Zusammenfassung In den letzten Jahren haben Schwarze Löcher viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen, insbesondere wegen ihrer ungewöhlichen quantentheoretischen Eigenschaften. Ein in diesem Zusammenhang interessantes Modell ist das geeichte SL(2,R)/U(1)-Wess-Zumino-Novikov-Witten-Modell, das im Rahmen der Stringtheorie als Euklidisches zweidimensionales Schwarzes Loch interpretiert werden kann. Die vorliegende Arbeit analysiert die klassischen Eigenschaften dieses Modells, um so die Grundlage für quantentheoretische Untersuchungen zu schaffen. Ausgangspunkt ist eine allgemeine Betrachtung über geeichte Wess-Zumino-Novikov-Witten-Modelle (WZNW-Modelle). Herkömmlicherweise werden sie mit Hilfe von Eichfeldern formuliert, deren Bewegungsgleichungen rein algebraisch sind. In der vorliegenden Arbeit werden die Eichfelder aus den Modellen eliminiert. Dabei entsteht eine Klasse von nichtlinearen integrablen konformen Feldtheorien, für deren Bewegungsgleichung eine explizite Lax-Paar-Darstellung abgeleitet wird. Diese Ergebnisse werden auf das geeichte SL(2,R)/U(1)-WZNW-Modell spezialisiert. Zum Vergleich wird auch die Eliminierung des Eichfeldes durch explizite Pfadintegration untersucht, die jedoch aufgrund mathematischer Ambiguitäten nicht zu einem abschließenden Ergebnis geführt wird. Das klassische geeichte SL(2,R)/U(1)-WZNW-Modell wird sowohl in einem unendlich ausgedehnten Minkowski-Raum als auch mit räumlich periodischen Randbedingungen untersucht. Letzteres ist für die stringtheoretische Interpretation des Modells wichtig. Es werden die nichtlinearen Bewegungsgleichungen und ihre allgemeine Lösung angegeben. Diese enthält Parameterfunktionen. Es wird ein Verfahren abgeleitet, um die Parameterfunktionen aus vorgegebenen Anfangsbedingungen zu bestimmen. Mit Hilfe dieses Verfahrens werden die Poissonklammern der Parameterfunktionen aus den kanonischen Poissonklammern der physikalischen Felder berechnet. Es wird gezeigt, daß es eine nichtlokale kanonische Transformation der nichtlinearen physikalischen Felder auf freie Felder gibt. Die entsprechende Bäcklund-Transformation wird angegeben. / Abstract In recent years, Black Holes have attracted much attention, in particular, because of their unusual quantum-theoretical properties. An interesting model, in this context, is the SL(2,R)/U(1) gauged Wess-Zumino-Novikov-Witten model, which can be interpreted stringtheoretically as Euclidean two-dimensional Black Hole. The present dissertation analyzes the classical properties of this model, in order to prepare the basis for quantum-theoretical investigations. First, gauged Wess-Zumino-Novikov-Witten (WZNW) models are intoduced in general. Usually, they are formulated including gauge fields, whose equations of motion are purely algebraic. In the present dissertation, the gauge fields are eliminated from the models. A class of non-linear integrable field theories arises, whose equations of motion can be represented by Lax pairs explicitly. These results are specialized to the SL(2,R)/U(1) gauged WZNW model. For comparison, the elimination of the gauge field by explicit path integration is also investigated. But due to mathematical ambiguities, this investigation does not lead to a final result. The classical SL(2,R)/U(1) gauged WZNW model is investigated in an infinitely extended Minkowski space-time as well as with spatially periodic boundary conditions. The latter is important for the stringtheoretical interpretation of the model. The non-linear equations of motion and their general solution are given. A procedure is derived to determine the parameter functions of the general solution from given initial conditions of the equations of motion. By means of this procedure the Poisson brackets of the parameter functions are calculated from the canonical Poisson brackets of the physical fields. It is shown that there is a non-local canonical transformation of the non-linear physical fields onto free fields. The corresponding Backlund transformation is presented.

Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2013. / ENGLISH ABSTRACT: In this thesis I study compact objects described by the Manko-Novikov spacetime. The Manko- Novikov spacetime is an exact solution to the Einstein Field Equations that allows objects to be black hole-like, but with a multipole structure di erent from Kerr black holes. The aim of the research is to investigate whether we will observationally be able to tell these bumpy black holes, if they exist, apart from traditional Kerr black holes. I explore the geodesic motion of a test probe in the Manko-Novikov spacetime. I quantify the motion using Poincar e maps and rotation curves. The Manko-Novikov spacetime admits regions with regular motion as well as regions with chaotic motion. The occurrence of chaos is correlated with orbits for which the characteristic frequencies are resonant. The new result presented in this thesis is a global characterisation of where resonances and thus chaos are likely to occur for all orbits. These calculations are performed in the Kerr spacetime, from which I obtain that low order resonances occur within 20 Schwarzschild radii (or 40M) of the compact object with mass M. By the KAM theorem, the occurrence of chaos is therefore limited to this region for all small perturbations from Kerr. These resonant events will be measurable in the Galactic Centre using eLISA. This con nement of low order resonances indicates that the frequency values of orbits of radii well outside of 20 Schwarzschild radii can be approximated using canonical perturbation theory. / AFRIKAANSE OPSOMMING: In hierdie tesis word kompakte voorwerpe bestudeer soos omskryf deur die Manko-Novikov ruimtetyd. Die Manko-Novikov ruimtetyd is 'n eksakte oplossing van die Einstein Veldvergelykings. Die Manko-Novikov ruimtetyd formuleer gravitasiekolk-tipe voorwerpe waarvan die veelpool-struktuur afwyk van die tradisionele Kerr gravitasiekolk-struktuur. Die oogmerk van die navorsing is om vas te stel of ons met behulp van waarnemings hierdie bonkige gravitasiekolke van die tradisionele Kerr gravitasiekolke kan onderskei. Ek ondersoek die geodetiese beweging van 'n toetsmassa in die Manko-Novikov ruimtetyd. Die beweging word gekwanti seer met behulp van Poincar e afbeeldings en rotasiekrommes. In die Manko-Novikov ruimtetyd identi seer ek gebiede waarbinne re elmatige beweging voorkom asook gebiede waarbinne chaotiese bane voorkom. Die ontstaan van chaos word geassosieer met bane waarvan die fundamentele frekwensies resonant is. 'n Nuwe resultaat wat in hierdie tesis voorgehou word behels 'n globale karakterisering wat aandui waar resonansies en dus chaos na alle waarskynlikheid voorkom. Laasgenoemde berekeninge word vir die Kerr ruimtetyd uitgevoer. Hierdeur toon ek alle lae orde resonansies kom voor binne 20 Schwarzschild radii (of 40M) vanaf die kompakte voorwerp met mass M. Die KAM Stelling bepaal dan dat vir alle klein steurings toegepas op die Kerr ruimtetyd die voorkoms van chaos beperk sal wees tot bogenoemde gebied. Die resonansies binne hierdie gebied sal deur eLISA in die sentrum van die melkwegstelsel gemeet kan word. Hierdie beperking van lae orde resonansies tot 'n sekere afstand vanaf die kompakte voorwerp verseker dat die frekwensies van bane wat buite hierdie gebied val, akkuraat deur kanoniese steuringsteorie bepaal kan word.

La condition de monotonie pour les sous-variétés lagrangiennes a été introduite par Oh en 1993. C'est une version relative d'une condition définie par Floer pour les variétés symplectiques. Ces conditions permettent d'obtenir la bonne définition d'homologies de type Floer, en particulier de l'homologie de Floer lagrangienne, outil très utile pour l'étude de plongements lagrangiens.<br /> <br />Dans cette thèse, nous exploitons les hypothèses de monotonie en théorie de Floer sous deux aspects. Un premier aspect est l'étude d'une nouvelle famille d'exemples de variétés symplectiques monotones et de leurs sous-variétés lagrangiennes monotones. Cette famille d'exemples est construite par découpe symplectique à partir du cotangent de variétés munies d'une action libre du cercle. Un second aspect est la construction d'une homologie de type Floer-Novikov pour des sous-variétés lagrangiennes d'un cotangent qui sont dites monotones sur les lacets. On en déduit de nouveaux résultats d'obstruction de plongements lagrangiens monotones sur les lacets dans le cotangent de variétés qui fibrent sur le cercle.

