La présente thèse traite de la théorie des équations stochastiques en dimension finie. Dans la première partie, nous dérivons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes sur les coefficients d’une équation différentielle stochastique pour l’existence d’une solution contrainte à rester dans un domaine fermé, sous de faibles conditions de régularité sur les coefficients.Dans la seconde partie, nous abordons des problèmes d’existence et d’unicité d’équations de Volterra stochastiques de type convolutif. Ces équations sont en général non-Markoviennes. Nous établissons leur correspondance avec des équations en dimension infinie ce qui nous permet de les approximer par des équations différentielles stochastiques Markoviennes en dimension finie.Enfin, nous illustrons nos résultats par une application en finance mathématique, à savoir la modélisation de la volatilité rugueuse. En particulier, nous proposons un modèle à volatilité stochastique assurant un bon compromis entre flexibilité et tractabilité. / The present thesis deals with the theory of finite dimensional stochastic equations.In the first part, we derive necessary and sufficient geometric conditions on the coefficients of a stochastic differential equation for the existence of a constrained solution, under weak regularity on the coefficients. In the second part, we tackle existence and uniqueness problems of stochastic Volterra equations of convolution type. These equations are in general non-Markovian. We establish their correspondence with infinite dimensional equations which allows us to approximate them by finite dimensional stochastic differential equations of Markovian type. Finally, we illustrate our findings with an application to mathematical finance, namely rough volatility modeling. We design a stochastic volatility model with an appealing trade-off between flexibility and tractability.

Cette thèse traite de la diffusion par des surfaces rugueuses monodimensionnelles. Les surfaces présentant des petites échelles de variations nécessitent une discrétisation fine pour représenter les effets de diffusion sur le champ diffracté, ce qui augmente les coûts numériques. Deux aspects sont considérés : la réduction de la taille du problème en construisant une condition aux limiteséquivalente traduisant les effets des variations rapides et la réduction du nombre d’itérations nécessaires pour résoudre le système linéaire issu de la méthode des moments par une méthode basée sur les sous-espaces de Krylov. En ce qui concerne la réduction de la taille du problème, une technique d’homogénéisation est utilisée pour transformer la condition aux limites posée sur lasurface rugueuse par des paramètres effectifs. Ces paramètres sont déterminés par des problèmes auxiliaires qui tiennent compte des échelles fines de la surface. Dans le cas de surfaces parfaitement métalliques, la procédure est appliquée en polarisation Transverse Magnétique (TM) et Transverse Électrique (TE). Une impédance équivalente de Léontovich d’ordre 1 est déduite.Le procédure est automatique et les ordres supérieurs sont dérivés pour la polarisation TM. La procédure d’homogénéisation est aussi appliquée pour des interfaces rugueuses séparant deux milieux diélectriques. En ce qui concerne la réduction du nombre d’itérations, un préconditionneur, basé sur des considérations physiques, est construit à partir des modes de Floquet. Bien que le préconditionneur soit initialement élaboré pour des surfaces périodiques, nous montrons qu’il est aussi efficace pour des surfaces tronquées éclairées par une onde plane. L’efficacité des deux aspects présentés dans cette thèse est numériquement illustrée pour des configurations d’intérêt. / This work is about the scattering by monodimensional rough surfaces. Surfaces presenting small scales of variations need a very refined mesh to finally capture the scattering field behaviour what increases the computational cost. Two aspects are considered : the reduction of the problemsize through an effective boundary condition incorporating the effect of rapid variations and the reduction of the number of iterations to solve the linear system arising from method of moments by a method based on Krylov subspace. Firstly, an homogenization process is used to convert the boundary condition on the rough interface into effective parameters. These parameters are determined by the solutions of auxiliary problems which involve the detailed profile of the interface. In the case of perfectly metallic surfaces, the process is applied to the E- and H-polarization and an Leontovich impedance of order 1 is deduced. The process is automatic and higher orders are derived for E-polarization. The homogenization process is also applied to dielectric rough interfaces. Secondly, a physically-based preconditioner is built with Floquet’s modes. Although the preconditioner has been designed for periodical surfaces, it was shown to be efficient in the case of truncated surfaces illuminated by a plane wave. The efficiency of both aspects is numerically illustrated for some configurations of interest.

