Univ., Habil.-Schr. u.d.T.: Gohm, Rolf: Elements of a spatial theory for noncommutative stationary processes with discrete time index--Greifswald, 2002. / Literaturverz. S. [165] - 168.

Quantengruppen, Quantenräume zu Quantengruppen und speziell homogene Quantenräume zu Quantengruppen sind wichtige Beispiele nichtkommutativer geometrischer Räume. In dieser Arbeit werden die Quantensphären ungerader Dimension S_q^{2N-1} nach Vaksman und Soibelman als eine Klasse homogener Quantenräume untersucht. Ziel der Arbeit ist es, auf ihnen eine kovariante Differentialrechnung bereitzustellen und damit die Voraussetzungen für die Untersuchung ihrer nichtkommutativen Geometrie zu schaffen. Auf den Quantensphären S_q^{2N-1} werden für N>=4 unter zwei verschiedenen Setzungen der Nebenbedingungen kovariante Differentialkalküle erster Ordnung klassifiziert. Es wird gezeigt, daß für N>=4 genau vier Familien kovarianter *-Differentialkalküle erster Ordnung mit je zwei Parametern auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von den Differentialen dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, der 2N algebraischen Erzeugenden der Quantensphäre als freie Linksmoduln erzeugt werden. Keiner dieser Differentialkalküle ist ein innerer Kalkül. Ferner wird gezeigt, daß für N>=4 genau fünf Familien kovarianter Differentialkalküle erster Ordnung mit je einem Parameter auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, als Linksmoduln erzeugt werden und für die alle Relationen im S_q^{2N-1}-Linksmodul der 1-Formen von genau einer Relation zwischen invarianten 1-Formen algebraisch erzeugt werden. Die Differentialkalküle dreier dieser Familien sind *-Kalküle, diejenigen einer davon innere Kalküle. Alle diese Kalküle existieren auch für N=2 und N=3. Für einen der inneren Differentialkalküle erster Ordnung \Gamma wird gezeigt, daß in jedem Differentialkalkül höherer Ordnung \Gamma^\wedge, der \Gamma fortsetzt, alle Differentialformen der Ordnung 2N+1 und höherer Ordnung verschwinden. Für \Gamma wird ein Symmetriehomomorphismus (braiding) konstruiert. Mit Hilfe des Differentialkalküls \Gamma, der Differentialkalküle höherer Ordnung und des Symmetriehomomorphismus werden Metriken und Zusammenhänge auf den Quantensphären S_q^{2N-1} eingeführt. / Quantum groups, quantum spaces for quantum groups and, particularly, quantum homogeneous spaces for quantum groups are important examples of noncommutative geometrical spaces. In this thesis, the odd-dimensional quantum spheres S_q^{2N-1} introduced by Vaksman and Soibelman, as a class of homogeneous quantum spaces, are investigated. The goal of the paper is to provide a framework of covariant differential calculus on them and to enable thereby an investigation of their noncommutative geometry. For N>=4, covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} are classified under two different settings of additional constraints. It is shown that there exist exactly four two-parameter families of covariant first order differential *-calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as free left modules by the differentials dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, of the 2N algebra generators of the quantum sphere. None of these differential calculi is an inner calculus. Moreover, it is proved that there exist exactly five one-parameter families of covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as left modules by dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, and for which all relations in the left S_q^{2N-1}-module of 1-forms are algebraically generated by exactly one relation between invariant 1-forms. Three of these families consist of *-calculi, including one which consists of inner calculi. All calculi mentioned exist also for N=2 and N=3. For one particular inner first order differential calculus \Gamma it is shown that in any higher order differential calculus \Gamma^\wedge extending \Gamma, all differential forms of order 2N+1 or higher vanish. A symmetry homomorphism (braiding) for \Gamma is constructed. Using the differential calculus \Gamma, the higher order differential calculi and the braiding, metrics and connections are introduced on the quantum spheres S_q^{2N-1}.

