Cette thèse présente quelques idées pour l'accélération des calculs ab initio de systèmes physico-chimiques. Après une introduction générale aux modèles et aux méthodes faite au chapitre 1, le chapitre 2 est consacré à une présentation mathématique de la construction des pseudo-potentiels qui mènent à une réduction considérable de la taille du problème électronique. On s'intéresse ensuite au problème aux valeurs propres généralisé qui constitue l'étape limitante de la résolution du problème électronique. On propose dans le chapitre 3 une méthode de décomposition de domaine de complexité linéaire avec le nombre d'électrons du système en terme de temps CPU et d'encombrement mémoire. Cette méthode, adaptée au traitement des systèmes isolants, remédie à certaines insuffisances des méthodes existantes. Dans le même esprit, le chapitre 4 est dédié à une tentative d'adaptation des méthodes dites de projection pour le traitement des gros systèmes métalliques. Un autre problème est abordé au chapitre 5. Il s'agit de l'application de la méthode des bases réduites au problème électronique. Dans un premier temps, des résultats montrant la faisabilité de l'approche ont été obtenus sur les systèmes H2+ et H2 où la base de discrétisation pour la résolution du problème électronique dépend de la position des noyaux, paramètres du système. Dans un second temps, une adaptation de la méthode des bases réduites pour traiter un problème non linéaire est présentée. Le chapitre 6 présente enfin des conclusions générales sur l'ensemble des approches abordées dans la thèse, ainsi que quelques pistes pour des développements futurs.

L'évolution des turbines à gaz vers des régimes de combustion en mélange pauvre augmente la sensibilité de la flamme aux perturbations de l'écoulement. Plus particulièrement, cela augmente le risque que des instabilités de combustion apparaissent. Comme ces oscillations peuvent affecter le processus de combustion, il est très important d'être capable de prédire ce comportement au niveau de la conception.L'objectif du travail présenté est de développer un solveur numérique qui permet de décrire ces instabilités, et d'évaluer les effets du nombre de Mach de l'écoulement moyen sur ce phénomène. L'approche choisie consiste à résoudre les équations d'Euler linéarisées, qui sont écrites dans le domaine fréquentiel sous la forme d'un problème aux valeurs propres. Ce système d'équations permets de prendre en compte la vitesse moyenne de l'écoulement, et donc d'évaluer les effets causés par la convection et leur impact sur la stabilité des modes. Parmi les mécanismes qui peuvent être étudiés se trouve notamment l'effet des ondes d'entropie convectées, ce qui est particulièrement intéressant dans le contexte des chambres de combustions. Afin de déterminer l'effet des termes liés à la vitesse de l'écoulement moyen sur la stabilité des modes, une analyse de l'énergie contenue dans les perturbations est effectuée. Finalement, l'aspect de la non-orthogonalité des modes propres, qui permet une croissance d'énergie transitoire dans un système linéairement stable, est abordé. / The development of gas turbines towards lean combustion increases the susceptibility of the flame to flow perturbations, and leads more particularly to a higher risk of combustion instability. As these self-sustained oscillations may affect the performance of the combustion device, it is very important to be able to predict them at the design level. At present, several methods are used to describe combustion instabilities, ranging from complex LES and DNS calculations to low-order network models. An intermediate method consists in solving a set of equations describing the acoustic field using a finite volume technique, which is the approach used in the present study.This thesis discusses the impact of a non zero Mach number mean flow field on thermoacoustic instability. The study is based on the linearized Euler equations, which are stated in the frequency domain in the form of an eigenvalue problem. Using the linearized Euler equations rather than the Helmholtz equation avoids making the commonly used assumption of the mean flow being at rest, and allows to take into account convection effects and their impact on the stability of the system. Among the mechanisms that can be studied using the present approach is namely the impact of convected entropy waves, which is especially interesting in combustion applications.For this study, a 1D and a 2D numerical solver have been developed and are presented in this thesis. In order to asses the effect of the mean flow terms on the modes' stability, an analysis of the disturbance energy budget is performed. Finally, the aspect of the eigenmodes being non-orthogonal and thus allowing for transient growth in linearly stable systems is adressed.

