Cette thèse contient essentiellement deux chapitres principaux qui ont en commun de porter sur ce que l'on appelle en géométrie de Poisson les chemins cotangents. Dans le premier chapitre, nous introduisons pour chaque hamiltonien, un lagrangien sur les chemins à valeurs dans l'espace cotangent dont les points stationnaires indiquent si le champ de bivecteur est de Poisson ou au moins définit une distribution intégrable - une classe de champs de bivecteurs qui généralise les structures de Poisson tordus que nous étudions en détail. Nous traitons dans le deuxième chapitre d'un autre résultat classique à propos des chemins cotangents, dû à Klimčík, Strobl et étudiée par Cattaneo et Felder. Un bivecteur sur une variété $M$ est de Poisson si et seulement si l'ensemble $C_pi$ des chemins cotangents pour $pi$ est co"{i}sotrope dans la variété symplectique des chemins à valeurs dans $T^*M$. Notre but dans le deuxième chapitre est de reprendre la caractérisation des bivecteurs de Poisson, en travaillant avec des fonctions locales sur l'ensemble des chemins lisses, pour lesquels l'utilisation d'une variété de Banach peut être évitée. Ceci permet d'étendre au cas périodique / In this thesis, we study cotangents paths. In chapter 1 we introduce for every Hamiltonian a Lagrangian on paths valued in the cotangent space whose stationary points projects onto Hamiltonian vector fields. We show that the remaining components of those stationary points tell whether the bivector field is Poisson or at least defines an integrable distribution - a class of bivector fields generalizing twisted Poisson structures that we study in detail. In chapter 2, we establish a local function version of a result due to Klimčík and Strobl then Cattaneo and Felder claiming that a bivector field on a manifold $M$ is Poisson if and only if cotangent paths form a coisotropic submabifold of the infinite dimensional symplectic manifold of paths valued in $T^*M$. Our purpose in chapter 2 is to prove this result without using the Banach manifold setting used by Cattaneo and Felder, which fails in the periodic case because cotangent loops do not form a Banach sub-manifold. Instead, we use local functions on the path space, a point of view that allows to speak of a coisotropic set

Le système d'équations de Vlasov-Poisson est un système très connu de la physique des plasmas et un enjeu majeur des futures simulations. Le but est de développer des schémas numériques utilisant une discrétisation par la méthode Galerkin discontinue combinée avec une résolution en temps semi-Lagrangienne et un maillage adaptatif basé sur l'utilisation des multi-ondelettes. La formulation Galerkin discontinue autorise des schémas d'ordres élevés avec des données locales. Cette formulation a fait l'objet de nombreuses publications, tant dans le cadre eulérien par Ayuso de Dios et al., Rossmanith et Seal, etc. que dans le cadre semi-lagrangien par Quo, Nair et Qiu, Qiu et Shu et Bokanowski et Simarta, etc. On utilise les multi-ondelettes pour l'adaptativité (et plus précisément pour la décomposition multi-échelle de la fonction de distribution). Les multi-ondelettes ont été largement étudiées par Alpert et al. pendant les années 1990 et au début des années 2000. Des travaux combinant la résolution multi-échelle avec les méthodes Galerkin discontinues ont fait l'objet de publications par Müller et al. en 2014 pour les lois de conservation hyperboliques dans le contexte des éléments finis. Besse, Latu, Ghizzo, Sonnendrücker et Bertrand ont présenté les avantages d'un maillage adaptatif dans le contexte de Vlasov-Poisson relativiste en utilisant des ondelettes à support large. La combinaison de la méthode Galerkin discontinue avec l'utilisation des multi-ondelettes ne requière en revanche qu'un support compact. Bien que la majorité de la thèse soit présentée dans un espace des phases 1d × 1v, nous avons obtenus quelques résultats dans l'espace des phases 2d × 2v. / Many numerical experiments are performed on the Vlasov-Poisson problem since it is a well known system from plasma physics and a major issue for future simulation of large scale plasmas. Our goal is to develop adaptive numerical schemes using discontinuous Galerkin discretisation combined with semi-Lagrangian description whose mesh refinement based on multi-wavelets. The discontinuous Galerkin formulation enables high-order accuracy with local data for computation. It has recently been widely studied by Ayuso de Dioset al., Rossmanith et Seal, etc. in an Eularian framework, while Guo, Nair and Qiu or Qiu and Shu or Bokanowski and Simarta performed semi-Lagrangian time resolution. We use multi-wavelets framework for the adaptive part. Those have been heavily studied by Alpert et al. during the nineties and the two thousands. Some works merging multi-scale resolution and discontinuous Galerkin methods have been described by Müller and his colleagues in 2014 for non-linear hyperbolic conservation laws in the finite volume framework. In the framework of relativistic Vlasov equation, Besse, Latu, Ghizzo, Sonnendrücker and Bertrand presented the advantage of using adaptive meshes. While they used wavelet decomposition, which requires large data stencil, multi-wavelet decomposition coupled to discontinuous Galerkin discretisation only requires local stencil. This favours the parallelisation but, at the moment, semi-Lagrangian remains an obstacle to highly efficient distributed memory parallelisation. Although most of our work is done in a 1d × 1v phase space, we were able to obtain a few results in a 2d × 2v phase space.