In dieser Arbeit wird die analytische Fortsetzung von Quantenfeldtheorien auf dem nichtkommutativen Euklidischen Moyal-Raum mit kommutativer Zeit zu entsprechenden Moyal-Minkowski Raumzeit (Wick Rotation) erarbeitet. Dabei sind diese Moyal-Räume durch eine konstante Nichtkommutativiät gegeben. Einerseits wird die Wick Rotation im Kontext der algebraischen Quantenfeldtheorie, ausgehend von einer Arbeit von Schlingemann, hergeleitet. Von einem Netz Euklidischer Observablen wird die Lorentz’sche Theorie durch alle Bilder der fortgesetzten Poincare Gruppenwirkung auf der Zeit-Null Schicht erhalten. Dabei wird gezeigt, dass die Vorgänge der nichtkommutativen Deformation und der Wick Rotation kommutieren. Andererseits ist so eine analytische Fortsetzung ebenfalls für Quantenfeldtheorien, die durch einen Satz von Schwingerfunktionen definiert ist, möglich. Durch die Gültigkeit einer Kombination aus Wachstumsbedinungen, die aus der Wick Rotation von Osterwalder und Schrader bekannt sind, kann der Übergang zu einer deformierten Wightman-Theorie gezeigt werden. Abschließend beinhaltet diese Arbeit ergänzende Resultate zu den physikalischen Eigenschaften der Kovarianz und der Lokalität.

Quantengruppen, Quantenräume zu Quantengruppen und speziell homogene Quantenräume zu Quantengruppen sind wichtige Beispiele nichtkommutativer geometrischer Räume. In dieser Arbeit werden die Quantensphären ungerader Dimension S_q^{2N-1} nach Vaksman und Soibelman als eine Klasse homogener Quantenräume untersucht. Ziel der Arbeit ist es, auf ihnen eine kovariante Differentialrechnung bereitzustellen und damit die Voraussetzungen für die Untersuchung ihrer nichtkommutativen Geometrie zu schaffen. Auf den Quantensphären S_q^{2N-1} werden für N>=4 unter zwei verschiedenen Setzungen der Nebenbedingungen kovariante Differentialkalküle erster Ordnung klassifiziert. Es wird gezeigt, daß für N>=4 genau vier Familien kovarianter *-Differentialkalküle erster Ordnung mit je zwei Parametern auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von den Differentialen dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, der 2N algebraischen Erzeugenden der Quantensphäre als freie Linksmoduln erzeugt werden. Keiner dieser Differentialkalküle ist ein innerer Kalkül. Ferner wird gezeigt, daß für N>=4 genau fünf Familien kovarianter Differentialkalküle erster Ordnung mit je einem Parameter auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, als Linksmoduln erzeugt werden und für die alle Relationen im S_q^{2N-1}-Linksmodul der 1-Formen von genau einer Relation zwischen invarianten 1-Formen algebraisch erzeugt werden. Die Differentialkalküle dreier dieser Familien sind *-Kalküle, diejenigen einer davon innere Kalküle. Alle diese Kalküle existieren auch für N=2 und N=3. Für einen der inneren Differentialkalküle erster Ordnung \Gamma wird gezeigt, daß in jedem Differentialkalkül höherer Ordnung \Gamma^\wedge, der \Gamma fortsetzt, alle Differentialformen der Ordnung 2N+1 und höherer Ordnung verschwinden. Für \Gamma wird ein Symmetriehomomorphismus (braiding) konstruiert. Mit Hilfe des Differentialkalküls \Gamma, der Differentialkalküle höherer Ordnung und des Symmetriehomomorphismus werden Metriken und Zusammenhänge auf den Quantensphären S_q^{2N-1} eingeführt. / Quantum groups, quantum spaces for quantum groups and, particularly, quantum homogeneous spaces for quantum groups are important examples of noncommutative geometrical spaces. In this thesis, the odd-dimensional quantum spheres S_q^{2N-1} introduced by Vaksman and Soibelman, as a class of homogeneous quantum spaces, are investigated. The goal of the paper is to provide a framework of covariant differential calculus on them and to enable thereby an investigation of their noncommutative geometry. For N>=4, covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} are classified under two different settings of additional constraints. It is shown that there exist exactly four two-parameter families of covariant first order differential *-calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as