In this study, the balance between conceptual and procedural teaching and its effect on the development of algebraic reasoning was examined. Participants included two seventh grade mathematics teachers and their students in targeted classes (N = 33). One video taped lesson from each teacher was selected for in-depth analysis of the balance between conceptual teaching, procedural teaching, and classroom time that included neither. Student participants took pretest and posttest algebra tests. Distribution of student responses and scores were analyzed for the degree of conceptual understanding demonstrated by students and then related to observed instructional practices. It was concluded that the students of the teacher with a more explicit conceptual emphasis in her lessons performed better on the test and were better able to exhibit flexible reasoning in unfamiliar contexts. Students whose teacher focused more heavily on procedural instruction without conceptual connections were less flexible in their reasoning and unable to apply some of the procedures taught in class.

In this study, the balance between conceptual and procedural teaching and its effect on the development of algebraic reasoning was examined. Participants included two seventh grade mathematics teachers and their students in targeted classes (N = 33). One video taped lesson from each teacher was selected for in-depth analysis of the balance between conceptual teaching, procedural teaching, and classroom time that included neither. Student participants took pretest and posttest algebra tests. Distribution of student responses and scores were analyzed for the degree of conceptual understanding demonstrated by students and then related to observed instructional practices. It was concluded that the students of the teacher with a more explicit conceptual emphasis in her lessons performed better on the test and were better able to exhibit flexible reasoning in unfamiliar contexts. Students whose teacher focused more heavily on procedural instruction without conceptual connections were less flexible in their reasoning and unable to apply some of the procedures taught in class.

Syftet med den här studien är att synliggöra svårigheter som uppkommer vid undervisning inom pre-algebra. Pre-algebran och algebrans roll i skolan är viktig därför att den medför att elever lär sig se problem ur olika synvinklar. Detta ger elever möjligheten att utveckla deras kognitiva tankemönster. Studien tar upp flera kritiska aspekter samt variationsmönster för att belysa svårigheter i undervisningen inom pre-algebra. Vidare beskrivs hur läraren kan gå till väga för att motverka vissa svårigheter. Resultatet visar på viktiga delar som berör inlärningen av pre-algebra. Det handlar bland annat om likhetstecknets betydelse, lärarens ämneskunskaper, ordanvändning, rutiner och relationella tal. Slutligen visar forskningen att inte enbart elevers kunskaper som är bristfälliga, utan även lärarens kunskap kan vara otillräcklig.

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[pt] A idéia central desta tese foi trabalhar o conceito de fração, identificando a fração como número e representando esse número na reta numérica, tendo como base as recomendações e experiências realizadas por Kathleen Hart, e principalmente Hung-Hsi Wu. Um conjunto de atividades foi desenvolvido, constituindo uma proposta de ensino de frações, posta em prática em turmas do sétimo ano e oitavo ano do Colégio Pedro II durante os anos letivos de 2006 e 2007. Parte substancial da tese é dedicada à descrição dos procedimentos metodológicos desenvolvidos para a aplicação dos princípios teóricos defendidos e de aspectos da implementação desses procedimentos em sala de aula. Grande número de exemplos das atividades realizadas é apresentado, dando-se destaque às resposta dos alunos às mesmas. O acompanhamento da evolução dos alunos é amplamente documentado. Os resultados são avaliados tanto do ponto do vista global quanto do ponto de vista de grupos diferenciados de alunos em diferentes níveis de qualificação prévia. O encaminhar de todo o trabalho investigativo leva a duas conclusões essenciais: a familiarização com o campo algébrico é alcançada com mais facilidade quando o conceito de fração é trabalhado na forma proposta; o envolvimento com as atividades e a compreensão pelos alunos da construção que estavam realizando em relação aos conceitos propostos devolvem o interesse das crianças pela aprendizagem da Matemática, fundamental para o êxito de qualquer proposta pedagógica. / [en] The main idea of this thesis was to work on the concept of fraction, identifying the fraction as a number and representing it in the line, taking as basis the recommendations and experiments of Kathleen Hart, and, mainly Hung-Hsi Wu. A set of activities was developed, generating a proposal for teaching fractions, led to practice in classes of students of 7th and 8th grade of Colegio Pedro II during the school years of 2006 and 2007. A substantial part of the thesis is devoted to the description of the methodological procedures developed for the implementation of the theoretical principles defended and of aspects of the implementation of these procedures in the classroom. Large number of examples is given of the activities performed, emphasis being given to the response of the students. The monitoring of the progress of the students is widely documented. The results are evaluated from the global point of view and considering distinct groups of students at different levels of prior qualification. The development of all the research work led essentially to two conclusions: the familiarization with the algebraic field is more easily reached when the concept of fraction is dealt in the proposed way; the involvement of the students with the activities and their understanding of the construction that they were doing with the concepts proposed returned them the interest for learning mathematics, the key to the success of any educational proposal.