L'aspect visuel des tôles peintes qui constituent la carrosserie d'une automobile est un facteur déterminant pour la qualité de l'ensemble du véhicule. La caractérisation de l'influence de la topographie des tôles rugueuses utilisées dans ce contexte, est un enjeu de premier plan pour les industriels, tout en représentant un important défi scientifique. Nous proposons, au cours de ce projet de thèse, une exploration détaillée de cette problématique par le biais d'importantes campagnes expérimentales. Et, nous développons une série de méthodes et logiciels aptes à tirer le meilleur parti des données exhaustives qui ont alors été acquises, notamment en proposant des techniques de correction automatique des écarts de forme. Les fruits de ces travaux nous permettent d'élaborer les premiers modèles de prédiction des topographies des tôles peintes à partir des propriétés topographiques de leurs états de surface avant peinture. Et nous présentons aussi les premiers modèles optiques qui permettront, à l'avenir, de simuler l'''effet peinture''.

Le but de cette thèse est d'étudier le transport et le dépôt de particules solides dans les écoulements à travers les fractures. Dans un premier temps, l'écoulement monophasique à travers les fractures est étudié afin d'évaluer la validité de la loi cubique locale comme modèle de l'écoulement. Des canaux à parois sinusoïdales à géométrie variable sont utilisés pour représenter différents types de fractures. Un premier développement analytique montre que l'ouverture hydraulique de la fracture diffère de son ouverture moyenne lorsque la rugosité des parois est élevée. La méthode des éléments finis est ensuite utilisée pour résoudre les équations de continuité et de Navier-Stokes et comparer les solutions numériques aux prédictions théoriques de la loi cubique locale sur une gamme relativement étendue de nombres de Reynolds Re. Pour de faibles Re, typiquement inférieurs à 15, la loi cubique locale décrit raisonnablement l'écoulement, surtout lorsque la rugosité et le déphasage entre les parois sont relativement faibles. Dans un deuxième temps, les écoulements chargés de particules sont étudiés. Une approche analytique est d'abord développée pour montrer comment des particules distribuées dans un écoulement stationnaire et laminaire à travers une fracture peuvent être transportées sur de longues distances ou au contraire se déposer à l'intérieur. Plus précisément, une équation simple décrivant la trajectoire d'une particule est établie. Sur la base de cette équation, il est démontré que, quand l'inertie des particules est négligeable, leur comportement dépend directement de la géométrie de la fracture et d'un nombre adimensionnel W qui relie la vitesse de sédimentation des particules à la vitesse moyenne de l'écoulement. L'équation proposée est vérifiée en comparant ses prédictions à des simulations numériques de suivi de particules prenant en compte l'inertie des particules et résolvent complètement les équations de Navier-Stokes. Il est montré que l'équation est valide lorsque l'inertie du fluide est faible. Des diagrammes de régimes, permettant de prévoir le comportement des particules à travers la fracture sont proposés. Enfin, un appareil expérimental conçu dans le but d'effectuer une évaluation pratique du modèle analytique est présenté et les résultats préliminaires sont discutés. Les résultats expérimentaux préliminaires tendent valider le modèle analytique. De façon plus générale, les résultats obtenus à travers ce travail de thèse font progresser nos connaissances du comportement des petites particules transportées dans les écoulements de fractures. Potentiellement, ce travail devrait permettre d'améliorer notre prévision de la pollution souterraine, et peut avoir des applications dans le développement de nouvelles techniques de filtration de l'eau et de séparation des minéraux / The aim of the present thesis is to study the transport and deposition of small solid particles in fracture flows. First, single-phase fracture ow is investigated in order to assess the validity of the local cubic law for modeling ow in corrugated fractures. Channels with sinusoidal walls having different geometrical properties are considered to represent different fracture geometries. It is analytically shown that the hydraulic aperture of the fracture clearly deviates from its mean aperture when the walls roughness is relatively high. The finite element method is then used to solve the continuity and the Navier-Stokes equations and to simulate fracture ow in order to compare with the theoretical predictions of the local cubic law for Reynolds numbers Re in the range 0.067-67. The results show that for low Re, typically less than 15, the local cubic law can properly describe the fracture ow, especially when the fracture walls have small corrugation amplitudes. For Re higher than 15, the local