Zugl.: Dortmund, Univ., Diss., 2006

Heidelberg, Univ., Habil.-Schr., 2009.

A new class of optimization problems name 'mathematical programs with vanishing constraints (MPVCs)' is considered. MPVCs are on the one hand very challenging from a theoretical viewpoint, since standard constraint qualifications such as LICQ, MFCQ, or ACQ are most often violated, and hence, the Karush-Kuhn-Tucker conditions do not provide necessary optimality conditions off-hand. Thus, new CQs and the corresponding optimality conditions are investigated. On the other hand, MPVCs have important applications, e.g., in the field of topology optimization. Therefore, numerical algorithms for the solution of MPVCs are designed, investigated and tested for certain problems from truss-topology-optimization.

Techn. Hochsch., Diss., 2003--Aachen.

In many applications nonsmooth nonconvex energy functions, which are Lipschitz continuous, appear quite naturally. Contact mechanics with friction is a classic example. A second example is the 1-Laplace operator and its eigenfunctions. In this work we will give an algorithm such that for every locally Lipschitz continuous function f and every sequence produced by this algorithm it holds that every accumulation point of the sequence is a critical point of f in the sense of Clarke. Here f is defined on a reflexive Banach space X, such that X and its dual space X' are strictly convex and Clarkson's inequalities hold. (E.g. Sobolev spaces and every closed subspace equipped with the Sobolev norm satisfy these assumptions for p>1.) This algorithm is designed primarily to solve variational problems or their high dimensional discretizations, but can be applied to a variety of locally Lipschitz functions. In elastic contact mechanics the strain energy is often smooth and nonconvex on a suitable domain, while the contact and the friction energy are nonsmooth and have a support on a subspace which has a substantially smaller dimension than the strain energy, since all points in the interior of the bodies only have effect on the strain energy. For such elastic contact problems we suggest a specialization of our algorithm, which treats the smooth part with Newton like methods. In the case that the gradient of the entire energy function is semismooth close to the minimizer, we can even prove superlinear convergence of this specialization of our algorithm. We test the algorithm and its specialization with a couple of benchmark problems. Moreover, we apply the algorithm to the 1-Laplace minimization problem restricted to finitely dimensional subspaces of piecewise affine, continuous functions. The algorithm developed here uses ideas of the bundle trust region method by Schramm, and a new generalization of the concept of gradients on a set. The basic idea behind this gradients on sets is that we want to find a stable descent direction, which is a descent direction on an entire neighborhood of an iteration point. This way we avoid oscillations of the gradients and very small descent steps (in the smooth and in the nonsmooth case). It turns out, that the norm smallest element of the gradient on a set provides a stable descent direction. The algorithm we present here is the first algorithm which can treat locally Lipschitz continuous functions in this generality, up to our knowledge. In particular, large finitely dimensional Banach spaces haven't been studied for nonsmooth nonconvex