Cette thèse traite de la modélisation de prix boursiers par les exponentielles de processus de Lévy. La première partie développe une méthode non-paramétrique stable de calibration de modèles exponentielle-Lévy, c'est-à-dire de reconstruction de ces modèles à partir des prix d'options cotées sur un marché financier. J'étudie les propriétés de convergence et de stabilité de cette méthode de calibration, décris sa réalisation numérique et donne des exemples de son utilisation. L'approche adoptée ici consiste à reformuler le problème de calibration comme celui de trouver un modèle exponentielle-Lévy risque-neutre qui reproduit les prix d'options cotées avec la plus grande précision possible et qui a l'entropie relative minimale par rapport à un processus "a priori" donné. Ce problème est alors résolu en utilisant la méthode de régularisation, provenant de la théorie de problèmes inverses mal posés. L'application de ma méthode de calibration aux données empiriques de prix d'options sur indice permet d'étudier certaines propriétés des mesures de Lévy implicites qui correspondent aux prix de marché. <br /><br />La deuxième partie est consacrée au développement d'une méthode permettant de caractériser les structures de dépendance entre les composantes d'un processus de Lévy multidimensionnel et de construire des modèles exponentielle-Lévy multidimensionnels. Cet objectif est atteint grâce à l'introduction de la notion de copule de Lévy, qui peut être considérée comme l'analogue pour les processus de Lévy de la notion de copule, utilisée en statistique pour modéliser la dépendance entre les variables aléatoires réelles. Les exemples de familles paramétriques de copules de Lévy sont donnés et une méthode de simulation de processus de Lévy multidimensionnels, dont la structure de dépendance est décrite par une copule de Lévy, est proposée.

Cette thèse traite de la modélisation de prix boursiers par les exponentielles de processus de Lévy. La première partie développe une méthode non-paramétrique stable de calibration de modèles exponentielle-Lévy, c'est-à-dire de reconstruction de ces modèles à partir des prix d'options cotées sur un marché financier. J'étudie les propriétés de convergence et de stabilité de cette méthode de calibration, décris sa réalisation numérique et donne des exemples de son utilisation. L'approche adoptée ici consiste à reformuler le problème de calibration comme celui de trouver un modèle exponentielle-Lévy risque-neutre qui reproduit les prix d'options cotées avec la plus grande précision possible et qui a l'entropie relative minimale par rapport à un processus "a priori" donné. Ce problème est alors résolu en utilisant la méthode de régularisation, provenant de la théorie de problèmes inverses mal posés. L'application de ma méthode de calibration aux données empiriques de prix d'options sur indice permet d'étudier certaines propriétés des mesures de Lévy implicites qui correspondent aux prix de marché. La deuxième partie est consacrée au développement d'une méthode permettant de caractériser les structures de dépendance entre les composantes d'un processus de Lévy multidimensionnel et de construire des modèles exponentielle-Lévy multidimensionnels. Cet objectif est atteint grâce à l'introduction de la notion de copule de Lévy, qui peut être considérée comme l'analogue pour les processus de Lévy de la notion de copule, utilisée en statistique pour modéliser la dépendance entre les variables aléatoires réelles. Les exemples de familles paramétriques de copules de Lévy sont donnés et une méthode de simulation de processus de Lévy multidimensionnels, dont la structure de dépendance est décrite par une copule de Lévy, est proposée.