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / In 1970, Serge Novikov made a statement which is now called, "The Novikov Conjecture" and is considered to be one of the major open problems in topology. This statement was motivated by the endeavor to understand manifolds of arbitrary dimensions by relating the surgery map with the homology of the fundamental group of the manifold, which becomes diffi cult for manifolds of dimension greater than two. The Novikov Conjecture is interesting because it comes up in problems in many different branches of mathematics like algebra, analysis, K-theory, differential geometry, operator algebras and representation theory. Yu later proved the Novikov Conjecture holds for all closed manifolds with discrete fundamental groups that are coarsely embeddable into a Hilbert space. The class of groups that are uniformly embeddable into Hilbert Spaces includes groups of Property A which were introduced by Yu. In fact, Property A is generally a property of metric spaces and is stable under quasi-isometry. In this thesis, a new version of Yu's Property A in the case of locally compact groups is introduced. This new notion of Property A coincides with Yu's Property A in the case of discrete groups, but is different in the case of general locally compact groups. In particular, Gromov's locally compact hyperbolic groups is of Property A.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20046号 / 理博第4231号 / 新制||理||1609(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 加藤 毅, 教授 上 正明, 教授 山口 孝男 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Le cadre de cette étude est une variété fermée de dimension au moins six qui est munie d'une classe de cohomologie de De Rham non-nulle. L'objectif de la thèse est de créer des outils pour répondre au problème de savoir si deux 1-formes fermées non-singulières (sans zéro) dans la classe fixée sont toujours isotopes. La réponse générale à la question est non, et une obstruction de type K-théorique est attendue. Il est toujours possible de relier deux 1-formes fermées non singulières par un chemin qui reste dans la classe de cohomologie ; l'isotopie des extrêmes du chemin équivaut à déformer le chemin par une homotopie relative en un autre constitué de 1-formes non-singulières. On introduit deux sortes de pseudo-gradients pour chaque nombre L positif : ceux avec une liaison L-élémentaire et ceux que nous appelons L-transverses. Ils forment une classe de champs de vecteurs adaptés aux 1-formes qui permettent de faire une lecture algébrique associée au chemin. Cette lecture est analogue à celle qui est faite dans la théorie de Hatcher-Wagoner qui traitait le problème d'isotopie pour les fonctions à valeurs réelles sans point critique. On réussit à trouver un nombre L assez grand pour déformer un chemin de 1-formes à deux indices critiques en un autre chemin muni d'un équipement L-transverse qui est sous forme normale. Les zéros d'un tel chemin de 1-formes qui sont nés ensemble, s'éliminent ensemble et de plus le graphique de Cerf-Novikov associé se ferme : la lecture algébrique citée appartient à un certain K_2, ce qui est au point de départ de la définition d'une obstruction à l'isotopie des 1-formes fermées non-singulières.

In this article a Novikov engine with fluctuating hot heat bath temperature is presented. Based on this model, the performance measure maximum expected power as well as the corresponding efficiency and entropy production rate is investigated for four different stationary distributions: continuous uniform, normal, triangle, quadratic, and Pareto. It is found that the performance measures increase monotonously with increasing expectation value and increasing standard deviation of the distributions. Additionally, we show that the distribution has only little influence on the performance measures for small standard deviations. For larger values of the standard deviation, the performance measures in the case of the Pareto distribution are significantly different compared to the other distributions. These observations are explained by a comparison of the Taylor expansions in terms of the distributions’ standard deviations. For the considered symmetric distributions, an extension of the well known Curzon–Ahlborn efficiency to a stochastic Novikov engine is given.

