Ce document présente une vue synthétique de mes travaux de recherche menés ces cinq dernières années, au sein du LaBRI.<br />Les activités de recherche d'un enseignant-chercheur ne s'inscrivent pas souvent dans un plan de recherche soigneusement pensé. Elles évoluent en fonction de multiples impondérables, dont notamment les rencontres avec d'autres chercheurs ou encore les opportunités ``stratégiques'' de financement. De ce fait, il n'est pas toujours facile de dégager un fil conducteur qui permette de regrouper un ensemble des résultats obtenus ``au fil de l'eau'' sans avoir recours à des raccourcis un peu ``artificiels''. <br /><br />Lorsque je me suis efforcé de dégager un point commun à mes travaux, je me suis aperçu que des objets mathématiques bien particuliers n'étaient jamais très loin de mes activités: les groupes cycliques finis. En creusant un peu plus cette perception, il m'est apparu que mes travaux accordent une place considérable à des graphes élémentaires associés aux groupes cycliques, dits graphes ou encore webs.<br /><br />Ce document est donc consacré à la mise en valeur des multiples facettes de ces graphes. ``Facettes'' est ici à double sens, puisqu'une partie conséquente de mes résultats est précisément dédiée à la détermination des facettes de certains polytopes associés aux graphes!<br /><br />Sur la forme, les preuves ont été omises afin d'alléger le texte, à l'exception de quelques preuves sélectionnées pour leur brièveté et pour la pertinence du résultat qu'elles procurent. Des hyperliens pointent vers la version anglaise des preuves manquantes, telles qu'elles figurent dans le recueil d'articles en annexe. Pour faciliter également la lecture, l'index à la fin de l'ouvrage redonne toutes les principales définitions.<br /><br />Sur le fond, ce document est structuré de la manière suivante.<br /><br />Le premier chapitre est consacré aux principaux résultats connus sur les graphes parfaits. Ceci permet de définir les objets mathématiques utilisés par la suite, et de rappeler l'extraordinaire richesse conceptuelle des graphes parfaits.<br /><br />Dans le second chapitre, nous abordons un raffinement de la coloration usuelles des graphes, appelé ``coloration circulaire''. Cette coloration est à l'origine d'une généralisation récente des graphes parfaits: les ``graphes circulaires-parfaits''. Nous étudions la possibilité d'une caractérisation analogue à celles des graphes parfaits, que ce soit par sous-graphes exclus ou bien polyédrale. <br /><br />Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à une généralisation naturelle des webs: ``les graphes quasi-adjoints''. Il s'agit d'une sous-famille des graphes sans griffe, et à ce titre, l'étude de leur polytope des stables est de première importance.<br /><br />Dans le quatrième chapitre, nous menons des investigations directes sur le polytope des stables des graphes sans griffe.<br /><br />La conclusion est donnée dans le dernier et cinquième chapitre, qui contient également une brève présentation de quelques résultats préliminaires quant au calcul en temps polynomial du nombre circulaire-chromatique des graphes circulaires-parfaits et au calcul du nombre de stabilité des graphes quasi-adjoints. Tout repose sur l'introduction d'un nouveau polytope construit à partir des webs ...

L'importance croissante que le client accorde à la manière dont une entreprise<br />satisfait sa demande bouleverse les fondements des organisations anciennement pensées sous l'angle de la production. Phénomène tout à fait perceptible dans un grand<br />groupe industriel comme Saint-Gobain, à forte culture ingénieur, cette prise de<br />conscience donne un nouvel élan aux métiers transversaux focalisés à la fois sur<br />l'optimisation du schéma industriel et de la chaîne logistique. Cette thèse est une<br />illustration de cette évolution : l'intérêt porté aux problèmes d'optimisation des systèmes industriels et logistiques est relativement récent à Saint-Gobain Recherche.<br />Nous nous sommes intéressés dans nos travaux à différents problèmes industriels<br />complémentaires rencontrés chez Saint-Gobain Glass, leader de la production de<br />verre plat en Europe. Nous avons apporté des solutions mettant en lumière l'interdépendance de différentes décisions à des problèmes industriels complexes, avec un<br />souci constant de produire des outils d'aide à la décision utiles et appréciés.<br />Après un avant-propos rappelant le sens de notre démarche, nous découvrirons<br />dans le chapitre 1 le contexte industriel qui a motivé notre recherche. Nous présentons<br />les métiers du groupe - produire, transformer et distribuer du verre plat - et les<br />différents niveaux de décision que nous avons décidé d'aborder. Les chapitres suivants<br />présentent les problèmes d'optimisation que nous avons identifiés et qui nous sont<br />apparus comme clés.<br />Nous abordons dans le chapitre 2 un modèle permettant de déterminer les dimensions<br />des produits standards. L'intégration verticale du groupe permet l'étude<br />du meilleur compromis entre les chutes de verre tout au long de la chaîne logistique<br />et le nombre de références à gérer. La suite de la thèse tend à aboutir à une modélisation complète du schéma industriel et logistique et fait l'objet du chapitre 6. Pour cela, nous traitons les questions de localisation d'installations logistiques (chapitre 3) et de modélisation des processus de production : le chapitre 4 présente notre modèle<br />et l'illustre avec la production de verre plat, tandis que le chapitre 5 présente un<br />travail complémentaire permettant de l'appliquer aux lignes de transformation. Finalement, nous intégrons dans le chapitre 6 tous ces travaux dans un modèle linéaire<br />en nombres entiers.<br />Fruit d'une véritable collaboration entre chercheurs et industriels, ce travail présente<br />un modèle générique déterministe d'optimisation de la chaîne logistique appliqué avec succès à l'industrie du verre. De nombreuses perspectives dignes d'intérêt<br />sont imaginables, autant théoriques que pratiques.