free left modules by the differentials dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, of the 2N algebra generators of the quantum sphere. None of these differential calculi is an inner calculus. Moreover, it is proved that there exist exactly five one-parameter families of covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as left modules by dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, and for which all relations in the left S_q^{2N-1}-module of 1-forms are algebraically generated by exactly one relation between invariant 1-forms. Three of these families consist of *-calculi, including one which consists of inner calculi. All calculi mentioned exist also for N=2 and N=3. For one particular inner first order differential calculus \Gamma it is shown that in any higher order differential calculus \Gamma^\wedge extending \Gamma, all differential forms of order 2N+1 or higher vanish. A symmetry homomorphism (braiding) for \Gamma is constructed. Using the differential calculus \Gamma, the higher order differential calculi and the braiding, metrics and connections are introduced on the quantum spheres S_q^{2N-1}.

Eine Quantengruppe ist eine nichtkommutative und nichtkokommutative Hopfalgebra. In dieser Arbeit konstruieren wir eine Deformation der lokalkonvexen Hopfalgebra der lokalanalytischen Funktionen auf GL(2,O), wobei O hier der Bewertungsring einer endlichen Erweiterung der p-adischen Zahlen ist. Wir zeigen, dass diese Deformation eine nichtkommutative, nichtkokommutative lokalkonvexe Hopfalgebra, also eine p-adische Quantengruppe, ist. Unser Hauptresultat ist, dass das starke Dual dieser Deformation eine Fréchet-Stein Algebra ist. Dies bedeutet, dass das starke Dual ein projektiver Limes von noetherschen Banachalgebren unter rechtsflachen Übergangsabbildungen ist. Im kommutativen Fall wurde dies von P. Schneider und J. Teitelbaum gezeigt. Unser Beweis im nichtkommutativen Fall benutzt Ideen von M. Emerton, der einen alternativen Beweis im kommutativen Fall gefunden hat. Für unseren Beweis beschreiben wir gewisse Vervollständigungen der quanten-einhüllenden Algebra und benutzen die Technik der partiell dividierten Potenzen. Eine wichtige Klasse lokalanalytischer Darstellungen von GL(2,K) wird mithilfe globaler Schnitte von Linienbündeln auf der p-adischen oberen Halbebene konstruiert. Wir konstruieren ein nichtkommutatives Analogon der p-adischen oberen Halbebene, von dem wir erwarten, dass es interessante Darstellungen unserer p-adischen Quantengruppe induziert. Die wichtigsten Hilfsmittel der Konstruktion sind die Maninsche Quantenebene, der Bruhat-Tits Baum für PGL(2,K) und die Theorie der algebraischen Mikrolokalisierung. / A quantum group is a noncommutative noncocommutative Hopf algebra. In this thesis we deform the locally convex Hopf algebra of locally analytic functions on GL(2,O), where O is the valuation ring of a finite extension of the p-adic numbers. We show that this deformation is a noncommutative noncocommutative locally convex Hopf algebra, i.e. a p-adic quantum group. Our main result is that the strong dual of our deformation is a Fréchet Stein algebra, i.e. a projective limit of Noetherian Banach algebras with right flat transition maps. This was shown in the commutative case by P. Schneider and J. Teitelbaum. For our proof in the noncommutative case we use ideas of M. Emerton, who gave an alternative proof of the Fréchet Stein property in the commutative case. For the proof we describe completions of the quantum enveloping algebra and use partial divided powers. An important class of locally analytic representations of GL(2,K) is constructed from global sections of line bundles on the p-adic upper half plane. We construct a noncommutative analogue of an affine version of the p-adic upper half plane which we expect to give rise to interesting representations of our p-adic quantum group. We construct this space by using the Manin quantum plane, the Bruhat-Tits tree for PGL(2,K) and the theory of algebraic microlocalization.