O objetivo deste trabalho é o estudo de métodos multigrid para a solução de equações elípticas na esfera, discretizadas em malhas esféricas geodésicas icosaédricas. Malhas esféricas geradas a partir de sólidos platônicos receberam crescente atenção ao longo da última década, por serem razoavelmente uniformes e não apresentarem concentração de pontos em torno dos pólos como as tradicionais malhas latitude-longitude. Em especial, as malhas geodésicas icosaédricas (geradas a partir de um icosaedro inscrito na esfera com suas faces projetadas na superfície) têm sido adotadas no desenvolvimento de diversos modelos atmosféricos. Nestes é comum a necessidade de resolução de equações do tipo Poisson como parte do método de integração, motivando o nosso trabalho. Adotamos uma discretização do operador de Laplace baseada em volumes finitos. Para tal escrevemos o laplaciano como o divergente do gradiente. O divergente é discretizado com base nos fluxos nos pontos médios das arestas das células computacionais (com o auxílio do teorema da divergência de Gauss) e no uso de diferenças centradas para aproximar as derivadas nesses pontos médios. Validamos a discretização para o operador de Laplace resolvendo uma equação de Poisson através dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel. Estes sabidamente não são eficientes computacionalmente, devido ao grande e crescente número de iterações necessárias para atingir a convergência ao refinar a malha. Uma alternativa muito eficiente para a resolução de equações elípticas é a métodologia multigrid. Investigamos alguns métodos multigrid propostos na literatura para a solução destas equações na malha esférica geodésica icosaédrica. A partir desse estudo, utilizando também como referência a Análise Local de Fourier para a equação de Poisson em malhas hexagonais uniformes, como uma aproximação para malhas geodésicas icosaédricas, escolhemos um algoritmo multigrid para implementação. Testamos algumas opções para as componentes do esquema multigrid. Obtivemos taxas de convergência muito boas com V(1,1) ciclos com relaxação por Gauss-Seidel, restrição full weighting e interpolação linear. / This work is dedicated to the numerical solution of elliptic equations on the sphere, discretized on geodesic icosahedral grids. Spherical meshes generated from projections of platonic solids received considerable attention in the last decade, once they are almost isotropic and do not present a concentration of grid points around the poles, as traditional latitude-longitude grids. In particular, the geodesic icosahedral spherical grids have been adopted in the development of several atmospheric models. In these models, the necessity to solve Poisson type equations is very common, providing a motivation for our present work. We have employed a discretization of the Laplace operator based on finite volumes. We write the Laplacian as the divergent of the gradient operator and use Gauss theorem to derive the discretization of the operator. We integrate the fluxes along the cell borders and approximate them through finite-differences. We first validated the discretization solving Poisson\'s equation with a simple (and very innefficient) Jacobi-Relaxation and Gauss-Seidel. We then investigated the use of multigrid type schemes for the solution of this equation. We have analysed some schemes proposed in the literature, also using an idealized Local Fourier Analysis on hexagonal (planar) grids to estimate the behaviour of the schemes on the icosaedral grids. We have implemented and tested a multigrid method, comparing the performance with different relaxation schemes and transfer operators. We have obtained a very efficient method employing V(1,1) cycles with Gauss-Seidel relaxation, and full-weighting and linear interpolation as transfer-operators.