Les problèmes d'ordonnancement à contraintes de ressource ont été largement étudiés dans la littérature. Cependant, dans la plupart des cas, il est supposé que les activités ont une durée fixe et nécessitent une quantité constante de la ressource durant toute leur exécution. Dans cette thèse, nous nous proposons de traiter un problème d'ordonnancement dans lequel les tâches ont une durée et un profil de consommation de ressource variables. Ce profil, qui peut varier en fonction du temps, est une variable de décision du problème dont dépend la durée de la tâche associée. Par ailleurs, la considération de fonctions de rendement linéaires et non linéaires pour la représentation de l'utilisa- tion des ressources complexifie le problème et permet de modéliser de manière réaliste les transferts de ressources énergétiques. Pour ce problème NP-complet, nous présentons plusieurs propriétés per- mettant de dériver des modèles et méthodes de résolution. Ces méthodes de résolution sont divisées en deux parties. La première partie visualise ce problème du point de vue de la Programmation Par Contraintes et plusieurs méthodes dérivées de ce paradigme sont détaillées dont le développement du raisonnement énergétique sur le problème étudié. La seconde partie de la thèse est dédiée à des approches de Programmation Linéaire Mixte et plusieurs modèles, notamment un modèle à temps continu basé sur les événements, ainsi que des analyses théoriques et des techniques d'amélioration de ces modèles sont présentés. Enfin, des expérimentations viennent appuyer les résultats présentés dans ce manuscrit. / Resource-constrained scheduling problems have been widely studied in the literature. However, in most cases, it is assumed that the activities have a fixed duration and require a constant amount of the resource throughout their execution. In this thesis, we propose to treat a scheduling problem in wich tasks have a variable duration and a variable resource consumption profile. This profile, which may vary over time, is a decision variable of the problem on wich depends the ruration of the associated task. Furthermore, we consider linear and nonlinear efficiency functions to represent resource usage, which makes more complex the problem and permits the modeling of energy transfers. For this NP-complete problem, we present several properties allowing us to derive models and solution methods. These solution methods are divided into two parts. The first part studies the problem from the perspective of Constraint Programmming and several methods derived from this paradigm are detailed, among which new developments on energetic reasoning for the considered problem. The second part of the thesis, dedicated to Mixed Integer Linear Programming approches, presents several models, including a novel continuous time model based on events as well theoretical analysis of the models and improvement of theses techniques. Finally, experiments show the relative effectiveness of the results presented in this thesis.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse est consacrée à la prise en compte de données incertaines dans les problèmes d'optimisation. On se concentre sur la programmation mathématique sous contraintes probabilistes, dont le but est de trouver la meilleure solution qui sera réalisable avec une probabilité minimale garantie. Par ailleurs, on s'intéresse à la prise en compte de variables de décisions entières, qui sont souvent requises en pratique.<br /><br />Pour résoudre de tels problèmes combinatoires sous contraintes probabilistes, on s'appuie d'abord sur l'optimisation robuste. Les liens théoriques entre ces deux familles de méthodes sont mis en évidence. A partir de modèles robustes appropriés, des algorithmes de résolution heuristique sont définis. On s'intéresse ensuite à la résolution optimale de problèmes combinatoires sous contraintes probabilistes. Des tests numériques illustrent les méthodes présentées et montrent leur efficacité pratique. Enfin, deux applications au domaine des télécommunications sont développées. Elles concernent toutes deux la localisation de fonctions dans un réseau.