Dans cette thèse, nous nous demandons si certaines formes présentes dans la nature résultent de l'optimisation d'un critère. Plus précisément, nous considérons un organe ou une partie du corps humain et tentons de deviner un critère que la nature aurait pu chercher à optimiser. Nous résolvons alors le problème d'optimisation de formes résultant afin de comparer la forme obtenue, théoriquement ou numériquement, avec la forme réelle de l'organe. Si ces deux formes sont proches, on pourra en déduire que le critère est convaincant. <br />Dans la première partie de cette thèse, nous considérons l'exemple d'une fibre nerveuse de type axone ou dendrite. Nous proposons deux critères pour expliquer sa forme. Le premier traduit l'atténuation dans le temps du message électrique traversant la fibre et le second l'atténuation dans l'espace de ce message. Dans notre choix de modélisation, nous distinguons deux types de fibres nerveuses : celles qui sont connectées au noyau de la cellule et celles qui sont connectées entre elles. Les problèmes correspondants se ramènent à la minimisation par rapport au domaine des valeurs propres d'un opérateur elliptique et d'une fonction de transfert faisant intervenir la trace sur le bord du domaine du potentiel électrique au sein de la fibre.<br />La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'optimisation de la forme d'un arbre bronchique ou d'une partie de cet arbre. Nous considérons un critère de type "énergie dissipée". Dans une étude théorique, nous prouvons tout d'abord que le cylindre n'est pas une conduite optimale pour minimiser l'énergie dissipée par un fluide newtonien incompressible satisfaisant aux équations de Navier-Stokes.<br />Nous effectuons ensuite des simulations en deux et trois dimensions afin de tester numériquement si l'arbre bronchique est ou non optimal.

Une méthode de calcul de forçage optimal a été employée afin d'analyser le caractère amplificateur sélectif de bruit d'écoulements compressibles pariétaux. Une telle approche inclut la prise en compte de croissances non-modales induites par la non-normalité des équations de Navier-Stokes linéarisées. La méthode numérique repose sur le calcul de la matrice résolvante globale et la résolution d'un problème aux valeurs propres associé à un problème d'optimisation. Les densités d'énergie des forçages et réponses optimaux calculés pour une couche limite supersonique ont pu être reliés à la courbe neutre expérimentale obtenue par Laufer et Vrebalovich, à condition de contraindre la localisation du forçage en amont de la branche inférieure. Par la suite, une étude paramétrique en nombre de Mach de la réceptivité 2D d'une interaction choc/couche limite laminaire a permis de caractériser le développement d'instabilités convectives de Kelvin-Helmholtz et Tollmien-Schlichting (TS) à haute fréquence. La réceptivité basse fréquence de ce système a été mise en relation avec la résonance d'un mode global stable. Par ailleurs, une extension de la méthode numérique 2D a été proposée pour le calcul de perturbations 3D. Son application au calcul du forçage optimal d'une couche limite à M=4.5 a permis de mettre en évidence la croissance non-modale 3D de streaks ainsi que le développement d'ondes TS obliques dont la croissance, en régime compressible, est favorisée par rapport à celle des ondes 2D. Cette étude a également permis d'observer la croissance du mode de Mack à plus haute fréquence. / Parietal compressible flows have been studied by means of optimal forcing computations in order to characterize the noise amplifier nature of these flows. This approach is able to take into account the non-modal growth of linear perturbations induced by the non-normality of the linearized Navier-Stokes equations. The numerical strategy is based on the computation of the global resolvent matrix and an eigenvalue problem stemming from an optimization problem. Optimal forcing and response energy densities of a supersonic boundary layer have been linked to the experimental neutral curve obtained by Laufer et Vrebalovich, provided that the forcing localization is constrained upstream from the lower branch. Afterwards, a parametric study with respect to the Mach number of the 2D receptivity of the laminar shock wave/boundary layer interaction flow has allowed to analyze the growth of Kelvin-Helmholtz and Tollmien-Schlichting instabilities (TS) occurring at high frequencies. At low frequencies, the receptivity of the system has been linked to the resonance of a stable global mode. Furthermore, the 2D numerical method has been extended to allow the computation of 3D perturbations. This approach has been applied to a supersonic boundary layer flow at M=4.5 in which the 3D non-modal growth of streaks has been identified, as well as the development of oblique TS waves, whose growth is larger than the one associated to 2D waves in compressible regime. This study has also allowed to detect the growth of Mack mode at higher frequencies.

