Nous nous intéressons dans cette thèse à l' étude de trois dynamiques en dimension infinie, liées à des problèmes d'interface aléatoire. Il s'agira de résoudre une équation aux dérivées partielles stochastiques paraboliques avec différents potentiels singuliers. Trois types de potentiel sont étudiés, dans un premier temps nous considérons l' équation de la chaleur stochastique avec un potentiel convexe sur R^d, correspondant a l' évolution d'une corde aléatoire dans un ensemble convexe O inclus dans R^d et se réfléchissant sur le bord de O. La mesure de réflexion, vue comme la fonctionnelle additive d'un processus de Hunt, est étudiée au travers de sa mesure de Revuz. L'unicité trajectorielle et l'existence d'une solution forte continue sont prouvées. Pour cela nous utilisons des résultats récents sur la convergence étroite de processus de Markov avec une mesure invariante log-concave. Nous étudions ensuite l' équation de la chaleur avec un bruit blanc espace-temps, et un potentiel singulier faisant apparaître un temps local en espace. Cette fois le processus de Markov étudié possède une mesure invariante de type mesure de Gibbs mais avec un potentiel non convexe. L'existence d'une solution est prouvée, ainsi que la convergence, vers une solution stationnaire, d'une suite d'approximation, construite par projections sur des espaces de dimension nie. une étude du semigroupe permet d'obtenir des solutions non-stationnaires Nous combinons enfin les deux précédents modèles. L'existence d'une solution stationnaire est prouvée ainsi que la convergence d'un schéma d'approximation comme précédemment.

Cette thèse est divisée en deux parties indépendantes. Dans une première partie, on introduit et on étudie un nouveau processus de pertes en assurance : c'est un triplet (J, N, S) où (J, N) est un processus de Poisson à modulation markovienne et S est un processus dont toutes les composantes sont des fonctions en escalier, croissantes en temps. Le processus S est supposé à accroissements indépendants conditionnellement au processus (J, N). En faisant une hypothèse paramétrique sur la loi de ses sauts, on démontre que l'estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres du modèle est consistant. On donne un algorithme EM permettant de calculer en pratique cet estimateur : le procédé ainsi développé est utilisé sur des données réelles en assurance et ses performances sont évaluées sur simulations. Dans une seconde partie, on s'intéresse au problème de l'estimation du point terminal, supposé fini, d'une fonction de répartition F : étant donné un échantillon de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de fonction de répartition F, on construit un estimateur du point terminal à droite de F en utilisant une méthode des moments d'ordre élevé. L'étude est scindée en deux cas : dans un premier temps, on suppose que les variables sont positives, puis on généralise la méthode au cas où elles sont de signe quelconque en proposant un autre estimateur. On étudie les propriétés asymptotiques de nos estimateurs, et leurs performances sont examinées sur simulations. On s'inspire ensuite des techniques développées pour construire un estimateur de la frontière du support d'un couple aléatoire. On étudie ses propriétés asymptotiques, et on le compare à des estimateurs classiques dans ce cadre.

Ce travail de thèse traite de deux problèmes liés aux méthodes de reconstruction d'arbres phylogénétiques. Dans une première partie, nous fournissons des estimateurs consistants ainsi que des intervalles de confiance asymptotiques mathématiquement rigoureux pour le temps d'évolution de séquences d'ADN dans des modèles de substitutions plus réalistes que les modèles usuels, prenant en compte les effets de la méthylation des dinucléotides CpG dans le génome des mammifères. Dans une seconde partie, nous étendons un résultat récent de Steel et Matsen en prouvant qu'un des travers bien connu des méthodes Bayésiennes en phylogénie, appelé "star tree paradox", a en fait lieu dans un cadre plus large que celui de Steel et Matsen.