Dados de s´eries temporais s~ao originados a partir de estudos em que se reportam, por exemplo, taxas de mortalidade, n´umero de hospitaliza¸c~oes, de infec¸c~oes por alguma doen¸ca ou outro evento de interesse, em per´?odos definidos (dia, semana, m^es ou ano), objetivando-se observar tend^encias, sazonalidades ou fatores associados. Dados de contagem s~ao aqueles representados pelas vari´aveis quantitativas discretas, ou seja, observa¸c~oes que assumem valores inteiros, no intervalo {0, 1, 2, 3, ...}, por exemplo, o n´umero de filhos de casais residentes em um bairro. Diante dessa particularidade, ferramentas estat´?sticas adequadas devem ser utilizadas, e modelos baseados na distribui¸c~ao de Poisson apresentam-se como op¸c~oes mais indicadas do que os baseados nos m´etodos propostos por Box e Jenkins (2008), usualmente utilizados para an´alise de dados cont´?nuos, mas empregados para dados discretos, ap´os transforma¸c~oes logar´?tmicas. Uma limita¸c~ao da distribui¸c~ao de Poisson ´e que ela assume m´edia e vari^ancia iguais, sendo um obst´aculo nos casos em que h´a superdispers~ao (vari^ancia maior que a m´edia) ou subdispers~ao (vari^ancia menor que a m´edia). Diante disso, a distribui¸c~ao Poisson Dupla, proposta por Efron (1986), surge como alternativa, pois permite se estimarem os par^ametros de m´edia e vari^ancia, nos casos em que a vari^ancia dos dados ´e menor, igual ou maior que a m´edia, fornecendo grande flexibilidade aos modelos. Este trabalho teve como objetivo principal o desenvolvimento de modelos Bayesianos de s´eries temporais para dados de contagem, utilizando-se distribui¸c~oes de probabilidade para vari´aveis discretas, tais como de Poisson e Poisson Dupla. Al´em disso, foi introduzido um modelo baseado na distribui¸c~ao Poisson Dupla para dados de contagem com excesso de zeros. Os resultados obtidos pelo ajuste dos modelos de s´eries temporais baseados na distribui¸c~ao Poisson Dupla foram comparados com aqueles obtidos por meio do uso da distribui¸c~ao de Poisson. Como aplica¸c~oes principais, foram apresentados resultados obtidos pelo ajuste de modelos para dados de registros de acidentes com picadas de cobras, no Estado de S~ao Paulo, e picadas de escorpi~oes, na cidade de Ribeir~ao Preto, SP, entre os anos de 2007 e 2014. Com rela¸c~ao a esta ´ultima aplica¸c~ao, foram consideradas covari´aveis referentes a dados clim´aticos, como temperaturas m´aximas e m´?nimas m´edias mensais e precipita¸c~ao. Nas situa¸c~oes em que a vari^ancia era diferente da m´edia, modelos baseados na distribui¸c~ao Poisson Dupla mostraram melhor ajuste aos dados, quando comparados aos modelos de Poisson. / Time series data are derived from studies in which there are reported mortality, number of hospitalizations infections by disease or other event of interest per day, week, month or year, in order to observe trends, seasonality or associated factors. Count data are represented by discrete quantitative variables, i.e. observations that take integer values in the range {0, 1, 2, 3, ...}. In view of this particular characteristic, such data must be analyzed by adequate statistical tools and the Poisson distribution is an option for modeling, being more suitable than models based on methods proposed by Box and Jenkins (2008), usually applied for continuous data, but used in the modeling of discrete data after logarithmic transformation. A limitation of the Poisson distribution is that it assumes equal mean and variance being an obstacle in cases which there are data overdispersion (variance higher than mean) or underdispersion (variance lower than mean). Therefore the Double Poisson distribution, proposed by Efron (1986), is an alternative because it allows to estimate the mean and variance parameters in cases wich variance of the data is lower, equal, or higher than mean providing great flexibility to the models. This work aims to develop time series models for count data, under Bayesian approach using probability distributions for discrete variables such as Poisson and Double Poisson. Furthermore it will be introduced a zero-inflated Double Poisson model to excess zeros counting data. The results obtained by adjusting the time series models based on Double Poisson distribution are compared with those obtained by considering the Poisson distribution. As main applications modeling of snake bites reports in the State of S~ao Paulo and scorpion stings in the city of Ribeir~ao Preto considering covariates as maximum and minimum average monthly temperatures and rainfall among the years 2007 and 2014 will be presented. Regression models based on double Poisson distribution showed a better fit to the data, when compared to Poisson models.

