Forskning har visat att det finns missuppfattningar bland elever vad gäller prioriteringsregler och strukturer. Med det menas att elever missuppfattar, missbrukar, ignorerar eller är okunniga om de regler och konventioner som bygger upp det som brukar beskrivas som numeriska uttrycks strukturer. Aritmetik, det vill säga räknelära, utgör grunden för matematiken och att behärska aritmetik gör att eleverna klarar sig bättre i skolmatematiken. Men det finns också många forskare som knyter elevers förståelse och strukturer i aritmetiska uttryck till grundläggande aritmetik. Syftet med studien är att utvidga vår kunskap om hur elever i årskurs 5 strukturerar numeriska beräkningar och använder sig av prioriteringsregler i aritmetiska uttryck. Tidigare studier kring detta område har framförallt fokuserat på numeriska uttryck med två operationer, vanligtvis addition eller subtraktion och multiplikation. Man kan dock misstänka att uttryck med fler än två operationer ger möjlighet att få ytterligare insikt i hur elever strukturerar beräkningar. De uttryck vars elevlösningar analyseras i denna studie innehåller därför flera olika operationer (tre till sex operationer). Datamaterialet utgörs av elevers lösningar (från ett arbetsblad) på fyra olika uppgifter. Totalt omfattar studien 123 elever i sex olika klasser i årskurs 5, från fem olika skolor. I analysen framkom att elever strukturerar och använder sig av prioriteringsregler på kvalitativt skilda sätt. Främst strukturerar elevernade aritmetiska uppgifterna genom att göra olika former av grupperingar. I deras beräkningar visar det sig att flertalet verkar förstå att multiplikation ska räknas före addition och subtraktion, men när det gäller addition och subtraktion tycks de visa en osäkerhet vilket som ska räknas först.

Vi har uppmärksammat att elever har svårt att lösa problem med enkla metoder och strategier. Därmed ser vi ett behov av att undersöka elevers beräkningar av numeriska uttryck eftersom att det ligger till grund för att kunna lösa matematiska problem. Syftet med den här litteraturstudien är att kartlägga hur elever hanterar och beräknar numeriska uttryck genom att besvara följande forskningsfrågor: Vilka uppfattningar finns om hur numeriska uttryck hanteras av elever? Vilka missuppfattningar kan elever ha om de fyra räknesättens egenskaper? I läroplanen (Lgr11) uttrycks det att elever ska få kännedom om grundläggande matematiska begrepp och metoder för att sedan kunna ta dessa i bruk. Data som i vårt fall består av vetenskapligt granskad forskning har samlats in genom informationssökning där vetenskapliga texter valdes ut och granskades. Forskningen i studien har visat att det finns svårigheter hos elever om hur numeriska uttryck ska beräknas. Det finns missuppfattningar om hur räknelagar samt räkneregler ska hanteras. Elever har visat sig ha bristande kunskaper om strukturer för numeriska uttryck. Genom en systematisk litteraturstudie kan vi dra slutsatsen att det finns alternativa sätt att undervisa om prioriteringsregeln genom att använda exempelvis bilder. För att eleverna ska få bättre förståelse för räknelagarna bör de även få kännedom om alternativa metoder att beräkna numeriska uttryck med hjälp av räknelagarna. I slutsatsen har vi dragit kopplingar till det sociokulturella perspektivet.

Prioriteringsreglerna är en överenskommen konvention som beskriver räkneoperationers ordningsföljd. Reglerna har visat sig vara något som ställer till problem för elever. I många engelskspråkiga länder används så kallade minnesregler för att komma ihåg prioriteringsreglerna. Minnesregler används för att komma ihåg information med hjälp av akronymer. Trots att detta används frekvent i många läromedel har vetenskaplig forskning visat att det kan medföra missuppfattningar. Syftet med studien är att undersöka hur matematdidaktisk forskning beskriver elevers tillvägagångssätt vid beräkning av numeriska uttryck där prioriteringsregler behöver tillämpas. Denna litteraturstudie baseras på databassökning efter vetenskapliga artiklar. Forskningen som analyserats visar att elever upplever svårigheter vid beräkningar av numeriska uttryck där flera operationer förekommer. Forskning har även visat att det finns missuppfattningar bland elever vad gäller prioriteringsregler och struktur. Det kan beskrivas som att elever missbrukar, missuppfattar, ignorerar, glömmer bort eller inte har kunskap om de regler och konventioner som grundar strukturen för numeriska uttryck.