functions so far. We will show that the algorithm is very robust and often faster than common algorithms. Furthermore, we will see that with this algorithm it is possible to compute reliably the first eigenfunctions of the 1-Laplace operator up to disretization errors, for the first time. / In vielen Anwendungen tauchen nichtglatte, nichtkonvexe, Lipschitz-stetige Energie Funktionen in natuerlicher Weise auf. Ein klassische Beispiel bildet die Kontaktmechanik mit Reibung. Ein weiteres Beispiel ist der $1$-Laplace Operator und seine Eigenfunktionen. In dieser Dissertation werden wir ein Abstiegsverfahren angeben, so dass fuer jede lokal Lipschitz-stetige Funktion f jeder Haeufungspunkt einer durch dieses Verfahren erzeugten Folge ein kritischer Punkt von f im Sinne von Clarke ist. Hier ist f auf einem einem reflexiver, strikt konvexem Banachraum definierert, fuer den der Dualraum ebenfalls strikt konvex ist und die Clarkeson Ungleichungen gelten. (Z.B. Sobolevraeume und jeder abgeschlossene Unterraum mit der Sobolevnorm versehen, erfuellt diese Bedingung fuer p>1.) Dieser Algorithmus ist primaer entwickelt worden um Variationsprobleme, bzw. deren hochdimensionalen Diskretisierungen zu loesen. Er kann aber auch fuer eine Vielzahl anderer lokal Lipschitz stetige Funktionen eingesetzt werden. In der elastischen Kontaktmechanik ist die Spannungsenergie oft glatt und nichtkonvex auf einem geeignetem Definitionsbereich, waehrend der Kontakt und die Reibung durch nicht glatte Funktionen modelliert werden, deren Traeger ein Unterraum mit wesentlich kleineren Dimension ist, da alle Punkte im Inneren des Koerpers nur die Spannungsenergie beeinflussen. Fuer solche elastischen Kontaktprobleme schlagen wir eine Spezialisierung unseres Algorithmuses vor, der den glatten Teil mit Newton aehnlichen Methoden behandelt. Falls der Gradient der gesamten Energiefunktion semiglatt in der Naehe der Minimalstelle ist, koennen wir sogar beweisen, dass der Algorithmus superlinear konvergiert. Wir testen den Algorithmus und seine Spezialisierung an mehreren Benchmark Problemen. Ausserdem wenden wir den Algorithmus auf 1-Laplace Minimierungsproblem eingeschraenkt auf eine endlich dimensionalen Unterraum der stueckweise affinen, stetigen Funktionen an. Der hier entwickelte Algorithmus verwendet Ideen des Bundle-Trust-Region-Verfahrens von Schramm, und einen neu entwickelten Verallgemeinerung von Gradienten auf Mengen. Die zentrale Idee hinter den Gradienten auf Mengen ist die, dass wir stabile Abstiegsrichtungen auf einer ganzen Umgebung der Iterationspunkte finden wollen. Auf diese Weise vermeiden wir das Oszillieren der Gradienten und sehr kleine Abstiegsschritte (im glatten, wie im nichtglatten Fall.) Es stellt sich heraus, dass das normkleinste Element dieses Gradienten auf der Umgebung eine stabil Abstiegsrichtung bestimmt. So weit es uns bekannt ist, koennen die hier entwickelten Algorithmen zum ersten Mal lokal Lipschitz-stetige Funktionen in dieser Allgemeinheit behandeln. Insbesondere wurden nichtglatte, nichtkonvexe Funktionen auf derart hochdimensionale Banachraeume bis jetzt nicht behandelt. Wir werden zeigen, dass unser Algorithmus sehr robust und oft schneller als uebliche Algorithmen ist. Des Weiteren, werden wir sehen, dass es mit diesem Algorithmus das erste mal moeglich ist, zuverlaessig die erste Eigenfunktion des 1-Laplace Operators bis auf Diskretisierungsfehler zu bestimmen.