In dieser Arbeit wird erstmalig der Einfluss stochastischer Schwankungen auf endoreversible Modelle untersucht. Hierfür wird die Novikov-Maschine mit drei verschieden Wärmetransportgesetzen (Newton, Fourier, asymmetrisch) betrachtet. Während die maximale verrichtete Arbeit und der dazugehörige Wirkungsgrad recht einfach im Falle konstanter Wärmebadtemperaturen hergeleitet werden können, ändern sich dies, falls die Temperaturen stochastisch fluktuieren können. Im letzteren Fall muss die stochastische optimale Kontrolltheorie genutzt werden, um das Maximum der zu erwartenden Arbeit und die dazugehörige Kontrollstrategie zu ermitteln. Im Allgemeinen kann die Lösung derartiger Probleme auf eine nichtlineare, partielle Differentialgleichung, welche an eine Optimierung gekoppelt ist, zurückgeführt werden. Diese Gleichung wird stochastische Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung genannt. Allerdings können, wie in dieser Arbeit dargestellt, die Berechnungen vereinfacht werden, wenn man annimmt, dass die Fluktuationen unabhängig von der betrachteten Kontrollvariablen sind. In diesem Fall zeigen analytische Betrachtungen, dass die Gleichungen für die verrichtete Arbeit and den Wirkungsgrad ihre ursprüngliche Form behalten, aber manche Terme müssen durch entsprechende Zeitmittel bzw. Erwartungswerte ersetzt werden, jeweils abhängig von der betrachteten Art der Kontrolle. Basierend auf einer Analyse der Leistungsparameter im Falle einer Gleichverteilung der heißen Temperatur der Novikov-Maschine können Schlussfolgerungen auf deren Monotonieverhalten gezogen werden. Der Vergleich verschiedener, zeitunabhängiger, symmetrischer Verteilungen führt zu einer bis dato unbekannten Erweiterung des Curzon-Ahlborn-Wirkungsgrades im Falle kleiner Schwankungen. Weiterhin wird eine Analyse einer Novikov-Maschine mit asymmetrischen Wärmetransport, bei der das Verhalten der heißen Temperatur durch einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess beschrieben wird, durchgeführt. Abschließend wird eine Novikov-Maschine mit Fourierscher Wärmeleitung, bei der die Dynamik der heißen Temperatur von der Kontrollvariable abhängt, betrachtet. Durch das Lösen der Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung können neuartige Schlussfolgerungen gezogen werden, wie derartige Systeme optimal zu steuern sind. / In this thesis, the influence of stochastic fluctuations on the performance of endoreversible engines is investigated for the first time. For this, a Novikov-engine with three different heat transport laws (Newtonian, Fourier, asymmetric) is considered. While the maximum work output and corresponding efficiency can be deduced easily in the case of constant heat bath temperatures, this changes, if these temperatures are allowed to fluctuate stochastically. In the latter case, stochastic optimal control theory has to be used to find the maximum of the expected work output and the corresponding control policy. In general, solving such problems leads to a non-linear, partial differential equation coupled to an optimization, called the stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equation. However, as presented in this thesis, calculations can be simplified, if one assumes that the fluctuations are independent of the considered control variable. In this case, analytic considerations show that the equations for performance measures like work output and efficiency keep their original form, but terms have to be replaced by appropriate time averages and expectation values, depending on the considered control type. Based on an analysis of the performance measures in the case of a uniform distribution of the hot temperature of the Novikov engine, conclusions on their monotonicity behavior are drawn. The comparison of several, time independent, symmetric distributions reveals a to date unknown extension to the Curzon-Ahlborn efficiency in the case of small fluctuations. Furthermore, an analysis of a Novikov engine with asymmetric heat transport, where the behavior of the hot temperature is described by an Ornstein-Uhlenbeck process, is performed. Finally, a Novikov engine with Fourier heat transport is considered, where the dynamics of the hot temperature depends on the control variable. By solving the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation, new conclusions how to optimally control such systems are drawn.

In dieser Arbeit wird erstmalig der Einfluss stochastischer Schwankungen auf endoreversible Modelle untersucht. Hierfür wird die Novikov-Maschine mit drei verschieden Wärmetransportgesetzen (Newton, Fourier, asymmetrisch) betrachtet. Während die maximale verrichtete Arbeit und der dazugehörige Wirkungsgrad recht einfach im Falle konstanter Wärmebadtemperaturen hergeleitet werden können, ändern sich dies, falls die Temperaturen stochastisch fluktuieren können. Im letzteren Fall muss die stochastische optimale Kontrolltheorie genutzt werden, um das Maximum der zu erwartenden Arbeit und die dazugehörige Kontrollstrategie zu ermitteln. Im Allgemeinen kann die Lösung derartiger Probleme auf eine nichtlineare, partielle Differentialgleichung, welche an eine Optimierung gekoppelt ist, zurückgeführt werden. Diese Gleichung wird stochastische Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung genannt. Allerdings können, wie in dieser Arbeit