O objetivo deste trabalho é o estudo de métodos multigrid para a solução de equações elípticas na esfera, discretizadas em malhas esféricas geodésicas icosaédricas. Malhas esféricas geradas a partir de sólidos platônicos receberam crescente atenção ao longo da última década, por serem razoavelmente uniformes e não apresentarem concentração de pontos em torno dos pólos como as tradicionais malhas latitude-longitude. Em especial, as malhas geodésicas icosaédricas (geradas a partir de um icosaedro inscrito na esfera com suas faces projetadas na superfície) têm sido adotadas no desenvolvimento de diversos modelos atmosféricos. Nestes é comum a necessidade de resolução de equações do tipo Poisson como parte do método de integração, motivando o nosso trabalho. Adotamos uma discretização do operador de Laplace baseada em volumes finitos. Para tal escrevemos o laplaciano como o divergente do gradiente. O divergente é discretizado com base nos fluxos nos pontos médios das arestas das células computacionais (com o auxílio do teorema da divergência de Gauss) e no uso de diferenças centradas para aproximar as derivadas nesses pontos médios. Validamos a discretização para o operador de Laplace resolvendo uma equação de Poisson através dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel. Estes sabidamente não são eficientes computacionalmente, devido ao grande e crescente número de iterações necessárias para atingir a convergência ao refinar a malha. Uma alternativa muito eficiente para a resolução de equações elípticas é a métodologia multigrid. Investigamos alguns métodos multigrid propostos na literatura para a solução destas equações na malha esférica geodésica icosaédrica. A partir desse estudo, utilizando também como referência a Análise Local de Fourier para a equação de Poisson em malhas hexagonais uniformes, como uma aproximação para malhas geodésicas icosaédricas, escolhemos um algoritmo multigrid para implementação. Testamos algumas opções para as componentes do esquema multigrid. Obtivemos taxas de convergência muito boas com V(1,1) ciclos com relaxação por Gauss-Seidel, restrição full weighting e interpolação linear. / This work is dedicated to the numerical solution of elliptic equations on the sphere, discretized on geodesic icosahedral grids. Spherical meshes generated from projections of platonic solids received considerable attention in the last decade, once they are almost isotropic and do not present a concentration of grid points around the poles, as traditional latitude-longitude grids. In particular, the geodesic icosahedral spherical grids have been adopted in the development of several atmospheric models. In these models, the necessity to solve Poisson type equations is very common, providing a motivation for our present work. We have employed a discretization of the Laplace operator based on finite volumes. We write the Laplacian as the divergent of the gradient operator and use Gauss theorem to derive the discretization of the operator. We integrate the fluxes along the cell borders and approximate them through finite-differences. We first validated the discretization solving Poisson\'s equation with a simple (and very innefficient) Jacobi-Relaxation and Gauss-Seidel. We then investigated the use of multigrid type schemes for the solution of this equation. We have analysed some schemes proposed in the literature, also using an idealized Local Fourier Analysis on hexagonal (planar) grids to estimate the behaviour of the schemes on the icosaedral grids. We have implemented and tested a multigrid method, comparing the performance with different relaxation schemes and transfer operators. We have obtained a very efficient method employing V(1,1) cycles with Gauss-Seidel relaxation, and full-weighting and linear interpolation as transfer-operators.

Este trabalho apresenta uma análise estatística de contagens multivariadas proveniente de várias populações através de modelos de regressão. Foram considerados casos onde os vetores respostas obedeçam às distribuições Poisson multivariada e Poisson log-normal multivariada. Esta distribuição admite correlação de ambos sinais entre componentes do vetor resposta, enquanto que as distribuições mais usuais para dados de contagens (como a Poisson multivariada) admitem apenas correlação positiva entre as componentes do vetor resposta. São discutidos métodos de estimação e testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo para o caso bivariado. Estes modelos de regressão foram aplicados a um conjunto de dados referentes a contagens de dois tipos de defeitos em 100 gramas de fibras têxteis de quatro máquinas craqueadeiras, sendo duas de um fabricante e as outras de um segundo fabricante. Os resultados obtidos nos diferentes modelos de regressão foram comparados. Para estudar o comportamento das estimativas dos parâmetros de uma distribuição Poisson Log-Normal, amostras foram simuladas segundo esta distribuição. / Regression models are presented to analyse multivariate counts from many populations. Due to the random vector characteristic, we consider two classes of probability models: Multivariate Poisson distribution and Multivariate Poisson Log-Normal distribution. The last distribution admits negative and positive correlations between two components of a random vector under study, while other distributions (as Multivariate Poisson) admit only positive correlation. Estimation methods and test of hypothese on the parameters in bivariate case are discussed. The proposed techniques are illustrated by numerical examples, considering counts of two types of defects in 100g of textile fibers produced by four machines, two from one manufacturer and the other two from another one. The results from different regression models are compared. The empirical distribution of Poisson Log-Normal parameter estimations are studied by simulated samples.