The time coordinate is a common obstacle in the theory of non-commutative (nc.) spacetimes. Despite that, this work shows how the interplay between quantum fields and an underlying nc. spacetime can still be analyzed, even for the case of nc. time. This is done for the example of a general Moyal-type external potential scattering of the Dirac field in Moyal-Minkowski spacetime. The spacetime is a rare example of a Lorentzian non-compact nc. geometry. Elements of the associated spectral function algebra are shown to be operationally involved at the level of quantum field operators by Bogoliubovs formula. Furthermore, a similar task is attacked in the case of locally nc. spacetimes. An explicit star-product is constructed by a method of Kontsevich. It implements a decay of non-commutativity with increasing distance. This behavior should benefit the technical side - diverse interesting formal attempts are discussed. It is striven for unification of several toy models of nc. spacetimes and a general strategy to define quantum field operators. Within the latter one has to implement the usual quantum behavior as well as a new kind of spacetime behavior. It is shown how this two-fold character causes key difficulties in understanding.

The time coordinate is a common obstacle in the theory of non-commutative (nc.) spacetimes. Despite that, this work shows how the interplay between quantum fields and an underlying nc. spacetime can still be analyzed, even for the case of nc. time. This is done for the example of a general Moyal-type external potential scattering of the Dirac field in Moyal-Minkowski spacetime. The spacetime is a rare example of a Lorentzian non-compact nc. geometry. Elements of the associated spectral function algebra are shown to be operationally involved at the level of quantum field operators by Bogoliubovs formula. Furthermore, a similar task is attacked in the case of locally nc. spacetimes. An explicit star-product is constructed by a method of Kontsevich. It implements a decay of non-commutativity with increasing distance. This behavior should benefit the technical side - diverse interesting formal attempts are discussed. It is striven for unification of several toy models of nc. spacetimes and a general strategy to define quantum field operators. Within the latter one has to implement the usual quantum behavior as well as a new kind of spacetime behavior. It is shown how this two-fold character causes key difficulties in understanding.

Quantenfeldtheorien, die auf Räumen mit nichtkommutierenden Koordinaten definiert sind, finden in den letzten Jahren zunehmend Interesse. Mögliche Anwendungen dieser Modelle gibt es unter anderem in der Stringtheorie, der Phänomenologie der Elementarteilchen und in der Festkörperphysik. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir nichtstörungstheoretisch solche nichtkommutativen Feldtheorien mit Hilfe von Monte-Carlo Simulationen. Wir betrachten eine zweidimensionale reine U(1) Eichfeldtheorie und eine dreidimensionale skalare Feldtheorie. Dazu bilden wir die entsprechenden Gittertheorien auf dimensional reduzierte Modelle ab, die mittels N x N Matrizen formuliert sind. Die 2d Eichtheorie auf dem Gitter ist äquivalent zum twisted Eguchi-Kawai Modell, das wir für N=25 bis 515 simulierten. Wir beobachteten ein deutliches Skalierungsverhalten der Ein- und Zweipunktfunktionen von Wilson-Schleifen sowie von Zweipunktfunktionen von Polyakov-Linien bei großen N. Die Zweipunktfunktionen stimmen mit einer universellen Wellenfunktionsrenormierung überein. Der Doppel-Skalierungslimes bei N gegen unendlich entspricht dem Kontinuumslimes in der nichtkommutativen Gittereichtheorie. Das beobachtete Skalierungsverhalten bei großen N zeigt die