För att numeriska uttryck inte ska tolkas på olika sätt finns det så kallade prioriteringsregler som bestämmer räkneoperationers ordningsföljd. Matematikdidaktisk forskning har dock visat att elever har svårigheter att följa prioriteringsregler och strukturer i matematiska uttryck. Eleverna tenderar att följa okonventionella regler som helt enkelt är egenkonstruerade. Denna studie är en re-analys av data från en tidigare studie och syftar till att undersöka hur elever i årskurs 5 strukturerar och bokför sina beräkningar av numeriska uttryck där prioriteringsregler behöver tillämpas. Data för studien är lösningar från 123 elever, vilket innehåller svar på fyra olika uppgifter presenterade på ett arbetsblad, alltså totalt 492 elevlösningar. Analysen utgår från vad tidigare forskning har visat för tendenser elever har när de beräknar numeriska uttryck. Dessa beteenden har sedan grupperats i olika aspekter för att finna likheter och skillnader i hur elever tar sig an matematiska operationer. Deltagarna utgjordes av elever från fem olika skolor. Genom analysen kunde det identifieras att elever följde prioriteringsregler på kvalitativt skilda sätt och att många gjorde detta på ett inkonsekvent vis genom de fyra uppgifterna. Flertalet av deltagarna visade brister i att strukturera beräkningar på ett konventionellt vis. Orsaken kan diskuteras i att härstamma från att eleverna saknar något som i internationell matematikdidaktisk forskning kallas för ”structure sense”, vilket innebär en förståelse av matematiska strukturer. / For numerical expressions not to be interpreted in different ways, there are so-called order of operations that determine the order of arithmetic operators. In mathematics didactic research, it has been displayed that pupils have difficulty following arithmetic rules and structures in mathematical expressions. Pupils tend to follow unconventional rules that are simply self-constructed. This study is a re-analysis of data from a previous study and aims to investigate how pupils in year 5 structure and keep track of calculations of numerical expressions where rules for the order of operations needs to be applied. The data analysis is based on solutions from 123 pupils on four different tasks, thus 492 solutions in total. The participants were pupils in year 5 from five different Swedish schools. The analysis is based on what previous research has shown that tendencies pupils have when they calculate numerical expressions. These behaviors have then been grouped into different aspects to find similarities and differences in how pupils approach mathematical operators. Through the analysis, it could be identified that pupils followed arithmetic rules in qualitatively different ways and that many did so in an inconsistent manner through the four tasks. Actually, most participants could not structure their calculations in a conventional way. The reason can be discussed that it descends from the fact that the pupils lack something which in international mathematics didactic research is called “structure sense”, which means an understanding of mathematical structures.

Ett av grundskolans uppdrag är att elever ska utveckla kunskap om de fyra räknesättens olika egenskaper. En sådan egenskap är kommutativitet för räknesättet addition, vilket innebär att termers rumsliga placering inte har betydelse för summan. Inom kunskapsområdet aritmetik och algebra är kunskap om den kommutativa egenskapen av vikt. I denna studie intervjuades tio elever i årskurs 2. Intervjuerna var semistrukturerade, vilket bland annat innebar att en intervjuguide följdes. Syftet var att kvalitativt beskriva hur elever resonerar kring operationer med tydlig kommutativitet genom att också använda operationer utan kommutativa egenskaper. Analysen visar att eleverna kan fokusera på olika aspekter av kommutativitet, de kan fokusera på summan, på termerna eller på operationen. Studien visar också att det förekommer elever som övergeneraliserar den kommutativa egenskapen till att gälla vid uttryck med subtraktion. / According to the curriculum, students in elementary school should develop their understanding of the different properties of addition, subtraction, multiplication and division. One property is commutativity for addition. Which means that the terms’ spatial position does not change the sum. A solid understanding of the commutative property is of importance in arithmetic but also in algebra. This qualitative study is based on interviews with ten students in second grade. The purpose of the study is to investigate how students reason when they meet sequences with commutative and non-commutative expressions. The result is that students tend to describe commutativity by focusing on either the sum, the terms or the operation. Students in the study also overgeneralize the commutative property to expression with subtraction.

Två vanliga räkneregler som elever lär sig om i matematikundervisningen är prioriteringsregeln och vänster-till-höger-principen. Tidigare forskning har dock visat att elever också använder påhittade regler som vanligtvis inte brukar användas inom matematiken. Syftet med den här studien är att undersöka dessa ”egenskapade” regler. Syftet uppnås genom att studera vad det är för mindre kända räkneregler som eleverna tillämpar samt om hur konsekventa eleverna är i sin användning av en typ av räkneregel.  I studien gjorde 55 elever i årskurs 5 ett arbetsblad bestående av fem numeriska uttryck. Av de 55 eleverna använde 16 av dem någon form av regel som gick ut på att tal i de numeriska uttrycken parades ihop. 13 av de här 16 eleverna blev intervjuade om hur de hade tänkt när de löste uppgifterna. Data för studien utgörs därför av elevernas arbetsblad såväl som transkriberingarna från intervjuerna. Studien visar tre olika slags ”regler” som eleverna använder, förutom de vanliga räknereglerna vänster-till-höger-principen och prioriteringsregeln. De tre räknereglerna bygger alla på att tal paras ihop på ett eller annat sätt. Trots att nästan ingen av de 13 eleverna hade fått undervisning om de vanliga räknereglerna, så använder eleverna egna regler som följer logiska strukturer. Dessutom visar studien att de flesta eleverna inte är speciellt konsekventa när det kommer till valet av regel. Många av eleverna väljer att använda olika slags räkneregler för att beräkna uttryck som är uppbyggda på nästan samma sätt. / Two common rules of arithmetic that students learn about in education are the order of operations and the counting from left to right. However, previous research has shown that students also use made-up rules which are not usually used in mathematics. The aim of this study is to investigate the rules of arithmetic created by the students themselves. The aim is achieved by examine what kind of less-known rules of arithmetic that students apply and also how consistent students are in their use of a type of rule.   In the study, 55 students did a worksheet consisting of five tasks. In total, 16 of the 55 students used some kind of rule where numbers in the numerical expressions were paired in some way. Furthermore, 13 of the 16 students were interviewed about their way of thinking when solving the tasks. The data therefore consists of the students’ worksheets and transcriptions from the interviews.  The study shows that, in addition to the usual conventions left-to-right and order of operations, students use three different kinds of rules of arithmetic. The three rules of arithmetic are based on the principle that numbers are paired in one way or another. Despite that almost none of the 13 students had been taught the conventional rules of arithmetic, most students use own rules that follow logical structures. In addition, the study shows that most students are not particularly consistent when it comes to choosing strategy. Many students choose to use different kind of rules of arithmetic when they are calculating expressions that are structured in almost the same way.