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L'optimisation topologique vise à concevoir une structure en recherchant la disposition optimale du matériau dans un espace de conception donné, permettant ainsi de proposer des designs optimaux innovants. Cette thèse est centrée sur l'optimisation topologique pour des problèmes de conception de structures prenant en compte des contraintes de flambage. Dans une large variété de domaines de l'ingénierie, la conception innovante de structures est cruciale. L'allègement des structures lors la phase de conception tient une place prépondérante afin de réduire les coûts de fabrication. Ainsi l'objectif est souvent la minimisation de la masse de la structure à concevoir. En ce qui concerne les contraintes, en plus des contraintes mécaniques classiques (compression, tension), il est nécessaire de prendre en compte des phénomènes dits de flambage, qui se caractérisent par une amplification des déformations de la structure et une potentielle annihilation des capacités de la structure à supporter les efforts appliqués. Dans le but d'adresser un large panel de problèmes d'optimisation topologique, nous considérons les deux types de représentation d'une structure : les structures treillis et les structures continues. Dans le cadre de structures treillis, l'objectif est de minimiser la masse en optimisant le nombre d'éléments de la structure et les dimensions des sections transversales associées à ces éléments. Nous considérons les structures constituées d'éléments poutres et nous introduisons une formulation du problème comme un problème d'optimisation non-linéaire en variables mixtes. Afin de prendre en compte des contraintes de manufacturabilité, nous proposons une fonction coût combinant la masse et la somme des seconds moments d'inertie de chaque poutre. Nous avons développé un algorithme adapté au problème d'optimisation considéré. Les résultats numériques montrent que l'approche proposée mène à des gains de masses significatifs par rapport à des approches existantes. Dans le cas des structures continues, l'optimisation topologique vise à discrétiser le domaine de conception et à déterminer les éléments de ce domaine discrétisé qui doivent être composés de matière, définissant ainsi un problème d'optimisation discret. [...] / Topology optimization aims to design a structure by seeking the optimal material layout within a given design space, thus making it possible to propose innovative optimal designs. This thesis focuses on topology optimization for structural problems taking into account buckling constraints. In a wide variety of engineering fields, innovative structural design is crucial. The lightening of structures during the design phase holds a prominent place in order to reduce manufacturing costs. Thus the goal is often the minimization of the mass of the structure to be designed. Regarding the constraints, in addition to the conventional mechanical constraints (compression, tension), it is necessary to take into account buckling phenomena which are characterized by an amplification of the deformations of the structure and a potential annihilation of the capabilities of the structure to support the applied efforts. In order to adress a wide range of topology optimization problems, we consider the two types of representation of a structure: lattice structures and continuous structures. In the framework of lattice structures, the objective is to minimize the mass by optimizing the number of elements of the structure and the dimensions of the cross sections associated to these elements. We consider structures constituted by a set of frame elements and we introduce a formulation of the problem as a mixed-integer nonlinear problem. In order to obtain a manufacturable structure, we propose a cost function combining the mass and the sum of the second moments of inertia of each frame. We developed an algorithm adapted to the considered optimization problem. The numerical results show that the proposed approach leads to significant mass gains over existing approaches. In the case of continuous structures, topology optimization aims to discretize the design domain and to determine the elements of this discretized domain that must be composed of material, thus defining a discrete optimization problem. [...]

Après une présentation des notations usuelles de la théorie des graphes, on étudie l'ensemble des fonctions harmoniques sur les graphes, c'est à dire des fonctions dont le laplacien est nul. Ces fonctions forment un espace vectoriel et sur un graphe uniformément localement fini, on montre que cet espace vectoriel est soit de dimension un, soit de dimension infinie. Lorsque le graphe comporte une infinité de cycles, ce résultat tombe en défaut et on exhibe des exemples qui montrent qu'il existe un graphe sur lequel les harmoniques forment un espace vectoriel de dimension n, pour tout n. Un exemple de graphe périodique est également traité. Ensuite, toujours pour le laplacien, on étudie plus précisément sur les arbres uniformément localement finis les valeurs propres dont l'espace propre est de dimension infini. Dans ce cas, il est montré que l'espace propre contient un sous-espace isomorphe à l'ensemble des suites réelles bornées. Une inégalité concernant le spectre est donnée dans le cas spécial où les arêtes sont de longueur un. Des exemples montrent que ces inclusions sont optimales. Dans le chapitre suivant, on étudie le comportement asymptotique des valeurs propres pour des opérateurs elliptiques d'ordre 2 quelconques sous des conditions de Kirchhoff dynamiques. Après réécriture du problème sous la forme d'un opérateur de Sturm-Liouville, on écrit le problème de façon matricielle. Puis on trouve une équation caractéristique dont les zéros correspondent aux valeurs propres. On en déduit une formule pour l'asymptotique des valeurs propres. Dans le dernier chapitre, on étudie la stabilité de solutions stationnaires pour certains problèmes de réaction-diffusion où le terme de non linéarité est polynomial. / After a quick presentation of usual notations for the graph theory, we study the set of harmonic functions on graphs, that is, the functions whose laplacian is zero. These functions form a vectorial space. On a uniformly locally finite tree, we shaw that this space has dimension one or infinity. When the graph has an infinite number of cycles, this result change and we describe some examples showing that there exists a graph on which the harmonic functions form a vectorial space of dimension n, for all n. We also treat the case of a particular periodic graph. Then, we study more precisely the eigenvalues of infinite dimension. In this case, the eigenspace contains a subspace isomorphic to the set of bounded sequences. An inequality concerning the spectral is given when edges length is equal to one. Examples show that these inclusions are optimal. We also study the asymptotic behavior of eigenvalues for elliptic operators under dynamical Kirchhoff node conditions. We write the problem as a Sturm-Liouville operator and we transform it in a matrix problem. Then we find a characteristic equation whose zeroes correspond to eigenvalues. We deduce a formula for the asymptotic behavior. In the last chapter, we study the stability of stationary solutions for some reaction-diffusion problem whose the non-linear term is polynomial.