L'objectif de ce travail est de proposer une nouvelle démarche pour améliorer et accélérer les études de dimensionnement des pièces de turboréacteurs en avant-projets. Il s'agit de fournir une méthodologie complète pour la conception robuste sous contraintes. Cette méthodologie consiste en trois étapes : la réduction de la dimension et la méta-modélisation, la conception robuste sous contraintes puis la résolution de problèmes inverses sous contraintes. Ce sont les trois principaux sujets abordés dans cette thèse. La réduction de la dimension est un pré-traitement indispensable à toute étude. Son but est de ne conserver, pour une sortie choisie du système, que les entrées influentes. Ceci permet de réduire la taille du domaine d'étude afin de faciliter la compréhension du système et diminuer les temps de calculs des études. Les méthodes de méta-modélisations contribuent également à ces deux objectifs. L'idée est de remplacer le code de calculs coûteux par un modèle rapide à évaluer et qui représente bien la relation entre la sortie étudiée et les entrées du système. La conception robuste sous contraintes est une optimisation bi-objectifs où les différentes sources d'incertitudes du système sont prises en compte. Il s'agit, dans un premier temps, de recenser et modéliser les incertitudes puis de choisir une méthode de propagation de ces incertitudes dans le code de calculs. Ceci permet d'estimer les moments (moyenne et écart-type) de la loi de la sortie d'intérêt. L'optimisation de ces moments constitue les deux objectifs de la conception robuste. En dernier lieu, il s'agit de choisir la méthode d'optimisation multi-objectifs qui sera utilisée pour obtenir l'optimum robuste sous contraintes. La partie innovante de cette thèse porte sur le développement de méthodes pour la résolution de problèmes inverses mal posés. Ce sont des problèmes pour lesquels il peut y avoir une infinité de solutions constituant des ensembles non convexes et même disjoints. L'inversion a été considérée ici comme un complément à l'optimisation robuste dans laquelle l'optimum obtenu ne satisfaisait pas une des contraintes. Les méthodes d'inversion permettent alors de résoudre ce problème en trouvant plusieurs combinaisons des entrées qui satisfont la contrainte sous la condition de rester proche de l'optimum robuste. Le but est d'atteindre une valeur cible de la contrainte non satisfaite tout en respectant les autres contraintes du système auxquelles on ajoute la condition de proximité à l'optimum. Appliquée au dimensionnement d'un compresseur HP en avants-projets, cette méthodologie s'inscrit dans l'amélioration et l'accélération des études marquées par de nombreux rebouclages chronophages en termes de ressources informatiques et humaines. / The aim of this PhD dissertation is to propose a new approach to improve and accelerate preliminary design studies for turbofan engine components. This approach consists in a comprehensive methodology for robust design under constraints, following three stages : dimension reduction and metamodeling, robust design under constraints and finally inverse problem solving under constraints. These are the three main subjects of this PhD dissertation. Dimension reduction is an essential pre-processing for any study. Its aim is to keep only inputs with large effects on a selected output. This selection reduces the size of the domain on which is performed the study which reduces its computational cost and eases the (qualitative) understanding of the system of interest. Metamodeling also contributes to these two objectives by replacing the time-consuming computer code by a faster metamodel which approximates adequately the relationship between system inputs and the studied output. Robust design under constraints is a bi-objectives optimization where different uncertainty sources are included. First, uncertainties must be collected and modeled. Then a propagation method of uncertainties in the computation code must be chosen in order to estimate moments (mean and standard deviation) of output distribution. Optimization of these moments are the two robust design objectives. Finally, a multi-objectives optimization method has to be chosen to find a robust optimum under constraints. The development of methods to solve ill-posed inverse problems is the innovative part of this PhD dissertation. These problems can have infinitely many solutions constituting non convex or even disjoint sets. Inversion is considered here as a complement to robust design in the case where the obtained optimum doesn't satisfy one of the constraints. Inverse methods then enable to solve this problem by finding several input datasets which satisfy all the constraints and a condition of proximity to the optimum. The aim is to reach a target value of the unsatisfied constraint while respecting other system constraints and the optimum proximity condition. Applied to preliminary design of high pressure compressor, this methodology contributes to the improvement and acceleration of studies currently characterized by a numerous of loopbacks which are expensive in terms of cpu-time and human resources.

La recherche et les questions abordées dans cette thèse sont de type inverse : la reconstitution d'une source ponctuelle ou la complétion d'une donnée à la limite inconnue à l'extrémité du domaine dans les modèles paraboliques de transport de contaminants. La modélisation mathématique des problèmes de pollution des eaux fait intervenir deux traceurs, l'oxygène dissous (OD) et la demande biochimique en oxygène (DBO) qui est la quantité d'oxygène nécessaire à la biodégradation de la matière organique. En effet, au cours des procédés d'autoépuration, certaines bactéries aérobies jouent un rôle principal. Ces micro-organismes décomposent les matières organiques polluantes en utilisant l'oxygène dissous dans le milieu. Afin de compenser ces données manquantes, les champs, solutions du problème, sont observés directement ou indirectement. Les problèmes inverses qui en résultent sont quasi certainement mal-posés voire même sévèrement mal-posés pour la plupart. Dans cette thèse, nous proposons justement une analyse aussi poussée que possible sur la question de l'identifiabilité pour les deux problèmes inverses décrits ci-dessus. Nous avons démontré un résultat d'unicité pour des sources fixes dans le cas d'observations décalées. La réalité pour l'observation est nuancée et l'idéal n'est pas acquis ; des mesures directes sur la DBO sont difficiles à obtenir. En revanche collecter des données sur l'OD est possible en temps réel et avec un faible coût. La DBO est donc observée de façon indirecte, grâce au couplage dans le système de Streeter et Phelps, l'information passe de l'OD à la DBO. Pour ce problème aussi, nous avons produit un résultat d'unicité pour la reconstruction de la source ou puits ponctuel qui serait présent dans l'équation de transport sur l'OD. Nous avons ensuite examiné des questions annexes à l'identifiabilité telles que le degré d'instabilité des équations à résoudre. De ce type d'informations dépendent le comportement des méthodes numériques et des algorithmes de calcul à utiliser. / The research and the questions approached on this thesis are inverse type : the reconstruction of point-wise source or the data completion problem in parabolic models of transport of contaminants. The mathematical modelling of the problems of water pollution includes two tracers, the dissolved oxygen (DO) and the biochemical demand in oxygen (BDO) which is the quantity of oxygen necessary for the biodegradation of organic matter. Indeed, during the biodegradation process, aerobic bacteria play a leading part. These micro-organisms decompose polluting organic matters by using the dissolved oxygen in the middle. To compensate these missing data, fields, solutions of the problem, are observed directly or indirectly. The resulting inverse problems are ill-posed. Their mathematical study rises big complications and their numerical treatment isn't easy. We demonstrated a uniqueness result for fixed sources in the case of moved observations. The reality for the observation is qualified and the ideal is not acquired; direct measures on the BOD are difficult to obtain. On the Other hand to collect data on the DO is possible in real time With a moderate cost. The BOD is thus observed in indirect way, thanks to the coupling in the system of Streeter and Phelps, the information passes from the DO to the BOD. For this problem, we produced a uniqueness result for the reconstruction of source. Then, we examined the degree of instability of the equation to be solved. The behaviour of numerical methods depend on this type of information.