In many applications nonsmooth nonconvex energy functions, which are Lipschitz continuous, appear quite naturally. Contact mechanics with friction is a classic example. A second example is the 1-Laplace operator and its eigenfunctions. In this work we will give an algorithm such that for every locally Lipschitz continuous function f and every sequence produced by this algorithm it holds that every accumulation point of the sequence is a critical point of f in the sense of Clarke. Here f is defined on a reflexive Banach space X, such that X and its dual space X' are strictly convex and Clarkson's inequalities hold. (E.g. Sobolev spaces and every closed subspace equipped with the Sobolev norm satisfy these assumptions for p>1.) This algorithm is designed primarily to solve variational problems or their high dimensional discretizations, but can be applied to a variety of locally Lipschitz functions. In elastic contact mechanics the strain energy is often smooth and nonconvex on a suitable domain, while the contact and the friction energy are nonsmooth and have a support on a subspace which has a substantially smaller dimension than the strain energy, since all points in the interior of the bodies only have effect on the strain energy. For such elastic contact problems we suggest a specialization of our algorithm, which treats the smooth part with Newton like methods. In the case that the gradient of the entire energy function is semismooth close to the minimizer, we can even prove superlinear convergence of this specialization of our algorithm. We test the algorithm and its specialization with a couple of benchmark problems. Moreover, we apply the algorithm to the 1-Laplace minimization problem restricted to finitely dimensional subspaces of piecewise affine, continuous functions. The algorithm developed here uses ideas of the bundle trust region method by Schramm, and a new generalization of the concept of gradients on a set. The basic idea behind this gradients on sets is that we want to find a stable descent direction, which is a descent direction on an entire neighborhood of an iteration point. This way we avoid oscillations of the gradients and very small descent steps (in the smooth and in the nonsmooth case). It turns out, that the norm smallest element of the gradient on a set provides a stable descent direction. The algorithm we present here is the first algorithm which can treat locally Lipschitz continuous functions in this generality, up to our knowledge. In particular, large finitely dimensional Banach spaces haven't been studied for nonsmooth nonconvex functions so far. We will show that the algorithm is very robust and often faster than common algorithms. Furthermore, we will see that with this algorithm it is possible to compute reliably the first eigenfunctions of the 1-Laplace operator up to disretization errors, for the first time. / In vielen Anwendungen tauchen nichtglatte, nichtkonvexe, Lipschitz-stetige Energie Funktionen in natuerlicher Weise auf. Ein klassische Beispiel bildet die Kontaktmechanik mit Reibung. Ein weiteres Beispiel ist der $1$-Laplace Operator und seine Eigenfunktionen. In dieser Dissertation werden wir ein Abstiegsverfahren angeben, so dass fuer jede lokal Lipschitz-stetige Funktion f jeder Haeufungspunkt einer durch dieses Verfahren erzeugten Folge ein kritischer Punkt von f im Sinne von Clarke ist. Hier ist f auf einem einem reflexiver, strikt konvexem Banachraum definierert, fuer den der Dualraum ebenfalls strikt konvex ist und die Clarkeson Ungleichungen gelten. (Z.B. Sobolevraeume und jeder abgeschlossene Unterraum mit der Sobolevnorm versehen, erfuellt diese Bedingung fuer p>1.) Dieser Algorithmus ist primaer entwickelt worden um Variationsprobleme, bzw. deren hochdimensionalen Diskretisierungen zu loesen. Er kann aber auch fuer eine Vielzahl anderer lokal Lipschitz stetige Funktionen eingesetzt werden. In der elastischen Kontaktmechanik ist die Spannungsenergie oft glatt und nichtkonvex auf einem geeignetem Definitionsbereich, waehrend der Kontakt und die Reibung durch nicht glatte Funktionen modelliert werden, deren Traeger ein Unterraum mit wesentlich kleineren Dimension ist, da alle Punkte im Inneren des Koerpers nur die Spannungsenergie beeinflussen. Fuer solche elastischen Kontaktprobleme schlagen wir eine Spezialisierung unseres Algorithmuses vor, der den glatten Teil mit Newton aehnlichen Methoden behandelt. Falls der Gradient der gesamten Energiefunktion semiglatt in der Naehe der Minimalstelle ist, koennen wir sogar beweisen, dass der Algorithmus superlinear konvergiert. Wir testen den Algorithmus und seine Spezialisierung an mehreren Benchmark Problemen. Ausserdem wenden wir den Algorithmus auf 1-Laplace Minimierungsproblem eingeschraenkt auf eine endlich dimensionalen Unterraum der stueckweise affinen, stetigen Funktionen an. Der hier entwickelte Algorithmus verwendet Ideen des Bundle-Trust-Region-Verfahrens von Schramm, und einen neu entwickelten Verallgemeinerung von Gradienten auf Mengen. Die zentrale Idee hinter den Gradienten auf Mengen ist die, dass wir stabile Abstiegsrichtungen auf einer ganzen Umgebung der Iterationspunkte finden wollen. Auf diese Weise vermeiden wir das Oszillieren der Gradienten und sehr kleine Abstiegsschritte (im glatten, wie im nichtglatten Fall.) Es stellt sich heraus, dass das normkleinste Element dieses Gradienten auf der Umgebung eine stabil Abstiegsrichtung bestimmt. So weit es uns bekannt ist, koennen die hier entwickelten Algorithmen zum ersten Mal lokal Lipschitz-stetige Funktionen in dieser Allgemeinheit behandeln. Insbesondere wurden nichtglatte, nichtkonvexe Funktionen auf derart hochdimensionale Banachraeume bis jetzt nicht behandelt. Wir werden zeigen, dass unser Algorithmus sehr robust und oft schneller als uebliche Algorithmen ist. Des Weiteren, werden wir sehen, dass es mit diesem Algorithmus das erste mal moeglich ist, zuverlaessig die erste Eigenfunktion des 1-Laplace Operators bis auf Diskretisierungsfehler zu bestimmen.