cubic law can still be valid under the conditions that the fracture presents a low aspect ratio, small corrugation amplitude, and moderate phase lag between its walls. Second, particle-laden flows are studied. An analytical approach has been developed to show how particles sparsely distributed in steady and laminar fracture flows can be transported for long distances or conversely deposited inside the channel. More precisely, a rather simple particle trajectory equation is established. Based on this equation, it is demonstrated that when particles' inertia is negligible, their behavior is characterized by the fracture geometry and by a dimensionless number W that relates the ratio of the particles sedimentation terminal velocity to the ow mean velocity. The proposed particle trajectory equation is verified by comparing its predictions to particle tracking numerical simulations taking into account particle inertia and resolving the full Navier-Stokes equations. The equation is shown to be valid under the conditions that ow inertial effects are limited. Based on this trajectory equation, regime diagrams that can predict the behavior of particles entering closed channel flows are built. These diagrams enable to forecast if the particles entering the channel will be either deposited or transported till the channel outlet. Finally, an experimental apparatus that was designed to have a practical assessment of the analytical model is presented. Preliminary experimental results tend to verify the analytical model. Overall, the work presented in this thesis give new insights on the behavior of small particles in fracture flows, which may improve our prediction and control of underground contamination, and may have applications in the development of new water filtration and mineral separation techniques

Le présent travail se veut une contribution à l’extension du domaine des applications de la théorie des chemins rugueux à travers l’étude de la convergence des processus discrets, qui permet un nouveau regard sur plusieurs problèmes qui se posent dans le cadre du calcul stochastique classique. Nous étudions la convergence en topologie rugueuse, d’abord des chaînes de Markov sur graphes périodiques, ensuite des marches de Markov cachées, et ce changement de cadre permet d’apporter des informations supplémentaires sur la limite grâce à l’anomalie d’aire, invisible en topologie uniforme. Nous voulons montrer que l’utilité de cet objet dépasse le cadre des équations différentielles. Nous montrons également comment le cadre des chemins rugueux permet d’en- coder la manière dont on plonge un modèle discret dans l’espace des fonctions continues, et que les limites des différents plongements peuvent être différenciées précisément grâce à l’anomalie d’aire. Nous définissons ensuite les temps d’occupation itérés pour une chaîne de Markov et montrons, en utilisant les sommes itérées, qu’ils donnent une structure combinatoire aux marches de Markov cachées. Nous proposons une construction des chemins rugueux en passant par les sommes itérées et la comparons à la construction classique, faite par les intégrales itérées, pour trouver à la limite deux types de chemins rugueux différents, non-géométrique et géométrique respectivement. Pour finir, nous illustrons le calcul et la construction de l’anomalie d’aire et nous donnons quelques résultats supplémentaires sur la convergence des sommes et temps d’occupation itérés. / Through the present work, we hope to contribute to extending the domain of applications of rough paths theory by studying the convergence of discrete processes and thus allowing for a new point of view on several issues appearing in the setting of classical stochastic calculus. We study the convergence, first of Markov chains on periodic graphs, then of hidden Markov walks, in rough path topology, and we show that this change of setting allows to bring forward extra information on the limit using the area anomaly, which is invisible in the uniform topology. We want to show that the utility of this object goes beyond the setting of dierential equations. We also show how rough paths can be used to encode the way we embed a discrete process in the space of continuous functions, and that the limits of these embeddings dier precisely by the area anomaly term. We then define the iterated occupation times for a Markov chain and show using iterated sums that they form an underlying combinatorial structure for hidden Markov walks. We then construct rough paths using iterated sums and compare them to the classical construction, which uses iterated integrals, to get two dierent types of rough paths at the limit: the non-geometric and the geometric one respectively. Finally, we illustrate the computation and construction of the area anomaly and we give some extra results on the convergence of iterated sums and occupation times.