Etude théorique et algorithmique des problèmes d'optimisation non convexes et non différentiables des types suivants: maximiser f(x) sur C, minimiser f(x)-g(x) sur C, minimiser f(x) lorsque x appartient à C et g(x) positive, où f, g sont convexes définies sur rn et C est une partie compacte convexe non vide de rn. Un étudie les conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre la dualité, les méthodes de sous-gradients qui convergent vers des solutions optimales locales et les algorithmes qui permettent d'obtenir les solutions globales. On donne, quelques résultats numériques et applications des algorithmes présentés

Cette synthèse de travaux de recherche concerne l'algorithmique dans les graphes et l'utilisation de la pro- grammation linéaire et semidéfinie positive (SDP) dans le cadre de la résolution exacte ou approchée de plusieurs problèmes fondamentaux de l'Optimisation Combinatoire. L'approche semidéfinie, qui conduit à des relaxations convexes mais non-linéaires, a permis d'obtenir de remarquables résultats théoriques en approximation et devient à présent utilisable en pratique (tout comme la programmation linéaire qui en est un cas particulier). Nos travaux comportent une forte composante algorithmique et des études de complexité de plusieurs problèmes d'optimisation dans les graphes. Nous considérons tout d'abord le problème de la recherche d'un sous-graphe dense de taille fixée pour lequel nous présentons un algorithme polynomial avec ga- ranties de performances fondé sur la programmation linéaire et quadratique. Puis, nous étudions les problèmes de multiflots entiers et de multicoupes pour lesquels nous avons identifié de nombreux cas po- lynomiaux dans des graphes particuliers importants en pratique : arborescences, grilles, anneaux. D'une part, les solutions fractionnaires fournies par certaines relaxations linéaires de ces problèmes sont le point de départ d'algorithmes de résolution efficaces. D'autre part, les propriétés des programmes linéaires uti- lisés nous permettent également d'élaborer des algorithmes purement combinatoires et de démontrer leur validité (matrices totalement unimodulaires, théorème des écarts complémentaires). Nous proposons également des approches systématiques pour élaborer des relaxations semidéfinies pour les programmes quadratiques, modèles de très nombreux problèmes combinatoires et continus. Plus précisément, nous étudions les liens entre relaxations semidéfinies et des relaxations lagrangiennes partielles de programmes quadratiques contenant des contraintes linéaires. En particulier, les fonctions quadratiques constantes sur une variété affine sont entièrement caractérisées. Ceci permet de facilement comparer les différentes familles de contraintes redondantes proposées dans la littérature dans l'approche semidéfinie dans le cadre unifié de l'approche lagrangienne. Puis, nous présentons un algorithme pour élaborer des relaxations semidéfinies à partir de relaxations linéaires existantes. L'objectif est de pro- fiter des résultats théoriques et expérimentaux obtenus dans l'approche linéaire. Nous avons développé un logiciel (SDP_S) grâce à ces résultats. Il permet de formuler automatiquement et facilement des relaxations semidéfinies pour tout problème pouvant être formulé comme un programme quadratique en variables bivalentes. Notre méthode peut se généraliser à certains programmes à variables mixtes. Enfin, nous appliquons les méthodes décrites précédemment à une série de problèmes combinatoires classiques. Nos expérimentations montrent que l'approche semidéfinie est à présent pertinente dans la pra- tique sous certaines conditions. Premièrement, nous présentons des méthodes de séparation/évaluation efficaces fondées sur la SDP pour la résolution exacte des problèmes max 2sat et Vertex-Cover. Deuxièmement, nous proposons plusieurs bornes par SDP de grande qualité pour des problèmes particu- lièrement difficiles à résoudre par les approches linéaires : k-cluster, CMAP (un problème de placement de tâches avec contraintes de ressources), et le problème de l'affectation quadratique (QAP). Pour ce dernier nous présentons également un algorithme de coupes performant fondé sur la programmation semidéfinie. Afin d'obtenir des algorithmes efficaces en pratique, nous mettons en oeuvre non seulement nos méthodes d'élaboration de relaxations SDP, mais également des techniques algorithmiques issues de l'approximation polynomiale, ainsi que des outils spécifiques de résolution numérique des programmes semidéfinis.