Dans ce travail nous étudions sous deux aspects la dépendance au contexte pour l'évolution par substitution des séquences nucléotidiques. Dans une première partie nous définissons un modèle évolutif simple intégrant la distinction entre transitions et transversions d'une part, et une dépendance des nucléotides à leur voisin de gauche modélisant l'effet CpG d'autre part. Nous montrons que ce modèle peut s'écrire sous la forme d'une chaîne de Markov cachée et estimons ses paramètres par la mise en oeuvre de l'algorithme de Baum-Welch. Nous appliquons enfin le modèle à l'estimation de taux de substitution mis en jeu dans l'évolution de séquences réelles. Dans une deuxième partie nous développons des corrections pour les statistiques classiques du test d'adéquation d'un échantillon à une loi multinomiale en présence de zéros aléatoires. En effet, les tests d'indépendance de l'évolution de triplets de nucléotides voisins impliquent des tables de contingence possédant de nombreuses cases nulles et se ramènent à des tests d'adéquation sur des vecteurs creux. Les statistiques de Pearson et de Kullback ne peuvent alors être employées. A partir de celles-ci, nous considérons des statistiques corrigées qui conservent le même comportement asymptotique. Nous les utilisons pour réaliser des tests d'indépendance, non seulement dans le cadre des données génomiques de la première partie, mais également pour des données écologiques et épidémiologiques.

Dans la première partie de cette thèse nous étudions la mobilité et le temps de transfert d'un message dans les réseaux ad hoc mobiles. Nous obtenons, pour plusieurs modèles de mobilité, la loi stationnaire de la position des noeuds, la distribution du temps nécessaire avant que deux noeuds puissent (à nouveau) communiquer, et le temps durant lequel deux noeuds sont dans leur voisinage mutuel. Nous déduisons de ces résultats des formules pour le temps de transfert d'un message en utilisant d'autres noeuds dans le réseau comme relais. Ces calculs sont effectués pour plusieurs modèles de mobilité et pour deux types de protocoles de routage.La deuxième partie de cette thèse traite d'un système à " Polling " qui consiste en deux files d'attente servies par un serveur. Après avoir servi une file d'attente, le serveur a besoin d'un temps de commutation pour passer d'une file à l'autre, et commencer à servir les clients. Les temps de commutation peuvent être corrélés. Nous obtenons l'expression de plusieurs mesures de performance, notamment le temps d'attente moyen et la taille moyenne de la file d'attente. Grâce à ces expressions, nous comparons deux disciplines de service et au travers d'exemples nous montrons que la corrélation des temps de commutation peut augmenter significativement le temps d'attente moyen et la taille des files d'attente. Cela indique que la corrélation ne peut pas être ignorée et qu'elle a des implications importantes pour des systèmes de communication dans lesquels un canal de communication commun est partagé entre plusieurs utilisateurs et où le temps entre des transferts de données consécutifs est corrélé (par exemple dans les réseaux ad hoc).Dans la troisième et dernière partie nous étudions deux files d'attente en série avec des coûts pour chaque client dans le système. La fonction de valeur est calculée pour le coût moyen quand il n'y a pas d'entrée des clients. Celle-ci peut être utilisée pour l'optimisation des systèmes en série ou pour le calcul complet de la fonction de valeur.