La télédétection par satellite est aujourd'hui une composante à part entière de l'océanographie. Elle permet d'effectuer des mesures de vents, de température de surface (SST), de couleur de l'eau, de topographie, ... avec des couvertures spatiales et temporelles bien supérieures à celles obtenues par des méthodes in situ. Cependant, il n'existe pas à l'heure actuelle de mesure satellitaire de salinité de surface des océans (SSS), et celle-ci reste sous échantillonnée à la fois spatialement et temporellement. La salinité étant un paramètre important pour la circulation des masses d'eau océaniques, son observation globale et régulière constituerait un apport conséquent à l'océanographie physique. C'est pourquoi de nombreuses équipes scientifiques à travers le monde relèvent actuellement le défi technologique de la télédétection de la SSS par satellite, et particulièrement en Europe grâce à la mission de l'Agence Spatiale Européenne « Soil Moisture and Ocean Salinity » (SMOS). Au cours de ma thèse, j'ai étudié la faisabilité de la mesure de la SSS à l'aide d'un radiomètre hyperfréquence en bande L (i.e. fréquence = 1.4 GHz <=> longueur d'onde = 21 cm), en estimant les sources d'incertitude sur la SSS qui sera restituée dans le cadre de la mission SMOS. Pour cela, j'ai codé un modèle direct, qui simule les processus physiques intervenant depuis la surface océanique jusqu'à l'antenne du radiomètre. Ce modèle est constitué d'un modèle d'émissivité de la mer à « deux échelles » (i.e. on distingue les vagues selon qu'elles soient « grandes » ou « petites » par rapport à la longueur d'onde du radiomètre), et d'un modèle de transfert radiatif à travers l'atmosphère. Le modèle d'émissivité m'a permis d'estimer la sensibilité de la température de brillance (Tb) de l'océan aux paramètres géophysique océanique (i.e. SSS, SST, et rugosité de surface induite par le vent ou la houle), ainsi que l'incertitude sur cette sensibilité en comparant les résultats obtenus à partir de paramétrisations différentes. J'ai conclu de ces études que la sensibilité de la Tb à la SSS est relativement bien connue (de l'ordre de quelques dixièmes de Kelvin par psu) mais que l'effet de la rugosité est très incertain à cause de l'imprécision des modèles de spectre des vagues, alors que cet effet ne semble pas être négligeable (la sensibilité de la Tb au vent étant comprise entre 0.12 à 0.25 K/(m/s) selon le modèle de spectre). Le modèle de transfert radiatif m'a permis d'estimer les différentes contributions de l'atmosphère (atténuation des rayonnements la traversant et émission propre), ainsi que la sensibilité de ces contributions aux paramètres atmosphériques (i.e. profils de température, pression et humidité relative). En bande L, l'atmosphère est quasiment transparente (épaisseur optique ~ 0.01 néper) et sa température de brillance est de l'ordre de 2 K. Ces effets sont peu sensibles aux paramètres atmosphériques, particulièrement à la vapeur d'eau. Je présente aussi dans la thèse des comparaisons du modèle avec des mesures radiométriques en bande L récentes (campagnes WISE 2000, WISE 2001 et EuroSTARRS) ainsi que les conclusions sur la validité des différents modèles de spectre de mer étudiés.

