Teze de doctorat--Matematică--Cluj-Napoca--Universitatea "Babeş-Bolyai", 1997. / Résumé en anglais. Bibliogr. p.163-174. Index.

Thèses (M.Sc.)--Université de Sherbrooke (Canada), 1997. / Titre de l'écran-titre (visionné le 20 juin 2006). Publié aussi en version papier.

Etant donné un point fixe pour un homéomorphisme de surface, on peut définir un ensemble de rotation autour du point fixe, qui est un invariant de conjugaison locale. Ce mémoire commence l'étude de cet invariant et de ses liens avec d'autres propriétés dynamiques : en particulier l'existence d'orbites périodiques, la différentiabilité au point fixe, l'indice de Poincaré-Lefschetz lorsque le point fixe est isolé.

En 2008, Losert [3] résout le fameux problème de dérivation, resté ouvert depuis les années 1960. Le raisonnement de Losert s'articule autour d'un résultat central pour lequel Bader, Gelander et Monod [1] arrivent à trouver une courte preuve en 2012. Celle-ci découle d'un nouveau théorème de point fixe qui, outre son rôle dans la résolution du problème de dérivation, est intéressant en soi car il ne fait intervenir que les propriétés géométriques de l'espace ambiant, et non un argument de compacité ou un quelconque principe de contraction. Le présent mémoire donne une démonstration détaillée de ce nouveau théorème, tout en rappelant préalablement les bases topologiques et algébriques sur lesquelles il repose.

Cette habilitation porte sur l'étude de la vorticité dans le modèle de Ginzburg-Landau et quelques contributions en théorie de point fixe

Les quatres chapîtres de cette thèse aborde quatre thèmes de la théorie des itérations: 1) nous élaborons un algorithme de vérification de l'attraction d'un point fixe d'une itération discrète dans son voisinage second. Cet algorithme est comparé aux conditions nécessaires et suffisantes énoncées par F. Robert avant d'être généralisé à d'autres attracteurs et d'autres bassins d'attraction. 2) Après un tour d'horizon des méthodes de calcul de racines pième de matrices réelles nous proposons un algorithme de calcul de racines carrées de matrices booléennes quelconques. 3) Nous utilisons un opérateur monotone pour étudier les itérations bloc-séquentielles de réseaux à seuil: on caractérise ainsi leurs dynamiques. Nous étendons ces méthodes aux fonctions majorité et verres de spin généralisés. 4) Après avoir comparé les différents outils d'observation des dynamiques des réseaux booléens aléatoires d'interconnectivité 2, nous proposons une approche basée sur le calcul d'une approximation de chacune des 3 composantes: le coeur stable du réseau, le coeur oscillant, les paliers (notion introduite ici). En application nous nous intéressons au problème de la reconnaissance de séquences booléennes par ce type de réseaux

On s'intéresse à l'analyse et la simulation du comportement itératif de réseaux d'automates et plus particulièrement des réseaux d'automates à seuil (avec éventuellement introduction d'une période de réfraction). On donne, on approfondit des résultats concernant la longueur du cycle limite, le nombre de pas nécessaires pour l'atteindre, ainsi que l'organisation spatiale des cellules dans le cycle.

Le document comporte quatre thèmes de recherche: 1. Méthode de la dérivée topologique en optimisation de formes 2. Convexité en dimension infinie 3. Inégalité de Wente pour l'opérateur de Helmholtz modifié 4. Théorie du point fixe et applications

Les modèles de pile de sable sont une sous-classe d'automates cellulaires. Bak et al. les ont introduit en 1987 comme une illustration de la notion intuitive d'auto-organisation critique.Le modèle de pile de sable Kadanoff est un système dynamique discret non-linéaire imagé par des grains cubiques se déplaçant de colonne parfaitement empilée en colonne parfaitement empilée. Pour un paramètre p fixé, une règle d'éboulement est appliquée jusqu'à atteindre une configuration stable, appelée point fixe : si la différence de hauteur entre deux colonnes consécutives est strictement supérieure à p, alors p grains chutent de la colonne de gauche, un retombant sur chacune des p colonnes adjacentes sur la droite.A partir d'une règle locale simple, décrire et comprendre le comportement macroscopique des piles de sable s'avère très rapidement compliqué. La difficulté consiste en la prise en compte simultanée des modalités discrète et continue du système : vue de loin, une pile de sable s'écoule comme un liquide ; mais de près, lorsque l'on s'attache à décrire exactement une configuration, les effets de la dynamique discrète doivent être pris en compte. Si par exemple nous ajoutons un unique grain à une configuration stable, celui-ci déclenche une avalanche qui ne modifie que la couche supérieure de la pile, mais dont la taille est très difficile à prédire car sensible au moindre changement sur la configuration.En analogie avec un sablier, nous nous intéressons en particulier à la séquence des points fixes atteints par l'ajout répété d'un nombre fini de grains à une même position, et à l'émergence de structures étonnamment régulières.Après avoir établi une conjecture sur l'émergence de motifs de vague sur les points fixes, nous nous pencherons dans un premier temps sur une procédure inductive de calcul des points fixes. Chaque étape de l'induction correspond au calcul d'une avalanche provoquée par l'ajout d'un nouveau grain, et nous en proposerons une description simple. Cette étude sera prolongée par la définition de trace des avalanches sur une colonne i, qui capture dans un mot d'un alphabet fini l'information nécessaire à la reconstitution du point fixe pour les colonnes à la droite de l'indice i. Des liens entre les traces à des indices successifs seront alors exploités, liens qui permettent de conclure l'émergence de traces régulières, pour lesquelles la reconstitution du point fixe implique la formation des motifs de vague observés. Cette première approche est concluante pour le plus petit paramètre conjecturé jusqu'ici, p=2.L'étude du cas général que nous proposons passe par la construction d'un nouveau système mêlant différentes représentations des points fixes, qui sera analysé par l'association d'arguments d'algèbre linéaire et combinatoires (liés respectivement aux modalités continue et discrète des piles de sable). Ce résultat d'émergence de régularités dans un système dynamique discret fait appel à des techniques nouvelles, dont la compréhension d'un élément de preuve reste en particulier à raffiner, ce qui permet d'envisager un cadre plus général d'appréhension de la notion d'émergence.