Nous proposons dans ce travail d'analyser le comportement des utilisateurs exploitant des données vidéo. Notre objectif est de contribuer à comprendre pourquoi et comment chacune des séquences vidéo est visionnée par les utilisateurs. Pour cela, nous présentons une approche qui combine usage intra-vidéo et usage inter-vidéo. Au niveau intra-vidéo, nous définissons le visionnage d'une vidéo comme unité de comportement. Au niveau inter-vidéo, nous introduisons la session (enchaînement des vidéos visionnées) comme unité de comportement. Un comportement intra-vidéo est modélisé par un modèle de Markov construit en utilisant les différentes actions réalisées lors des vision nages que nous regroupons à l'aide d'une nouvelle méthode de regroupement (K-models). Cette méthode est dérivée de la technique des K-moyennes adaptée à l'utilisation de modèles. Nous caractérisons ainsi plusieurs comportements type qui permettent d'estimer quelle fut l'utilité ou d'une séquence vidéo lors d'une session. Un comportement inter-vidéo est modélisé par une session. Cette session est une séquence ordonnée des vision nages des séquences vidéo. Pour regrouper ces sessions, nous proposons une technique de regroupement hiérarchique qui présente la particularité de traiter des classes représentées par plusieurs sous-séquences enrichies par les comportements intra-vidéo. Les résultats obtenus sur des ensembles de test permettent d'identifier les comportements observés et d'en tirer des suppositions sur la pertinence des vidéos. Nous proposons également un modèle d'intégration dans un moteur de recherche permettant de détecter les erreurs d'indexation et de proposer des recherches alternatives.

La plupart des modèles mathématiques introduits dans la littérature biologique décrivant des phénomènes spatiaux de populations en interaction consistent en des systèmes d'équations différentielles ordinaires obtenues sous des hypothèses de dispersion globale, excluant par conséquent toute structure spatiale. Les systèmes de particules, au contraire, sont des processus de Markov d'espace d'états $F^S$ où $F$ est un ensemble fini de couleurs et $S$ est une structure spatiale, typiquement $\Z^d$. Ils sont en ce sens parfaitement adaptés à l'étude des conséquences de l'inclusion d'une structure spatiale sous forme d'interactions locales. Nous étudions les propriétés mathématiques (mesures stationnaires, géométrie des configurations, transitions de phases) de différents systèmes de particules multicolores définis sur $\Z^d$. Chacun de ces systèmes est déstiné à modéliser les interactions locales au sein d'une communauté de populations structurée spatialement. Plus précisément, les processus biologiques étudiés sont la succession écologique, l'allélopathie ou compétition entre une espèce inhibitrice et une espèce sensible, les interactions multispécifiques hôtes-symbiontes, et les migrations continues de gènes des cultures transgéniques par pollinisation en milieu hétérogène. Les techniques mathématiques sont purement probabilistes, incluant le couplage, la dualité, les arguments multi-échelle, la percolation orientée, les propriétés asymptôtiques des marches aléatoires, ou encore les estimations de grandes déviations.

Les travaux présentés dans cette thèse s'intéressent à la géométrie fractale de processus stochastiques à travers le prisme d'un outil appelé l'analyse 2-microlocale. Ce dernier est issu d'une autre branche des mathématiques, l'analyse fonctionnelle et l'étude des équations aux dérivées partielles, et s'est avéré être pertinent pour décrire la géométrie fine de fonctions déterministes ou de processus aléatoires, généralisant notamment les exposants de Hölder classiques. Nous envisageons ainsi dans ce manuscrit différentes classes de processus, traitant en premier lieu le cas des martingales continues et de l'intégrale stochastique d'Ito. La régularité 2-microlocale de ces derniers fait notamment apparaître un autre concept, la pseudo frontière 2-microlocale, étroitement lié à son aîné. Nous appliquons également ce formalisme d'étude à une classe de processus gaussiens : le mouvement brownien multifractionnaire. Nous caractérisons ainsi sa régularité 2-microlocale et hölderienne, et déterminons dans un deuxième temps la forme générale de la dimension fractale de ses trajectoires. Dans notre étude portant sur les processus de Lévy, nous combinons le formalisme 2-microlocale à l'analyse multifractale, permettant alors de mettre en évidence des comportements géométriques n'étant pas captés par les outils usuels. Nous obtenons également en corollaire le spectre multifractal des processus fractionnaires de Lévy. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons à la définition et aux propriétés de certains processus de Markov multiparamètres, pouvant être plus généralement indicés par des ensembles.