La spectroscopie EPES (Elastic Peak Electron Spectroscopy) permet de mesurer le pourcentage he d'électrons rétrodiffusés élastiquement par la surface d'un échantillon soumis à un bombardement électronique. C'est une méthode non destructive et extrêmement sensible à la surface. L'objectif de ce travail est de modéliser le cheminement des électrons élastiques dans la matière grâce à une simulation informatique basée sur la méthode Monte Carlo. Cette simulation contribue de manière essentielle à la connaissance et à l'interprétation des résultats expérimentaux obtenus par spectroscopie EPES. Nous avons, de plus, adapté cette simulation à différentes surfaces transformées à l'échelle micrométrique et nanométrique. A l'aide d'une méthode originale, basée sur une description couche par couche du matériau, j'ai réalisé un programme informatique (MC1) rendant compte du cheminement des électrons élastiques dans les différentes couches du matériau. Le nombre d'électrons ressortant de la surface dépend de nombreux paramètres comme : la nature du matériau à étudier, l'énergie des électrons incidents, l'angle d'incidence, les angles de collection des analyseurs. De plus, je me suis intéressé à l'effet de la rugosité de la surface et j'ai démontré qu'elle joue un rôle déterminant sur l'intensité du pic élastique. Ensuite, grâce à l'association de la spectroscopie EPES et de la simulation Monte Carlo, j'ai déduit les modes de croissance de l'or sur substrat d'argent et de cuivre. Les effets de l'arrangement atomique et des pertes énergétiques de surfaces ont ensuite été étudiés. Pour cela, une deuxième simulation MC2 tenant compte de ces deux paramètres a été réalisée permettant d'étudier les surfaces à l'échelle nanométriques. Ces paramètres jusqu'alors non pris en compte dans notre simulation MC1, joue un rôle essentiel sur l'intensité élastique. Ensuite, j'ai obtenu une formulation simple et exploitable pour l'interprétation des résultats obtenus par la simulation MC2 pour un analyseur RFA. Afin de valider, les différents résultats de la simulationMC2, j'ai réalisé des surfaces de silicium nanostructurées, à l'aide de masques d'oxyde d'alumine réalisés par voie électrochimique. J'ai pu créer des nano-pores par bombardement ionique sous ultravide sur des surfaces de silicium. Afin de contrôler la morphologie de la surface, j'ai effectué de l'imagerie MEB ex-situ. La simulation Monte Carlo développée associée aux résultats EPES expérimentaux permet d'estimer la profondeur, le diamètre et la morphologie des pores sans avoir recours à d'autres techniques ex-situ.Cette simulation MC2 permet de connaître la surface étudiée à l'échelle nanométrique.

L'étude concerne les couches limites turbulentes dans le cas d'écoulements à surface libre sur fond rugueux homogène. Afin de réaliser cette étude, deux dispositifs de mesure PIV par stéréoscopie (PIV 2D-3C) ont été mis en place avec comme double objectif de fournir les lignes directrices au design d'un système stéréoscopique PIV in situ et d'étudier l'influence de la faible submersion des éléments rugueux sur la structure universelle de la couche limite sur fond rugueux, i.e. pour des submersions h/D comprises entre 0,33 et 0,66 (avec h la hauteur des rugosités et D la hauteur d'eau). Pour le premier objectif, le dispositif de mesure a permis un accès optique facilité par un point de vue incliné des caméras à la zone proche des rugosités dans des conditions naturelles d'écoulement (turbidité et éclairement naturels). Les mesures de vitesse ont été faites dans un canal hydraulique de petite dimension (12 m x 0,5 m x 0,25 m) rempli d'hémisphères positionnées en quinconce. Une étude paramétrique de l'influence de l'inclinaison des caméras ainsi que de la turbidité de l'eau sur la qualité des mesures de vitesse a été entreprise suivie par une nouvelle méthodologie basée sur l'analyse de l'intensité lumineuse dans le système. Il a été montré que l'écoulement est correctement résolu jusqu'à une turbidité d'environ 25 NTU avec un angle d'inclinaison par rapport au plan vertical de mesure de 25°. Pour le second objectif, les investigations expérimentales ont été réalisées dans une veine hydraulique de plus grande dimension (26 m x 1,10 m x 0,50 m), dont le fond rugueux est constitué par des cubes en PVC de 2 cm de côté comme dans l'étude de Florens et al. (2013). Les résultats mettent en évidence que l'étendue de la sous-couche rugueuse augmente avec la submersion pour finalement occuper toute la colonne d'eau dans le cas de la plus faible submersion (h/D=0,66). Malgré cela, une loi logarithmique est tout de même observée, et ce, quelle que soit la submersion étudiée. / This work deals with turbulent boundary layers in open-channel flows over rough homogeneous beds. The objectives of this work are, first, to provide some guidance for the design of an efficient in situ stereoscopic PIV measurements system (SPIV), and, second, to assess the effect of the relative submergence on the universal turbulent boundary layer structure for very high relative submergence ratios, i:e: 0.33 < h/D <0.66 (where h is the roughness height and D the water depth). For the first objective, a stereoscopic PIV configuration was set-up with steeply inclined camera viewpoints in order to improve the image quality and the optical access into the bed canopy under naturally occurring turbid conditions. Velocity measurements were undertaken in a 12 m x 0.5 m x 0.25 m open-channel flume filled with staggered hemispheres as surrogates for bed river peebles. A parametric study was then carried out to both analyze how the turbidity and camera angle impact the quality of PIV measurements. An innovative light intensity-based methodology was developed and applied to perform data analysis. The latter shows good PIV results up to 25 NTU with an optimal camera angle with respect to the vertical PIV measurements plane of 25. The SPIV measurements for the second objective were performed in a 26-m-long, 1.10-m-wide and 0.50-m-deep steep open channel filled with 2-cm cubes as in Florens et al. (2013). The results show that the extent of the roughness sublayer increases with the relative submergence to fill the entire water column for the highest relative submergence investigated. Despite this, the logarithmic law is still observed even for the highest relative submergence studied (h/D=0.66).