Cette thèse est consacrée à l'étude du spectre de l'opérateur de Laplace avec conditions de Dirichlet dans différents domaines du plan ou de l'espace. Dans un premier temps on s'intéresse à des triangles asymptotiquement plats et des cônes de petite ouverture. Ces problèmes admettent une reformulation semi-classique et nous donnons des développements asymptotiques à tout ordre des premières valeurs et fonctions propres. Ce type de résultat est déjà connu pour des domaines minces à profil régulier. Pour les triangles et les cônes, on prouve que le problème admet maintenant deux échelles. Dans un second temps, on étudie une famille de couches coniques indexées par leur ouverture. Là encore, on s'intéresse à la limite semi-classique quand l'ouverture tend vers zéro: on donne un développement asymptotique à deux termes des premières valeurs propres et on démontre un résultat de localisation des fonctions propres associées. Nous donnons également, à ouverture fixée, un équivalent du nombre de valeurs propres sous le seuil du spectre essentiel. / This thesis deals with the spectrum of the Dirichlet Laplacian in various two or three dimensional domains. First, we consider asymptotically flat triangles and cones with small aperture. These problems admit a semi-classical formulation and we provide asymptotic expansions at any order for the first eigenvalues and the associated eigenfunctions. These type of results is already known for thin domains with smooth profiles. For triangles and cones, we show that the problem admits now two different scales. Second, we study a family of conical layers parametrized by their aperture. Again, we consider the semi-classical limit when the aperture tends to zero: We provide a two-term asymptotics of the first eigenvalues and we prove a localization result about the associated eigenfunctions. We also estimate, for each chosen aperture, the number of eigenvalues below the threshold of the essential spectrum.

Cette thèse analyse le spectre d'opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique constant dans des ouverts de type diédraux. Pour comprendre l'influence d'une arête courbe sur la première valeur propre de l'opérateur dans la limite semi-classique, il faut connaître le bas du spectre de l'opérateur de Schrödinger magnétique avec champ constant sur un dièdre infini. Par transformation de Fourier ce problème se ramène à l'étude d'une famille d'opérateurs à paramètre sur un secteur infini. On calcule le spectre essentiel de ces opérateurs sur le secteur et on montre que dans certains cas il y a des valeurs propres discrètes sous le spectre essentiel. Par comparaison avec des opérateurs de Sturm-Liouville singuliers sur le demi-axe on obtient des majorations du bas du spectre de l'opérateur sur le dièdre : pour un angle d'ouverture assez petit et certaines orientations du champ magnétique, celui-ci est strictement inférieur aux quantités spectrales issues du cas régulier. Finalement on applique ces résultats à l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant et petit paramètre dans des domaines bornés de l'espace possédant des arêtes courbes. Pour déterminer une asymptotique de la première valeur propre dans la limite semi-classique, on construit des quasi-modes près de l'arête à l'aide des fonctions propres du problème à paramètre sur le secteur. En utilisant une partition du domaine selon que l'on soit près de l'arête ou du bord régulier, on obtient le premier terme de l'asymptotique pour diverses orientations du champ magnétique et on montre dans certains cas que la première valeur propre est inférieure aux valeurs propres associées à des ouverts réguliers.