nichtstörungstheoretische Renormierbarkeit dieser nichtkommutativen Feldtheorie. Für kleine Flächen gilt das Flächengesetz der Wilson-Schleifen wie in der kommutativen 2d planaren Eichtheorie. Für große Flächen finden wir jedoch stattdessen ein oszillierendes Verhalten. In diesem Bereich wächst die Phase der Wilson-Schleifen linear mit der Fläche. Identifiziert man den Nichtkommutativitätsparameter mit einem inversen Magnetfeld, entspricht dies dem Aharonov-Bohm-Effekt. Als nächstes untersuchen wir das 3d lambda phi^4 Modell mit zwei nichtkommutierenden Dimensionen. Wir analysieren das Phasendiagramm. Unsere Ergebnisse stimmen mit einer Vermutung von Gubser und Sondhi in vier Dimensionen überein. Sie sagen vorher, daß sich der geordnete Bereich in eine uniforme und eine nichtuniforme Phase aufspaltet. Desweiteren zeigen wir Ergebnisse für Korrelatoren und der Dispersionsrelation. In der nichtkommutativen Feldtheorie ist die Lorentz-Symmetrie explizit gebrochen, was zu einer deformierten Dispersionsrelation führt. In der Ein-Schleifen Störungstheorie ergibt sich ein zusätzlicher infrarot divergenter Term. Unsere Daten bestätigen dieses störungstheoretische Ergebnis. Wir bestätigen ebenso eine Beobachtung von Ambjorn und Catterall, daß eine nichtuniforme Phase auch in zwei Dimensionen existiert, obwohl dies eine spontane Brechung der Translationssymmetrie impliziert. / In the recent years there is a surge of interest in quantum field theories on spaces with non-commutative coordinates. The potential applications of such models include string theory, particle phenomenology as well as solid state physics. We perform a non-perturbative study of such non-commutative field theories by the means of Monte Carlo simulations. In particular we consider a two dimensional pure U(1) gauge field theory and a three dimensional scalar field theory. To this end we map the corresponding lattice theories on dimensionally reduced models, which are formulated in terms of N x N matrices. The 2d gauge theory on the lattice is equivalent to the twisted Eguchi-Kawai model, which we simulated at N ranging from 25 to 515. We observe a clear large N scaling for the 1- and 2-point function of Wilson loops, as well as the 2-point function of Polyakov lines. The 2-point functions agree with a universal wave function renormalization. The large N double scaling limit corresponds to the continuum limit of non-commutative gauge theory, so the observed large N scaling demonstrates the non-perturbative renormalizability of this non-commutative field theory. The area law for the Wilson loops holds at small physical area as in commutative 2d planar gauge theory, but at large areas we find an oscillating behavior instead. In that regime the phase of the Wilson loop grows linearly with the area. This agrees with the Aharonov-Bohm effect in the presence of a constant magnetic field, identified with the inverse non-commutativity parameter. Next we investigate the 3d lambda phi^4 model with two non-commutative coordinates and explore its phase diagram. Our results agree with a conjecture by Gubser and Sondhi in d=4, who predicted that the ordered regime splits into a uniform phase and a phase dominated by stripe patterns. We further present results for the correlators and the dispersion relation. In non-commutative field theory the Lorentz invariance is explicitly broken, which leads to a deformation of the dispersion relation. In one loop perturbation theory this deformation involves an additional infrared divergent term. Our data agree with this perturbative result. We also confirm the recent observation by Ambjorn and Catterall that stripes occur even in d=2, although they imply the spontaneous breaking of the translation symmetry.