Cette thèse a pour objectif la compréhension de plusieurs aspects du caractère rugueux de la volatilité observé de manière universelle sur les actifs financiers. Ceci est fait en six étapes. Dans une première partie, on explique cette propriété à partir des comportements typiques des agents sur le marché. Plus précisément, on construit un modèle de prix microscopique basé sur les processus de Hawkes reproduisant les faits stylisés importants de la microstructure des marchés. En étudiant le comportement du prix à long terme, on montre l’émergence d’une version rugueuse du modèle de Heston (appelé modèle rough Heston) avec effet de levier. En utilisant ce lien original entre les processus de Hawkes et les modèles de Heston, on calcule dans la deuxième partie de cette thèse la fonction caractéristique du log-prix du modèle rough Heston. Cette fonction caractéristique est donnée en terme d’une solution d’une équation de Riccati dans le cas du modèle de Heston classique. On montre la validité d’une formule similaire dans le cas du modèle rough Heston, où l’équation de Riccati est remplacée par sa version fractionnaire. Cette formule nous permet de surmonter les difficultés techniques dues au caractère non markovien du modèle afin de valoriser des produits dérivés. Dans la troisième partie, on aborde la question de la gestion des risques des produits dérivés dans le modèle rough Heston. On présente des stratégies de couverture utilisant comme instruments l’actif sous-jacent et la courbe variance forward. Ceci est fait en spécifiant la structure markovienne infini-dimensionnelle du modèle. Étant capable de valoriser et couvrir les produits dérivés dans le modèle rough Heston, nous confrontons ce modèle à la réalité des marchés financiers dans la quatrième partie. Plus précisément, on montre qu’il reproduit le comportement de la volatilité implicite et historique. On montre également qu’il génère l’effet Zumbach qui est une asymétrie par inversion du temps observée empiriquement sur les données financières. On étudie dans la cinquième partie le comportement limite de la volatilité implicite à la monnaie à faible maturité dans le cadre d’un modèle à volatilité stochastique général (incluant le modèle rough Bergomi), en appliquant un développement de la densité du prix de l’actif. Alors que l’approximation basée sur les processus de Hawkes a permis de traiter plusieurs questions relatives au modèle rough Heston, nous examinons dans la sixième partie une approximation markovienne s’appliquant sur une classe plus générale de modèles à volatilité rugueuse. En utilisant cette approximation dans le cas particulier du modèle rough Heston, on obtient une méthode numérique pour résoudre les équations de Riccati fractionnaires. Enfin, nous terminons cette thèse en étudiant un problème non lié à la littérature sur la volatilité rugueuse. Nous considérons le cas d’une plateforme cherchant le meilleur système de make-take fees pour attirer de la liquidité. En utilisant le cadre principal-agent, on décrit le meilleur contrat à proposer au market maker ainsi que les cotations optimales affichées par ce dernier. Nous montrons également que cette politique conduit à une meilleure liquidité et à une baisse des coûts de transaction pour les investisseurs. / The aim of this thesis is to study various aspects of the rough behavior of the volatility observed universally on financial assets. This is done in six steps. In the first part, we investigate how rough volatility can naturally emerge from typical behav- iors of market participants. To do so, we build a microscopic price model based on Hawkes processes in which we encode the main features of the market microstructure. By studying the asymptotic behavior of the price on the long run, we obtain a rough version of the Heston model exhibiting rough volatility and leverage effect. Using this original link between Hawkes processes and the Heston framework, we compute in the second part of the thesis the characteristic function of the log-price in the rough Heston model. In the classical Heston