Orientador: Cristian Favio Coletti. / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2012.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Atualmente, a tecnologia celular està presente em todos os aspectos da vida cotidiana: lares, escritÃrios, indÃstrias, etc. Tal tecnologia teve um rÃpido crescimento durante as duas Ãltimas dÃcadas tentando acompanhar o aumento do volume de trÃfego nas redes de comunicaÃÃo sem-fio. Naturalmente, ao propor modelos mais realistas possÃveis, com o propÃsito de caracterizar fenÃmenos que afetam a qualidade do sinal ou o desempenho do sistema, novas ideias, concepÃÃes e outras ferramentas surgem para descrever tais situaÃÃes. Este à o caso da Geometria EstocÃstica ou, particularmente, o processo pontual de Poisson, o qual vem sendo frequentemente utilizado como um modelo de rede celular, a partir da localizaÃÃo aleatÃria dos nÃs na rede. Diante desta ferramenta matemÃtica, à possÃvel implantar estaÃÃes rÃdio base na rede externa celular, bem como pontos de acesso baseados em picocÃlulas, femtocÃlulas, etc. AlÃm disso, permite-se quantificar a interferÃncia, Ãrea de cobertura, probabilidade de outage, dentre outros. Estes resultados tambÃm levam em consideraÃÃo o impacto de mobilidade no desempenho de tais redes. Nesse contexto, este trabalho analisarà redes ad-hoc sem-fio propondo expressÃes analÃticas para as seguintes mÃtricas de caracterizaÃÃo de desempenho: interferÃncia e conectividade de transmissÃo. Essas mÃtricas levam em consideraÃÃo tanto a razÃo sinal-ruÃdo mais interferÃncia (signal-to-interference-plus-noise ratio (SINR)) como a razÃo sinal-interferÃnca (signal-to-interference ratio (SIR)), em que neste caso, a potÃncia de ruÃdo à considerada nula. Especificamente, o fenÃmeno interferÃncia serà caracterizado via modelo shot-noise segundo um processo pontual chamado de processo pontual marcado (marked point process (MPP)), sendo este mais realista do que o tradicional modelo de Poisson. AlÃm disso, este tipo de modelo incorpora os efeitos de propagaÃÃo de rÃdio de pequena e larga escala e sobretudo as diferentes tecnologias de detecÃÃo e tratamento de sinal. Paralelamente, adotaremos um canal de rÃdio com desvanecimento Nakagami-m. Por fim, o tratamento matemÃtico para o modelo proposto torna-se um fator desafiador deste trabalho, visto que, tais resultados generalizam alguns jà publicados na literatura, os quais adotam alguns parÃmetros menos realistas. / Currently, cellular technology is present in all aspects of everyday life: homes, offices, industries, etc. Such technology had grown rapidly over the last two decades trying to follow up with the increased traffic volume on the networks of wireless communication. Naturally, to propose possible more realistic models, with the purpose of characterizing phenomena that affect the signal quality or performance system, new ideas, concepts and other tools to describe such situations arise. This is the case of Stochastic Geometry or, particularly, the point process Poisson, which has been often used as a model for cellular network from the random node locations in the network. Faced with this mathematical tool, it is possible deploy base stations in cellular external network and access points based picocells, femtocells, etc. Moreover, it allows to quantify the interference, coverage area, outage probability, among others. These results also consider the impact of mobility on the performance of such networks. In this context, this thesis will analyze ad-hoc wireless networks offering analytical expressions for the following metrics of performance characterization: interference and transmission connections. These metrics take into account both signal-to-interference-plus-noise ratio (SINR) and signal-to-interference ratio (SIR), in which case, the noise power is considered null. Specifically, the interference phenomena will be characterized via shot-noise model according to a point process called marked point process (MPP), this being more realistic than the traditional Poisson model. Furthermore, this type of model incorporates effects of radio propagation small and large scale, mainly the different technologies for the detection and signal processing. In parallel, we will adopt a radio channel with Nakagami-m fading. Finally, the mathematical treatment for the proposed model becomes a challenging factor in this work, since such results generalize some already published in the literature, which adopt some less realistic parameters.