dargestellt, die Berechnungen vereinfacht werden, wenn man annimmt, dass die Fluktuationen unabhängig von der betrachteten Kontrollvariablen sind. In diesem Fall zeigen analytische Betrachtungen, dass die Gleichungen für die verrichtete Arbeit and den Wirkungsgrad ihre ursprüngliche Form behalten, aber manche Terme müssen durch entsprechende Zeitmittel bzw. Erwartungswerte ersetzt werden, jeweils abhängig von der betrachteten Art der Kontrolle. Basierend auf einer Analyse der Leistungsparameter im Falle einer Gleichverteilung der heißen Temperatur der Novikov-Maschine können Schlussfolgerungen auf deren Monotonieverhalten gezogen werden. Der Vergleich verschiedener, zeitunabhängiger, symmetrischer Verteilungen führt zu einer bis dato unbekannten Erweiterung des Curzon-Ahlborn-Wirkungsgrades im Falle kleiner Schwankungen. Weiterhin wird eine Analyse einer Novikov-Maschine mit asymmetrischen Wärmetransport, bei der das Verhalten der heißen Temperatur durch einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess beschrieben wird, durchgeführt. Abschließend wird eine Novikov-Maschine mit Fourierscher Wärmeleitung, bei der die Dynamik der heißen Temperatur von der Kontrollvariable abhängt, betrachtet. Durch das Lösen der Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung können neuartige Schlussfolgerungen gezogen werden, wie derartige Systeme optimal zu steuern sind. / In this thesis, the influence of stochastic fluctuations on the performance of endoreversible engines is investigated for the first time. For this, a Novikov-engine with three different heat transport laws (Newtonian, Fourier, asymmetric) is considered. While the maximum work output and corresponding efficiency can be deduced easily in the case of constant heat bath temperatures, this changes, if these temperatures are allowed to fluctuate stochastically. In the latter case, stochastic optimal control theory has to be used to find the maximum of the expected work output and the corresponding control policy. In general, solving such problems leads to a non-linear, partial differential equation coupled to an optimization, called the stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equation. However, as presented in this thesis, calculations can be simplified, if one assumes that the fluctuations are independent of the considered control variable. In this case, analytic considerations show that the equations for performance measures like work output and efficiency keep their original form, but terms have to be replaced by appropriate time averages and expectation values, depending on the considered control type. Based on an analysis of the performance measures in the case of a uniform distribution of the hot temperature of the Novikov engine, conclusions on their monotonicity behavior are drawn. The comparison of several, time independent, symmetric distributions reveals a to date unknown extension to the Curzon-Ahlborn efficiency in the case of small fluctuations. Furthermore, an analysis of a Novikov engine with asymmetric heat transport, where the behavior of the hot temperature is described by an Ornstein-Uhlenbeck process, is performed. Finally, a Novikov engine with Fourier heat transport is considered, where the dynamics of the hot temperature depends on the control variable. By solving the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation, new conclusions how to optimally control such systems are drawn.

Ce travail est consacré à l'étude de l'équation de Novikov-Veselov, un analogue ( 2 + 1 )-dimensionnel de l'équation renommée de Korteweg-de Vries, intégrable via la transformée de la diffusion inverse pour l'équation de Schrödinger stationnaire en dimension 2 à énergie fixe. Nous commençons par étudier une classe spéciale de solutions rationnelles non singulières de l'équation de Novikov-Veselov à énergie positive, construites par Grinevich et Zakharov, et nous démontrons que ces solutions sont multisolitons. Les solutions de Grinevich-Zakharov sont localisées comme $ O( | x |^{ -2 } ) $, $ | x | \to \infty $, et dans le travail présent, nous prouvons que cette localisation est presque la plus forte possible pour les solitons de l'équation de Novikov-Veselov: nous montrons que l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle ne possède pas de solitons localisés plus fort que $ O ( | x |^{ - 3 } ) $, $ | x | \to \infty $. Pour le cas d'énergie zéro, nous montrons que si les solitons de l'équation de Novikov-Veselov appartiennent à l'image des solutions de l'équation de Novikov-Veselov modifiée sous la transformation de Miura, dans ce cas, la localisation plus forte que $ O( | x |^{ -2 } ) $ n'est pas possible. Dans le travail présent, nous étudions également la question du comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy pour l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle (pour le cas d'énergie positive, les solutions transparentes ou " reflectionless " sont considérées). Sous l'hypothèse de non singularité des données de diffusion des solutions nous obtenons que ces solutions décroissent avec le temps de façon uniforme comme $ O( t^{ -1 } ) $, $ t \to +\infty $, dans le cas d'énergie positive et comme $ O( t^{ -3/4 } ) $, $ t \to +\infty $, dans le cas d'énergie négative; dans ce dernier cas, nous démontrons également que l'estimation obtenue est optimale.