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In this thesis we propose a new approach to solve single-agent investment problems with deterministic coefficients. We consider the classical Merton’s portfolio problem framework, which is well-known in the modern theory of financial economics: an investor must allocate his money between one riskless bond and a number of risky stocks. The investor is assumed to be "small" in the sense that his actions do not affect market prices and the market is complete. The objective of the agent is to maximize expected utility of wealth at the end of the planning horizon. The optimal portfolio should be expressed as a ”feedback” function of the current wealth. Under the so-called complete market assumption, the optimization can be split into two stages: first the optimal terminal wealth for a given initial endowment is determined, and then the strategy is computed that leads to this terminal wealth. It is possible to extend this martingale approach and to obtain explicit solution of Merton’s portfolio problem using the Malliavin calculus and the Clark-Ocone formula.

In this thesis we propose a new approach to solve single-agent investment problems with deterministic coefficients. We consider the classical Merton’s portfolio problem framework, which is well-known in the modern theory of financial economics: an investor must allocate his money between one riskless bond and a number of risky stocks. The investor is assumed to be "small" in the sense that his actions do not affect market prices and the market is complete. The objective of the agent is to maximize expected utility of wealth at the end of the planning horizon. The optimal portfolio should be expressed as a ”feedback” function of the current wealth. Under the so-called complete market assumption, the optimization can be split into two stages: first the optimal terminal wealth for a given initial endowment is determined, and then the strategy is computed that leads to this terminal wealth. It is possible to extend this martingale approach and to obtain explicit solution of Merton’s portfolio problem using the Malliavin calculus and the Clark-Ocone formula.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de Chi-variation quadratique, où Chi est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B⊗B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-τ,0], τ>0. Une classe de résultats de stabilité de classe C^1 pour des processus ayant une Chi-variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C[-τ,0] est le dénommé processus fenêtre X_t(•) où X_t(y) = X_{t+y}, y ∈ [-τ,0]. Soit T>0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]_t = t et h = H(X_T(•)) où H:C([-T,0])→ R est une fonction de classe C^3 Fréchet par rapport à L^2([-T,0] ou H dépend d'un numéro fini d' intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H_0 plus une intégrale progressive du type \int_0^T \xi d^-X où \xi est un processus donné explicitement. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u:[0,T] x C([-T,0])→R qui en général est une solution d'une equation au derivées partielles en dimension infinie ayant la proprieté H_0=u(0, X_0(•)), \xi_t=Du(t, X_t(•))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.

La constatation que les prix des actifs boursiers sautent brusquement a conduit à étudier des modèles de marchés avec sauts. Cette thèse va dans cette direction. On y considère des marchés dirigés par des martingales normales qui ont la propriété de représentation chaotique: les martingales vérifiant une équation de structure déterministe, la martingale d'Azéma, etc. On trouve des stratégies de couverture pour les options européennes, asiatiques et Lookback soit par la formule d'Itô, soit par la formule de Clark-Ocone selon la plus appropriée. L'application du calcul de Malliavin au calcul des Greeks est traitée pour les options asiatiques dans le cas d'un marché dirigé par un processus de Poisson. On traite aussi de couverture dans un modèle à volatilité stochastique avec sauts où le prix de l'actif risqué est dirigé par un processus somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Poisson 2-dimensionnels. Le marché est incomplet et il existe une infinité de mesures martingales équivalentes. On minimise l'entropie pour choisir telle mesure. Sous celle-ci on calcule la stratégie minimisant la variance.

Ce travail étudie des modèles financiers pour les prix d'options, les taux d'intérêts et le risque de crédit, avec des processus stochastiques à mémoire et comportant des discontinuités. Ces modèles sont formulés en termes du mouvement Brownien fractionnaire, du processus de Lévy fractionnaire ou filtré (et doublement stochastique) et de leurs approximations par des semimartingales. Leur calcul stochastique est traité au sens de Malliavin, et des formules d'Itô sont déduites. Nous caractérisons les probabilités risque neutre en termes de ces processus pour des modèles d'évaluation d'options de type de Black-Scholes avec sauts. Nous étudions également des modèles de taux d'intérêts, en particulier les modèles de Vasicek, de Cox-Ingersoll-Ross et de Heath-Jarrow-Morton. Finalement nous étudions la modélisation du risque de crédit / This work investigates financial models for option pricing, interest rates and credit risk with stochastic processes that have memory and discontinuities. These models are formulated in terms of the fractional Brownian motion, the fractional or filtered Lévy process (also doubly stochastic) and their approximations by semimartingales. Their stochastic calculus is treated in the sense of Malliavin and Itô formulas are derived. We characterize the risk-neutral probability measures in terms of these processes for options pricing models of Black-Scholes type with jumps. We also study models of interest rates, in particular the models of Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heath-Jarrow-Morton. Finally we study credit risk models