Dados de s´eries temporais s~ao originados a partir de estudos em que se reportam, por exemplo, taxas de mortalidade, n´umero de hospitaliza¸c~oes, de infec¸c~oes por alguma doen¸ca ou outro evento de interesse, em per´?odos definidos (dia, semana, m^es ou ano), objetivando-se observar tend^encias, sazonalidades ou fatores associados. Dados de contagem s~ao aqueles representados pelas vari´aveis quantitativas discretas, ou seja, observa¸c~oes que assumem valores inteiros, no intervalo {0, 1, 2, 3, ...}, por exemplo, o n´umero de filhos de casais residentes em um bairro. Diante dessa particularidade, ferramentas estat´?sticas adequadas devem ser utilizadas, e modelos baseados na distribui¸c~ao de Poisson apresentam-se como op¸c~oes mais indicadas do que os baseados nos m´etodos propostos por Box e Jenkins (2008), usualmente utilizados para an´alise de dados cont´?nuos, mas empregados para dados discretos, ap´os transforma¸c~oes logar´?tmicas. Uma limita¸c~ao da distribui¸c~ao de Poisson ´e que ela assume m´edia e vari^ancia iguais, sendo um obst´aculo nos casos em que h´a superdispers~ao (vari^ancia maior que a m´edia) ou subdispers~ao (vari^ancia menor que a m´edia). Diante disso, a distribui¸c~ao Poisson Dupla, proposta por Efron (1986), surge como alternativa, pois permite se estimarem os par^ametros de m´edia e vari^ancia, nos casos em que a vari^ancia dos dados ´e menor, igual ou maior que a m´edia, fornecendo grande flexibilidade aos modelos. Este trabalho teve como objetivo principal o desenvolvimento de modelos Bayesianos de s´eries temporais para dados de contagem, utilizando-se distribui¸c~oes de probabilidade para vari´aveis discretas, tais como de Poisson e Poisson Dupla. Al´em disso, foi introduzido um modelo baseado na distribui¸c~ao Poisson Dupla para dados de contagem com excesso de zeros. Os resultados obtidos pelo ajuste dos modelos de s´eries temporais baseados na distribui¸c~ao Poisson Dupla foram comparados com aqueles obtidos por meio do uso da distribui¸c~ao de Poisson. Como aplica¸c~oes principais, foram apresentados resultados obtidos pelo ajuste de modelos para dados de registros de acidentes com picadas de cobras, no Estado de S~ao Paulo, e picadas de escorpi~oes, na cidade de Ribeir~ao Preto, SP, entre os anos de 2007 e 2014. Com rela¸c~ao a esta ´ultima aplica¸c~ao, foram consideradas covari´aveis referentes a dados clim´aticos, como temperaturas m´aximas e m´?nimas m´edias mensais e precipita¸c~ao. Nas situa¸c~oes em que a vari^ancia era diferente da m´edia, modelos baseados na distribui¸c~ao Poisson Dupla mostraram melhor ajuste aos dados, quando comparados aos modelos de Poisson. / Time series data are derived from studies in which there are reported mortality, number of hospitalizations infections by disease or other event of interest per day, week, month or year, in order to observe trends, seasonality or associated factors. Count data are represented by discrete quantitative variables, i.e. observations that take integer values in the range {0, 1, 2, 3, ...}. In view of this particular characteristic, such data must be analyzed by adequate statistical tools and the Poisson distribution is an option for modeling, being more suitable than models based on methods proposed by Box and Jenkins (2008), usually applied for continuous data, but used in the modeling of discrete data after logarithmic transformation. A limitation of the Poisson distribution is that it assumes equal mean and variance being an obstacle in cases which there are data overdispersion (variance higher than mean) or underdispersion (variance lower than mean). Therefore the Double Poisson distribution, proposed by Efron (1986), is an alternative because it allows to estimate the mean and variance parameters in cases wich variance of the data is lower, equal, or higher than mean providing great flexibility to the models. This work aims to develop time series models for count data, under Bayesian approach using probability distributions for discrete variables such as Poisson and Double Poisson. Furthermore it will be introduced a zero-inflated Double Poisson model to excess zeros counting data. The results obtained by adjusting the time series models based on Double Poisson distribution are compared with those obtained by considering the Poisson distribution. As main applications modeling of snake bites reports in the State of S~ao Paulo and scorpion stings in the city of Ribeir~ao Preto considering covariates as maximum and minimum average monthly temperatures and rainfall among the years 2007 and 2014 will be presented. Regression models based on double Poisson distribution showed a better fit to the data, when compared to Poisson models.

