Diese Arbeit befasst sich mit Quantenfeldtheorien auf nicht-kommutativen Räumen. Solche Modelle treten im Zusammenhang mit der Stringtheorie und mit der Quantengravitation auf. Ihre nicht-störungstheoretische Behandlung ist üblicherweise schwierig. Hier untersuchen wir jedoch drei nicht-kommutative Quantenfeldtheorien nicht-perturbativ, indem wir die Wirkungsfunktionale in eine äquivalente Matrixformulierung übersetzen. In der Matrixdarstellung kann die jeweilige Theorie dann numerisch behandelt werden. Als erstes betrachten wir ein regularisiertes skalares Modell auf der nicht-kommutativen Ebene und untersuchen den Kontinuumslimes bei festgehaltener Nicht-Kommutativität. Dies wird auch als Doppelskalierungslimes bezeichnet. Insbesondere untersuchen wir das Verhalten der gestreiften Phase. Wir finden keinerlei Hinweise auf die Existenz dieser Phase im Doppelskalierungslimes. Im Anschluss daran betrachten wir eine vier-dimensionale U(1) Eichtheorie. Hierbei sind zwei der räumlichen Richtungen nicht-kommutativ. Wir untersuchen sowohl die Phasenstruktur als auch den Doppelskalierungslimes. Es stellt sich heraus, dass neben den Phasen starker und schwacher Kopplung eine weitere Phase existiert, die gebrochene Phase. Dann bestätigen wir die Existenz eines endlichen Doppelskalierungslimes, und damit die Renormierbarkeit der Theorie. Weiterhin untersuchen wir die Dispersionsrelation des Photons. In der Phase mit schwacher Kopplung stimmen unsere Ergebnisse mit störungstheoretischen Berechnungen überein, die eine Infrarot-Instabilität vorhersagen. Andererseits finden wir in der gebrochenen Phase die Dispersionsrelation, die einem masselosen Teilchen entspricht. Als dritte Theorie betrachten wir ein einfaches, in seiner Kontinuumsform supersymmetrisches Modell, welches auf der "Fuzzy Sphere" formuliert wird. Hier wechselwirken neutrale skalare Bosonen mit Majorana-Fermionen. Wir untersuchen die Phasenstruktur dieses Modells, wobei wir drei unterschiedliche Phasen finden. / This work deals with three quantum field theories on spaces with noncommuting position operators. Noncommutative models occur in the study of string theories and quantum gravity. They usually elude treatment beyond the perturbative level. Due to the technique of dimensional reduction, however, we are able to investigate these theories nonperturbatively. This entails translating the action functionals into a matrix language, which is suitable for numerical simulations. First we explore a scalar model on a noncommutative plane. We investigate the continuum limit at fixed noncommutativity, which is known as the double scaling limit. Here we focus especially on the fate of the striped phase, a phase peculiar to the noncommutative version of the regularized scalar model. We find no evidence for its existence in the double scaling limit. Next we examine the U(1) gauge theory on a four-dimensional spacetime, where two spatial directions are noncommutative. We examine the phase structure and find a new phase with a spontaneously broken translation symmetry. In addition we demonstrate the existence of a finite double scaling limit which confirms the renormalizability of the theory. Furthermore we investigate the dispersion relation of the photon. In the weak coupling phase our results are consistent with an infrared instability predicted by perturbation theory. If the translational symmetry is broken, however, we find a dispersion relation corresponding to a massless particle. Finally, we investigate a supersymmetric theory on the fuzzy sphere, which features scalar neutral bosons and Majorana fermions. The supersymmetry is exact in the limit of infinitely large matrices. We investigate the phase structure of the model and find three distinct phases. Summarizing, we study noncommutative field theories beyond perturbation theory. Moreover, we simulate a supersymmetric theory on the fuzzy sphere, which might provide an alternative to attempted lattice formulations.