In der vorliegenden Arbeit "Nichtkommutative Blochtheorie" beschäftigen wir uns mit der Spektraltheorie bestimmter Klassen von Hilbertraumoperatoren, den elliptischen Operatoren auf Darstellungsräumen von Hilbert-C*-Moduln. Die auftretenden C*-Algebren kodieren dabei Symmetrieeigenschaften der entsprechenden Operatoren.Für kommutative Symmetrien ist die Blochtheorie ein geeignetes Hilfsmittel. Wir schildern diese Methode zunächst in einem geometrischen Kontext, der allgemein genug ist, um die bekannten Ergebnisse über die Abwesenheit singulärstetigen Spektrums im Hinblick auf physikalische Anwendungen zu erweitern. Wir lassen uns dann durch eine Neuinterpretation der Blochtheorie aus einem nichtkommutativen Blickwinkel inspirieren zur Entwicklung einer nichtkommutativen Blochtheorie. Dabei werden bestimmte Eigenschaften von C*-Algebren verknüpft mit Eigenschaften des Spektrums elliptischer Operatoren. Diese Blochtheorie für Hilbert-C*-Moduln erlaubt es, verschiedene bekannte Resultate aus dem Bereich kommutativer (diskreter und kontinuierlicher) Geometrien mit nichtkommutativen Symmetrien in einem neuen gemeinsamen Rahmen zusammenzufassen, der Raum läßt für Modelle nichtkommutativer Geometrien mit nichtkommutativen Symmetrien. Wichtigstes Beispiel für die behandelte Klasse von Operatoren in der mathematischen Physik sind die Schrödingeroperatoren mit periodischem Magnetfeld und Potential. Wir ordnen sie in den Rahmen kommutativer und nichtkommutativer Blochtheorie ein und wenden die zuvor bereitgestellten Methoden an. / In this doctoral thesis "Nichtkommutative Blochtheorie'' (non-commutative Bloch theory) we investigate the spectral theory of a certain class of operators on Hilbert space: the elliptic operators associated with representations of Hilbert C*-modules. The C*-algebras that arise encode symmetry properties of the corresponding operators. For commutative symmetries Bloch theory is a proper tool. We describe this method in a geometric context which is general enough to extend known results about absence of singular continuous spectrum in view of physical applications. Then --- inspired by a new interpretation of Bloch theory from a non-commutative point of view --- we develop a non-commutative Bloch theory. Here certain properties of C*-algebras get linked to spectral properties of elliptic operators. This Bloch theory for Hilbert \CS-modules allows to unite, in a new common framework, several known results from the field of commutative (discrete and continuous) geometries having non-commutative symmetries; this leaves ample room for models of non-commutative geometries having non-commutative symmetries. In mathematical physics, the most important example for the class of operators considered is given by the Schrödinger operators with periodic magnetic field and potential. We place them into the framework of commutative and non-commutative Bloch theory and apply the methods developed before.

In dieser Arbeit wird die analytische Fortsetzung von Quantenfeldtheorien auf dem nichtkommutativen Euklidischen Moyal-Raum mit kommutativer Zeit zu entsprechenden Moyal-Minkowski Raumzeit (Wick Rotation) erarbeitet. Dabei sind diese Moyal-Räume durch eine konstante Nichtkommutativiät gegeben. Einerseits wird die Wick Rotation im Kontext der algebraischen Quantenfeldtheorie, ausgehend von einer Arbeit von Schlingemann, hergeleitet. Von einem Netz Euklidischer Observablen wird die Lorentz’sche Theorie durch alle Bilder der fortgesetzten Poincare Gruppenwirkung auf der Zeit-Null Schicht erhalten. Dabei wird gezeigt, dass die Vorgänge der nichtkommutativen Deformation und der Wick Rotation kommutieren. Andererseits ist so eine analytische Fortsetzung ebenfalls für Quantenfeldtheorien, die durch einen Satz von Schwingerfunktionen definiert ist, möglich. Durch die Gültigkeit einer Kombination aus Wachstumsbedinungen, die aus der Wick Rotation von Osterwalder und Schrader bekannt sind, kann der Übergang zu einer deformierten Wightman-Theorie gezeigt werden. Abschließend beinhaltet diese Arbeit ergänzende Resultate zu den physikalischen Eigenschaften der Kovarianz und der Lokalität.