A reconstrução tomográfica de imagens com ruído Poisson tem grandes aplicações em medicina nuclear. A demanda por informações mais complexas, como por exemplo, várias secções de um órgão, e a necessidade de reduzir a dosagem radioativa a que o paciente é submetido, requerem métodos adequados para a reconstrução de imagem com baixa contagem, no caso, baixa relação sinal/ruído. A abordagem estatística, utilizando a máxima verossimilhança (ML) e o algoritmo Expectation-Maximization (EM), produz melhores resultados do que os métodos tradicionais, pois incorpora a natureza estatística do ruído no seu modelo. A presente tese apresenta uma solução alternativa, considerando também o modelo de ruído Poisson, que produz resultados comparáveis ao do ML-EM, porém com custo computacional bem menor. A metodologia proposta consiste, basicamente, em se estimar as projeções considerando o modelo de formação das projeções ruidosas, antes do processo da reconstrução. São discutidos vários estimadores otimizados, inclusive Bayesianos. Em especial, é mostrado que a transformação de ruído Poisson em ruído aditivo Gaussiano e independente do sinal (transformação de Anscombe), conjugada à estimativa, produz bons resultados. Se as projeções puderem ser consideradas, aproximadamente, transformadas de Radon da imagem a ser reconstruída, então pode ser aplicado um dos métodos da transformada para a reconstrução tomográfica. Dentre estes métodos, o da aplicação direta da transformada de Fourier foi avaliado mais detalhadamente devido ao seu grande potencial para reconstruções rápidas com processamento vetorial e processamento paralelo. A avaliação do método proposto foi realizada através de simulações, onde foram geradas as imagens originais e as projeções com ruído Poisson. Os resultados foramcomparados com métodos clássicos como a filtragem-retroprojeção, o ART e o ML-EM. Em particular, a transformação de Anscombe conjungada ao estimador heurístico (filtro de Maeda), mostrou resultados próximos aos do ML-EM, porém com tempo de processamento bem menor. Os resultados obtidos mostram a viabilidade da presente proposta vir a ser utilizada em aplicações clínicas na medicina nuclear. / Tomographic reconstruction of images with Poisson noise is in important problem in nuclear medicine. The need for more complete information, like the reconstruction of several sections of an organ, and the necessity to reduce patient absorbed radioactivity, suggest better methods to reconstruct images with low-count and low signal-to-noise ratio. Statistical approaches using Maximum Likelihood (ML) and the Expectation-Maximization (EM) algorithm lead to better results than classical methods, since ML-EM considers in its model the stochastic nature of the noise. This thesis presents an alternative solution, also using a Poisson noise model, that produces similar results as compared to ML-EM, but with much less computational cost. The proposed technique basically consists of projection estimation before reconstruction, taking into account a model for the formation of the noisy projections. Several optimal and Bayesian estimators are analysed. It is shown that the transformation of Poisson noise into Gaussian additive and independent noise (Anscombe Transformation), followed by estimation, yields good results. If the projection can be assumed as Radon transform of the image to be reconstructed, then it is possible to reconstruct using one of the transform methods. Among these methods, the Direct Fourier Method was analysed in detail, due to its applicability for fast reconstruction using array processors and parallel processing. Computer simulations were used in order to access this proposed technique. Phantoms and phantom projections with Poisson noise were generated. The results were compared with traditional methods like Filtering-Backprojection, Algebraic Rconstruction Technique (ART) and ML-EM. Specifically, the Anscombe transformation together with a heuristic estimator (Maeda\'s filter) produced results comparable to ML-EM, but spending only a fraction of the processing time.