Optimierungsprobleme und Variationsungleichungen über Banach-Räumen stellen Themen von substantiellem Interesse dar, da beide Problemklassen einen abstrakten Rahmen für zahlreiche Anwendungen aus verschiedenen Fachgebieten stellen. Nach einer Einführung in Teil I werden im zweiten Teil allgemeine Approximationsmethoden, einschließlich verschiedener Diskretisierungs- und Regularisierungsansätze, zur Lösung von nichtglatten Variationsungleichungen und Optimierungsproblemen unter konvexen Restriktionen vorgestellt. In diesem allgemeinen Rahmen stellen sich gewisse Dichtheitseigenschaften der konvexen zulässigen Menge als wichtige Voraussetzungen für die Konsistenz einer abstrakten Klasse von Störungen heraus. Im Folgenden behandeln wir vor allem Restriktionsmengen in Sobolev-Räumen, die durch eine punktweise Beschränkung an den Funktionswert definiert werden. Für diesen Restriktionstyp werden verschiedene Dichtheitsresultate bewiesen. In Teil III widmen wir uns einem quasi-statischen Kontaktproblem der Elastoplastizität mit Härtung. Das entsprechende zeit-diskretisierte Problem kann als nichtglattes, restringiertes Minimierungsproblem betrachtet werden. Zur Lösung wird eine Pfadverfolgungsmethode auf Basis des verallgemeinerten Newton-Verfahrens entwickelt, dessen Teilprobleme lokal superlinear und gitterunabhängig lösbar sind. Teil III schließt mit verschiedenen numerischen Beispielen. Der letzte Teil der Arbeit ist der quasi-statischen, perfekten Plastizität gewidmet. Auf Basis des primalen Problems der perfekten Plastizität leiten wir eine reduzierte Formulierung her, die es erlaubt, das primale Problem als Fenchel-dualisierte Form des klassischen zeit-diskretisierten Spannungsproblems zu verstehen. Auf diese Weise werden auch neue Optimalitätsbedingungen hergeleitet. Zur Lösung des Problems stellen wir eine modifizierte Form der viskoplastischen Regularisierung vor und beweisen die Konvergenz dieses neuen Regularisierungsverfahrens. / Optimization problems and variational inequalities over Banach spaces are subjects of paramount interest since these mathematical problem classes serve as abstract frameworks for numerous applications. Solutions to these problems usually cannot be determined directly. Following an introduction, part II presents several approximation methods for convex-constrained nonsmooth variational inequality and optimization problems, including discretization and regularization approaches. We prove the consistency of a general class of perturbations under certain density requirements with respect to the convex constraint set. We proceed with the study of pointwise constraint sets in Sobolev spaces, and several density results are proven. The quasi-static contact problem of associative elasto-plasticity with hardening at small strains is considered in part III. The corresponding time-incremental problem can be equivalently formulated as a nonsmooth, constrained minimization problem, or, as a mixed variational inequality problem over the convex constraint. We propose an infinite-dimensional path-following semismooth Newton method for the solution of the time-discrete plastic contact problem, where each path-problem can be solved locally at a superlinear rate of convergence with contraction rates independent of the discretization. Several numerical examples support the theoretical results. The last part is devoted to the quasi-static problem of perfect (Prandtl-Reuss) plasticity. Building upon recent developments in the study of the (incremental) primal problem, we establish a reduced formulation which is shown to be a Fenchel predual problem of the corresponding stress problem. This allows to derive new primal-dual optimality conditions. In order to solve the time-discrete problem, a modified visco-plastic regularization is proposed, and we prove the convergence of this new approximation scheme.