model, the characteristic function is expressed in terms of a solution of a Riccati equation. We show that rough Heston models enjoy a similar formula, the Riccati equation being replaced by its fractional version. This formula enables us to overcome the non-Markovian nature of the model in order to deal with derivatives pricing. In the third part, we tackle the issue of managing derivatives risks under the rough Heston model. We establish explicit hedging strategies using as instruments the underlying asset and the forward variance curve. This is done by specifying the infinite-dimensional Markovian structure of the rough Heston model. Being able to price and hedge derivatives in the rough Heston model, we challenge the model to practice in the fourth part. More precisely, we show the excellent fit of the model to historical and implied volatilities. We also show that the model reproduces the Zumbach’s effect, that is a time reversal asymmetry which is observed empirically on financial data. While the Hawkes approximation enabled us to solve the pricing and hedging issues under the rough Heston model, this approach cannot be extended to an arbitrary rough volatility model. We study in the fifth part the behavior of the at-the-money implied volatility for small maturity under general stochastic volatility models. In the same spirit as the Hawkes approximation, we look in the sixth part of this thesis for a tractable Markovian approximation that holds for a general class of rough volatility models. By applying this approximation on the specific case of the rough Heston model, we derive a numerical scheme for solving fractional Riccati equations. Finally, we end this thesis by studying a problem unrelated to rough volatility. We consider an exchange looking for the best make-take fees system to attract liquidity in its platform. Using a principal-agent framework, we describe the best contract that the exchange should propose to the market maker and provide the optimal quotes displayed by the latter. We also argue that this policy leads to higher quality of liquidity and lower trading costs for investors.

Depuis une dizaine d'années, la transformée en ondelettes a été reconnue comme un outil privilégié d'analyse des objets fractals, en permettant de définir un formalisme multifractal généralisé des mesures aux fonctions. Dans une première partie, nous utilisons la méthode MMTO (Maxima du Module de la Transformée en Ondelettes) 2D, outil d'analyse multifractale en traitement d'images pour étudier des mammographies. On démontre les potentialités de la méthode pour le problème de la segmentation de texture rugueuse et la caractérisation géométrique d'amas de microcalcifications, signes précoces d'apparition du cancer du sein. Dans une deuxième partie méthodologique, nous généralisons la méthode MMTO pour l'analyse multifractale de données 3D scalaires et vectorielles, en détaillant la mise en oeuvre numérique et un introduisant la transformée en ondelettes tensorielle. On démontre en particulier que l'utilisation d'une technique de filtres récursifs permet un gain de 25 a 60 \% en temps de calcul suivant l'ondelette analysatrice choisie par rapport à un filtrage par FFT. La méthode MMTO 3D est appliquée sur des simulations numériques directes (SND) des équations de Navier-Stokes en régime turbulent. On montre que les champs 3D de dissipation et d'enstrophie pour des nombres de Reynolds modérés sont bien modélisés par des processus multiplicatifs de cascades non-conservatifs comme en témoigne la mesure de l'exposant d'extinction $\kappa$ qui diffère significativement de zéro. On observe en outre que celui-ci diminue lorsqu'on augmente le nombre de Reynolds. Enfin, on présente les premiers résultats d'une analyse multifractale pleinement vectorielle des champs de vitesse et de vorticité des mêmes simulations numériques en montrant que la valeur du paramètre d'intermittence $C_2$, mesuré par la méthode MMTO 3D tensorielle, est significativement plus grande que celle obtenue en étudiant les incréments de vitesse longitudinaux 1D.