In den letzten Jahren hat die Erforschung von Branen zu vielen neuen Einsichten in String- und M-Theorie geführt. Ein Großteil dieser Forschung behandelte den Fall großen Volumens, wo geometrische Methoden zuverlässige Informationen liefern. Die Extrapolation in den Bereich, wo die endliche Ausdehnung des Strings wichtig wird (`stringy regime'), erfordert gewöhnlich neue Methoden aus der konformen Feldtheorie mit Randbedingungen. Branen auf Gruppenmannigfaltigkeiten ermöglichen einen guten Zugang zu diesem Problem. Obwohl sie nichttriviale Hintergründe beschreiben, was zu vielen interessanten Effekten führt, sind sie immer noch gut beherrschbar. Sie dienen auch als Bausteine bei den Restklassen- und Orbifoldkonstruktionen von im Wesentlichen allen bekannten konformen Modellen. Die vorliegende Arbeit untersucht die Dynamik von Branen auf Gruppenmannigfaltigkeiten und Restklassenmodellen. In einem bestimmten Grenzfall wird die Dynamik von nichtkommutativen Eichtheorien regiert. Viele der Prozesse lassen sich in den Bereich extrapolieren, wo Stringeffekte eine Rolle spielen. Sie äußern sich als Renormierungsgruppenflüsse auf den zweidimensionalen Weltflächentheorien mit Rändern. Solche Flüsse sind auch von Interesse in der Festkörpertheorie, wo sie Randphänomene in eindimensionalen Systemen beschreiben. Wesentliche Daten über diese dynamischen Prozesse sind in Ladungen von D-Branen kodiert. Wir werden die Resultate, die wir über Prozesse zwischen verschiedenen Brankonfigurationen erhalten, mit der Vermutung vergleichen, dass die Ladungen Werte in getwisteten K-Gruppen annehmen. / In recent years, the study of branes has led to many new insights into string and M-theory. Much of this study was done in the large-volume regime where geometric techniques provide reliable information. The extrapolation into the stringy regime usually requires new methods from boundary conformal field theory. Branes on group manifolds give us a good handle on this issue. Although they describe non-trivial backgrounds leading to many interesting effects, they are still tractable. They also serve as building blocks in the coset and orbifold constructions of essentially all known conformal models. The present thesis investigates the dynamics of branes on group manifolds and coset models. In some limiting regime, the dynamics are governed by non-commuta\-tive gauge theories. Many of the processes can be extrapolated to the stringy regime. They manifest themselves as renormalization group flows on the two-dimensional worldsheet theories with boundaries. Such flows are of interest also in condensed matter theory where they describe boundary phenomena in one-dimensional systems. Essential data on these dynamical processes are encoded in D-brane charges. We will compare the obtained results on processes between brane configurations with the conjecture that the charges take their values in twisted K-groups.

Die Arbeit beschäftigt sich mit zwei Themen: den nichtkommutativen Yang-Mills-Theorien und der AdS/CFT-Korrespondenz. Im ersten Teil wird eine teilweise Aufsummation der theta-entwickelten Störungstheorie untersucht. Letztere stellt einen Weg dar, nichtkommutative Yang-Mills-Theorien mit beliebigen Eichgruppen G als Störungsentwicklung im Nichtkommutativitätsparameter theta zu definieren. Es wird gezeigt, daß man im Fall, daß G eine echte Untergruppe von U(N) ist, die ungleich einer U(M) ist (M / This thesis addresses two topics: noncommutative Yang-Mills theories and the AdS/CFT correspondence. In the first part we study a partial summation of the theta-expanded perturbation theory. The latter allows one to define noncommutative Yang-Mills theories with arbitrary gauge groups G as a perturbation expansion in the noncommutativity parameter theta. We show that for G being a subset of U(N) but not equal to U(M), M

Wir behandeln nichtkommutative Algebren über Ringen und auf algebraischen Varietäten. Im ersten Teil beschreiben wir ein Kriterium, das angibt, ob und wie weit sich eine gegebene Azumaya-Algebra über dem Funktionenkörper einer algebraischen Varietät als Garbe von Azumaya-Algebren auf die Varietät ausdehnen lässt. Außerdem untersuchen wir die lokale Struktur von Azumaya-Algebren oder allgemeiner von Maximalordnungen, die mit Hilfe des Cyclic-Covering-Tricks von Chan konstruiert werden. Mit dieser Methode lassen sich Maximalordnungen auf algebraischen Flächen konstruieren, die zudem genau über einer gewählten Kurve verzweigen. Im zweiten Teil betrachten wir die nichtassoziativen Oktavenalgebren und allgemeiner auch Kompositionsalgebren über Ringen. Dabei übertragen wir die bekannten Aussagen von Kompositionsalgebren über Körpern auf die Situation von Algebren über Ringen. Wir untersuchen Oktavenalgebren und Maximalordnungen über diskreten Bewertungsringen und verallgemeinern ein Resultat von van der Blij und Springer über die lokale Natur von Maximalordnungen über den rationalen Zahlen und über algebraischen Zahlkörpern auf den Fall von beliebigen noetherschen, ganzabgeschlossenen Integritätsbereichen. Abschließend führen wir eine Definition von Garben von Oktavenalgebren und Garben von Maximalordnungen in Oktavenalgebren über algebraischen Varietäten ein.

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In this thesis, we develop a framework that generalizes the previously known notions of theta-summable Fredholm modules to the setting of locally convex dg algebras. By introducing an additional action of the Clifford algebra, we may treat the even and odd cases simultaneously. In particular, we recover the theory developed by Güneysu/Ludewig and extend the definition of odd theta-summable Fredholm modules to the differential graded category. We then construct a Chern character, which serves as a differential graded refinement of the JLO cocycle, and prove that it has all the expected analytical and homological properties. As an application, we prove an odd noncommutative index theorem relating the spectral flow of a theta-summable Fredholm module to the pairing of the Chern character with the odd Bismut-Chern character in entire (differential graded) cyclic homology, thereby extending results obtained by Güneysu/Cacciatori and Getzler.