Zusammenfassung Diese Arbeit ist ein Versuch, verschiedene klassische und neuere Methodender glatten bzw. nichtglatten Optimierung zu verallgemeinern und in ihrem Zusammenhang darzustellen. Als Hauptinstrument erweist sich dabei die sogenannte verallgemeinerte Kojima-Funktion. Neben reichlichen Beispielen setzen wir einen besonderen Akzent auf die Betrachtung von Variationsungleichungen, Komplementaritaetsaufgaben und der Standartaufgabeder mathematischen Programmierung. Unter natuerlichen Voraussetzungen an diese Probleme kann man u.a. Barriere-, Straf- und SQP-Typ-Methoden, die auf Newton-Verfahrenbasieren, aber auch Modelle, die sogenannte NCP-Funktionen benutzen, mittelsspezieller Stoerungen der Kojima-Funktion exakt modellieren. Daneben werdendurch explizite und natuerliche Wahl der Stoerungsparameter auch neue Methoden dieser Arten vorgeschlagen. Die Vorteile solcher Modellierungsind ueberzeugend vor allem wegen der direkt moeglichen (auf Stabilitaetseigenschaften der Kojima-Gleichung beruhendenden)Loesungsabschaetzungen und weil die entsprechenden Nullstellen ziemlich einfach als Loesungen bekannter Ersatzprobleme interpretiert werden koennen. Ein weiterer Aspekt der Arbeit besteht in der genaueren Untersuchungder "nichtglatten Faelle". Hier wird die Theorie von verschiedenen verallgemeinerten Ableitungen und dadurch entstehenden verallgemeinerten Newton-Verfahren, die im Buch "Nonsmooth Equations in Optimization" von B. Kummer und D. Klatte vorgeschlagen und untersucht wurde, intensiv benutzt. Entscheidend ist dabei, dass die benutzten verallgemeinerten Ableitungen auch praktisch angewandt werden koennen, da man sie exakt ausrechnen kann. / This work attempts to generalize various classical and new methods of smooth or nonsmooth optimization and to show them in their interrelation. The main tool for doing this is the so-called generalized Kojima-function. In addition to numerous examples we specialy emphasize the consideration of variational inequalities, complementarity problems and the standard problem of mathematical programming. Under natural assumptions on these problems we can model e.g. barrier-, penalty-, and SQP-Type-methods basing on Newton methods, and also methods using the so-called NCP-function exactly by means of special perturbations of the Kojima-function. Furthermore, by the explicit and natural choice of the perturbation parameters new methods of these kinds are introduced. The benefit of such a modelling is obvious, first of all due to the direct solution estimation (basing on stability properties of the Kojima-equation) and because the corresponding zeros can easily be interpreted as solutions of known subproblems. A further aspect considered in this paper is the detailed investigation of "nonsmooth cases". The theory of various generalized derivatives and resulting generalized Newton methods, which is introduced and investigated in the book "Nonsmooth Equations in Optimization" of B. Kummer and D. Klatte, is intensely used here. The crucial point is the applicability of the used generalized derivatives in practice, since they can be calculated exactly.