Les avancées technologiques poussent l'industrie des télécommunications à fournir la capacité et la qualité nécessaire pour satisfaire la demande croissante de services sans fil à haut débit. De plus, avec les progrès des technologies d'accès, le goulot d'étranglement des réseaux cellulaires se déplace progressivement de l'interface radio vers le backhaul -- la partie de l'infrastructure du réseau qui fournit l'interconnexion entre les réseaux d'accès et de coeur. Aussi, la possibilité de déployer rapidement des liens radio micro-ondes efficaces est essentielle pour apporter des solutions crédibles au problème de l'engorgement des réseaux backhaul. Toutefois, les solutions de backhaul disponibles avec cette technologie ont reçu peu d'attention de la communauté scientifique. Pourtant, la croissance des réseaux backhaul et l'augmentation de leur complexité posent de nombreux problèmes d'optimisation très intéressants. En effet, contrairement aux réseaux filaires, la capacité d'un lien radio micro-ondes est sujette à variation, soit due à des facteurs extérieurs (météo), soit par l'action de l'opérateur. Cette différence fondamentale soulève une variété de nouvelles questions qui doivent être abordées de façon appropriée. Il faut donc concevoir des méthodes adéquates pour l'optimisation des réseaux backhaul. Dans cette thèse, nous étudions les problèmes d'optimisation de réseaux liés à la conception et la configuration des liaisons terrestres sans fil à micro-ondes. Nous nous intéressons en particulier à la classe des problèmes de multiflot de coût minimum avec des fonctions de coût en escalier sur les liens du réseau. Ces problèmes sont parmi les problèmes d'optimisation combinatoire les plus importants et les plus difficiles dans l'optimisation des réseaux, et il n'est généralement possible de les résoudre que de façon approchée. Nous introduisons des modèles mathématiques pour certains de ces problèmes et présentons des approches de solution basées essentiellement sur la programmation entière mixte, la programmation sous contraintes probabilistes, des techniques de relaxation, des méthodes de coupe, ainsi que des méta-heuristiques hybrides. Ces travaux ont été effectués en collaboration avec la PME~3Roam, et partiellement dans le cadre du projet RAISOM (Réseaux de Collecte IP sans fil optimisés) entre le projet Mascotte et les PMEs 3Roam et Avisto. Cette thèse a été développée en co-tutelle entre l'Université de Nice-Sophia Antipolis et l'Université Federale du Ceará.

En raison de problèmes opérationnels et d'autres événements inattendus, un grand nombre d'incidents se produisent quotidiennement dans les systèmes de transport ferroviaire. Certains d'entre eux ont un impact local, mais quelques fois, essentiellement dans les réseaux ferroviaires plus saturés, des petits incidents peuvent se propager à travers tout le réseau et perturber de manière significative les horaires des trains. Dans cette thèse doctorale, nous présentons le problème de réordonnancement de plan de circulation ferroviaire en cas d'incident comme la problématique de créer un plan de circulation provisoire de manière à minimiser les effets de la propagation des incidents. Ce travail est issu du projet MAGES (Module d'Aide à la Gestion des Sillons) qui développe des systèmes de régulation pour le trafic ferroviaire. Nous présentons deux modèles différents qui permettent de trouver des solutions à ce problème : Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE) et Programmation Par Contraintes (PPC). Du fait de la nature fortement combinatoire du problème et de la nécessité de répondre rapidement aux incidents, il ne paraît pas raisonnable d'envisager une résolution exacte. Les méthodes correctives proposées consistent donc à explorer un voisinage restreint des solutions : right-shift rescheduling; une méthode basée sur des coupes de proximité; une méthode d'analyse statistique de la propagation des incidents (SAPI) et un méthode basée sur la PPC. Additionnellement, certaines de ces méthodes ont été adaptées sous forme d'algorithmes itératifs avec l'objectif d'améliorer progressivement la solution quand le temps d'exécution le permet. SAPI est une des principales contributions de cette thèse. SAPI intègre les concepts de right-shift rescheduling avec les coupes de proximité. Du fait de la taille des réseaux en jeu et du nombre de circulations, les phénomènes complexes de propagation d'un incident font qu'il est très difficile de connaitre de manière précise les événements qui seront affectés. Toutefois, il est tout de même envisageable d'évaluer la probabilité qu'un événement soit affecté. Pour calculer cette probabilité, un modèle de régression logistique est utilisé avec des variables explicatives dérivées du réseau et des circulations. Diverses variantes de ces méthodes sont évaluées et comparées en utilisant deux réseaux ferroviaires localisés en France et au Chili. À partir des résultats obtenus, il est possible de conclure que SAPI est meilleure que les autres méthodes en terme de vitesse de convergence vers l'optimum pour les instances de petite taille et moyenne alors qu'une méthode coopérative PNLE/PPC est capable de trouver des solutions pour les instances de plus grande taille. La difficulté de comparer SAPI avec d'autres méthodes présentées dans la littérature nous a encouragés à appliquer la méthode à un autre problème. Ainsi, cette méthodologie a été également adaptée au problème de réordonnancement de passagers, vols et appareils (avions) en cas de perturbations, problème originalement proposé dans le contexte du Challenge ROADEF 2009. Les résultats montrent que SAPI est efficace pour résoudre ce problème avec des solutions au-dessus de la moyenne des équipes finalistes en obtenant la troisième place du challenge