer Quantenabbildung durch einen Punktstreuer und dessen Auswirkungen auf die semiklassische Berechnungen untersucht.