Dans cette thèse nous nous intéressons à la dynamique locale autour d'une sous-variété compacte invariante et à la théorie du nombre de rotation. Dans [Nai82] V. A. Naishul' a montré que parmi les difféomorphismes du plan isotopes à l'identité qui fixent 0, qui préservent l'aire (ou analytiques) et dont la différentielle en $0$ est une rotation, l'angle de cette rotation est un invariant de conjugaison topologique. Ce résultat de Na\u{\i}shul$'$, a été généralisé dans plusieurs directions (voir [GP95], [GLP96] et [Pon12]). Par exemple en dimension supérieure, dans [GP95] J.-M. Gambaudo et E. Pécou ont considéré des difféomorphismes de $\R^{n+2}$ qui possèdent un tore $\T^n$ de dimension $n$ invariant dont la dynamique est topologiquement conjuguée à une rotation irrationnelle. Ils ont défini un nombre de rotation et ont démontré que ce nombre est invariant de conjugaison topologique (par exemple lorsque le difféomorphisme préserve un volume). Dans la première partie du deuxième chapitre de cette thèse, nous proposons d'introduire une notion d'ensemble de rotation local pour les homéomorphismes locaux qui préservent une sous-variété compacte de codimension $2$ dont le fibré normal est trivial. A l'aide de cet ensemble, nous déduirons un résultat qui généralise les travaux en dimension supérieure cités plus haut. Dans [Rue85] D. Ruelle a considéré des difféomorphismes d'une surface dont le fibré tangent est trivial qui préservent une mesure. Il leur a associé un nombre réel qui a été appelé l'invariant de Ruelle. Les constructions de cette thèse nous permettront de voir cet invariant comme un ensemble de rotation local au-dessus d'une mesure. A l'aide de l'invariance par conjugaison de cet ensemble de rotation, nous allons retrouver, à la fin du deuxième chapitre, le résultat démontré par J.-M. Gambaudo et E. Ghys dans [GG97] : l'invariant de Ruelle est en fait invariant de conjugaison topologique. Soit $Homeo_0(\R^2;0)$ l'ensemble des homéomorphismes du plan $\R^2$ isotopes a l'identité qui fixent l'origine $0\in\R^2$. Récemment dans [LeR13], F. Le Roux a donné une définition de l'ensemble de rotation local autour de $0$ d'une isotopie dans $Homeo_0(\R^2;0)$ issue de l'identité, et il a posé la question suivante : cet ensemble est-il toujours un intervalle ? Dans le troisième chapitre de cette thèse, nous allons donner une réponse positive à cette question et aussi à la question analogue dans le cas de l'anneau ouvert. / In this thesis we are interested in the local dynamics around of a compact invariant sub-manifold and in the rotation number theory. In [Nai82] V.A Naihul' proved that, among analytic or area preserving diffeomorphisms in the plane which are isotopic to the identity fix $0$ and whose derivative at $0$ is a rotation, the angle of this rotation is invariant by topological conjugation. This result of Naishul' was generalized in many directions (see [GP95], [GLP96] and [Pon12]). For example in [GP95] J.-M. Gambaudo and E. Pécou considered diffeomorphisms in $\R^{n+2}$, which possess an invariant $n$-dimensional torus $\T^n$ whose dynamics restricted to the torus is topologically conjugate to an irrational rotation. They defined a rotation number, and proved that this number is invariant by topological conjugation among volume-preserving maps. In the first part of the second chapter of this thesis, we propose to introduce a notion of local rotation set for local homeomorphisms, which preserve a compact sub-manifold of codimension 2 whose normal bundle is trivial. Using this set, we will deduce a result which generalizes the above mentioned works. In [Rue85] D. Ruelle considered measure preserving diffeomorphisms of a surface whose tangent bundle is trivial. He associated to them a real number called the Ruelle invariant. The constructions made in this thesis will permit us to see this number as a local rotation set over a measure. The invariance by topological conjugation of this set will us permit, at the end of the second chapter, to prove the following result due to J.-M- Gambaudo and E. Ghys: the Ruelle invariant is invariant by topological conjugacy. Let $Homeo_0(\R^2;0)$ be the set of all homeomorphisms of the plane isotopic to the identity and which fix $0$. Recently in [LeR13] F. Le Roux gave the definition of the local rotation set around of 0 of a general isotopy $I$ in $Homeo_0(\R^2;0)$ from the identity to a homeomorphism $f$ and he asked if this set is always an interval. In the third chapter of this thesis we give a positive answers to this question and to the analogous question in the case of the open annulus.