En premier lieu, nous proposons, étudions et optimisons différentes politiques de maintenance pour des systèmes réparables à dégradation markovienne ou semi-markovienne, dont les durées de réparation suivent des lois générales. <br /> Nous nous intéressons ensuite au remplacement préventif de composants devenus obsolescents, du fait de l'apparition de nouveaux composants plus performants. Le problème est ici de déterminer la stratégie optimale de remplacement des anciens composants par les nouveaux. Les résultats obtenus conduisent à des stratégies très différentes selon que les composants ont des taux de panne constants ou non.<br /> Les travaux suivants sont consacrés à l'évaluation numérique de différentes quantités fiabilistes, les unes liées à des sommes de variables aléatoires indépendantes, du type fonction de renouvellement par exemple, les autres liées à des systèmes markoviens ou semi-markoviens. Pour chacune de ces quantités, nous proposons des bornes simples et aisément calculables, dont la précision peut être ajustée en fonction d'un pas de temps. La convergence des bornes est par ailleurs démontrée, et des algorithmes de calcul proposés.<br /> Nous nous intéressons ensuite à des systèmes hybrides, issus de la fiabilité dynamique, dont l'évolution est modélisée à l'aide d'un processus de Markov déterministe par morceaux (PDMP). Pour de tels systèmes, les quantités fiabilistes usuelles ne sont généralement pas atteignables analytiquement et doivent être calculées numériquement. Ces quantités s'exprimant à l'aide des lois marginales du PDMP (les lois à t fixé), nous nous attachons plus spécifiquement à leur évaluation. Pour ce faire, nous commençons par les caractériser comme unique solution d'un système d'équations intégro-différentielles. Puis, partant de ces équations, nous proposons deux schémas de type volumes finis pour les évaluer, l'un explicite, l'autre implicite, dont nous démontrons la convergence. Nous étudions ensuite un cas-test issu de l'industrie gazière, que nous modélisons à l'aide d'un PDMP, et pour lequel nous calculons différentes quantités fiabilistes, d'une part par méthodes de volumes finis, d'autre part par simulations de Monte-Carlo. Nous nous intéressons aussi à des études de sensibilité : les caractéristiques d'un PDMP sont supposées dépendre d'une famille de paramètres et le problème est de comparer l'influence qu'ont ces différents paramètres sur un critère donné, à horizon fini ou infini. Cette étude est faite au travers des dérivées du critère d'étude par rapport aux paramètres, dont nous démontrons l'existence et que nous calculons.<br /> Enfin, nous présentons rapidement les travaux effectués par Margot Desgrouas lors de sa thèse consacrée au comportement asymptotique des PDMP, et nous donnons un aperçu de quelques travaux en cours et autres projets.

Le but de cette thèse est de décrire la loi conditionnelle d'un processus markovien multidimensionnel connaissant la valeur de certaines combinaisons linéaires de ses coordonnées à des instants donnés. La description recherchée consiste à mettre en évidence un processus de même type, facile à simuler, dont la loi est équivalente à la loi conditionnelle ciblée.La classe principalement étudiée est celle des processus à diffusion. Dans un premier temps, des techniques de grossissement de filtration (Jacod 1985) permettent de déterminer les paramètres de l'équation différentielle stochastique vérifiée par le processus conditionnel. Cependant, on s'aperçoit alors que la dérive n'est pas explicite, car celle-ci dépend des densités de transition du processus initial, inconnues en général. Ceci rend impossible,une simulation directe par exemple à l'aide d'un schéma d'Euler. Afin de pallier ce défaut, nous proposons une alternative, dans l'esprit de Delyon et Hu (2006). L'approche consiste à proposer une équation différentielle stochastique de paramètres explicites, dont la solution est de loi équivalente à la loi conditionnelle. Une application en collaboration avec Anne Cuzol et Etienne Mémin de l'INRIA, dans le cadre des écoulements fluides est également présentée. On applique la méthode proposée précédemment à un modèle stochastique inspiré des équations de Navier-Stokes. Enfin, la classe des processus markoviens à sauts est également abordée.