BAKGRUND:I ett sociokulturellt perspektiv utgår man ifrån att elever lär i samspel med varandra ellertillsammans med en vuxen person. En lärare som planerar sin matematikundervisning kangenom att ha en varierad undervisning skapa dessa lärandesituationer för eleverna. Det ärockså viktigt att läraren har kunskaper om, i detta fall algebra och vilka svårigheter elevernakan ha då bokstavssymboler ersätter tal. Tidigare forskning beskriver att lärare kan ställa sigfrågorna vad, hur och varför då de planerar sin undervisning. Planeringen, som inkluderarbåde undervisningen och utvärderingen av elevernas kunskaper, skall enligt styrdokumenten,göras tillsammans med eleverna.SYFTE:Syftet var att undersöka lärares utsagor om sin planering och undervisning av algebra i åk 6-9.METOD:Forskningsmetoden var kvalitativ eftersom undersökning och datainsamling gjordes genomintervju av sju stycken lärare.RESULTAT:I studien visade sig att samtliga lärare utgår från läroboken då de planerar undervisningen ochutvärderar elevernas kunskaper. Detta beror, enligt lärarna, på förutsättningar som tillexempel tid, gruppsammansättningar och klassrumsklimat. / Uppsatsnivå: C

Submitted by Augusto Sérgio Furquim null (serginspfc@gmail.com) on 2018-02-28T01:21:15Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao_Augusto_ProfMat_Final.pdf: 4745307 bytes, checksum: 2d60b356f245a77096b1ce3cb1292751 (MD5) / Rejected by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br), reason: Solicitamos que realize correções na submissão seguindo as orientações abaixo: Problema 01) Falta a FOLHA DE APROVAÇÃO (Obrigatório pela ABNT NBR14724) Na página da Seção de pós-graduação, em Instruções para Qualificação e Defesas de Dissertação e Tese, você pode acessar o modelo das páginas pré-textuais. Lembramos que o arquivo depositado no repositório deve ser igual ao impresso. Agradecemos a compreensão on 2018-02-28T17:41:39Z (GMT) / Submitted by Augusto Sérgio Furquim null (serginspfc@gmail.com) on 2018-03-01T02:15:50Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao_Augusto_ProfMat_Final.pdf: 4746758 bytes, checksum: 726978107a9190735785165300342924 (MD5) / Approved for entry into archive by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br) on 2018-03-01T15:28:52Z (GMT) No. of bitstreams: 1 furquim_as_me_sjrp.pdf: 4746758 bytes, checksum: 726978107a9190735785165300342924 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-03-01T15:28:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 furquim_as_me_sjrp.pdf: 4746758 bytes, checksum: 726978107a9190735785165300342924 (MD5) Previous issue date: 2018-02-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho, promovemos um estudo acerca da introdução `a Álgebra nos Anos Finais do Ensino Fundamental. Para tanto, perpassamos pela construção lógica e a Aritmética do conjunto dos números Naturais, Inteiros e Racionais. Além disso, abordamos a Álgebra em seus aspectos históricos, concepções, resultados em avaliações de larga escala, disposição no Currículo do Estado de São Paulo - onde constatamos um salto entre Aritmética e Álgebra - e sua introdução através de situações de aprendizagem as quais denominamos atividades de “Pré-Álgebra”. Ao longo do desenvolvimento de nosso trabalho discutimos, em revisão de literatura e, também, experimentalmente, as implicações de um adiantamento, com relação ao currículo supracitado, no tratamento da Álgebra em atividades introdutórias. Como resultado, verificamos que há, sim, espaço para que a Álgebra seja previamente introduzida, em consonância com a Aritmética, através de atividades de Pré-Álgebra. No entanto, não podemos garantir que esta introdução seja mais fácil para os alunos, embora conjecturemos que a suavidade da forma como tratamos a Álgebra durante as atividades da Pré-Álgebra pode contribuir para uma melhoria no cenário de ensino da Álgebra em nosso país. / In this work, we promote a study on the introduction to Algebra in the final years of Elementary School. For this, we went through the logical construction and the arithmetic of the set of Natural, Integer and Rational numbers. Moreover, we analyzed Algebra based on its historical aspects, conceptions, the outcome on the large-scale evaluations, on how it appears on the State of S˜ao Paulo Curriculum - which showed us a jump between Arithmetic and Algebra - and its introduction by using some learning activities that we call ”pre-algebra”. Throughout the development of our work we discussed - by reviewing some literature and also experimentally - the implications of an advance in the treatment of Algebra in introductory activities, in comparison with the above mentioned curriculum. As a result, we find out that in fact there is space to introduce Algebra in advance, in line with Arithmetic, using the Pre-Algebra activities. However, we cannot guarantee that this introduction is going to be easier for the students, although we conjecture that the smoothness of the way we treat Algebra during the PreAlgebra activities can contribute for an improvement in the scenario of teaching Algebra in our country.

Vi har funderat över hur vi som blivande lärare skulle kunna förbättra elevernas förståelse inom algebra. Syftet med detta arbete var att ta reda på vad symbolen har för betydelse vid algebraräkning och huruvida det kan vara givande att introducera pre-algebra i större utsträckning i tidigare årskurs. Med symbol menar vi det tecken som representerar den okända variabeln i algebra. För att undersöka detta har en observationsstudie genomförts i årskurs fem och två tester i årskurs två och sju. Sammanlagt deltog 178 elever. Undersökningarna visade att valet av symbol har viss betydelse, men är dock ej helt avgörande, i synnerhet i grundskolans tidiga år. Vidare visade studien att barn i årskurs två är mogna för pre-algebra, vilket betyder att den kan introduceras i större utsträckning redan då. För att underlätta övergången från pre-algebra till algebra kan läraren variera valet av symbol. Förslagsvis en symbol det går att skriva inuti till att börja med, för att sedan successivt skifta till en symbol som ej går att skriva i.

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